Model Kartu Bilangan Positif dan Negatif
ADAKAH ALAT PERAGA UNTUK MEMPERMUDAH PEMAHAMAN SISWA
DALAM MEMPELAJARI OPERASI HITUNG PERKALIAN
BILANGAN BULAT?
Oleh: Pujiati*)
Pada tanggal 11 Maret 2011 penulis memperoleh copy carbon email dari teman
Widyaiswara PPPPTK Matematika untuk Ibu Marfuah Listyaningsih, alumni
diklat di PPPPTK Matematika. Melalui teman tersebut Ibu Marfuah menanyakan
tentang alat peraga yang dapat digunakan untuk mempermudah siswa dalam
memahami operasi hitung perkalian bilangan bulat.
Berdasarkan pertanyaan tersebut, maka pada kesempatan ini penulis akan
membahas tentang alat peraga yang dapat digunakan untuk membelajarkan
materi operasi hitung perkalian bilangan bulat. Alat peraga yang dimaksud ada
dua, yaitu: (1) model kartu bilangan positif dan negatif, dan (2) garis bilangan
bulat. Kedua alat tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan operasi hitung
perkalian bilangan bulat. Namun pada kesempatan kali ini penulis hanya akan
membahas tentang penggunaan alat peraga model kartu bilangan bulat positif
dan negatif. Adapun wujud alat peraga tersebut sejumlah kartu positif dan
negatif seperti gambar berikut.
++++
----
Model ini akan memberikan gambaran secara visual kepada siswa mengenai
operasi hitung perkalian bilangan bulat. Adapun aturan dalam penggunaan
model kartu positif dan negatif ini adalah sebagai berikut.
1.
+
-
Menunjukkan bilangan bulat positif 1
Menunjukkan bilangan bulat negatif –1
1
2. Model nol ditunjukkan oleh pasangan kartu positif dan negatif seprti gambar
berikut.
+
nol
+
+
-
-
dst.
nol
3. Operasi hitung perkalian bilangan bulat didefinisikan dengan menempatkan
model kartu dalam suatu tempat, dapat berbentuk lingkaran atau persegi
panjang, ataupun mengambil model kartu dari tempat yang ditentukan.
4. Bentuk perkalian 3 × 4 dapat dideskripsikan sebagai tiga kelompok yang
berisi 4-an. Bilangan pertama (3) sebagai operatornya, yang akan
menunjukkan apa yang harus dilakukan terhadap bilangan yang kedua (4).
a.
Jika operator bertanda positif, maka letakkan kartu positif atau negatif ke
dalam tempat (berbentuk persegi panjang) tersebut.
b.
Jika operator bertanda negatif, maka ambil sejumlah kartu positif atau
negatif dari persegi panjang sesuai yang ditunjukkan bilangan kedua
pada kalimat perkalian. Pada kasus ini, maka Anda harus meletakkan
pasangan nol ke dalam persegi panjang sampai memiliki kartu yang
cukup untuk diambil sesuai dengan instruksi.
Contoh 1: 2 × 3
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk persegi
panjang
2. Karena bilangan pertama (2) positif, maka 2 × 3
dapat diartikan: letakkan dua kelompok kartu
+
+
+
yang masing-masing berisi tiga kartu positif.
+
+
+
2
3. Berapakah kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
postif, artinya: 2 × 3 = 6
Contoh 2: 2 × (-3) = ....
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk persegi
panjang
2. Karena 2 positif, maka 2 × (-3) sama artinya
dengan meletakkan dua kelompok kartu yang
-
-
-
masing-masing berisi tiga kartu negatif.
-
-
-
3. Berapakah kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
negatif. Jadi 2 × (-3) = -6
Contoh 3: (-2) × 3 = ....
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk
persegi panjang
2. Karena
bilangan
pertama
(-2)
bernilai
negatif, maka (-2) × 3 dapat diartikan
sebagai pengambilan dua kelompok kartu
yang masing-masing berisi tiga kartu positif.
Namun tidak ada kartu positif yang dapat
diambil,
maka
letakkan
pasangan
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
nol
3
(pasangan kartu positif dan kartu negatif) di persegi panjang tersebut sampai
terdapat dua kelompok 3 kartu positif yang cukup untuk diambil. Kemudian
ambil kartu tersebut.
