LAMPIRAN X BAHAN AJAR
181
LAMPIRAN X
BAHAN AJAR
Nama Sekolah
: SMPN 2 Nan Sabaris
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas / Semester
: VIII / II
Materi Pokok
: Peluang
Tahun Pelajaran
: 2016 / 2017
Jumlah Pertemuan
: 5 × Pertemuan / 13×40 Menit JP
A. Kompetensi Dasar
3.13Menjelaskan peluang emprik dan teoritik suatu kejadian dari suatu
percobaan.
4.8 Melaukan percobaan untuk menemukan peluang empirik dari masalah nyata
serta membandingkan dengan pelunag teoritik.
B. Indikator
3.13.1 Memahami pengertian dari ruang sampel, titik sampel, peluang suatu
kejadian.
3.13.2 Memahami peluang teoritik dari data luaran yang mungkin diperoleh dari
sekelompok data
3.13.3 Memahami peluang empirik dan memahami hubungan antara peluang
emprik dengan peluang teoritk.
3.13.4 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan denga frekuensi
harapan peluang suatu kejadian dan peluang complemen suatu kejadian.
4.8.1
Mampu melaukan percobaan untuk mengetahui pelung empirik dari suatu
kejadian dan membandingkan peluang empirik dan peluang teoritik
C. Tujuan Pembelajaran
1. Setelah mempelajari materi peluang, peserta didik diharapkan dapat
memengetahui apa itu ruang sampel, titik sampel dan peluang suatu kejadian.
182
2. Setelah mempelajari materi peluang, peserta didik diharapkan dapat
melakukan percobaan untuk mengetahui peluang empirik dari suatu kejadian
3. Setelah mempelajari materi peluang dan melakukan percobaan emprik,
peserta didik diharapkan data membandingkan peluang emprik suatu
percobaan dengan peluang teoritiknya.
4. Melalui diskusi diharapkan peserta didik mampu melakukan percobaan untuk
mengetahui peluang empirik dari suatu kejadian dan penerapan dalam
kehidupan sehari-hari.
5. Melalui diskusi diharapkan peserta didik mampu membandingkan peluang
empirik suatu percobaan dengan peluang teoritiknya dan penerapan dalam
kehidupan sehari-hari.
6. Setelah mempelajari materi peluang dan melakukan percobaan emprik dan
teortik peserta didik mampu menetukan frekuensi harapan peluang suatu
kejadian dan peluang complemen suatu kejadian.
183
BAHAN AJAR
PERTEMUAN PERTAMA
PELUANG SUATU KEJADIAN
1.
Pemgertian Peluang
Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran
tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian
atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu
pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan
dinamakan hasil atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang
berarti ilmu kemungkinan.
Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik
dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan
0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1
berarti peristiwa tersebut pasti terjadi. Peluang disebut juga probabilitas yang
berarti ilmu kemungkinan didalam peluang dikenal ruang sampel dan titik
sampel.
2. Menentuka Tiik Sampel Dan Ruang Sampel
Hasil dari percobaan disebut kejadin atau titik sampel . jika suatu
percobaan dilakukan berulang-ulang maka kan memperoleh semesta dari
percobaan yang disebut ruang sampel, dilambangkan dengan ܵ. Jadi , ruang
sampel adalah himpunan dari seluruh hasil suatu kejadian jadi dapat
disimpulkan :Titik sampel merupakan hasil dari percobaan dan ruang sampel
adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
Ruang sampel biasa dinotasikan dengan ࡿ.
Contoh 1 :
Suatu percobaan melempar satu mata uang logam . Ruang sampelnya adalah
ࡿ = (, ࡳ)
184
Contoh 2 :
Suatu percobaan mengambil satu buah kartu dari enam buah kartu yang diberi
nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,5,6).
Untuk menuliskan ruang sampel dari suatu percobaan dapat dilakukan
dengan cara :
a. Mendaftarkan anggota- anggotanya
b. Digram pohon
c. Membuat tabel
3. Menentukan Peluang Suatu Kejadian (peluang teoritik)
Peluang teoritik disebut juga dengan peluang klasik, dalam beberapa
bahasan juga disebut peluang saja. Jika terdapat suatu soal yang hanya
menyebutkan “peluang “ maka peluang yang dimaksud adalah peluang
teoritik.
Peluang teoritik merupakan rasio dari hasil yang dimaksud dengan
semua hasil yang mungkin pada satu eksprimen tunggal. Dalam suatu
eksperimen, himpunan semua hasil tunggal yang mungkin disebut ruang
sampel, sedangkan setiap hasil tunggal yang mungkin pada ruang sampel
disebut titik sampel.
