MINGGU KE III IV
MINGGU KE- III:
UKURAN NILAI SENTRAL
Tujuan Instruksinal Umum : 1.
Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan nilai sentral 2. Mahasiswa memahami guna dari perhitungan nilai sentral 3. Mahasiswa dapat memahami berbagai jenis cara perhitungan nilai sentral atau ukuran pemusatan
4. Mahasiswa dapat memahami perbedaan ukuran nilai sentral untuk data yang dikelompokkan dan untuk data yang tidak dikelompokkan
Tujuan Instruksional Khusus: 1.
Mahasiswa dapat menghitung nilai rata-rata data yang dikelompokkan maupun data yang tidak dikelompokkan
2. Mahasiswa mampu menghitung nilai median untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan
3. Mahasiswa mampu menghitung nilai modus untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan
4. Mahasiswa mampu membedakan rata-rata aritmatika, rata-rata harmoni dan rata-rata geometrik serta rata-rata kuadrat.
5. mahasiswa mampu menggunakan aplikasi komputer untuk menghitung berbagai ukuran nilai sentral
MACAM NILAI SENTRAL 1.
Rata-rata 2. Median 3. Mode 4. Rata-rata ukur (geometric mean) 5. Rata-rata harmoni 6. Rata-rata Kuadrat A.
RATA-RATA HITUNG (ARITMETHIC MEAN) Rata-rata meruakan hasil bagi dari sejumlah nilai dengan banyaknya responden atau sample. Perhitungan mean merupakan perhitungan yang sederhan, karena hanya membutuhkan jumlah nilai dan jumlah responden (n). Jika sebaran nilai berdistribusi normal, maka rata-rata nilai meruoakan nilai tengah dari distribusi frekuensi nilai tersebut.
Rata-rata dalam suatu rangkaian data adalah jumlah seluruh data dibagi dengan seluruh kejadian.
Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :
X
X N
Dimana ;
X = X bar yang merupakan notasi rata-rata
= Sigma = jumlah
X = nilai dari keseluruhan data N = jumlah data Contoh : Berikut ini adalah jumlah saudara kandung dari 5 mahasiswa yang dipilih secara acak, yaitu ; 2; 4; 6; 8; 10.
6
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
50 3255
65
f.Xi = 3255 Dari hasil diatas didapat : 1 ,
378 N = 50
670,5 591,5
138 267 436 774
4 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5
7
9
12
8
6
4
Frekuensi x Nilai tengah
5
Gaji karyawan (kelas) Jumlah Karyawan (frekuensi)
Nilai Tengah
(Xi) .
X
N Xi f
Cari Nilai tengah untuk setiap kelas 2. Kalikan nilai tengah dengan frekuensi 3. Hitung rata-rata dengan menggunakan rumus
perhitungan adalah sebagai berikut : 1.
X Apabila data yang ada sudah dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi, maka cara
2
4
6
8
10
X
B. MEDIAN
7
Maka didapat median adalah pada data yang ke-25. Data yang ke-25
50 Tentukan letak median, letak median ditentukan dengan N/2
46
39
30
18
10
4
4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
Median merupakan skor yang membagi distribusi frekuensi menjadi dua sama
besar ( 50% obyek yang diteliti terletak dibawah median dan 50% sisanyaterletak
diatas median) a.Untuk data tidak dikelompokkan Langkah yang dilakukan adalah dengan cara :
12
8
6
4
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’
Untuk data dikelompokkan Siapkan table sebagai berikut
b.
2 N 1 Cari nilai median pada susunan tersebut Apabila datanya genap, maka untuk mencari median yang terletak diantara 2 nilai, harus dicari rata-rata nya.
Urutkan data dari nilai yang terkecil Cari letak median, dengan rumus :
9
Hitung median dengan rumus ;
Mode atau modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Cara perhitungan Modus adalah sebagai berikut : a.
Cari kelompok yang memiliki frekuensi tertinggi, dalam hal ini kelas ke- 4 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12.
4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
7
9
12
8
6
4
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah
Tampilkan table berikut
Untuk data yang tidak dikelompokkan Cari Nilai yang paling sering muncul dari kumpulan data NIlai yang paling sering muncul itu adalah modus b. Untuk data yang dikelompokkan
N Tepikelas Me
3 ,
f Fk
2
59
50 5 ,
2
18
12
59
25 5 ,
18
12
65
C. MODE Mode adalah skor yang mempunyai frekuensi terbanyak dalam sekumpulan distribusi nilai. Dengan kata lain Mode atau Modus dianggap sebagai nilai yang menunjukkan nilai-nilai yang terkonsentrasi dari sekumpulan data.
d
1 Mo Li ci , dimana:
d
1 d
2 Li = Batas kelas modus D1 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya D2 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya Ci = interval.
