BAB VI FUNGSI PEUBAH ACAK - BAB VI

BAB VI FUNGSI PEUBAH ACAK

6.1 Rasional

  Pengkajian yang lebih mendalam tentang penerapan distribusi, baik yang diskret maupun yang kontinu akan dipelajari pada bab ini, termasuk diantaranya keandalan, pengendalian mutu, dan penyampelan penerimaan (acceptance sampling)

6.2 Transformasi Peubah Acak Diskrit Tunggal Teorema 6.1

      ^x x f

  x  .

  maka ^y

  2

  Dari soal diketahui bahwa nilai x semuanya positif, transformasi antara nilai x dan y tersebut adalah satu, y = x

  , dengan x = 1, 2, 3,... Tentukan distribusi peluang peubah acak Y = X

  3 ) ( ^   

  Misalkan X suatu peubah acak diskret dengan distribusi peluang

  4

  1

  4

  Diketahui X adalah peubah acak geometrik dengan peluang ₁

  Contoh 6.1

  misalnya x = w(y), maka distribusi peluang Y adalah g(y) = f[w(y)].

  i

  tunggal untuk x dinyatakan dalam Y

  f(x). Misalkan Y = u(X) suatu transformasi satu-satu antara nilai

X dan Y, sehingga persamaan y = u(X) mempunyai jawaban

2 Solusi :

  Jadi

         

     

     

^

lainnya x untuk y untuk y f y g ^y

  , 9 , 4 ,

  1

  4

  1

  4

  3 ) (

¹



6.3 Transformasi Peubah Acak Diskret Gabungan Teorema 6.2

  1 dan X 2 peubah acak diskret dengan distribusi peluang

  1

  2

  ) cukup dibentuk fungsi kedua misalnya Y

  2

  ,y

  1

  1 ,x 2 ). Untuk menentukan distribusi peluang gabungan g(y

  ) peubah acak diskret dengan distribusi peluang f(x

  2

  , X

  (X

  2

  1

  = u

  1

  Transformasi ini sangat berguna untuk menentukan distribusi peubah acak y

  2 )].

  ,y

  1

  (y

  2

  = u

  (X

  ), maka distribusi peluang gabungan y

  menjumlahkannya terhadap nilai y

  Contoh 6.2:

    _y y y g y h

  ) ( ) ( _{2 2 1 1} 

  ), maka distribusinya dapat dinyatakan dengan

  1

  dinyatakan dengan h(y

  1

  . Jika distribusi Y

  2

  1 ,y 2 ) yang dapat diperoleh dengan

  2

  ini hanyalah distribusi marginal dari g(y

  1

  ) dapat dipertahankan. Distribusi Y

  2

  ,y

  1

  ) dan (y

  2

  ,X

  1 dan y 2 adalah g(y 1 ,y 2 ) = f[w 1 (y 1 ,y 2 ), w

  2

  gabungan f(x

  2

  X 2 ) dan (y 1 , y 2 ), sehingga persamaan y 1 = u 1 (x 1 , x 2 ) dan y 2 = u 2 (x 1 , x

  ,

  1

  ) merupakan suatu transformasi satu-satu antara himpunan titik (X

  2

  1 , X

  (X

  2

  = u

  ) dan Y

  ) mempunyai jawaban tunggal untuk x

  2

  1 , X

  (X

  1

  = u

  1

  ). Misalkan lagi Y

  2

  1 ,x

  2

  1

  ,y

  (y

  1

  (y

  2

  Misalkan X

  2

  ) dan x

  

2

  ,y

  1

  1

  dan x

  = w

  1

  . Misalnya x

  2

  dan y

  1

  y

  dinyatakan dalam

  2

  = w Diketahui X1 dan X2 dua peubah acak bebas yang berdistribusi

   

  Poisson, masing-masing berparameter ^{1 dan 2 . Jika ditentukan} distribusi peubah acak y

  1 = X 1 +X 2 , maka buktikan bahwa peubah

  acak tersebut berdistribusi Poisson !

  Solusi :

  Karena X dan X dua peubah acak bebas yang terdistribusi Poissen,

  1

  2

  maka _{ x  x (   ) x x 1 1  2 2   1 2 1 2}

  e e e  1  2  1 

  2 . f(x ,x ) = f(x ), f(x ) =  ,

  1

  2

  1

  2 x ! x ! x ! x !

