f023e bab 1 himpunan
MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT
By :
SRI ESTI TRISNO SAMI
082334051324
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Bahan Bacaan / Refferensi :
1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit
Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba
Teknika.
2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya,
Penerbit Andi Yogyakarta.
3. Heri Purwanto, ST., MM., MT, Gina Indriani, Ssi, dan Erlina Dayanti, ST,
Matematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta.
4. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, penerbit Informatika Bandung.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
PENDAHULUAN
Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas
segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan
(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit – seperti
bilangan bulat, graf, atau kalimat logika – tidak berubah secara kontinyu, namun
memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam
matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi,
rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama
dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
BAB I
HIMPUNAN
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam
himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,
... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.
Notasi himpunan :
pЄA
A
B atau B
p adalah elemen dari A atau p anggota dari A
A
A adalah himpunan bagian/samadengan (subset) B atau
B mengandung A
A
B atau B
A
A adalah himpunan bagian (proper subset) dari B atau
sebaliknya;
∅
U/S
himpunan kosong
himpunan semesta
1. Himpunan
a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya (Prinsiple
of Extension) : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika
mereka mempunyai anggota yang sama.
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian
dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
b. Suatu himpunan dapat digambarkan dalam hal sifatnya (Prinsiple of
Abstraction) : Diberikan sembarang himpunan U dan mempunyai sifat
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari
A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P.
c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Himpunan kosong atau Ø atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan
{0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {Ø} juga memuat satu elemen
yaitu himpunan kosong (ini adalah himpunan dari himpunan). Himpunan
kosong merupakan subset dari himpunan manapun.
d. A
B (A adalah subset dari B) menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga
anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B.
Notasi : A = B ↔ A
A
B dan B
A
B (A adalah proper subset dari B) menyatakan bahwa A adalah himpuan
bagian dari B tetapi A ≠ B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada
di A
e. (i) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai Ø
A
(ii) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai A
A
(iii) Jika A
B dan B
C, maka A
(iv) A = B jika dan hanya jika A
U
C
B dan B
A
Bukti :
(i)
Setiap himpunan A adalah suatu subset dari himpunan U karena,
menurut definisi, semua anggota dari A adalah anggota dari U.
Demikian juga himpunan Ø adalah subset dari A
(ii)
Setiap himpunan A adalah subset dari dirinya sendiri karena elemen
elemen dari A adalah anggota dari A.
(iii)
Jika setiap elemen dari himpunan A anggota dari B, dan setiap elemen
dari B adalah anggta dari suatu himpunan C, maka jelas setiap elemen
dari A adalah anggota dari C. dengan kata lain, jika A
maka A
(iv)
Jika A
B dan B
C,
C.
B dan B
C maka A dan B mempunyai elemen-elemen yang
sama, sehingga A = B. Sebaliknya jika A = B maka A
B dan B
C
karena setiap himpunan adalah subset dari dirinya sendiri.
f. Simbol-simbol Baku
P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Q = Himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan
b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)
R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional
adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,
atau
bilangan
yang
bukan
bilangan
rasional.
Contohnya : √2, √3, √5
C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)
g. Notasi pembentuk Himpunan
Notasi: {x│syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan yang harus digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:
