Model Markov untuk Pengambilan Keputusan Medis
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Model Markov
Dalam teori probabilitas, model Markov adalah model stokastik yang digunakan
untuk memodelkan sistem yang berubah-ubah secara random di mana
diasumsikan bahwa kondisi masa depan tergantung hanya pada keadaan sekarang
dan bukan pada urutan peristiwa yang mendahuluinya (mengasumsikan properti
Markov). Umumnya, asumsi ini memungkinkan penalaran dan perhitungan, yang
jika menggunakan model lain mungkin akan lebih sulit diselesaikan.
Ada empat model Markov yang digunakan dalam situasi yang berbeda,
tergantung pada apakah setiap kondisi berurutan dapat diamati atau tidak, dan
apakah sistem ini terjadi secara acak atau kejadiannya dapat dikontrol. Berikut
adalah tabel yang menunjukkan beberapa model Markov berdasarkan situasinya.
Tabel 2.1 Model Markov berdasarkan Situasinya
Situasi
Dapat sepenuhnya
Dapat diamati secara parsial
diamati
Mandiri
Dikontrol
Markov Chain
Hidden Markov Model
Markov Decision Process
Partially Observable Markov
Decision Process
Dalam skripi ini penulis menggunakan Markov chain (rantai Markov), yaitu
proses acak yang mengalami transisi dari satu kondisi ke yang lain pada ruang
keadaan. Model Markov ini harus memiliki properti yang biasanya ditandai
sebagai "memoryless": distribusi probabilitas pada kondisi berikutnya tergantung
Universitas Sumatera Utara
hanya pada keadaan saat ini dan bukan pada urutan peristiwa yang
mendahuluinya. Jenis tertentu ini disebut properti Markov.
Analisis Markov hampir sama dengan decision analysis, bedanya adalah
decision analysis memberikan keputusan berupa rekomendasi sedangkan analisis
rantai markov tidak memberikan keputusan berupa rekomendasi. Analisis rantai
markov hanya memberikan informasi probabilitas mengenai situasi keputusan
yang dapat membantu proses pengambilan keputusan. Oleh karena itu, analisis
rantai markov bukanlah teknik optimisasi, melainkan teknik deskriptif yang
menghasilkan informasi probabilitas pada masa mendatang.
2.1.1
Rantai Markov
Rantai Markov (Markov Chain) adalah suatu model teoritis yang menerangkan
keadaan sebuah sistem pada suatu tahap tertentu. Model Markov menyediakan
cara yang lebih nyaman pemodelan prognosis untuk masalah klinis dengan resiko
yang sedang berlangsung untuk memperkirakan perubahan-perubahan pada waktu
yang akan datang (Sonnenberg, A.F, 2009).
Secara umum, rumus rantai markov adalah sebagai berikut:
|
|
Persamaan di atas disebut properti Markov. Jika P tidak bergantung pada n, maka
rantai Markov tersebut homogen. Jika kedua probabilitas terkondisi didefinisikan
dengan baik, contoh jika
|
. Jika nilai-nilai Xi
membentuk satu set countable S maka S itu disebut ruang keadaan dari rantai.
Proses Markov dikategorikan berdasarkan konstan atau tidak konstannya
probabilitas state-transisi dari waktu ke waktu. Dalam jenis yang paling umum
dari proses Markov, probabilitas transisi dapat berubah dari waktu ke waktu.
Sebagai contoh, probabilitas transisi untuk transisi dari BAIK untuk MATI terdiri
dari dua komponen. Jenis khusus dari proses Markov di mana transisi probabilitas
yang konstan dari waktu ke waktu disebut Rantai Markov.
Universitas Sumatera Utara
Probabilitas yang didapat membuat transisi dari satu state selama satu siklus
disebut transisi probabilitas. Proses Markov didefinisikan oleh distribusi
probabilitas antara state yang pertama dan probabilitas bagi individu untuk
memungkinkan terjadinya transisi. Untuk model Markov yang terdiri dari n state,
akan ada probabilitas transisi n2.
Untuk dapat menerapkan rantai markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa
syarat yang harus dipenuhi:
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama
dengan 1 (satu)
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam
sistem
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu
4. Kondisi merupakan kondisi bebas sepanjang waktu
Untuk rumus rantai markov dengan transisi ke-n adalah P n. Sementara untuk
rumus rantai markov di mana hanya memerlukan sebagian dari seluruh matriks
adalah sebagai berikut:
persamaan 2.1 rumus rantai markov
Di mana xn (kondisi pada transisi ke-n) dan x0 (kondisi pada transisi awal)
menggunakan matriks 1 x 3, dan P n menggunakan matriks 3 x 3.