  1

  

2

  1

  2

  dengan x

  1 = 0, 1, 2,... dan x

2 = 0, 1,2,...

  Sekarang dibentuk peubah acak kedua yaitu y = x Fungsi

  2 2.

  balikannya diberikan oleh x = y - y dan x = y . dengan

  1

  

1

  2

  2

  2

  menggunakan transformasi diperoleh distribusi peluang gabungan

  y dan y yaitu:

  1

  2 ( ) y y y    ^{1   2 1 2}

²

e

   

  1

  2 g ( y , y )

  1 2  ( y y )! y ! 

  1

  2

  2 y , 1 , 2 , y

   

  Dengan ^{1 dan 2 =0, 1, 2,...,y}

  1 Karena x 1 = 0,1,2,… maka transformasi x 1 = y 1 – y 2 mengakibatkan x dan juga y harus selalu kurang dari atau sama dengan y . Jadi

  2

  2

  1

  distribusi peluang marginal y adalah :

  1

  2

²

¹ ₂ ^{2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1}

²

^{1 1 2} _{2 1 2} ¹ ₁ ^{) ( 1 2 1 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 1} !

! ! )! (

  1 ^{1 2 1} ) ( ) ( y e y h y

  Tentukan distribusi peluang peubah acak Y = 2X – 3

  12 ) (

  1

  5

   lainnya x untuk x untuk x x f

        

  Diketahui X peubah acak kontinu dengan fungsi padat peluang

  w(y), maka distribusi peluang Y dinyatakan oleh g(y) =

f[w(y)]J, dengan J = w (y) dan dinamakan Jacobi transformasi

Contoh 6.3

  Misalkan X satu-satu antara nilai X dan Y, sehingga persamaan y = u(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dan y, misalnya x =

     .

  Dari rumus ini terbukti bahwa jumlah dua peubah acak bebas yang berdistribusi Poisson dengan parameter ^{2 1}

  1 = 0, 1, 2,...

  , dengan y

    ^{ }   ^{ }

  2 ) (

  ! ! )! ( ) , ( ) (

y y y

ⁿ _y

^{y y y n}

^{y n y y y y y y} y y y e

y y y y

y e y y y e y y g y h

  2

  1

  , maka diperoleh

  

      _

          

  ) ( _{2 1 2 1 0 2} ^{1 y y y y y} _y y y

  Karena ^{1 2 2 1 1} ₂

   

     

     

       

    ^{   }

_

_ ^{          }  

  

 

   

6.4 Transformasi Peubah Acak Tunggal Kontinu Teorema 6.3

  Solusi: dx

  1

(  y

3 )

  

  Invers dari y = 2x-3 adalah x = , sehingga diperoleh

  dy

  2

  2 y

  2

  3

  1 x 1    

  



  , sehingga diperoleh. Untuk , maka ,

  

y 

2 ( 5 )  3 

  7

  sedangkan untuk x = 5, maka , dengan menggunakan transformasi di atas, diperoleh :

  y

  3   

  1 y

  3 

  2 g ( y ) Untuk 1 y

  7      

  12

  2

  48  Untuk y lainnya

  

  6.5 Transformasi Peubah acak Kontinu Gabungan Teorema 6.4

  Misalkan X dan X peubah acak kontinu dengan distribusi peluang

  1

  2

  gabungan f(x ,x ). Misalkan lagi y = u (X ,X ) dan Y =

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2 U 2 (X 1 ,X 2 ) merupakan suatu transformasi satu-satu antara himpunan

  titik (x ,x ) dinyatakan dalam y dan y . Misalnya x = w (y ,y )

  1

  2

  

1

  2

  1

  1

  1

  2

  dan x

  2 = w 2 (y 1 ,y 2 ), maka distribusi peluang gabungan y 1 dan y

  2

  adalah g(y

  1 ,y 2 ) = f[w 1 (y 1 ,y 2 ), w

2 (y

1 ,y 2 )]J. Dengan Jacobi adalah

  determinan 2x2, yaitu :

   x  x _{1 1} y y

    _{1 2} J   x  x _{2 2} y y

    _{1 2}  x ₁

  adalah turun x = w (y ,y ) terhadap y dengan y tetap

  1

  1

  1

  