3. Berapakah sisa kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
negatif. Jadi (-2) × 3 = -6
Contoh 4: (-2) × (-3) = ....
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk
persegi panjang
2. Karena bilangan pertama (-2) bernilai negatif,
maka (-2) × (-3) dapat diartikan sebagai
pengambilan
masing-masing
dua
kelompok
berisi
tiga
kartu
kartu
yang
negatif.
Namun tidak ada kartu positif yang dapat
+
-
+
-
+
+
-
+
+
-
diambil, maka letakkan pasangan nol di
persegi panjang tersebut sampai terdapat
dua kelompok 3 kartu negatif yang cukup untuk diambil. Kemudian ambil
kartu tersebut.
3. Berapakah sisa kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
positif. Jadi (-2) × (-3) = 6
Apakah setiap menyelesaikan operasi hitung perkalian harus menggunakan
model kartu bilangan positif dan negatif? Meskipun dengan model kartu tersebut
memberikan rasa visual dan kinestetik tentang proses operasi hitung perkalian
pada siswa, namun tidak selamanya kita dapat menggantungkan pada
penggunaan model. Hal itu dikarenakan untuk operasi hitung perkalian bilangan4
bilangan yang besar tentu saja akan menyulitkan siswa sendiri. Oleh karena itu,
setelah siswa menggunakan model, siswa harus menyimpulkan dari apa yang
telah dilakukan dan belajar untuk melakukan operasi hitung perkalian hanya
dengan menggunakan simbol. Bagaimanapun sangat penting bagi siswa untuk
melihat hubungan antara apa yang dilakukan dengan model kartu tersebut dan
apa yang dilakukan siswa dengan simbol.
Akhirnya selamat mencoba penggunaan alat peraga model kartu bilangan positif
dan negatif untuk mempermudah pemahaman siswa tentang operasi hitung
perkalian.
Referensi
http://www.learner.org/courses/learningmath/number/session4/part_c/index.html.
diakses tanggal 11 Februari 2011.
5
*) Widyaiswara PPPPTK Matematika, Yogyakarta
6
DALAM MEMPELAJARI OPERASI HITUNG PERKALIAN
BILANGAN BULAT?
Oleh: Pujiati*)
Pada tanggal 11 Maret 2011 penulis memperoleh copy carbon email dari teman
Widyaiswara PPPPTK Matematika untuk Ibu Marfuah Listyaningsih, alumni
diklat di PPPPTK Matematika. Melalui teman tersebut Ibu Marfuah menanyakan
tentang alat peraga yang dapat digunakan untuk mempermudah siswa dalam
memahami operasi hitung perkalian bilangan bulat.
Berdasarkan pertanyaan tersebut, maka pada kesempatan ini penulis akan
membahas tentang alat peraga yang dapat digunakan untuk membelajarkan
materi operasi hitung perkalian bilangan bulat. Alat peraga yang dimaksud ada
dua, yaitu: (1) model kartu bilangan positif dan negatif, dan (2) garis bilangan
bulat. Kedua alat tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan operasi hitung
perkalian bilangan bulat. Namun pada kesempatan kali ini penulis hanya akan
membahas tentang penggunaan alat peraga model kartu bilangan bulat positif
dan negatif. Adapun wujud alat peraga tersebut sejumlah kartu positif dan
negatif seperti gambar berikut.
++++
----
Model ini akan memberikan gambaran secara visual kepada siswa mengenai
operasi hitung perkalian bilangan bulat. Adapun aturan dalam penggunaan
model kartu positif dan negatif ini adalah sebagai berikut.
1.
+
-
Menunjukkan bilangan bulat positif 1
Menunjukkan bilangan bulat negatif –1
1
2. Model nol ditunjukkan oleh pasangan kartu positif dan negatif seprti gambar
berikut.
+
nol
+
+
-
-
dst.
nol
3. Operasi hitung perkalian bilangan bulat didefinisikan dengan menempatkan
model kartu dalam suatu tempat, dapat berbentuk lingkaran atau persegi
panjang, ataupun mengambil model kartu dari tempat yang ditentukan.