Kejadian adalah bagian dari ruang sampel ܵ. Suatu kejadian ܣdapat
terjadi jika memuat titik sampel dan ruang sampel. Misalkan ݊()ܣ
menyatakan banyak titik sampel kejadian ܣ, dan ݊(ܵ) adalah semua titik
sampel pada ruang sampel ܵ. Pelunag teoritik kejadian, yaitu ܲ()ܣ
dirumuskan ,
ࡼ() =
()
(࢙)
Keterangan :
= )ܣ(Peluang suatu kejadian
݊( = )ܣBanyak hasil yang diharapkan
݊(ܵ) =Jumlah hasil yang mungkin
185
Peluang teoritik suatu kejadian ditentukan oleh banyaknya titik sampel
kejadian yang dimaksud dan ruang sampel suatu eksperimen. Oleh karna itu,
sebelum menentukan peluang teoritik suatu percobaan, terlebih dahulu
menentukan ruang sampel dan tituk sampel.
Contoh sebuah percobaan
Contoh soal :
1. Banyak ruang sampel dari pelemparan dua buah dadu adalah
Jawab :
H/P
1
2
3
4
5
6
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3
3,1
3,2
3,3
3.4
3,5
3,6
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
S ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),
(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),
(4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3),
(6,4), (6,5), (6,6)}.
186
n(S) = 36
Jadi, banyak anggota titik sempel pada tabel diatas adalah 36.
2. Bila tiga buah uang logam dilemparkan sekaligus maka banyaknya ruang
sampel adalah
Jawab :
(ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, ) ܩܩܩ
Jadi ݊(ܵ) = 8
3. Tiga buah mata uang logam dilempar Ani. Banyak kejadian muncul
muncul dua angka dan satu gambar adalah
Jawab :
Tiga buah mata uang logam dilempar Ani, kejadian yang muncul adalah
ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, ܩܩܩ. Banyak kejadian muncul
dua angka dan satu gamab (2A, I G) dan tentukan peluang kejadiannya
adalah
݊( = )ܣ3
Banyak ruang sampel adalah 8
Peluang keajadian muncul dua angka dan satu gambar adalah
= ܲ (= )ܣ
ଷ
=଼
()
(௦)
4. Jika sebuah dadu dilemparkan, berapakah peluang muncul :
a. Mata dadu 3
b. Mata dadu ganjil
c. Mata dadu prima
d. Mata dadu lebih dari tiga
e. Mata dadu kelipatn 3
187
Jawab :
Ada 6 hasil yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, ݀ܽ݊ 6
a. Mata dadu 3
ܲ( mata dadu 3) =
b. Mata dadu ganjil
ଵ
ଷ
ܲ(mata dadu ganjil ) = =
c. Mata dadu prima
ଷ
ଵ
ଶ
ଵ
ܲ(mata dadu prima ) = = ଶ
d. Mata dadu lebih dari tiga
ଷ
ܲ(݉ܽ= = ) ܽ݉݅ݎ ݑ݀ܽ݀ ܽݐ
e. Mata dadu kelipatn 3
ଵ
ଶ
ଶ
ܲ(݉ܽ ݊ܽݐ݈݅݁݇ ݑ݀ܽ݀ ܽݐ3 ) = =
ଵ
ଷ
5. Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya
mata dadu yang berangka ganjil !
Jawab:
Ruang sampel ܵ = {1,2,3,4,5,6}
݊(ܵ) = 6
Mata dadu ganjil = {1,3,5}
݊(ܵ) = 3
ଷ
ଵ
maka P(K) = = ଶ
6. Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, coba tentukan peluang
munculnya angka genap pada dadu pertama dan angka ganjil pada dadu
kedua!
Jawab :
misalkan A = kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama =
{2,4,6} maka P(A) =
ଷ
188
misalkan B = kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu
kedua = {3,5} maka P(B) =
ଶ
7. Sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. bila diambil dua
buah bola satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang
bola yang terambil adalah bola merah pada pengambilan pertama dan bola
hijau pada pengambilan kedua !
Jawab :
Pada pengambilan pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada.
maka P(M) =
ହ
ଽ
Pada pengambilan kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan
syarat bola merah telah terambil).