1. Bagian di kiri tanda “│” melambangkan elemen himpunan.
2. Tanda “│” dibaca dimana atau sedemikian sehingga.
3. Bagian di kanan tanda “│” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.
4. Setiap tanda “,” di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.
Contoh :
1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan
notasi himpunan :
a. 1 bukan anggota dari himpunan A → 1 A
b. 5 adalah anggota dari himpunan B → 5
B
c. A adalah himpunan bagian/sama dengan (subset) C → A
d. A bukan himpunan bagian/sama dengan (subset) D → A
e. F mengandung semua elemen dari G → G
F atau F
C
D
G
f. E dan F mengandung elemen-elemen yang sama → E = F
2. Tuliskan elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2,
3,…}
a. A = {x : x
N, 3 ˂ x ˂12} → A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
b. B ={x : x
c. C = {x : x
N, x bilangan genap, x ˂ 15} → B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
N, 4 + x = 3} → C = Ø
Latihan Soal :
1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,
…)
a. A = {x : x Є N, 3 ˂ x < 9}
b. B = {x : x Є N, x2 + 1 = 10}
c. C = {x : x Є N, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}
2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan
bulat)
a. A = {x : x Є Z, 3 ˂ x < 9}
b. B = {x : x Є Z, x2 + 1 = 10}
c. C = {x : x Є Z, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}
3. Tentukan
himpunan-himpunan
berikut
dengan
menuliskan
elemen-
elemennya
a. A = {x : x Є R, -5 ˂ x < 5}
b. B = {x : x Є N, x kelipatan 3}
c. C = {x : x warga negara Indonesia, x adalah remaja}
4. Misalkan A = {x : 3x = 6}. Apakah A = 2?
5. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : {w}, {y, w, z}, {w, y, x}, {y, z, w},
{w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama
dengan himpunan A = {w, y, z}?
6. Tentukan
himpunan-himpunan
berikut
dengan
menuliskan
elemen-
elemennya:
a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu}
b. P = {x l x2 – 4 = 0}
c. N = { x l x bilangan asli}
d. A = {x l x2 = 9, x genap}
7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut:
a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}, maka …
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
b. P = {x l x2 – 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka …
c. P = {1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka …
d. G = {x l x bilangan genap} dan H = {x l x blangan bulat}, maka …
2. Diagram Venn
a. Himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable) jika A
B A;
sedangkan
A
(noncomparable) jika A
dan
B
B dan B
tidak
dapat
B atau
diperbandingkan
A.
b. Himpunan A dan B adalah saling asing (disjoint) jika mereka tidak
mempunyai elemen yang sama, yaitu bila tidak ada elemen di A yang
menjadi anggota di B dan tidak ada elemen di B yang menjadi anggota di A.
Sebuah diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunanhimpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta U diwakili oleh
bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh
cakram-cakram dalam persegi. Jika A
B, maka perwakilan cakram A
seluruhnya akan berada di dalam cakram B seperti gambar (a). Jika A dan B
disjoint, yaitu tidak mempuyai elemen bersama. Maka perwakilan cakram A
akan terpisah dari cakram B seperti gambar (b). Gambar (c) adalah beberapa
objek ada di A tetapi tidak di B, ada di B tetapi tidak di A, ada di A dan B, dan
tidak di kedua-duanya.
(a) A
B
(b) A & B saling asing
(c)
U
U
B
A
A
Latihan soal :
1. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A dan B
mempunyai elemen bersama, B dan C mempunyai elemen bersama, tetapi
himpunan A dan C disjoint.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
2. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A
B,
himpunan A dan C saling asing, tetapi himpunan B dan C mempunyai
elemen bersama
3. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana ketiga
himpunan tersebut saling asing.
4. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana akan
membagi himpunan semesta U kedalam 23 = 8 bagian. Mengapa terdapat 8?
5. Perhatikan suatu diagram Venn umum dari 4 himpunan A, B, C,dan D.Dalam
berapa daerah bagiankah himpunan semesta U dapat dibagi?
3. Operasi antar Himpunan
a. Gabungan (union)
Gabungan dari dua himpunan A dan B , dinyatakan dengan A U B, adalah
himpunan semua elemen A atau B :
A U B = {x : x Є A atau x Є B}
Contoh:
1. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A U B = {2, 5, 7, 8, 22}
2. A U ∅ = A
b. Irisan (intersection)
Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, adalah
himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan juga B.
A ∩ B = {x : x Є A atau x Є B}
Jika A ∩ B = ∅ berarti A dan B tidak mempunyai elemen bersama, yaitu ,
bahwa A dan B adalah himpunan yang saling asing (disjoint).