2.1.2
Contoh Rantai Markov
Kita anggap proses stokastik
{
}
yang merupakan satu set M yang terbatas (finite) atau bisa dihitung (countable).
Universitas Sumatera Utara
Contoh 1: misalkan
adalah cuaca pada hari ke-n di mana menjadi
Kita dapat mengikuti pelaksanaan:
Contoh 2: misalkan
adalah penjualan produk pada hari ke-n di mana menjadi
Kita dapat mengikuti pelaksanaan:
Lebih sederhananya kita asumsikan M, state space-nya adalah {0, 1, 2...}. Elemen
pada M disebut kondisi pada proses.
2.2
Pengambilan Keputusan
Keputusan adalah hasil pemecahan masalah yang dihadapi. Hal ini berkaitan
dengan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan tentang apa yang harus dilakukan
dan mengenai unsur-unsur perencanaan. Dapat juga dikatakan bahwa keputusan
itu sesungguhnya merupakan hasil proses pemikiran yang berupa pemilihan satu
diantara beberapa alternatif yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah
yang dihadapinya.
Keputusan itu sendiri merupakan unsur kegiatan yang sangat penting. Jiwa
kepemimpinan seseorang itu dapat diketahui dari kemampuan mengatasi masalah
dan mengambil keputusan yang tepat. Keputusan yang tepat adalah keputusan
yang berbobot di mana dapat menyelesaikan masalah dengan resiko terkecil.
Universitas Sumatera Utara
Pengambilan keputusan adalah proses kognitif yang mengakibatkan
pemilihan keyakinan atau tindakan di antara beberapa kemungkinan alternatif.
Setiap proses pengambilan keputusan menghasilkan pilihan akhir yang mungkin
meminta atau tidak meminta tindakan. Pengambilan keputusan adalah studi
tentang mengidentifikasi dan memilih alternatif yang didasarkan pada nilai-nilai
dan preferensi pengambil keputusan. Pengambilan keputusan adalah salah satu
kegiatan utama manajemen dan merupakan bagian besar dari setiap proses
pelaksanaan.
Kinerja manusia berkaitan dengan keputusan telah menjadi subjek
penelitian dari beberapa sudut pandang:
Psikologis: meneliti keputusan individu dalam konteks serangkaian
kebutuhan, preferensi dan nilai-nilai yang dicari atau dimiliki.
Kognitif: proses pengambilan keputusan dianggap sebagai proses yang
berkesinambungan yang dipadukan dalam interaksi dengan lingkungan.
Normatif: analisis keputusan individu yang bersangkutan dengan logika
pengambilan keputusan dan rasionalitas dan hal-hal yang mengarah dari
pilihan invarian (invarian adalah properti yang tetap tidak berubah ketika
transformasi dari jenis tertentu diterapkan pada sebuah objek).
Pengambilan keputusan logis merupakan bagian penting dari semua profesi
berbasis ilmu pengetahuan, di mana para ahli menerapkan pengetahuan mereka di
bidang tertentu untuk membuat keputusan. Sebagai contoh, dalam pembuatan
keputusan, ahli medis sering melakukan diagnosa dan pemilihan pengobatan yang
sesuai.
Dalam pengambilan keputusan harus diambil dengan pemikiran yang
matang, bukan secara kebetulan, dan tidak boleh sembarangan. Adapun langkahlangkah sistematis yang perlu dilakukan dalam proses pengambilan keputusan
adalah sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
1. Mengidentifikasi masalah
Pengambilan keputusan pada dasarnya adalah proses pemecahan masalah
yang menghalangi atau menghambat tercapainya tujuan. Agar masalah
dapat dipecahkan, terlebih dahulu harus dikenali apa masalahnya.
2. Mencari alternatif pemecahan
Yang terpenting dalam mencari alternatif adalah dengan mengumpulkan
data untuk penyelesaian masalah sebanyak mungkin. Setelah alternatif
terkumpul, barulah disusun berurutan dari yang paling diinginkan sampai
yang tidak diinginkan
3. Memilih alternatif
Setelah tersusun, barulah memilih alternatif. Setiap alternatif perlu diteliti
berdasarkan kelebihan dan kekurangan, tingkat resiko, dan tingkat
efisiensi.
4. Pelaksanaan alternatif
Setelah alternatif dipilih, laksanakan alternatif tersebut
5. Evaluasi
Pelaksanaan alternatif harus terus diamati, untuk mengetahui keefektifan
hasil dari alternatif tersebut.