maka P(H/M) =
ସ
଼
8. Sebuah dadu di lempar 1 kali . tentukan peluang muncul angka ganjil !
penyelesaian
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } n(S) = 6
Jika A kejadian munculnya angka ganjil maka :
A = { 1 , 3 , 5 } n(A) = 3
P (A) =
()
(௦)
ଷ
= =
ଵ
ଶ
Jadi kejadian munculnya angka ganjil adalah
ଵ
ଶ
189
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KEDUA
MENEMUKAN KONSEP PELUANG EMPIRIK
1. Pengertian dari peluang emprik
Peluang emprik merupakan rasio dari hasil yang dimaksud dengan semua
hasil yang mungkin pada suatu eksprimen lebih dari satu.Dalam suatu percobaan
dimana setiap hasil memunyai peluang yang sama untuk muncul, maka peluang
munculnya hasil yang dimaksud adalah
=
௬ ௦ ௬ ௗ௦௨ௗ
௬௬ ௦௨ ௦ ௬ ௨
= ࢌ() =
()
ࡹ
Keterangan :
= )ܣ(Peluang suatu kejadian
݊( = )ܣBanyak kali muncul kejadin ܣ
ܯ
= menyakatak banyak kali percobaan
Contoh :
Suatu ketika ameliya, Budi, Citra, Dana, Erik, dan Fitri mendapat tugas kelompok
dari gurunya untuk menemukan peluang emprik suatu percobaan. Mereka
melakukan percobaan dengan mengelindingkan satu dadu sebanyak 120
kali.mereka
membagi
tugas
untuk
mencatat
kemunculan
pengelindingan.
Ameliya bertugas mencatat setiap mata dadu “1” yang muncul .
Budi bertugas mencatat setiap mata dadu “2” yang muncul .
Citra bertugas mencatat setiap mata dadu “3” yang muncul.
Dana bertugas mencatat setiap mata dadu “4” yang muncul .
Erik bertugas mencatat setiap mata dadu “5” yang muncul .
Fitri bertugas mencatat setiap mata dadu “ 6 ” yang muncul .
dadu
hasil
190
Setelah mengelinding sebanyak 120 kali, mereka merekap caatan
mereka dalm suatu tabel
Kita dapat membuat diagram yang menyanjikan peluang emprik suatu
kejadian
191
Soal latihan :
1. Pada percoabaan pengelindingan dadu sebnayak 100 kali, mata dadu “3” muncul
sebnayak 30 kali. Berapakah peluang empriknya?
Jawab :
= ࢌ() =
=
=
ଷ
ଷ
()
ࡹ
ଵ
ଵ
2. Pada percobaan pengentosan dua koin uang logam sebnayak 100 kali,muncul
pasangan mata koint sama sebanyak 25 kali. Brapakah peluang emprik ?
= ࢌ() =
=
=
ଶହ
ଵ
ଵ
ସ
()
ࡹ
192
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KETIGA
MEMBANDINGKAN PELUANG TEORITIK DENGAN
PELUANG EMPIRIK
Hubungan peluang s teoritik dengan peluang empirik dapat dijelaskan melalui
contoh dari pelemparan sebuah dadu .
Contoh :
Peluang teoritik adalah peluang munculnya angka 1 pada sebuah mata dadu
yang dilempar sebanyak satu kali. Secara teori peluangnya adalah 1/6. Karena cuma
ada 6 kemungkinan yang bisa terjadi dan keenam kemungkinan kejadian itu memiliki
peluang yang sama besar
Peluang empiris adalah peluang yang didasari dari hasil statistik percobaan.
Dadu yang dilempar bisa saja memiliki peluang yang berbeda antara empiris dan
teoritis, misalnya kalau dadu tersebut sudah tidak berbentuk sempurna sehingga ada
kecenderungan menuju ke suatu angka.
Untuk mengetahui peluang empiris kita harus melakukan percobaan yang
banyak, misalnya untuk menentukan peluang keluar angka 1 pada mata dadu, kita
coba lempar 1000 kali. Kemudian kita hitung berapa kali angka 1 itu muncul. Jika
dalam 1000 kali percobaan ternyata muncul sebanyak 200 kali, maka peluang empiris
ଶ
ଵ
munculnya mata dadu tersebut adalah ଵ = ହ
Jadi dapat disimpulkan bahwasanya perbandingan antara pelung teoritik dan
peluang emprik tidak jauh berbeda.
193
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KEEMPAT
MENGHITUNG FREKUENSI HARAPAN DAN PELUANG KOMPLEMEN
SUATU KEJADIAN DARI SUATU KEJADIAN.
A. Pengertian Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang terjadi dikalikan dengan
peunag kejadian tersebut. Pada peluang A dilakukan sebanyak ݊ ݈݇ܽ݅, maka
frekuensi harapannya adalah ܨ = ݊ ܲ()ܣ
Soal latihan :
1. Dilakukan percobaan pelemparan 3 buah mata uang logam sekaligus sebnayak
240 kali pelemparan tentuka frekuensi harapan dari pelemparan tersebut
muncul 2 gambar dan 1 angka
Jawab :
ܵ = {ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, } ܩܩܩ
݊(ܵ) = 8
݊(ܩܩܣ{ = )ܣ, ܩܣܩ, }ܣܩܩ
݊( = )ܣ3
ܲ(= )ܣ
ଷ
଼
ଷ
Jadi adalah ܨ = × 240 = 90 kali
଼
2. Tiga keping mata uang logam yang sama dilemparbersama-sama sebanyak 40
kali. Frekuensi harapan agarmunculnya 2 gambar di sebelah atas adala
Jawab :
P(dua gambar satu angka) = 1/4, maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
=
ଵ
ସ
= 10
× 40
194
3. Dari 60 kali pelemparan sebuah dadu, maka frekuensiharapan munculnya
mata dadu faktor dari 6 adalah …
Jawab :
P(faktor dari 6) = = maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
ଶ
= ଷ × 60
= 40
4. Dari 900 kali percobaan lempar undi dua buah dadubersama-sama, frekuensi
harapan muncul mata dadu berjumlah 5 adalah …
Jawab :
P(mata dadu berjumlah 5) = 4/36 = 1/9 maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
=
ଵ
ଽ
× 900
= 100
5. Jika sebuah dadu dilempar 36 kali, maka frekuensiharapan muncul mata dadu
bilangan prima adalah
Jawab :
ଵ
P(bilangan prima) = ଶ maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
=
ଵ
ଶ
x 36
= 18
6. Dalam setiap hari diperkirakan bahwa kemungkinan seorang anak terlambat
masuk les adalah 0,05. Dari 300 anak berapa anak, berapa banyak
diperkirakan anak terlambat les ?