Maka ; ( 12 8 )
40 Mo 59 , 5 10 59 , 5 65 ,
2 ( 12 8 ) ( 12 9 )
7 D.
RATA-RATA UKUR
Rata-rata ukur adalah akar pangkat n dari hasil perkalian datanya n
Mg X 1 X ......... 2 n
X E.
RATA-RATA HARMONI
Rata-rata harmoni adalah kebalikan dari rata-rata hitung
N Mh
1
X F.
RATA-RATA KUADRAT
Rata-rataadalah akar pangkat dua dari kuadrat nilai rata-ratanya 2 X
Mq N
G. PERBANDINGAN MODE, MEDIAN DAN MEAN
Mode merupakan kalukali yang paling sederhana dan paling fleksibel, karena dapat digunakan untuk seluruh skala pengukuran. Perhitungan Mean akan lebih baik jika disertai dnegan perhitungan Mode. Perbedaan nilai mean dan mode akan menggambarkan kondisi penyebaran data yang dihadapi.
Median memiliki kelebihan dibandingkan Mean jika data yang dianalisa terdapat skor atau nilai yang ekstrem, atau terdapat perbedaan yang sangat jauh antara data yang tertinggi dengan data yang terendah.
Latihan Soal :
MINGGU KE- Iv:
UKURAN LETAK
Tujuan Instruksional Umum : 1.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan ukuran letak 2. Mahasiswa mampu memahami berbagai macam mengukur nilai ukuran letak sekelompok data
3. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari mencari nilai ukuran letak 4.
Mahasiswa mampu memahami perbedaaan cara melakukan pengukuran letak untuk data yang dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan.
Tujuan Instruksional Khusus : 1.
Mahasiswa mampu menghitung letak dan nilai kuartil untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan
2. Mahasiswa mampu menghitung letak dan nilai desil untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan
3. Mahasisa mampu menghitung letak dan nilao prosentil untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan
4. Mahasiswa mampu menggunakan aplikasi komputer untuk mencari nilai Ukuran letak : kuartil, desil dan prosentil.
Pengertian Ukuran letak adalah rangkaian ukuran yang didasarkan letak dari suatu distribusi data. MACAM UKURAN LETAK A. KUARTIL Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama.
Cara perhitungan Kuartil : a.
Untuk data yang tidak dikelompokkan i.
Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil ii. Cari letak kuartil, dengan rumus : 1.
Kuartil 1 1 ( N 1 )
K
1
4 2. Kuartil 2 2 ( N
1 )
K
2
4 3. Kuartil 3 3 ( N
1 )
K
3
4 iii. Cari nilai kuartil pada susunan data tersebut
Contoh ; Carilah nilai kuartil pada rangkaian data berikut ini ; 2 4 3 3 6 5 7 Langkah : Susunan data : 1 3 3 4 5 6 7 Letak kuartil : 1 (
7 1 )
K
1 , terletak pada data yang ke-2
2
- 4
- 6
2 2
50
4
1 1
N K , kuartil satu terletak pada data yang ke-12,5
yaitu pada kelompok kelas ke-3 2. Kuartil 2
25
4
50
2
4
12
N K , kuartil dua terletak pada data yang ke-25,
yaitu pada kelompok kelas ke-4 3. Kuartil 3 5 ,
37
4
50
3
4
3
3
N K
4
Kuartil 1 5 ,
4 )
6
1 7 ( 2 2
K , Terletak pada data yang ke-4
4 )
1 7 ( 3 3
K , terletak pada data yang ke-6 Maka nilai K1 adalah 3, nilai K2 adalah 4 dan nilai K3 adalah 6.
b.
Untuk data yang dikelompokkan i.
Susun data seperti table berikut
Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
4
8
Cari letak kuartil, dengan rumus : 1.
12
9
7
4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
4
10
18
30
39
46
50 ii.
, kuartil ketiga terletak pada data yang ke iii.
Cari nilai kuartil dengan rumus 1.
Nilai Kuartil 1
N
Fk
4 Q li Ci 1 f 12 , 5
10 Q 49 ,
5
10 52 , 625 1
8 2. Nilai Kuartil 2
2 N Fk
4 Q li Ci 2
f
25
18 Q 2 59 , 5 10 65 ,
3
12 3. Nilai Kuartil 3
3 N Fk
4 Q li Ci 3 f 37 , 5
30 Q 3 69 , 5 10 77 ,
8
9 Dimana Li = Batas bawah letak kuartil N = Jumlah data Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak kuartil F = frekuensi pada letak kuartil B.
DESIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi data menjadi sepuluh (10) bagian sama besar. Cara perhitungan Desil: c.
Untuk data yang tidak dikelompokkan i.
Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil
1 ( N 1 )
D
1
10 2. Desil 5 5 ( N
1 )
D
5
10 3. Desil 9 9 ( N
1 )
D
9
10 iii. Cari nilai desil pada susunan data tersebut
Contoh ; Carilah nilai kuartil pada rangkaian data berikut ini ; 2 4 3 3 6 5 7 Langkah : Susunan data : 1 3 3 4 5 6 7 Letak desil : 1 (
7 1 ) 1 * , 8 , terletak pada data yang ke-2
D
10 5 ( 7 1 )
- 10 9 (
D
5 4 , Terletak pada data yang ke-4
7 1 ) 9 7 , D 2 * , terletak pada data yang ke-7
10 Maka nilai D1 adalah 2, nilai D5 adalah 4 dan nilai D9 adalah 7.
d.
Untuk data yang dikelompokkan i.
Susun data seperti table berikut
Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’
N D , kuartil ketiga terletak pada data yang ke
5 5
N D , kuartil dua terletak pada data yang ke-25,
yaitu pada kelompok kelas ke-4 3. Desil 9
45
10
50
9
10
9 9
45 yaitu pada kelompok kelas ke-7 iii. Cari nilai desil dengan rumus 1.
5
Nilai Desil 1 2 ,
41
10
4
5 5 ,
39
10 1 1
D Ci f Fk
10
50
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
39
4
6
8
12
9
7
4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
4
10
18
30
46
10
50 ii.
Cari letak desil, dengan rumus : 1.
Desil 1
5
10
50
10
1 1
N D , kuartil satu terletak pada data yang ke-5 yaitu
pada kelompok kelas ke-2 2. Desil 5
25
N D li
3 ,
N P 2.
N D li
Dimana Li = Batas bawah letak desil N = Jumlah data Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak desil F = frekuensi pada letak desil C.
PROSENTIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus (100) bagian sama besar Cara perhitungan Desil: e. Untuk data yang tidak dikelompokkan i.
Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil ii. Cari letak Prosentil, dengan rumus : 1.
Prosentil 1 100
) 1 (
1
1
Prosentil 50 100
) 1 (
50
50
N P 3.
Prosentil 99 100
) 1 (
99
99
D Ci f Fk
65
10
12
18
25 5 ,
59
10
5
5 5
D Ci f Fk
N D li
3. Nilai Desil 9 1 ,
88
10
7
39
45 5 ,
79
10
9
9 9
N P
- 4
9
1 1
50 100
Prosentil 1 5 , 100
Cari letak Prosentil, dengan rumus : 1.
50 ii.
46
39
30
18
10
4
4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
7
12
iii.
8
6
4
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’
Susun data seperti table berikut
Untuk data yang dikelompokkan i.
f.
P , Terletak pada data yang ke-4 Maka nilai P5 adalah 4.
1 7 ( 50 50
100 )
Carilah nilai prosentil pada rangkaian data berikut ini ; 2 4 3 3 6 5 7 Langkah : Susunan data : 1 3 3 4 5 6 7 Letak prosentil :
Contoh ;
Cari nilai prosentil pada susunan data tersebut
N P , kuartil satu terletak pada data yang ke-0,5
2. Prosentil 50
50 N 50
50 P
50 25 , kuartil dua terletak pada data yang ke- 100 100
25, yaitu pada kelompok kelas ke-4 3. Prosentil 99
99 N 99
50 P 99 49 , 5 , kuartil ketiga terletak pada data yang 100 100 ke 49,5 yaitu pada kelompok kelas ke-7 iii. Cari nilai Prosentil dengan rumus 1.
Nilai Prosentil 1
N
Fk 100
P li Ci 1 f
, 5
P 1 29 , 5 10 30 ,
75
4 2. Nilai Prosentil 50
50 N Fk
100
P li Ci 50 f
25
18 P 50 59 , 5 10 65 ,
3
12 3. Nilai Prosentil 99
99 N
Fk
100
P li Ci 99 f
49 , 5
46 P 89 ,
5
10 98 ,
25 99
4 Dimana Li = Batas bawah letak desil N = Jumlah data Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak prosentil F = frekuensi pada letak prosentil