Contoh:
1. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10}
2. Jika A = {x, y)│x + y = 7, x, y Є R} dan B = {x, y)│x - y = 3, x, y Є R}
maka A ∩ B = {(5, 2)}, yang merupakan titik potong garis x + y = 7 dan
x-y=3
3. Jika A = {3, 5, 9} dan B = {-2, 6}, maka A ∩ B = ∅.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
c. Komplemen suatu Himpunan (Absolute Complement)
Komplemen himpunan dinyatakan dengan Ac, adalah himpunan dari elemenelemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A :
Ac = {x : x Є U, x A}
Contoh:
Misalkan S = {1, 2, 3, …, 9}
1. Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ac = {2, 4, 5, 6, 8}
2. Jika A = {x│x/2 Є P, x < 9}, maka Ac = {1, 3, 5, 7, 9}
d. Selisih dari Dua Himpunan (The Relative Complement)
Selisih dari A dan B dinyatakan dengan A\B, adalah himpunan dari elemenelemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B :
A\B = {x : x Є A, x
B}
Contoh:
1. Jika A = {1, 2, 3, …, 10} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka A\B = {1, 3, 5,
7, 9} dan B\A = ∅
2. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3}, maka A\B = {5} dan B\A = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang
elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
A ⊕ B = (A U B)\(A ∩ B) = (A\B) U B\A
Contoh:
1. Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5}, maka A ⊕ B = {3, 4, 5, 6}
2. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ⊕ B = {2, 6, 8,
10, 14, 18}
AA
AUB
B
A
A∩B
B
A
Ac
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
A\B
A
B
A⊕B
A
B
Latihan soal :
1. Diketahui: S ={1,2,3,...,8,9}, A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8}, C ={3,4,5,6}
Tentukan :
1) A U B
14) Bc
2) A U C
15) Cc
3) B U C
16) A\B
4) B U B
17) C\A
5) (A U B) U C
18) B\C
6) A U (B U C)
19) B\A
7) A ∩ B
20) B\B
8) A ∩ C
21) A ∩ (B U C)
9) B ∩ C
22) (A ∩ B) U (A ∩ C)
10)B ∩ B
23) (A U B)c
11)(A ∩ B) ∩ C
24) Ac ∩ Bc
12)A ∩ (B ∩ C)
25) (A ∩ B)\C
13)Ac
26) (A\B)c
27. A ⊕ B
28. A ⊕ C
29. B ⊕ C
2. Diketahui: U ={a,b,c,d,e}, A ={a,b,d},B ={b,d,e}. Tentukan :
1) A U B
6) A U Bc
2) B ∩ A
7) AC U Bc
3) Bc
8) (A ∩ B)C
4) B\A
9) BC\AC
5) Ac ∩ B
10) (A U B)C
3. Di antara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika, 20 orang
memepelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 mempelajari fisika dan
biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
1) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang
tersebut.
2) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu di antara
ketiga bidang tersebut.
4. Aljabar Himpunan
Hukum atau sifat dari aljabar himpunan
Hukum Idempotent
1a. A U A = A
1b. A ∩ A = A
Hukum Assosiatif
2a. (A U B) U C = A U (B U C)
2b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Hukum Komutatif
3a. A U B = B U A
3b. A ∩ B = B ∩ A
Hukum Distributif
4a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
4b. A ∩ (B U C)= (A∩B) U (A ∩ C)
Hukum Identitas
5a. A U Ø = A
6a. A U S = S
5b. A ∩ S = A
6b. A ∩ Ø = Ø
Hukum Involusi
7. (Ac)c = A
Hukum Komplemen
8a. A U Ac = S
8b. A ∩ Ac = Ø
9a. Sc = Ø
9b. Ø = S
Dalil de Morgan
10a. (A U B)c = Ac ∩ Bc
10b. (A ∩ B)c = Ac U Bc
Contoh :
Gunakan hukum-hukum pada tabel diatas untuk membuktikan identitas berikut:
(S ∩ A) U (B ∩ A) = A
(S ∩ A) U (B ∩ A) = (A ∩ S) U (A ∩ B) sifat komutatif 3b
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
= A ∩ (S U B)
sifat distributif 4b
= A ∩ (B U S)
sifat komutatif 3a
=A∩S
sifat identitas 6a
=A
sifat identitas 5b
Latihan soal :
Buktikan identitas-identitas berikut :
1. (B U C) ∩ A = (B ∩ A) U (C ∩ A)
2. (B ∩ C) U A = (B U A) ∩ (C U A)
3. (A U B) ∩ (A U Bc) = A
4. A U (A ∩ B) = A
5. (Bc ∩ S) ∩ (Ac U Ø) = (A U B)c
6. (A U B)c = Ac ∩ Bc
5. Argumen dan Diagram Venn
Pada bagian ini diagram venn digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari
suatu argumen.
