BAB IV. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT - 4. Sistem persamaan linier dan kuadrat
BAB IV. SISTEM PERSAMAAN
Cara penyelesaian SPLTV lebih mudah dengan
LINEAR DAN KUADRAT
menggunakan metoda gabungan (eliminasi dan substitusi)
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Persamaan Linear: Variabel (SPLKDV)
1. Persamaan linear satu variabel : y = ax + b Æ bentuk linear 2 ax + b = 0 dengan a ≠ y = px + qx + r Æ bentuk kuadrat
2. Persamaan linear dua variabel ax + by = c dengan a dan b ≠
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
y = ax + bx + c 2 y = px + qx + r a x + b y = c 1 1 1 a x + b y = c 2 2 2 Cara penyelesaian SPLKDV dan SPK lebih mudah dengan menggunakan metoda substitusi yaitu dengan a , a , b , b , c , c ∈ R 1 2 1 2 1 2 mensubtitusi persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya.
Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan
:
1. Metoda Grafik
a. Menggambar grafik dengan metoda titik potong sumbu b. Bila kedua garis berpotongan pada satu titik didapat sebuah anggota yaitu (x,y) c. Bila kedua garis sejajar (tidak berpotongan maka) maka tidak didapat angota himpunan penyelesaian
d. Bila kedua garis berimpit maka didapat himpunan penyelesaian yang tak terhingga
2. Metoda Substitusi Menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain
3. Metoda Eliminasi Menghilangkan salah satu variabel
4. Metoda Eliminasi – Substitusi Menggabungkan metoda Eliminasi dan Substitusi
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
a x + b y + c z = d 1 1 1 1 a x + b y + c z = d 2 2 2 2 a x + b y + c z = d 3 3 3 3
4. SOAL-SOAL PERSAMAAN LINEAR
EBTANAS 2002
DAN KUADRAT
2. Jika suatu sistem persamaan linear: ax + by = 6 2ax +3by = 2
EBTANAS2000
1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan mempunyai penyelesaian x = 2 dan y =- 1, maka 2 2
6
3 ⎧ a + b = …
- =
21 ⎪⎪ x y adalah {(x , y ) } ⎨
A. 200 B.174 C. 265 D.164 E.110
7
4 ⎪
− =
2 ⎪
x y
⎩ jawab: Nilai 6. x . y = …..
Substitusikan nilai x=2 dan y=1 ke dalam persamaan:
1
1 A.
B.
C. 1 D. 6 E. 36
a. 2 - b.1 = 6
6
5 2. a. 2 - 3.b.1 = 2 jawab:
Soal-soal seperti ini pemecahannya menggunakan metoda eliminasi a substitusi dan eliminasi.
2. a - b = 6 |x 4| 8.a - 4. b = 24 4. a - 3b = 2 |x 2| 8.a - 6.b = 4 - eliminasi y : 2b = 20
6
3
24
12 21 | x 4 | =
- =
84 b = 10
x y x y
7
4
21
12 substitusikan nilai b = 10 − = | x 3 | + 2 − =
6
x y x y
45 2.a - b = 6
- + 0 = 90
2a – 10 = 6
x
2a = 16 a = 8 bisa + atau – (agar bisa mengeliminasi)
45 2 2 2 2
=
90 sehingga a + b = 8 + 10 = 164
x
⇔ 45 = 90 .x jawabannya adalah D
1 x =
2 EBTANAS2002
6
3
3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan = + Substitusikan ke persamaan
21
x y
6
3
3
x y
⎧
- = +
12 =
21
z
- 21 ⇔
− =
7 ⎪
1
y y
3
2
2
x
3 y z ⎪⎪
- − = − 6 adalah {x,y,z}
⎨
3
4
2
2 ⇔ = 9
⎪
y x y z
⎪ − − =
1 ⎪
3
1
6
4
3 ⎩
⇔ y = =
9
3
1 1 Nilai x – y – z = …. sehingga 6. x . y = 6 . . = 1
2
3 A. 7 B. 5 C. -1 D. -7 E. -13 jawabannya adalah C
⇔ x 2 + 2x + 1-6x + 2 = 0 ⇔ x 2 - 4x + 3 = 0
5
4. Jika x , y , z penyelesaian sistem persamaan
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = +
− = − = +
1
3
2
2 y x z y z x maka x + y + z = ….