195
Penyelesaian :
Diketahui : P( = )ܣBanyak anak diperkirakan terlambat les
P(A) = 0,05
M
= 300
Ditanya : Fh (A) = ?
jawab
:
Fh(A)
= P(A) × M
= 0,05 × 300
= 15
B. Peluang komplemen suatu kejadian ܣdi tulis ܲ()ܥܣ, dimana
Jika ܵ himpunan berhingga dan kejadian ܣmerupakan himpunan bagian dari ܵ
maka banyaknya kejadian ܣberkisar antara 0 dan Jadi nilai peluang berkisar
diantara 0 dan 1. Peluang kejadian ܣatau ܲ( )ܣseperti disamping
a. Jika kedian A peluangnya 0, ܲ( = )ܣ0, dikatakan ܣadalah kejadian yang
mustahil terjadi.
b. Jika Jika kedian A peluangnya 1, ܲ( = )ܣ1, dikatakan ܣadalah kejadian yang
pasti terjadi.
c. Jika Jika kedian yang buka A maka peluang ܣadalah ܲ ( = )ܣ1 − ܲ()ܣ
Contoh :
1. Peluang seorang anak terkena penyakit demam adalah 0,40. Berapa peluang
seorang anak tidak terkena penyakit demam?
Penyelesaian :
P(tidak terkena penyakit demam)
= 1 – P(terkena penyakit demam)
= 1 – 0,40
= 0,6
196
2. Dari pelemparan 3 logam yang dilakukan sekaligus, tentukanlah peluang
munculnya paling sedikit 1 angka dari pelemparan uang logam tersebut ?
Jawab : ܵ = {ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, } ܩܩܩ
Maka ݊ (ܵ) = 8
Disini kita misalkan kejadian muncul satu angka yaitu ܣ
ܲ(= )ܥܣ
ଵ
଼
ଵ
ܲ( = )ܣ1 − =
଼
଼
197
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KELIMA
MENGERJAKAN SOAL YANG BERKAITAN DENGAN MATERI PELUANG
DAN MEMBAHAS SOAL YANG BELUM DIMERTI TENTANG
MATERI PELUANG
1. Berikut ini peryataan yang memiliki nilai peluang nol adalah…
a. Ayam melahirkan
b. Bumi berbentuk datar
c. Setiap siswa memdapat peringkat 1 dikelasnya
d. Bilangan genap yang habis dibagi 2
Jelaskan jawabanmu
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
............................................................................................
2. Banyak runag sampel dari pelemparan dua buah dadu adalah
a. 6
b. 12
c. 36
d. 216
Jelaskan jawabanmu
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
198
3. Bila tiga uang logam dilempar seakligus maka banyaknya ruang sampel adalah
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
4. Dalam sebuah kantong terdapat 2 bola merah,3 bola hijau dan 5 bola kuning. Jika
sebuah bola diambil secara acak, maka peluang terambil bola berwarna hijau
adalah …
a.
b.
c.
d.
ଵ
ଵ
ଷ
ଵ
ଵ
ଷ
ଷ
Jelasakan jawabanmu
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
199
5. Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadu bernomr 1
sebanyak 16 kali. Frekuensi relatitf (peluang emprik ) munculnya muka dadu
bernomor 1 adalah
a. 0.16
b. 0.32
c. 0.42
d. 0.64
Jelaskan jawabanmu
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
.................................................................................................................................
6. Dari 900 kali percobaan dua buah dadu bersama-sama, frekuensi harapan muncul
mata dadu berjumlah 5 adalah peluang kejadian mata dadu berjumlah 5 adalah….
a. 300
b. 225
c. 180
d. 100
Jelaskan jawabanmum
..................................................................................................................................