2.2.1
Pengambilan Keputusan Medis
Pengambilan keputusan merupakan bagian dari suatu peristiwa yang meliputi
diagnosa, seleksi tindakan dan implementasi (Beach & Connolly, 2005). Definisi
lain tentang pengambilan keputusan juga dikemukakan oleh Nigro (dalam Ridho,
2003) bahwa keputusan ialah pilihan sadar dan teliti terhadap salah satu alternatif
yang memungkinkan dalam suatu posisi tertentu untuk merealisasikan tujuan yang
diharapkan. Perawatan medis sering disebut sebagai salah satu seni mengambil
keputusan tanpa informasi yang adekuat (Sox, 1990).
Para dokter sering memilih perlakuan kepada pasien, jauh sebelum para
dokter tersebut mengetahui jenis penyakit yang muncul. Bahkan ketika penyakit
diketahui, dokter biasanya harus memilih dari beberapa pilihan tindakan
Universitas Sumatera Utara
pengobatan dan konsekuensi dari masing-masing pengobatan tidak dapat
diramalkan dengan jelas, sehingga ketidakpastian menjadi salah satu faktor
intrinsik dalam praktek medis (Sox, 1990).
Para dokter mengalami kesulitan dalam membuat keputusan di dunia medis.
Ini disebabkan besarnya pengaruh etika di dalam proses tersebut. Untuk hal etika
sendiri, hal ini mungkin berbeda-beda tergantung tempat dan zaman saat
dibutuhkannya pemikiran dalam menyelesaikan masalah tertentu.
Di dalam beberapa situasi, dokter harus memutuskan untuk dirinya sendiri
apakah yang benar untuk dilakukan. Namun dalam mengambil keputusan
tersebut, akan sangat membantu jika mereka mengetahui apa yang dilakukan
dokter lain dalam situasi yang sama. Kode etik dokter dan kebijakan yang berlaku
merupakan konsensus umum bagaimana seorang dokter harus bertindak dan harus
diikuti kecuali ada alasan yang lebih baik mengapa harus melanggarnya.
Pada umumnya dokter menganggap mereka bertanggung jawab terhadap
diri mereka sendiri, kepada kolega profesi kesehatan mereka, dan terhadap agama
yang dianut, kepada Tuhan. Saat ini mereka memiliki tanggung jawab tambahan –
terhadap pasien mereka, kepada pihak ketiga seperti rumah sakit, organisasi yang
mengambil keputusan medis terhadap pasien, kepada pemegang kebijakan dan
perijinan praktek, dan bahkan sering kepada pengadilan. Berbagai tanggung jawab
yang berbeda ini dapat saling bertentangan satu sama lain.
2.3
Matriks
Matriks adalah sebuah susunan persegi yang terdiri dari angka, simbol atau
ekspresi yang diatur dalam baris dan kolom, di mana ditafsirkan dengan cara
tertentu. Salah satu cara adalah untuk menyatakan urutan matriks. Angka, simbol
atau ekspresi dalam matriks disebut entri atau elemen. Sebagai contoh, urutan
matriks di bawah ini adalah 2 × 3, karena ada dua baris (horizontal) dan tiga
kolom (vertikal).
Universitas Sumatera Utara
Matriks yang memiliki baris tunggal yang disebut vektor baris, dan yang
memiliki satu kolom disebut vektor kolom. Sebuah matriks yang memiliki jumlah
yang sama dari baris dan kolom disebut matriks persegi. Sebuah matriks dengan
jumlah baris atau kolom tak terbatas (atau keduanya) disebut matriks yang tak
terbatas (infinite matrix). Dalam beberapa konteks, seperti program komputer
aljabar, mungkin terdapat matriks tanpa baris atau kolom yang disebut matriks
kosong. Matriks biasanya ditulis dalam tanda kurung kotak atau tanda kurung
besar:
[
]
(
)
.
Notasi dari matriks bervariasi. Biasanya matriks disimbolkan dengan huruf
besar (seperti contoh A di atas), di mana yang menggunakan huruf kecil dengan
indeks kecil (misalkan a 11) merepresentasikan entri/elemen.
2.3.1 Operasi Dasar Matriks
Ada beberapa operasi dasar yang dapat diterapkan pada matriks, disebut
penjumlahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi
baris, dan submatriks.
Penjumlahan matriks adalah operasi menjumlahkan dua matriks, di mana
kedua matriks tersebut harus memiliki banyak baris dan banyak kolom yang sama.
Contoh:
Perkalian skalar adalah perkalian dari c (merupakan skalar) dan matriks A,
di mana setiap elemen A dikalikan dengan c.