x 24 ⇒ 4x – 6y – 8z = 24 ….(3) Pers (1) dan (2) Æ eliminasi x (kebetulan bisa langsung dikurang karena nilai x sama) 2x +3y – 6z = 42 2x – 12y + 4z = -48 15y – 10z = 90 ….(4) Pers (1) dan (3) Æ eliminasi x 2x +3y – 6z = 42 x 4 ⇒ 8x + 12y – 24z = 168 4x – 6y – 8z = 24 x 2 ⇒ 8x - 12y – 16z = 48 24y - 8z = 120 24y - 8z = 120 :8 ⇒ 6y – z = 30 ….(5) Pers (4) dan (5) Æ eliminasi y 15y – 10z = 90 x6 ⇒ 90y - 60z = 540 6y - z = 30 x15 ⇒ 90y - 30z = 450 -
A. -4 B. -1 C. 2 D. 4 E. 6 jawab: 2x + z = 5 ….(1) y – 2z = -3 …(2) x + y =1 …(3) Pers (1) dan (2) (eliminasi z) 2x + z = 5 x2 ⇒ 4x + 2z = 10 x , y y – 2z = -3 x1 ⇒ y - 2z = -3 + x , y
4x + y = 7 ….(4) pers (3) dan (4) (eliminasi y) (bisa langsung dikurang) x + y = 1 4x + y = 7 -
5. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x 2 + 2x + 1 dan y = 6x – 2 adalah:
A. {(1,-4), (3,-16)} D. {(2,3), (3,16)}
B. {(-1,-4), (-3,-16)} E. {(0,1), (0,-2)}
C. {(1,4), (3,16)} Jawab: Substitusikan y = 6x – 2 ke da;am persamaan kuadrat: 6x – 2 = x 2 + 2x + 1
Jawabannya adalah B EBTANAS1998
z y x
jawab:
2
7
2
3 = − + z
y x
x 6 ⇒ 2x +3y – 6z = 42 …(1)
6
2
6 = − −
3
4 − = + −
z y x
x8 ⇒ 2x – 12y + 4z = -48 ….(2)
1
3
4
- 3x = -6 x = 2 masukkan nilai x =2 ke pers (1) 2x + z = 5 ⇒ 4 + z =5 z =1 Masukkan nilai z=1 ke pers (2) y – 2z = -3 ⇒ y – 2 = -3 y = -1 didapat x = 2, y = -1 dan z =1 maka x + y + z = 2 – 1 + 1 = 2 jawabannya adalah C EBTANAS2002 SMK
- 30z = 90 z = -3 substitusikan z = -3 ke pers (4) 15y – 10z = 90 ⇒ 15y +30 = 90 15y = 60 y = 4 substitusikan y=4 dan z=-3 ke pers (1) 2x +3y – 6z = 42 ⇒ 2x + 12 +18 = 42 2x = 12 x = 6 Sehingga x – y – z = 6 – 4 –(-3) = 5
UN2005 ⇔ (x - 3 ) (x – 1 ) = 0
7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan x = 3 atau x = 1
⎧
1
1
1 = + +
6 Masukkan nilai x ke salah satu persamaan: ⎪ x y z
⎪
2
2
1 ⎪ − = + 3 adalah {(x,y,z)}, Nilai dari (x+2y+3z)=…
Jika x = 1 maka y = 6x -2 = 6-2 = 4
⎨ x y z
⎪
jika x = 3 maka y = 6.3 – 2 = 16
3
1
2 ⎪ − = +
7 ⎪ x y z
didapat himpunan penyelesaian {(1,4), (3,16)} ⎩ Jawabannya adalah C
A. 14 B.12 C. 3 D.1 E.0 EBTANAS 2003 SMK
6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan jawab: = + x y
5
1
1
1 ⎧
= + + 6 ….(1) adalah ⎨ 2 2
- x y z x y =
17 ⎩
2
2
1 − = + 3 ….(2)
A. {(-3,2), (-2,3)} D. {(-4,1), (2,3)}
x y z
B. {(1,-4), (4,-1)} E. {(4,1), (1,4)}
3
1
2 − + = 7 ….(3)
C. {(-4,1), (-1,4)}
x y z
Jawab: Pers (1) dan (2) Æeliminasi x
1
1
1
2
2
2
x
- y = 5 ..(1) 2 2<
- = = + 6 x2 ⇒
12
x y z x y z x + y =
17 …(2)
2
2
1
2
2
1 = + − − = + 3 x1 ⇒
3
x y z x y z
Dari (1)
3 = 9
z
y = 5 –x …(3)
3
1 z = =
9
3 substitusikan ke (2) 2 2 2 2 (kebetulan y juga ikut tereliminasi)
x (
5 − x ) = 17 ⇔ x 2 + + + 25 − 10 x x =
17 2 x − x = +
10 8 pers (1) dan (3) (2x - 2 ) (x – 4) = 0
1
1
1
3
3
3
- = = 6 x 3 ⇒
18 didapat x = 1 atau x = 4
x y z x y z
3
1
2
3
1
2 − + = + − =
Masukkan ke (3) 7 x 1 ⇒
7
x y z x y z
jika x=1 maka y = 5 –x = 5 – 1 = 4
- jika x = 4 maka y = 5-4 = 1
1 Himpunan penyelesaiannya adalah {(1,4), (4,1)} 4 + = 11 …(4)
y z
Jawabannya adalah E Masuikkan nilai z ke (4)
1
1 4 + 4 + = 11 ⇔ = 11
y z y
1 /
3 C. 49 tahun jawab: perhatikan kata-katanya dengan teliti !! misal umur ayah = x umur Budi = y x – 7 = 6 (y-7) ⇒ x – 7 = 6y - 42 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 ⇒ 2x +8 = 5y+20 +9 x – 7 = 6y - 42 ⇒ x – 6y = -35 ….(1) 2x +8 = 5y+20 +9 ⇒ 2x – 5y = 21 ….(2)
B. 43 tahun E. 78 tahun
⇒ x = 1 sehingga (x+2y+3z)= 1 + 2.