.................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
LAMPIRAN X
BAHAN AJAR
Nama Sekolah
: SMPN 2 Nan Sabaris
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas / Semester
: VIII / II
Materi Pokok
: Peluang
Tahun Pelajaran
: 2016 / 2017
Jumlah Pertemuan
: 5 × Pertemuan / 13×40 Menit JP
A. Kompetensi Dasar
3.13Menjelaskan peluang emprik dan teoritik suatu kejadian dari suatu
percobaan.
4.8 Melaukan percobaan untuk menemukan peluang empirik dari masalah nyata
serta membandingkan dengan pelunag teoritik.
B. Indikator
3.13.1 Memahami pengertian dari ruang sampel, titik sampel, peluang suatu
kejadian.
3.13.2 Memahami peluang teoritik dari data luaran yang mungkin diperoleh dari
sekelompok data
3.13.3 Memahami peluang empirik dan memahami hubungan antara peluang
emprik dengan peluang teoritk.
3.13.4 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan denga frekuensi
harapan peluang suatu kejadian dan peluang complemen suatu kejadian.
4.8.1
Mampu melaukan percobaan untuk mengetahui pelung empirik dari suatu
kejadian dan membandingkan peluang empirik dan peluang teoritik
C. Tujuan Pembelajaran
1. Setelah mempelajari materi peluang, peserta didik diharapkan dapat
memengetahui apa itu ruang sampel, titik sampel dan peluang suatu kejadian.
182
2. Setelah mempelajari materi peluang, peserta didik diharapkan dapat
melakukan percobaan untuk mengetahui peluang empirik dari suatu kejadian
3. Setelah mempelajari materi peluang dan melakukan percobaan emprik,
peserta didik diharapkan data membandingkan peluang emprik suatu
percobaan dengan peluang teoritiknya.
4. Melalui diskusi diharapkan peserta didik mampu melakukan percobaan untuk
mengetahui peluang empirik dari suatu kejadian dan penerapan dalam
kehidupan sehari-hari.
5. Melalui diskusi diharapkan peserta didik mampu membandingkan peluang
empirik suatu percobaan dengan peluang teoritiknya dan penerapan dalam
kehidupan sehari-hari.
6. Setelah mempelajari materi peluang dan melakukan percobaan emprik dan
teortik peserta didik mampu menetukan frekuensi harapan peluang suatu
kejadian dan peluang complemen suatu kejadian.
183
BAHAN AJAR
PERTEMUAN PERTAMA
PELUANG SUATU KEJADIAN
1.
Pemgertian Peluang
Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran
tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian
atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu
pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan
dinamakan hasil atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang
berarti ilmu kemungkinan.
Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik
dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan
0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1
berarti peristiwa tersebut pasti terjadi. Peluang disebut juga probabilitas yang
berarti ilmu kemungkinan didalam peluang dikenal ruang sampel dan titik
sampel.
2. Menentuka Tiik Sampel Dan Ruang Sampel
Hasil dari percobaan disebut kejadin atau titik sampel . jika suatu
percobaan dilakukan berulang-ulang maka kan memperoleh semesta dari
percobaan yang disebut ruang sampel, dilambangkan dengan ܵ. Jadi , ruang
sampel adalah himpunan dari seluruh hasil suatu kejadian jadi dapat
disimpulkan :Titik sampel merupakan hasil dari percobaan dan ruang sampel
adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
Ruang sampel biasa dinotasikan dengan ࡿ.
Contoh 1 :
Suatu percobaan melempar satu mata uang logam . Ruang sampelnya adalah
ࡿ = (, ࡳ)
184
Contoh 2 :
Suatu percobaan mengambil satu buah kartu dari enam buah kartu yang diberi
nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,5,6).
Untuk menuliskan ruang sampel dari suatu percobaan dapat dilakukan
dengan cara :
a. Mendaftarkan anggota- anggotanya
b. Digram pohon
c. Membuat tabel
3. Menentukan Peluang Suatu Kejadian (peluang teoritik)
Peluang teoritik disebut juga dengan peluang klasik, dalam beberapa
bahasan juga disebut peluang saja. Jika terdapat suatu soal yang hanya
menyebutkan “peluang “ maka peluang yang dimaksud adalah peluang
teoritik.
Peluang teoritik merupakan rasio dari hasil yang dimaksud dengan
semua hasil yang mungkin pada satu eksprimen tunggal. Dalam suatu
eksperimen, himpunan semua hasil tunggal yang mungkin disebut ruang
sampel, sedangkan setiap hasil tunggal yang mungkin pada ruang sampel
disebut titik sampel.