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
Transposisi adalah saat semua elemen pada suatu matriks bertukar posisi di
mana dari m x n menjadi n x m (baris awal menjadi kolom dan kolom awal
menjadi baris).
Contoh:
[
]
Perkalian matriks adalah perkalian antara dua matriks, di mana hanya bisa
dilakukan jika banyaknya kolom dari matriks sebelah kiri sama banyak dengan
baris dari matriks sebelah kanan. Misalkan A adalah matriks nxm dan B adalah
matriks nxp, maka hasil kali AB adalah matriks mxp:
]
[
[
[
]
]
di mana setiap elemen i, j didapat dengan dikalikannya elemen Aik (sepanjang
baris i pada A) dengan elemen Bkj (sepanjang kolom j pada B), untuk k = 1, 2, ...,
m, dan menghitung hasil terhadap k:
∑
Terlihat bahwa hasil dari AB terdefinisi jika hanya banyak kolom A sama
dengan banyak kolom B, dalam hal ini m. Setiap entri mungkin dihitung satu per
satu.
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
[
[
]
]
Perkalian matriks sendiri tidak komutatif, dimana AB ≠ BA
Contoh 2:
[
]
Untuk operasi baris, terdapat tiga tipe operasi:
1. Penjumlahan baris
2. Perkalian baris
3. Perpindahan baris
Submatriks adalah penghapusan sekumpulan baris dan/atau kolom dari
matriks. Contohnya, dari matriks 3x4, kita bisa membuat matriks 2x3 dengan
menghapus, misalnya baris 3 dan kolom 2:
[
2.3.2
]
Contoh Matriks Transisi
Pada bagian ini, kita akan menyelidiki probabilitas transisi P ij proses rantai
Markov sampai langkah ke-n.
Misalkan P ij adalah probabilitas dengan memproses dari kondisi j akan
berada pada kondisi i setelah terjadi transisi ke-n. Ditulis P ij(1) = P ij. Dengan
demikian P (n) = P n di mana P (n) adalah probabilitas matriks transisi n-langkah dan
P adalah probabilitas matriks transisi 1-langkah.
Universitas Sumatera Utara
Akan dibuktikan proposisi dengan menggunakan induksi matematika. Jelas
proposisi adalah benar ketika n = 1. Kemudian, anggap bahwa proposisi adalah
benar untuk n. Diketahui bahwa:
sebanyak n
kemudian,
∑
∑
Dengan prinsip induksi matematika, proposisi ini berlaku untuk semua
bilangan bulat non-negatif n.
Kesimpulannya, dapat dilihat bahwa:
Contoh 2: Anggap ada persoalan pemasaran. Dalam model yang kita miliki
[
]
Jika α = 0,3 dan β = 0,4 maka didapat
]
[
Misalkan pada state awal pelanggan membeli di toko A(α). Maka dia akan
membeli di toko A pada pembelian ke-4 dengan peluang
membeli di toko B pada pembelian ke-4
, dan
.
Jika pada state awal pelanggan membeli di toko B (β), maka dia akan
membeli di toko A pada pembelian ke-4 dengan peluang
membeli di toko B pada pembelian ke-4
, dan
.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 3: Diketahui proses pada rantai markov memiliki kondisi {0, 1, 2, ...}.
Anggap kita berada pada waktu n = 0 dengan probabilitas saat pada kondisi i
adalah a i, i = 0, 1, 2, .... Yang menjadi pertanyaan, berapakah probabilitas pada
kondisi i setelah n transisi? Dapat diketahui probabilitasnya adalah
,
di mana P ji adalah probabilitas transisi satu-langkah dari kondisi i ke kondisi j.
Maka probabilitas yang diperlukan adalah:
∑ (
maka
)
∑
̃
̃
menjadi distribusi probabilitas dari kondisi pada proses rantai Markov saat transisi
ke-n. Di sini ̃
adalah probabilitas di mana proses berada pada kondisi i setelah
n transisi dan
Bisa diperiksa bahwa
̃
∑
.
dan
Contoh 4: Terdapat matriks transisi di bawah ini
[
]
Dan misalkan kita hanya membutuhkan baris ke-2 dari matriks di atas. Kita
bisa melakukan sebagai berikut:
Buat matriks 1 x 3:
, di mana 0 (nol) yang pertama untuk
dikalikan ke baris ke-1 dari matriks P, 1 dikalikan ke baris ke-2 dari matriks P, 0
(nol) yang kedua untuk dikalikan ke baris ke-3 dari matriks P.