2

  1

  2  y ₁

  (turunan parsial x

  1 terhadap y 1 ). Turunan parsial lainnya didefinisikan dengan cara yang sama

  Contoh 6.4

  Misalkan X dan X dua peubah acak kontinu dengan fungsi padat

  1

  2

  peluang gabungan

  4 x x x

1 ; x

  1  ^{1 2  1   2 } f ( x , x ) _{1 2 }

  

x lainnya

   ₂ x x

  tentukan rumus fungsi untuk y = dan y 

  1 x ^{2 1 2} y  ^{1 1} Solusi : ₂ y ₂ x  x  y ² x ^{1 1} Invers dari y 1 = ^{1 dan y} 2 = x

1 x

2 adalah dan y ₁

  sehingga diperoleh _{J    2 y 2 y 1 y 1 1 2 2 3 1 y 1 2 y 1 1} Transformasi ini satu-satu memetakkan titik {(x ,x )  x 

  1 ;

  1

  2 ¹ y 1 ; y

  1     _{1 2}

  0<x

  2 <2} ke himpunan {(y 1 ,y 2 ) }.

  Dengan menggunakan transformasi di atas, diperoleh distribusi Gabungan yang dinyatakan sebagai berikut:

  y

  1

2 y

 _{2 2} 4 y y 1 ; y

  1       ^{1 1 2} g ( y y ) 2 y y _{1 , 2 }  y _{1 1 1}  x lainnya

  

  6.6 Kombinasi Linear Peubah Acak Teorema 6.5

  Jika X , X , ..., X peubah acak bebas yang berdistribusi normal,

  1

  2

  3 , ,  ,  ^{1  2  n}

  masing-masing dengan rataan dan variansi

  2 ^{2 2}

  , maka peubah acak Y=a

  X +a X +...+a

  X , , ,

  1

  1

  2 2 n n     _{1 2 n} a a a

        Y ^{1  1 2  2 n  n}

  berdistribusi normal dengan rataan _{2 2 2 2 2 n n}

  

  dan variansi  a  a   a

   ¹ _Y ^{1  1 2  2 n  n} Teorema 6.6

  Jika X

  1 , X 2 , …, X n . Peubah acak bebas yang berdistribusi normal, _{2 2 2} x x x

      ^{1   }

^{2    n  }

  maka , , …, masing-masing

                

  berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan V

_n

₂ 1 , V 2 , ..., V n .

  x     _i

  Selanjutnya peubah acak Y = akan berdistribusi

   



_{i }

₁

  

  Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan v = n.

  6.7 Populasi Definisi 6.1

  Populasi adalah totalistas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun pengukuran, kuantitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat-sifatnya.

  Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan ukuran populasi. Jika terdapat 1.500 mahasiswa STKIP yang ingin diselidiki motivasinya, maka dikatakan ukuran populasinya 1.500.

  Tiap pengamatan dalam populasi merupakan suatu nilai dari suatu peubah acak X dengan suatu distribusi peluang f(x). Sebagai contoh, misalnya dalam memeriksa apakah suatu barang yang dihasilkan suatu pabrik cacat atau tidak, tiap pengamatan dalam populasi merupakan nilai peubah acak binomial X dengan nilai 0 atau 1

  x 1-x

  dengan distribusi peluang b(x;1,p) = p q , x = 0,1 dengan nilai 0 menyatakan barang yang tidak cacat, sedangkan 1 menyatakan barang yang cacat, tidak berubah dari suatu usaha ke usaha lainnya. Untuk selanjutnya, jika disebut “populasi binomial”, “populasi normal” atau umumnya “populasi f(x)”, maka yang dimaksud adalah salah satu populasi yang pengamatannya merupakan nilai peubah acak yang berdistribusi binomial, normal, atau berdistribusi peluang f(x). Jadi rataan dan variansi suatu peubah acak yang berdistribusi peluang disebut juga rataan dan variansi populasi yang bersngkutan.