Kejadian adalah bagian dari ruang sampel ܵ. Suatu kejadian ܣdapat
terjadi jika memuat titik sampel dan ruang sampel. Misalkan ݊()ܣ
menyatakan banyak titik sampel kejadian ܣ, dan ݊(ܵ) adalah semua titik
sampel pada ruang sampel ܵ. Pelunag teoritik kejadian, yaitu ܲ()ܣ
dirumuskan ,
ࡼ() =
()
(࢙)
Keterangan :
= )ܣ(Peluang suatu kejadian
݊( = )ܣBanyak hasil yang diharapkan
݊(ܵ) =Jumlah hasil yang mungkin
185
Peluang teoritik suatu kejadian ditentukan oleh banyaknya titik sampel
kejadian yang dimaksud dan ruang sampel suatu eksperimen. Oleh karna itu,
sebelum menentukan peluang teoritik suatu percobaan, terlebih dahulu
menentukan ruang sampel dan tituk sampel.
Contoh sebuah percobaan
Contoh soal :
1. Banyak ruang sampel dari pelemparan dua buah dadu adalah
Jawab :
H/P
1
2
3
4
5
6
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3
3,1
3,2
3,3
3.4
3,5
3,6
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
S ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),
(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),
(4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3),
(6,4), (6,5), (6,6)}.
186
n(S) = 36
Jadi, banyak anggota titik sempel pada tabel diatas adalah 36.
2. Bila tiga buah uang logam dilemparkan sekaligus maka banyaknya ruang
sampel adalah
Jawab :
(ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, ) ܩܩܩ
Jadi ݊(ܵ) = 8
3. Tiga buah mata uang logam dilempar Ani. Banyak kejadian muncul
muncul dua angka dan satu gambar adalah
Jawab :
Tiga buah mata uang logam dilempar Ani, kejadian yang muncul adalah
ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, ܩܩܩ. Banyak kejadian muncul
dua angka dan satu gamab (2A, I G) dan tentukan peluang kejadiannya
adalah
݊( = )ܣ3
Banyak ruang sampel adalah 8
Peluang keajadian muncul dua angka dan satu gambar adalah
= ܲ (= )ܣ
ଷ
=଼
()
(௦)
4. Jika sebuah dadu dilemparkan, berapakah peluang muncul :
a. Mata dadu 3
b. Mata dadu ganjil
c. Mata dadu prima
d. Mata dadu lebih dari tiga
e. Mata dadu kelipatn 3
187
Jawab :
Ada 6 hasil yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, ݀ܽ݊ 6
a. Mata dadu 3
ܲ( mata dadu 3) =
b. Mata dadu ganjil
ଵ
ଷ
ܲ(mata dadu ganjil ) = =
c. Mata dadu prima
ଷ
ଵ
ଶ
ଵ
ܲ(mata dadu prima ) = = ଶ
d. Mata dadu lebih dari tiga
ଷ
ܲ(݉ܽ= = ) ܽ݉݅ݎ ݑ݀ܽ݀ ܽݐ
e. Mata dadu kelipatn 3
ଵ
ଶ
ଶ
ܲ(݉ܽ ݊ܽݐ݈݅݁݇ ݑ݀ܽ݀ ܽݐ3 ) = =
ଵ
ଷ
5. Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya
mata dadu yang berangka ganjil !
Jawab:
Ruang sampel ܵ = {1,2,3,4,5,6}
݊(ܵ) = 6
Mata dadu ganjil = {1,3,5}
݊(ܵ) = 3
ଷ
ଵ
maka P(K) = = ଶ
6. Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, coba tentukan peluang
munculnya angka genap pada dadu pertama dan angka ganjil pada dadu
kedua!
Jawab :
misalkan A = kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama =
{2,4,6} maka P(A) =
ଷ
188
misalkan B = kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu
kedua = {3,5} maka P(B) =
ଶ
7. Sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. bila diambil dua
buah bola satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang
bola yang terambil adalah bola merah pada pengambilan pertama dan bola
hijau pada pengambilan kedua !
Jawab :
Pada pengambilan pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada.
maka P(M) =
ହ
ଽ
Pada pengambilan kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan
syarat bola merah telah terambil).
maka P(H/M) =
ସ
଼
8. Sebuah dadu di lempar 1 kali . tentukan peluang muncul angka ganjil !
penyelesaian
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } n(S) = 6
Jika A kejadian munculnya angka ganjil maka :
A = { 1 , 3 , 5 } n(A) = 3
P (A) =
()
(௦)
ଷ
= =
ଵ
ଶ
Jadi kejadian munculnya angka ganjil adalah
ଵ
ଶ
189
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KEDUA
MENEMUKAN KONSEP PELUANG EMPIRIK
1. Pengertian dari peluang emprik
Peluang emprik merupakan rasio dari hasil yang dimaksud dengan semua
hasil yang mungkin pada suatu eksprimen lebih dari satu.Dalam suatu percobaan
dimana setiap hasil memunyai peluang yang sama untuk muncul, maka peluang
munculnya hasil yang dimaksud adalah
=
௬ ௦ ௬ ௗ௦௨ௗ
௬௬ ௦௨ ௦ ௬ ௨
= ࢌ() =
()
ࡹ
Keterangan :
= )ܣ(Peluang suatu kejadian
݊( = )ܣBanyak kali muncul kejadin ܣ
ܯ
= menyakatak banyak kali percobaan
Contoh :
Suatu ketika ameliya, Budi, Citra, Dana, Erik, dan Fitri mendapat tugas kelompok
dari gurunya untuk menemukan peluang emprik suatu percobaan. Mereka
melakukan percobaan dengan mengelindingkan satu dadu sebanyak 120
kali.mereka
membagi
tugas
untuk
mencatat
kemunculan
pengelindingan.