Universitas Sumatera Utara
Kemudian kalikan kedua matriks
[
]
Didapatlah baris kedua dari matriks P, yaitu P’
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1
Model Markov
Dalam teori probabilitas, model Markov adalah model stokastik yang digunakan
untuk memodelkan sistem yang berubah-ubah secara random di mana
diasumsikan bahwa kondisi masa depan tergantung hanya pada keadaan sekarang
dan bukan pada urutan peristiwa yang mendahuluinya (mengasumsikan properti
Markov). Umumnya, asumsi ini memungkinkan penalaran dan perhitungan, yang
jika menggunakan model lain mungkin akan lebih sulit diselesaikan.
Ada empat model Markov yang digunakan dalam situasi yang berbeda,
tergantung pada apakah setiap kondisi berurutan dapat diamati atau tidak, dan
apakah sistem ini terjadi secara acak atau kejadiannya dapat dikontrol. Berikut
adalah tabel yang menunjukkan beberapa model Markov berdasarkan situasinya.
Tabel 2.1 Model Markov berdasarkan Situasinya
Situasi
Dapat sepenuhnya
Dapat diamati secara parsial
diamati
Mandiri
Dikontrol
Markov Chain
Hidden Markov Model
Markov Decision Process
Partially Observable Markov
Decision Process
Dalam skripi ini penulis menggunakan Markov chain (rantai Markov), yaitu
proses acak yang mengalami transisi dari satu kondisi ke yang lain pada ruang
keadaan. Model Markov ini harus memiliki properti yang biasanya ditandai
sebagai "memoryless": distribusi probabilitas pada kondisi berikutnya tergantung
Universitas Sumatera Utara
hanya pada keadaan saat ini dan bukan pada urutan peristiwa yang
mendahuluinya. Jenis tertentu ini disebut properti Markov.
Analisis Markov hampir sama dengan decision analysis, bedanya adalah
decision analysis memberikan keputusan berupa rekomendasi sedangkan analisis
rantai markov tidak memberikan keputusan berupa rekomendasi. Analisis rantai
markov hanya memberikan informasi probabilitas mengenai situasi keputusan
yang dapat membantu proses pengambilan keputusan. Oleh karena itu, analisis
rantai markov bukanlah teknik optimisasi, melainkan teknik deskriptif yang
menghasilkan informasi probabilitas pada masa mendatang.
2.1.1
Rantai Markov
Rantai Markov (Markov Chain) adalah suatu model teoritis yang menerangkan
keadaan sebuah sistem pada suatu tahap tertentu. Model Markov menyediakan
cara yang lebih nyaman pemodelan prognosis untuk masalah klinis dengan resiko
yang sedang berlangsung untuk memperkirakan perubahan-perubahan pada waktu
yang akan datang (Sonnenberg, A.F, 2009).
Secara umum, rumus rantai markov adalah sebagai berikut:
|
|
Persamaan di atas disebut properti Markov. Jika P tidak bergantung pada n, maka
rantai Markov tersebut homogen. Jika kedua probabilitas terkondisi didefinisikan
dengan baik, contoh jika
|
. Jika nilai-nilai Xi
membentuk satu set countable S maka S itu disebut ruang keadaan dari rantai.
Proses Markov dikategorikan berdasarkan konstan atau tidak konstannya
probabilitas state-transisi dari waktu ke waktu. Dalam jenis yang paling umum
dari proses Markov, probabilitas transisi dapat berubah dari waktu ke waktu.
Sebagai contoh, probabilitas transisi untuk transisi dari BAIK untuk MATI terdiri
dari dua komponen. Jenis khusus dari proses Markov di mana transisi probabilitas
yang konstan dari waktu ke waktu disebut Rantai Markov.
Universitas Sumatera Utara
Probabilitas yang didapat membuat transisi dari satu state selama satu siklus
disebut transisi probabilitas. Proses Markov didefinisikan oleh distribusi
probabilitas antara state yang pertama dan probabilitas bagi individu untuk
memungkinkan terjadinya transisi. Untuk model Markov yang terdiri dari n state,
akan ada probabilitas transisi n2.
Untuk dapat menerapkan rantai markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa
syarat yang harus dipenuhi:
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama
dengan 1 (satu)
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam
sistem
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu
4. Kondisi merupakan kondisi bebas sepanjang waktu
Untuk rumus rantai markov dengan transisi ke-n adalah P n. Sementara untuk
rumus rantai markov di mana hanya memerlukan sebagian dari seluruh matriks
adalah sebagai berikut:
persamaan 2.1 rumus rantai markov
Di mana xn (kondisi pada transisi ke-n) dan x0 (kondisi pada transisi awal)
menggunakan matriks 1 x 3, dan P n menggunakan matriks 3 x 3.