  6.8 Sampel Definisi 6.2

  Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi Dalam bidang infresnsi statistika (statistika yang mempelajari pengalaman pengumpulan, penyajian, pengolahan data disertai kesimpulan dengan generalisasi), seorang statistikawan ingin menarik kesimpulan mengenai suatu populasi mengenai suatu hal tidak mungkin atau tidak praktis mengamati himpunan semua pengamatan yang membentuk populasi itu. Karena itu, hanya menggunakan sebagai pengamatan yang membentuk populasi itu. Himpunan bagian dari populasi yang betul-betul mewakili semua karakteristik yang ada pada populasi inilah yang disebut sampel. Sering kali kita kita tergoda dalam mengambil sampel dengan memilih anggota populasi yang paling sesuai dengan keinginan kita. Cara kerja seperti ini dapat menghasilkan inferensi yang keliru tentang populasi. Setiap prosedur sampling yang menghasilkan inferensi yang konssiten menaksir lebih atau konsisten penaksir kurang terhadap suatu parameter populasi dinamakan bias. Untuk mencegah terjadinya bias dalam prosedur sampling, maka sebaiknya menggunakan sampel acak dalam artian bahwa pengamatan dilakukan secara bebas satu sama lain dan acak.

  6.9 Sampel acak Definisi 6.3

  Misalkan x

  1 ,x 2 ,...,x n merupakan n peubah acak bebas yang masing-

  masing berdistribusi peluang f(x). X ,X , ..., X didefinikan

  1 2 n

  sebagai sampel acak ukuran n dari populasi f(x) dan distribusi peluang gabungannya ditulis sebagai f(x , x ,...,x ) = f(x ), f(x ),...,

  1 2 n

  1

  2 f(x ) n

  Contoh 6.6 :

  Jika dari suatu pabrik dipilih secara acak n = 8 bola lampu yang diprodksi dengan ketentuan (keadaan) yang sama, dan kemudian umurnya dicatat, pengukuran pertama x

  1 menyatakan nilai x 1 ,

  pengukuran kedua x

  2 nilai x 2 , dan seterusnya, maka x 1 , x 2 ,…,x

  3 merupakan nilai sampel acak x ,x ,...,x . Jika dianggap populasi

  

1

  2

  3

  umur bola lampu distribusi normal, maka nilai yang mungkin untuktiap x

  1 , i = 1, 2,…,8, maka tetap sama dengan populasi

  semula, dan karenanya x akan mempunyai distribusi normal yang

  1

  tetap sema dengan populasi semula, dan karenaya x

  1 akan mempunyai distribusi normal yang tepat sama dengan X.

  6.10 Statistik

  Tujuan utama memilih sampel adalah yang mendapatkan keterangan mengenai parameter populasi yang tidak diktehaui. Misalkan, kita ingin menarik kesimpulan mengeani proporsi penduduk Indonesia yang menyenangi suatu acara TV dari stasiun tertentu. Akan mustahil, jika kita menanyai semua orang Indonesia dan kemudian menghitung parameter p yang menggambarkan proporsi sebenarnya. Sebagai gantinya, diambil sampel acak yang _ banyak dan kemudian dihitung proporsi pada sampel yang _ p menyenagani suatu acara TV. Nilai ini kemudian dipakai untuk

  p menarik kesimpulan mengeani prosrsi p yang sesungguhnya. _

  Sekarang merupakan fungsi dari nilai pengamatan dalam sampel

  p

  acak karena banyak sampel acak yang dapat diambail dari populasi _ yang sama, maka tentunya akan berlainan sedikit dari suatu

  p _

  peubah acak yang kita nyatakan dengan . Peubah acak seperti ini

  p

  dinamakan statistik. Jadi, statistik adalah setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu sampel acak.

  6.11 Rataan Sampel

  Definisi 6.4

  , x

  56

  7 ⁷        

     _{i i} ⁱ x

  X

  6.12 Median Sampel Definisi 6.5

  Jika x

  1

  2

  78

  ,...,x

  n

  menyatakan salpel acak ukuran n, diurutkan membesar menurut besarnya, maka median sampel ditentukan dengan statistik :

        



   _ ^ Jika genap n

  X X ganjil n jika

  X X

_{n n}

ⁿ

  68

  87

  Jika x

   _  ¹ Contoh 6.7:

  1

  , x

  2

  , ...,x

  n

  menyatakan sampel acak ukuran n, maka rataan sampel dinyatakan oleh statistik

  n x X ^{n i i}

  Pak Amir memeriksa sampel acak 7 nilai mahasiswa untuk mengetahui prestainya. Dia mencatat 56, 68, 78, 87, 45, 96, 55 hitunglah rataan sampel tersebut!