4. Bentuk perkalian 3 × 4 dapat dideskripsikan sebagai tiga kelompok yang
berisi 4-an. Bilangan pertama (3) sebagai operatornya, yang akan
menunjukkan apa yang harus dilakukan terhadap bilangan yang kedua (4).
a.
Jika operator bertanda positif, maka letakkan kartu positif atau negatif ke
dalam tempat (berbentuk persegi panjang) tersebut.
b.
Jika operator bertanda negatif, maka ambil sejumlah kartu positif atau
negatif dari persegi panjang sesuai yang ditunjukkan bilangan kedua
pada kalimat perkalian. Pada kasus ini, maka Anda harus meletakkan
pasangan nol ke dalam persegi panjang sampai memiliki kartu yang
cukup untuk diambil sesuai dengan instruksi.
Contoh 1: 2 × 3
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk persegi
panjang
2. Karena bilangan pertama (2) positif, maka 2 × 3
dapat diartikan: letakkan dua kelompok kartu
+
+
+
yang masing-masing berisi tiga kartu positif.
+
+
+
2
3. Berapakah kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
postif, artinya: 2 × 3 = 6
Contoh 2: 2 × (-3) = ....
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk persegi
panjang
2. Karena 2 positif, maka 2 × (-3) sama artinya
dengan meletakkan dua kelompok kartu yang
-
-
-
masing-masing berisi tiga kartu negatif.
-
-
-
3. Berapakah kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
negatif. Jadi 2 × (-3) = -6
Contoh 3: (-2) × 3 = ....
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk
persegi panjang
2. Karena
bilangan
pertama
(-2)
bernilai
negatif, maka (-2) × 3 dapat diartikan
sebagai pengambilan dua kelompok kartu
yang masing-masing berisi tiga kartu positif.
Namun tidak ada kartu positif yang dapat
diambil,
maka
letakkan
pasangan
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
nol
3
(pasangan kartu positif dan kartu negatif) di persegi panjang tersebut sampai
terdapat dua kelompok 3 kartu positif yang cukup untuk diambil. Kemudian
ambil kartu tersebut.
3. Berapakah sisa kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
negatif. Jadi (-2) × 3 = -6
Contoh 4: (-2) × (-3) = ....
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Mulailah dengan tempat kartu berbentuk
persegi panjang
2. Karena bilangan pertama (-2) bernilai negatif,
maka (-2) × (-3) dapat diartikan sebagai
pengambilan
masing-masing
dua
kelompok
berisi
tiga
kartu
kartu
yang
negatif.
Namun tidak ada kartu positif yang dapat
+
-
+
-
+
+
-
+
+
-
diambil, maka letakkan pasangan nol di
persegi panjang tersebut sampai terdapat
dua kelompok 3 kartu negatif yang cukup untuk diambil. Kemudian ambil
kartu tersebut.
3. Berapakah sisa kartu yang ada pada persegi panjang? Ternyata ada 6 kartu
positif. Jadi (-2) × (-3) = 6
Apakah setiap menyelesaikan operasi hitung perkalian harus menggunakan
model kartu bilangan positif dan negatif? Meskipun dengan model kartu tersebut
memberikan rasa visual dan kinestetik tentang proses operasi hitung perkalian
pada siswa, namun tidak selamanya kita dapat menggantungkan pada
penggunaan model. Hal itu dikarenakan untuk operasi hitung perkalian bilangan4
bilangan yang besar tentu saja akan menyulitkan siswa sendiri. Oleh karena itu,
setelah siswa menggunakan model, siswa harus menyimpulkan dari apa yang
telah dilakukan dan belajar untuk melakukan operasi hitung perkalian hanya
dengan menggunakan simbol. Bagaimanapun sangat penting bagi siswa untuk
melihat hubungan antara apa yang dilakukan dengan model kartu tersebut dan
apa yang dilakukan siswa dengan simbol.
Akhirnya selamat mencoba penggunaan alat peraga model kartu bilangan positif
dan negatif untuk mempermudah pemahaman siswa tentang operasi hitung
perkalian.
Referensi
http://www.learner.org/courses/learningmath/number/session4/part_c/index.html.
diakses tanggal 11 Februari 2011.
5
*) Widyaiswara PPPPTK Matematika, Yogyakarta
6