2.1.2
Contoh Rantai Markov
Kita anggap proses stokastik
{
}
yang merupakan satu set M yang terbatas (finite) atau bisa dihitung (countable).
Universitas Sumatera Utara
Contoh 1: misalkan
adalah cuaca pada hari ke-n di mana menjadi
Kita dapat mengikuti pelaksanaan:
Contoh 2: misalkan
adalah penjualan produk pada hari ke-n di mana menjadi
Kita dapat mengikuti pelaksanaan:
Lebih sederhananya kita asumsikan M, state space-nya adalah {0, 1, 2...}. Elemen
pada M disebut kondisi pada proses.
2.2
Pengambilan Keputusan
Keputusan adalah hasil pemecahan masalah yang dihadapi. Hal ini berkaitan
dengan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan tentang apa yang harus dilakukan
dan mengenai unsur-unsur perencanaan. Dapat juga dikatakan bahwa keputusan
itu sesungguhnya merupakan hasil proses pemikiran yang berupa pemilihan satu
diantara beberapa alternatif yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah
yang dihadapinya.
Keputusan itu sendiri merupakan unsur kegiatan yang sangat penting. Jiwa
kepemimpinan seseorang itu dapat diketahui dari kemampuan mengatasi masalah
dan mengambil keputusan yang tepat. Keputusan yang tepat adalah keputusan
yang berbobot di mana dapat menyelesaikan masalah dengan resiko terkecil.
Universitas Sumatera Utara
Pengambilan keputusan adalah proses kognitif yang mengakibatkan
pemilihan keyakinan atau tindakan di antara beberapa kemungkinan alternatif.
Setiap proses pengambilan keputusan menghasilkan pilihan akhir yang mungkin
meminta atau tidak meminta tindakan. Pengambilan keputusan adalah studi
tentang mengidentifikasi dan memilih alternatif yang didasarkan pada nilai-nilai
dan preferensi pengambil keputusan. Pengambilan keputusan adalah salah satu
kegiatan utama manajemen dan merupakan bagian besar dari setiap proses
pelaksanaan.
Kinerja manusia berkaitan dengan keputusan telah menjadi subjek
penelitian dari beberapa sudut pandang:
Psikologis: meneliti keputusan individu dalam konteks serangkaian
kebutuhan, preferensi dan nilai-nilai yang dicari atau dimiliki.
Kognitif: proses pengambilan keputusan dianggap sebagai proses yang
berkesinambungan yang dipadukan dalam interaksi dengan lingkungan.
Normatif: analisis keputusan individu yang bersangkutan dengan logika
pengambilan keputusan dan rasionalitas dan hal-hal yang mengarah dari
pilihan invarian (invarian adalah properti yang tetap tidak berubah ketika
transformasi dari jenis tertentu diterapkan pada sebuah objek).
Pengambilan keputusan logis merupakan bagian penting dari semua profesi
berbasis ilmu pengetahuan, di mana para ahli menerapkan pengetahuan mereka di
bidang tertentu untuk membuat keputusan. Sebagai contoh, dalam pembuatan
keputusan, ahli medis sering melakukan diagnosa dan pemilihan pengobatan yang
sesuai.
Dalam pengambilan keputusan harus diambil dengan pemikiran yang
matang, bukan secara kebetulan, dan tidak boleh sembarangan. Adapun langkahlangkah sistematis yang perlu dilakukan dalam proses pengambilan keputusan
adalah sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
1. Mengidentifikasi masalah
Pengambilan keputusan pada dasarnya adalah proses pemecahan masalah
yang menghalangi atau menghambat tercapainya tujuan. Agar masalah
dapat dipecahkan, terlebih dahulu harus dikenali apa masalahnya.
2. Mencari alternatif pemecahan
Yang terpenting dalam mencari alternatif adalah dengan mengumpulkan
data untuk penyelesaian masalah sebanyak mungkin. Setelah alternatif
terkumpul, barulah disusun berurutan dari yang paling diinginkan sampai
yang tidak diinginkan
3. Memilih alternatif
Setelah tersusun, barulah memilih alternatif. Setiap alternatif perlu diteliti
berdasarkan kelebihan dan kekurangan, tingkat resiko, dan tingkat
efisiensi.
4. Pelaksanaan alternatif
Setelah alternatif dipilih, laksanakan alternatif tersebut
5. Evaluasi
Pelaksanaan alternatif harus terus diamati, untuk mengetahui keefektifan
hasil dari alternatif tersebut.