Contoh :
1. Terjemahkan setiap pernyataan berikut dalam bentuk diagram venn :
a. Semua mahasiswa adalah malas
b. Beberapa mahasiswa adalah malas
c. Tidak ada mahasiswa yang malas
d. Tidak semua mahasiswa adalah malas
Jawab :
orang malas
mahasiswa
(a)
Orang
malas
mahasiswa
(b) dan (d)
Orang
malas
mahasiswa
(c)
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
(a) Himpunan mahasiswa tercakup dalam himpunan orang malas seperti
ditunjukkan gambar a
(b) Himpunan mahasiswa dan orang malas mempunyai suatu elemen
bersama seperti gambar b
(c) Himpunan mahasiswa dan orang malas adalah saling asing seperti
gambar c.
(d) Dalam hal ini himpunan mahasiwa tidak tercakup dalam himpunan orangorang malas. Ini menunjuk pada gambar b (dengan kemungkinan bahwa
irisan himpunannya kosong)
2. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah benar :
S1 : Panci adalah sesuatu yang saya punya, terbuat dari timah
S2 : Saya mendapatkan semua pemberian kamu yang sangat berguna
S3 : Tak satupun dari panci saya yang berguna
S : Pemberian kamu pada saya bukan terbuat dari timah
Menurut S1 barang dari timah tercakup dalam himpunan panci dan
menurut S3 himpunan panci dan barang berguna adalah saling asing;
seperti digambarkan dalam diagram venn berikut :
panci dr timah
Barang yg berguna
panci
Menurut S2 himpunan “hadiah anda” adalah subset dari himpunan barang
berguna seperti gambar berikut :
panci dr timah
panci
Hadiah anda
Barang yg berguna
Kesimpulannya dengan jelas cocok oleh diagram venn di atas karena
himpunan “hadiah anda” adalah disjoint dari himpunan barang yang tebal
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Latihan soal :
1. Perhatikan asumsi-asumsi berikut :
S1 : Penyair adalah orang yang bahagia
S2 : Setiap dokter adalah orang kaya
S3 : Tak satupun orang yang bahagia adalah orang kaya
Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut :
a. Tak ada penyair yang kaya
b. Dokter adalah orang yang bahagia
c. Tak ada satupun yang menjadi penyair dan dokter
2. Perhatikan argumen-argumen berikut :
S1 : Semua ahli matematik adalah orang-orang yang menarik
S2 : Beberapa guru menjual asuransi
S3 : Beberapa ahli filsafat adalah ahli matematik
S4 : Hanya orang yang tidak menarik menjadi penjual asuransi
Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut :
a. S : Penjual asuransi bukan ahli matematik
b. S : Beberapa orang yang menarik adalah bukan guru
c. S : Beberapa guru bukan ahli filsafat
3. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar :
S1 : Semua mahasiswa adalah pemalas
S2 : Tak seorangpun yang kaya adalah seorang mahasiswa
S : Orang pemalas adalah tidak kaya
4. Tunjukkan bahwa argumen berikut benar
S1 : Tidak ada mahasiswa yang pemalas
S2 : John adalah seorang artis
S3 : Semua artis adalah pemalas
S : John bukan seorang mahasiswa
5. Tunjukkan bahwa arguman berikut adalah benar :
S1 : Semua pengacara adalah orang kaya
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
S2 : Penyair adalah orang temperamental
S3 : Audrey adalah seorang pengacara
S4 : Tidak ada orang temperamental adalah orang kaya
S : Audrey bukan seorang penyair
6. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar (mekipun setiap
pernyataannya benar):
S1 : Beberapa binatang dapat berpikir
S2 : Man adalah seekor binatang
S : Man dapat berpikir
7. Tunjukan bahwa argumen berikut adalah benar :
S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : Setiap raja merupakan orang kaya
S3 : Tidak ada orang kaya yang tenteram hidupnya
S : Tidak ada seorang pun guru yang juga raja
8. Induksi Lengkap
Prinsip bentuk induksi matematika yang ekuivalen :
1. Bentuk I : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang didefinisikan pada
bilangan bulat positif N; P(n) bisa benar atau salah utuk setiap n dalam N.