Ameliya bertugas mencatat setiap mata dadu “1” yang muncul .
Budi bertugas mencatat setiap mata dadu “2” yang muncul .
Citra bertugas mencatat setiap mata dadu “3” yang muncul.
Dana bertugas mencatat setiap mata dadu “4” yang muncul .
Erik bertugas mencatat setiap mata dadu “5” yang muncul .
Fitri bertugas mencatat setiap mata dadu “ 6 ” yang muncul .
dadu
hasil
190
Setelah mengelinding sebanyak 120 kali, mereka merekap caatan
mereka dalm suatu tabel
Kita dapat membuat diagram yang menyanjikan peluang emprik suatu
kejadian
191
Soal latihan :
1. Pada percoabaan pengelindingan dadu sebnayak 100 kali, mata dadu “3” muncul
sebnayak 30 kali. Berapakah peluang empriknya?
Jawab :
= ࢌ() =
=
=
ଷ
ଷ
()
ࡹ
ଵ
ଵ
2. Pada percobaan pengentosan dua koin uang logam sebnayak 100 kali,muncul
pasangan mata koint sama sebanyak 25 kali. Brapakah peluang emprik ?
= ࢌ() =
=
=
ଶହ
ଵ
ଵ
ସ
()
ࡹ
192
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KETIGA
MEMBANDINGKAN PELUANG TEORITIK DENGAN
PELUANG EMPIRIK
Hubungan peluang s teoritik dengan peluang empirik dapat dijelaskan melalui
contoh dari pelemparan sebuah dadu .
Contoh :
Peluang teoritik adalah peluang munculnya angka 1 pada sebuah mata dadu
yang dilempar sebanyak satu kali. Secara teori peluangnya adalah 1/6. Karena cuma
ada 6 kemungkinan yang bisa terjadi dan keenam kemungkinan kejadian itu memiliki
peluang yang sama besar
Peluang empiris adalah peluang yang didasari dari hasil statistik percobaan.
Dadu yang dilempar bisa saja memiliki peluang yang berbeda antara empiris dan
teoritis, misalnya kalau dadu tersebut sudah tidak berbentuk sempurna sehingga ada
kecenderungan menuju ke suatu angka.
Untuk mengetahui peluang empiris kita harus melakukan percobaan yang
banyak, misalnya untuk menentukan peluang keluar angka 1 pada mata dadu, kita
coba lempar 1000 kali. Kemudian kita hitung berapa kali angka 1 itu muncul. Jika
dalam 1000 kali percobaan ternyata muncul sebanyak 200 kali, maka peluang empiris
ଶ
ଵ
munculnya mata dadu tersebut adalah ଵ = ହ
Jadi dapat disimpulkan bahwasanya perbandingan antara pelung teoritik dan
peluang emprik tidak jauh berbeda.
193
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KEEMPAT
MENGHITUNG FREKUENSI HARAPAN DAN PELUANG KOMPLEMEN
SUATU KEJADIAN DARI SUATU KEJADIAN.
A. Pengertian Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang terjadi dikalikan dengan
peunag kejadian tersebut. Pada peluang A dilakukan sebanyak ݊ ݈݇ܽ݅, maka
frekuensi harapannya adalah ܨ = ݊ ܲ()ܣ
Soal latihan :
1. Dilakukan percobaan pelemparan 3 buah mata uang logam sekaligus sebnayak
240 kali pelemparan tentuka frekuensi harapan dari pelemparan tersebut
muncul 2 gambar dan 1 angka
Jawab :
ܵ = {ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, } ܩܩܩ
݊(ܵ) = 8
݊(ܩܩܣ{ = )ܣ, ܩܣܩ, }ܣܩܩ
݊( = )ܣ3
ܲ(= )ܣ
ଷ
଼
ଷ
Jadi adalah ܨ = × 240 = 90 kali
଼
2. Tiga keping mata uang logam yang sama dilemparbersama-sama sebanyak 40
kali. Frekuensi harapan agarmunculnya 2 gambar di sebelah atas adala
Jawab :
P(dua gambar satu angka) = 1/4, maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
=
ଵ
ସ
= 10
× 40
194
3. Dari 60 kali pelemparan sebuah dadu, maka frekuensiharapan munculnya
mata dadu faktor dari 6 adalah …
Jawab :
P(faktor dari 6) = = maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
ଶ
= ଷ × 60
= 40
4. Dari 900 kali percobaan lempar undi dua buah dadubersama-sama, frekuensi
harapan muncul mata dadu berjumlah 5 adalah …
Jawab :
P(mata dadu berjumlah 5) = 4/36 = 1/9 maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
=
ଵ
ଽ
× 900
= 100
5. Jika sebuah dadu dilempar 36 kali, maka frekuensiharapan muncul mata dadu
bilangan prima adalah
Jawab :
ଵ
P(bilangan prima) = ଶ maka
Fh = P(A) x banyak percobaan
=
ଵ
ଶ
x 36
= 18
6. Dalam setiap hari diperkirakan bahwa kemungkinan seorang anak terlambat
masuk les adalah 0,05. Dari 300 anak berapa anak, berapa banyak
diperkirakan anak terlambat les ?