2.2.1
Pengambilan Keputusan Medis
Pengambilan keputusan merupakan bagian dari suatu peristiwa yang meliputi
diagnosa, seleksi tindakan dan implementasi (Beach & Connolly, 2005). Definisi
lain tentang pengambilan keputusan juga dikemukakan oleh Nigro (dalam Ridho,
2003) bahwa keputusan ialah pilihan sadar dan teliti terhadap salah satu alternatif
yang memungkinkan dalam suatu posisi tertentu untuk merealisasikan tujuan yang
diharapkan. Perawatan medis sering disebut sebagai salah satu seni mengambil
keputusan tanpa informasi yang adekuat (Sox, 1990).
Para dokter sering memilih perlakuan kepada pasien, jauh sebelum para
dokter tersebut mengetahui jenis penyakit yang muncul. Bahkan ketika penyakit
diketahui, dokter biasanya harus memilih dari beberapa pilihan tindakan
Universitas Sumatera Utara
pengobatan dan konsekuensi dari masing-masing pengobatan tidak dapat
diramalkan dengan jelas, sehingga ketidakpastian menjadi salah satu faktor
intrinsik dalam praktek medis (Sox, 1990).
Para dokter mengalami kesulitan dalam membuat keputusan di dunia medis.
Ini disebabkan besarnya pengaruh etika di dalam proses tersebut. Untuk hal etika
sendiri, hal ini mungkin berbeda-beda tergantung tempat dan zaman saat
dibutuhkannya pemikiran dalam menyelesaikan masalah tertentu.
Di dalam beberapa situasi, dokter harus memutuskan untuk dirinya sendiri
apakah yang benar untuk dilakukan. Namun dalam mengambil keputusan
tersebut, akan sangat membantu jika mereka mengetahui apa yang dilakukan
dokter lain dalam situasi yang sama. Kode etik dokter dan kebijakan yang berlaku
merupakan konsensus umum bagaimana seorang dokter harus bertindak dan harus
diikuti kecuali ada alasan yang lebih baik mengapa harus melanggarnya.
Pada umumnya dokter menganggap mereka bertanggung jawab terhadap
diri mereka sendiri, kepada kolega profesi kesehatan mereka, dan terhadap agama
yang dianut, kepada Tuhan. Saat ini mereka memiliki tanggung jawab tambahan –
terhadap pasien mereka, kepada pihak ketiga seperti rumah sakit, organisasi yang
mengambil keputusan medis terhadap pasien, kepada pemegang kebijakan dan
perijinan praktek, dan bahkan sering kepada pengadilan. Berbagai tanggung jawab
yang berbeda ini dapat saling bertentangan satu sama lain.
2.3
Matriks
Matriks adalah sebuah susunan persegi yang terdiri dari angka, simbol atau
ekspresi yang diatur dalam baris dan kolom, di mana ditafsirkan dengan cara
tertentu. Salah satu cara adalah untuk menyatakan urutan matriks. Angka, simbol
atau ekspresi dalam matriks disebut entri atau elemen. Sebagai contoh, urutan
matriks di bawah ini adalah 2 × 3, karena ada dua baris (horizontal) dan tiga
kolom (vertikal).
Universitas Sumatera Utara
Matriks yang memiliki baris tunggal yang disebut vektor baris, dan yang
memiliki satu kolom disebut vektor kolom. Sebuah matriks yang memiliki jumlah
yang sama dari baris dan kolom disebut matriks persegi. Sebuah matriks dengan
jumlah baris atau kolom tak terbatas (atau keduanya) disebut matriks yang tak
terbatas (infinite matrix). Dalam beberapa konteks, seperti program komputer
aljabar, mungkin terdapat matriks tanpa baris atau kolom yang disebut matriks
kosong. Matriks biasanya ditulis dalam tanda kurung kotak atau tanda kurung
besar:
[
]
(
)
.
Notasi dari matriks bervariasi. Biasanya matriks disimbolkan dengan huruf
besar (seperti contoh A di atas), di mana yang menggunakan huruf kecil dengan
indeks kecil (misalkan a 11) merepresentasikan entri/elemen.
2.3.1 Operasi Dasar Matriks
Ada beberapa operasi dasar yang dapat diterapkan pada matriks, disebut
penjumlahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi
baris, dan submatriks.
Penjumlahan matriks adalah operasi menjumlahkan dua matriks, di mana
kedua matriks tersebut harus memiliki banyak baris dan banyak kolom yang sama.
Contoh:
Perkalian skalar adalah perkalian dari c (merupakan skalar) dan matriks A,
di mana setiap elemen A dikalikan dengan c.