  

45

  Solusi n = 4, maka

  286 ,

  69

  7 485

  7

  55

  96

  

2

^{2 1 2}

²

¹

  Contoh 6.8:

  banyaknya kehadiran mahasiswa pada mata kuliah Statistik Matematika pada semester genap yang dipilih secara acak adalah 8, 3, 9, 5, 6, 8, dan 5. hitunglah Median data sampel tersbut!

  Solusi :

  Untuk mengihitungnya, maka data tersebut harus diurut dari kecil ke besar sebagai berikut 3 5 5 6 8 8 9, karena n = 7, maka median adalah X (7+1)/2 = 6 (X 4 , artinya data pada urutan ke-4).

  6.13 Modus Sampel Definisi 6.6

  Jika x , x ,...,x , tidak perlu semuanya berbeda, menyatakan

  1 2 n

  suatu sampel acak ukuran n, maka modus M adalah nilai sampel yang paling sering muncul ataupun yang frekuensinya paling tinggi. Modus mungkin tidak ada, dan kalaupun ada mungkin tidak tunggal.

  Contoh 6.9:

  Jika sumbangan suatu sampel acak penduduk Kelurahan Pancor pada suatu musibah tanah longsor adalah 9, 10, 5, 9, 9, 7, 8, 6, 10 dan 11 ribu rupiah, maka modusnya adalah M = Rp. 9.000,- karena nilai yang paling sering muncul adalah 9 ribu rupiah.

  Contoh 6.10:

  Banyaknya judul buku yang dibaca bulan lalu oleh suatu sampel acak 12 mahasiswa Pendidikan Matematika STKIP di perpustakaan Jurusan dalam sehari tercatat sebagai berikut 2, 0, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1, dan 4. Dalam kasus ini terdapat dua modus, yaitu 2 dan 4 , sebab 2 dan 4 muncul paling sering. Distribusi seperti ini disebut dwimodus.

  Contoh 6.11:

  Kadar nikotin suatu sampel acak dari 6 batang rokok merek tertentu adalah 2; 2,7; 2,5; 2,9; 3,1; dan 1,9. distribusi seperti ini tidak mempunyai modus, sebab tiap pengukuran hanya muncul sekali (sama frekuensi kemunculannya).

  6.14 Rentangan Definisi 6.7

  Rentangan dari sampel x

  1 , x 2 , ...,x n , didefinisikan sebagai

  statistik X terbesar - X terkecil dari terkecil suatu pengamatan

  Contoh 6.12:

  IQ suatu sampel acak dari 5 penghuni suatu asrama mahasiswa adalah 108, 112, 127, 118, dan 113. tentukan rentangannya !

  Solusi x = 127 dan x = 108, maka rentangannya = 127-108 = 19 terbesar terkecil

6.15 Keragaman (variansi) dalam sampel

  Definisi 6.8

  Jika x , x ,...,x , sampel acak ukuran n, maka variansi

  1 2 n

  (keragaman) sampel didefinisikan sebagai statistik _{n 2}

  ( x X ) _i  ₂  _{i  1} S  n

  1  Contoh 6.13:

  Data sampel 4 orang mahasiswa yang diambil nilainya secara acak pada ujian statistik matematika adalah sebagai berikut: 67, 78, 56, dan 86, hitunglah variansi sampelnya!

  Solusi

  67

  78

  56 86 287    X

71 ,

  75    _{4 2}

  4

  4 _{2 2 2 2} ( x x ) ( 67 71 , 75 ) (

  

78

71 , 75 ) ( 56 , 75 ) (

  86 71 , 75 ) _i          _{i  1}

   25 , 5625  39 , 0625  248 , 0625  203 , 0625 512 , 75  _{n 2}

  ( x X ) _i  

  Jadi 512 , _{2 i  1}

  

75

S 170 , 917    n

  1

  3 

  Teorema 6.7

2 Jika S variansi sampel acak ukuran n, maka dapat ditulis

  _{n n 2   2}

  n x x _{i   i  2 i }   _{1 i  1}  

  S  n n 1 )