195
Penyelesaian :
Diketahui : P( = )ܣBanyak anak diperkirakan terlambat les
P(A) = 0,05
M
= 300
Ditanya : Fh (A) = ?
jawab
:
Fh(A)
= P(A) × M
= 0,05 × 300
= 15
B. Peluang komplemen suatu kejadian ܣdi tulis ܲ()ܥܣ, dimana
Jika ܵ himpunan berhingga dan kejadian ܣmerupakan himpunan bagian dari ܵ
maka banyaknya kejadian ܣberkisar antara 0 dan Jadi nilai peluang berkisar
diantara 0 dan 1. Peluang kejadian ܣatau ܲ( )ܣseperti disamping
a. Jika kedian A peluangnya 0, ܲ( = )ܣ0, dikatakan ܣadalah kejadian yang
mustahil terjadi.
b. Jika Jika kedian A peluangnya 1, ܲ( = )ܣ1, dikatakan ܣadalah kejadian yang
pasti terjadi.
c. Jika Jika kedian yang buka A maka peluang ܣadalah ܲ ( = )ܣ1 − ܲ()ܣ
Contoh :
1. Peluang seorang anak terkena penyakit demam adalah 0,40. Berapa peluang
seorang anak tidak terkena penyakit demam?
Penyelesaian :
P(tidak terkena penyakit demam)
= 1 – P(terkena penyakit demam)
= 1 – 0,40
= 0,6
196
2. Dari pelemparan 3 logam yang dilakukan sekaligus, tentukanlah peluang
munculnya paling sedikit 1 angka dari pelemparan uang logam tersebut ?
Jawab : ܵ = {ܣܣܣ, ܩܣܣ, ܣܩܣ, ܣܣܩ, ܩܩܣ, ܩܣܩ, ܣܩܩ, } ܩܩܩ
Maka ݊ (ܵ) = 8
Disini kita misalkan kejadian muncul satu angka yaitu ܣ
ܲ(= )ܥܣ
ଵ
଼
ଵ
ܲ( = )ܣ1 − =
଼
଼
197
BAHAN AJAR
PERTEMUAN KELIMA
MENGERJAKAN SOAL YANG BERKAITAN DENGAN MATERI PELUANG
DAN MEMBAHAS SOAL YANG BELUM DIMERTI TENTANG
MATERI PELUANG
1. Berikut ini peryataan yang memiliki nilai peluang nol adalah…
a. Ayam melahirkan
b. Bumi berbentuk datar
c. Setiap siswa memdapat peringkat 1 dikelasnya
d. Bilangan genap yang habis dibagi 2
Jelaskan jawabanmu
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
............................................................................................
2. Banyak runag sampel dari pelemparan dua buah dadu adalah
a. 6
b. 12
c. 36
d. 216
Jelaskan jawabanmu
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
198
3. Bila tiga uang logam dilempar seakligus maka banyaknya ruang sampel adalah
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
4. Dalam sebuah kantong terdapat 2 bola merah,3 bola hijau dan 5 bola kuning. Jika
sebuah bola diambil secara acak, maka peluang terambil bola berwarna hijau
adalah …
a.
b.
c.
d.
ଵ
ଵ
ଷ
ଵ
ଵ
ଷ
ଷ
Jelasakan jawabanmu
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
199
5. Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadu bernomr 1
sebanyak 16 kali. Frekuensi relatitf (peluang emprik ) munculnya muka dadu
bernomor 1 adalah
a. 0.16
b. 0.32
c. 0.42
d. 0.64
Jelaskan jawabanmu
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
.................................................................................................................................
6. Dari 900 kali percobaan dua buah dadu bersama-sama, frekuensi harapan muncul
mata dadu berjumlah 5 adalah peluang kejadian mata dadu berjumlah 5 adalah….
a. 300
b. 225
c. 180
d. 100
Jelaskan jawabanmum
..................................................................................................................................
.................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................