1 = + +
x
6
5
1 = +
x
1 1 =
x
2
3
1 + 3.
3
1 = 3 jawabannya adalah C
UN2006
8. Jika (x , y , z ) memenuhi sistem persamaan linear berikut 2x + y – 3x = -11 x + 2y + z = 4 3x – 3y + 2z = 25 maka nilai x adalah: A. -6 B. -3 C.1 D. 3 E. 6 jawab: 2x + y – 3z = -11 …..(1) x + 2y + z = 4 …..(2) 3x – 3y + 2z = 25 …..(3) Pers (1) dan (2) Æ eliminasi x 2x + y – 3z = -11 x1 ⇒ 2x + y – 3z = -11 x + 2y + z = 4 x2 ⇒ 2x + 4y +2z = 8 -
3x – 3y + 2z = 25 x2 ⇒ 6x – 6y +4z = 50 - 9y – 13 z = -83 ..(5) pers (4) dan (5) Æ eliminasi y 3y + 5z = 19 x9 ⇒ 27y + 45z = 171 9y – 13 z = -83 x3 ⇒ 27y - 39z = -249 - 84z = 420 z = 5 Masukkan nilai z ke (4) 3y + 5z = 19 ⇒ 3y + 25 = 19 3y = -6 y = -2 masukkan nikai y dan z ke (1) 2x + y – 3z = -11 ⇒ 2x – 2 – 15 = -11 2x = -11 + 17 2x = 6 x = 3 jawabannya adalah D UN2005
9.Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…
A. 39 tahun D. 54 tahun
2
6
3 4 +
1
y
= 11
y
4 = 8 ⇒ y =
2
1 Masukkan nilai y dan z ke (1)
6
1
1 = + +
x
z y x
⇒
6 3 /
1
1 2 /
1
1
1 = + +
- 3y -5z = -19 3y + 5z = 19 ..(4) Pers (1) dan (3) Æ eliminasi x 2x + y – 3z = -11 x3 ⇒ 6x +3y – 9z = -33
- 7y = -91 y = 13 masukkan nilai y ke (1) x – 6y = -35 ⇒ x – 78 = -35 x = 78 -35 = 43 jawabannya adalah B catatan: x – 7 = 6 (y-7) Æ kondisi 7 tahun yang lalu antara umur ayah dan Budi (masing-masing umur dikurang 7 tahun) 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 Æ kondisi 4 tahun yang akan datang, umur ayah dan Budi masing-masing ditambah 4 tahun
EBTANAS1999
10. Lia membeli 2 buah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp.1400. Pada tempat yang sama Mety membeli 3 buah kue A san 4 kue B dengan harga Rp.1950. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 kue B kemudaian ia membayar dengan selembar uang Rp.1000, maka uang yang dikembalikan adalah…
A. Rp.250 C. Rp. 350 E. 550
B. Rp.300 D. Rp. 450 jawab: Dari soal dapat dibuat persamaan linearnya:
2A + 3B = 1400 ….(1)
3A + 4B = 1950 (2) Pers (1) dan (2)
2A + 3B = 1400 x 3 ⇒ 6A + 9B = 4200
3A + 4B = 1950 x 2 ⇒ 6A + 8B = 3900 - B = 300 masukkan nilai B ke (1)
2A + 3B = 1400 ⇒ 2A + 3 . 300 = 1400
2A = 1400 – 900
2A = 500 A = 250 Yang ditanyakan: A + B = 1000 – kembalian kembalian = 1000 – (300+250) = 1000 – 550 = Rp.. 450 Jawabannya adalah D