  ( 

  Bukti : Menurut definisi _{n n n n 2 2 2 2 2}

  ( x X ) ( x

  

2

X x X ) x

  2 X x n

  X _{i i i i i}      ₂

   

_{i  1 i  1 i  1 i  1} S    n 1 n 1 n

  1    _n x _i

  

  Dengan mengganti

  X dengan dengan mengalikan _{i 1} n

  penyebut dan pembilang dengan n, maka diperoleh rumus perhitungan yang lebih teliti, yakni : _{n n 2   2}

  n x x _{i  i }  _{2 i }   _{1 i  1}  

  S  n n 1 )

  ( 

  6.16 Simpangan Baku (standar Deviasi) Definisi 6.9

  Simpagan baku sampel, dinyatakan dengan S, didefinisikan sebagai akar positif variansi sampel.

  Contoh 6.14:

  Hitunglah simpangan baku dari contoh nilai mahasiswa di atas

  Solusi : ₂

  maka S

  17 , 017 12 , 074 .

  S 170 , 017   

  6.17 Distribusi Sampel Definisi 6.10

  Distribusi peluang suatu statistik disebut distribusi sampel. Simpangan baku distribusi sampel suatu statistik disebut galat baku dari statistik tersebut.

  6.18 Distribusi sampel dari Rataan Teorema 6.8

  Jika

  X rataan sampel acak ukuran n diambil dari populasi ₂ 

  yang terdistribusi normal dengan rataan dan variansi

  

  yang berhingga, maka statistik

  X  

  Z  n

  

  akan terdistribusi normal dengan rataan 0 dan varians 1

  Bukti:

  x  

  X ~ n ( x , , )  z  ~ n ( z , , 1 )    x  X  E ( X ) E ( X )

  Untuk   x  . Karena      _{n X x X}

    x

    _i

_n



  1

  1 _{i  1}       E (

  X )  E  E x  E x  x   x   i   _X ^{1 2 n }

  



  n n n

_{i }

₁

        

    

1  x  x  x

_{1 2 n} E ( x ) E ( x )  E ( x )

  

     

   ^{1 2 n   x}

  n n

  Jadi x 

  X   ₂   _{X 2 2 2}  E [( X  ) ]  E (

X )  [ E (

X )]   _{x n n X 2 2}  

        x x

    i    i      _{i  1 i  1}

        E  E 

          n n

               

        _{n n 2 2}   1 1      

  E x E x         _{2 i}

_{2 i}

 

    n n _{i  1 i  1}

            _{n n 2 2}

     

 

1    

     E x  E x ₂   i    i 

 

 

    n i _{ } ^{1 i}

¹

            _{2 n}    _{ i x 2 2 2 2}

           _{i  1} 1 x x x _{1 2 n  x}      ₂   n n n n _{2 2}  

        

  Jadi Sehingga diperoleh _{X X}

  n n X 

   X  _X  x  X  z  

  , teorema 6.8 terbukti

    _X n

  Contoh 6.15:

  Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umumnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 400 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata- rata kurang dari 755 jam.

  Solusi :

  Secara hampiran normal, distribusi sampel

  X akan normal  800 .

    _{X  X} 40 / 16 

  10

  dengan dan Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada gambar di bawah ini. Nilai z yang berpadanan dengan

  X = 755 adalah 775 800 

  Z 2 ,

  5    P ( X 755 ) p ( Z 2 , 5 ) , 0062 .

  dan     

10 Contoh 6.16 :

  Diketahui populasi yang berdistribusi seragam diskret

  1  x , 1 , 2 ,

  3   f ( x )

   

  4 untuk x lainnya

   

  hitunglah peluang bahwa sampel acal berukuran 36, dipilih dengan pengembalian, akan menghasilkan sampel lebih besar dari 1,4 tetapi lebih kecil dari 1,8 bila rataan diukur (dibulatkan) sampai persepuluhan terdekat.

  Solusi:

  Rataan variansi distribusi seragam dihitung dengan menggunakan rumus pada teorema di atas, dan diperoleh

  1

  2

  3

  3      

  dan

  4

  2

  4

  1 0894 , 559 , 5 .