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
Transposisi adalah saat semua elemen pada suatu matriks bertukar posisi di
mana dari m x n menjadi n x m (baris awal menjadi kolom dan kolom awal
menjadi baris).
Contoh:
[
]
Perkalian matriks adalah perkalian antara dua matriks, di mana hanya bisa
dilakukan jika banyaknya kolom dari matriks sebelah kiri sama banyak dengan
baris dari matriks sebelah kanan. Misalkan A adalah matriks nxm dan B adalah
matriks nxp, maka hasil kali AB adalah matriks mxp:
]
[
[
[
]
]
di mana setiap elemen i, j didapat dengan dikalikannya elemen Aik (sepanjang
baris i pada A) dengan elemen Bkj (sepanjang kolom j pada B), untuk k = 1, 2, ...,
m, dan menghitung hasil terhadap k:
∑
Terlihat bahwa hasil dari AB terdefinisi jika hanya banyak kolom A sama
dengan banyak kolom B, dalam hal ini m. Setiap entri mungkin dihitung satu per
satu.
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
[
[
]
]
Perkalian matriks sendiri tidak komutatif, dimana AB ≠ BA
Contoh 2:
[
]
Untuk operasi baris, terdapat tiga tipe operasi:
1. Penjumlahan baris
2. Perkalian baris
3. Perpindahan baris
Submatriks adalah penghapusan sekumpulan baris dan/atau kolom dari
matriks. Contohnya, dari matriks 3x4, kita bisa membuat matriks 2x3 dengan
menghapus, misalnya baris 3 dan kolom 2:
[
2.3.2
]
Contoh Matriks Transisi
Pada bagian ini, kita akan menyelidiki probabilitas transisi P ij proses rantai
Markov sampai langkah ke-n.
Misalkan P ij adalah probabilitas dengan memproses dari kondisi j akan
berada pada kondisi i setelah terjadi transisi ke-n. Ditulis P ij(1) = P ij. Dengan
demikian P (n) = P n di mana P (n) adalah probabilitas matriks transisi n-langkah dan
P adalah probabilitas matriks transisi 1-langkah.
Universitas Sumatera Utara
Akan dibuktikan proposisi dengan menggunakan induksi matematika. Jelas
proposisi adalah benar ketika n = 1. Kemudian, anggap bahwa proposisi adalah
benar untuk n. Diketahui bahwa:
sebanyak n
kemudian,
∑
∑
Dengan prinsip induksi matematika, proposisi ini berlaku untuk semua
bilangan bulat non-negatif n.
Kesimpulannya, dapat dilihat bahwa:
Contoh 2: Anggap ada persoalan pemasaran. Dalam model yang kita miliki
[
]
Jika α = 0,3 dan β = 0,4 maka didapat
]
[
Misalkan pada state awal pelanggan membeli di toko A(α). Maka dia akan
membeli di toko A pada pembelian ke-4 dengan peluang
membeli di toko B pada pembelian ke-4
, dan
.
Jika pada state awal pelanggan membeli di toko B (β), maka dia akan
membeli di toko A pada pembelian ke-4 dengan peluang
membeli di toko B pada pembelian ke-4
, dan
.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 3: Diketahui proses pada rantai markov memiliki kondisi {0, 1, 2, ...}.
Anggap kita berada pada waktu n = 0 dengan probabilitas saat pada kondisi i
adalah a i, i = 0, 1, 2, .... Yang menjadi pertanyaan, berapakah probabilitas pada
kondisi i setelah n transisi? Dapat diketahui probabilitasnya adalah
,
di mana P ji adalah probabilitas transisi satu-langkah dari kondisi i ke kondisi j.
Maka probabilitas yang diperlukan adalah:
∑ (
maka
)
∑
̃
̃
menjadi distribusi probabilitas dari kondisi pada proses rantai Markov saat transisi
ke-n. Di sini ̃
adalah probabilitas di mana proses berada pada kondisi i setelah
n transisi dan
Bisa diperiksa bahwa
̃
∑
.
dan
Contoh 4: Terdapat matriks transisi di bawah ini
[
]
Dan misalkan kita hanya membutuhkan baris ke-2 dari matriks di atas. Kita
bisa melakukan sebagai berikut:
Buat matriks 1 x 3:
, di mana 0 (nol) yang pertama untuk
dikalikan ke baris ke-1 dari matriks P, 1 dikalikan ke baris ke-2 dari matriks P, 0
(nol) yang kedua untuk dikalikan ke baris ke-3 dari matriks P.
Universitas Sumatera Utara
Kemudian kalikan kedua matriks
[
]
Didapatlah baris kedua dari matriks P, yaitu P’
Universitas Sumatera Utara