  5 ² ₂   n ^X

  



 Dengan mengambil

  akarnya diperoleh simpangan baku

  559 ,  _X 

  . Peluang bahwa

  

X lebih besar dari 1,4 tetapi kurang dari 1,8 diberikan oleh luas

  daerah yang diarsir pada gambar di atas. Keduanya nilai Z yang berpadanan dengan x

  1

  = 1,45 dan x

  2

  =1,75 adalah 4472 .

  559 , 5 , 1 75 ,

  1 45 ,

  dan variansi .

  1 _{1 1}   

      z z

  5163 , , 9099 3936 , )

( 27 . )

  34 , 1 ( ) 34 ,

  1 ( 27 , ) 75 ,

  1 45 , 1 ( 

              

  Z P Z p Z P

  X P Teorema 6.9

  Bila sampel bebas ukuran n

  1

  dan n

  2

  16

  3  _X 

  5

      

  4

  2

  3

  3

  2

  3

  2

  2

  3

  1

  2

  3 ^{2 2 2 2} ₂     

        

  2

     

      

       

   

Gambar 6.1 Kurva normal dengan

  2

  3  

  dan

  4

  5  

  Distribusi sampai

  X dapat dihampiri distribusi normal dengan

  rataan

  diambil secara acak dari dua populasi, diskret atau kontinu, masing-masing dengan rataan _{2 2}

    _{1 dan 2 dan variansi}

_{1 dan}

_{2 maka distribusi sampel}

 

  dari selisih rataan ^{1 dan 2 berdistribusi hampir normal}

  X X

  rataan dan variansi diberikan oleh _{2   1 2 2 2}

     _{x  1 x}

_{2 dan   sehingga statistik}

^{1   2} _{x 1 x  2} n n _{1 2} X _{1 }

  X _{2  }  

   ^{1 2 }   z

   _{2 2}

  terdistribusi normal dengan rataan 0

   ^{1  2}  n n _{1 2} dan varians 1.

  Bukti: x

  X ¹ X ² Jika       _{1 2 X 1  X 2 1 2}

         

 E ( x ) E ( ₂ X ₂ X ) E ( ₂ X ) E ( ₂ X )  ^{1  2  } ₂ ^{1  2} ₂

   E ( x  )  E ( x )  E ( x )  E

  X ^{1 }

  X ^{2  E (}

  X ^{1 }

  X ^{2 )}  

         

   _{1 2 1 2 2 2}

₁

 _{2 2} E

  X

2 X

  X X E ( X ) E ( X )     

      _{1 2 1 2 2 2}

₁

_{2 1 2 2 2} E

  X

2 X

  X X E (

X )

  2 E ( X ) E ( X ) E ( X )          

      _{1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2} E

  X

  2 E

  X X E

  

X E (

X )

  2 E ( X ) E ( X ) E ( X )        

          _{1 2 1 2 1}

₂

_{1 2 2 2 2 2} E

  X E ( X )

  2 E

  X X

  2 E ( X ) E ( X ) E

  X E ( X )      

          _{1 2 1 2 1}

₂

_{1 2 2 2}   _{2 2}

  2 E

  X X 

  2 E (

  X X )  E X  E ( X )  

   E X  E ( X ) 

          _{1 2 1 2} E

  X E

  X E

  X E

  X              _{X 1 X 2 2}         _{2  1  2 2 2}

        _{X 1 X 2 2  1  2} n n _{1 2 2  2 1  2}

₂

₂

      

  Jadi

  n n n n _{1 2 1}

₂ Akibatnya

  x

  X X

  X X  ^{1  2   1  2  }     

   ^{1 2   1 2 }     z

     _{2 2 2 2}      _{1 2 1 2}

 

n n n n

_{1 2 1 2} X _{1 }

  X _{2  }  

   ^{1 2 }   z

   _{2 2} Jadi  ^{1  2}  n n _{1 2} Contoh 6.17:

  Suatu sampel berukuran n =15 diambi secara acak dari populasi

  1 ₂  

  50

  yang berdistribusi normal dengan rataan ^{1 dan variansi}

   ¹

  = 9, dan rataan sampel dihitung. Sampel acak kedua berukuran n

  2

  = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang jug ₂

   

  40

  berdistribusi normal, dengan rataan ^{2 dan variansi =4,} _{1 2}  ²

   X 

  dan rataan sampel dihitung. Hitunglah P (

  X 8 , 2 ) Solusi :

  50

  40