anggap P mempunyai dua sifat berikut :
(i)
P(1) adalah benar
(ii)
P(n + 1) bernilai benar bilamana P(n) benar
Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.
2. Bentuk II (induksi lengkap) : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang
didefinisikan pada bilangan bulat positif N, sedemikian hingga :
(i)
P(1) adalah benar
(ii)
P(n) bernilai benar bilaman P(k) benar untuk setiap 1 ≤ k ≤ n.
Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Prinsip induksi matematika dimulai dengan n0 = 1 dan membuktikanbahwa P(n)
berlaku untuk setiap n ≥ 1. Atau dapat dimulai dengan sembarang n0 = m dan
membuktikan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n ≥ m.
Contoh :
1. Misalkan P adalah proposisi bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah
n2, yaitu,
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2
(Bilangan ganjil ke-n adalah 2n – 1, dan bilangan ganjil berikutnya adalah 2n
+ 1). Buktikan P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n Є N.
Penyelesaian :
Karena 1 = 12, maka P(1) benar. Asumsikan P(n) benar. kita tambahkan 2n
+ 1 pada kedua sisi P(n), di dapat :
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2
yang mana adalah P(n + 1). Sehingga P(n + 1) benar bilamana P(n) benar.
Menurut prinsip induksi matematika, P berlaku untuk setiap n
2. Buktikan proposisi P, jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah ½ n(n
+ 1); yaitu
P(n) : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n (n + 1)
Penyelesaian :
Proposisi berlaku untuk n = 1 karena 1 = ½ (1) (1 + 1), sehingga P(1)
benar. Asumsikan P(n) benar, kita tambahkan n + 1 pada kedua sisi P(n),
didapat :
1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = ½ n (n + 1) + (n + 1)
= ½ [(n (n + 1) + 2(n + 1)]
= ½ [(n + 1)(n + 2)]
Yang mana adalah P(n + 1) benar bilamana P(n) benar. Menurut prinsip
induksi, P berlaku untuk setiap n.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Latihan soal :
Buktikan proposisi berikut :
1. P(n) : 12 + 22 + … + n2 =
2. P(n) : 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =
3. P(n) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) =
4. P(n) : 1(1!) + 2 (2!) + … + n(n!) = (n + 1)! - 1
5. P(n) : 12 - 22 - 32 + (-1)n+1 n2 =
6. P(n) : 13 + 23 + 33 + … + n3 = [
7. P(n) : 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
]
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
By :
SRI ESTI TRISNO SAMI
082334051324
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Bahan Bacaan / Refferensi :
1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit
Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba
Teknika.
2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya,
Penerbit Andi Yogyakarta.
3. Heri Purwanto, ST., MM., MT, Gina Indriani, Ssi, dan Erlina Dayanti, ST,
Matematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta.
4. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, penerbit Informatika Bandung.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
PENDAHULUAN
Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas
segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan
(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit – seperti
bilangan bulat, graf, atau kalimat logika – tidak berubah secara kontinyu, namun
memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam
matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi,
rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama
dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
BAB I
HIMPUNAN
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam
himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,
... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.
Notasi himpunan :
pЄA
A
B atau B
p adalah elemen dari A atau p anggota dari A
A
A adalah himpunan bagian/samadengan (subset) B atau
B mengandung A
A
B atau B
A
A adalah himpunan bagian (proper subset) dari B atau
sebaliknya;
∅
U/S
himpunan kosong
himpunan semesta
1. Himpunan
a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya (Prinsiple
of Extension) : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika
mereka mempunyai anggota yang sama.
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian
dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
b. Suatu himpunan dapat digambarkan dalam hal sifatnya (Prinsiple of
Abstraction) : Diberikan sembarang himpunan U dan mempunyai sifat
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari
A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P.
c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Himpunan kosong atau Ø atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan
{0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {Ø} juga memuat satu elemen
yaitu himpunan kosong (ini adalah himpunan dari himpunan). Himpunan
kosong merupakan subset dari himpunan manapun.
d. A
B (A adalah subset dari B) menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga
anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B.
Notasi : A = B ↔ A
A
B dan B
A
B (A adalah proper subset dari B) menyatakan bahwa A adalah himpuan
bagian dari B tetapi A ≠ B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada
di A
e. (i) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai Ø
A
(ii) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai A
A
(iii) Jika A
B dan B
C, maka A
(iv) A = B jika dan hanya jika A
U
C
B dan B
A
Bukti :
(i)
Setiap himpunan A adalah suatu subset dari himpunan U karena,
menurut definisi, semua anggota dari A adalah anggota dari U.
Demikian juga himpunan Ø adalah subset dari A
(ii)
Setiap himpunan A adalah subset dari dirinya sendiri karena elemen
elemen dari A adalah anggota dari A.
(iii)
Jika setiap elemen dari himpunan A anggota dari B, dan setiap elemen
dari B adalah anggta dari suatu himpunan C, maka jelas setiap elemen
dari A adalah anggota dari C. dengan kata lain, jika A
maka A
(iv)
Jika A
B dan B
C,
C.
B dan B
C maka A dan B mempunyai elemen-elemen yang
sama, sehingga A = B. Sebaliknya jika A = B maka A
B dan B
C
karena setiap himpunan adalah subset dari dirinya sendiri.
f. Simbol-simbol Baku
P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Q = Himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan
b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)
R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional
adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,
atau
bilangan
yang
bukan
bilangan
rasional.
Contohnya : √2, √3, √5
C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)
g. Notasi pembentuk Himpunan
Notasi: {x│syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan yang harus digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:
1. Bagian di kiri tanda “│” melambangkan elemen himpunan.
2. Tanda “│” dibaca dimana atau sedemikian sehingga.
3. Bagian di kanan tanda “│” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.
4. Setiap tanda “,” di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.
Contoh :
1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan
notasi himpunan :
a. 1 bukan anggota dari himpunan A → 1 A
b. 5 adalah anggota dari himpunan B → 5
B
c. A adalah himpunan bagian/sama dengan (subset) C → A
d. A bukan himpunan bagian/sama dengan (subset) D → A
e. F mengandung semua elemen dari G → G
F atau F
C
D
G
f. E dan F mengandung elemen-elemen yang sama → E = F
2. Tuliskan elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2,
3,…}
a. A = {x : x
N, 3 ˂ x ˂12} → A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
b. B ={x : x
c. C = {x : x
N, x bilangan genap, x ˂ 15} → B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
N, 4 + x = 3} → C = Ø
Latihan Soal :
1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,
…)
a. A = {x : x Є N, 3 ˂ x < 9}
b. B = {x : x Є N, x2 + 1 = 10}
c. C = {x : x Є N, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}
2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan
bulat)
a. A = {x : x Є Z, 3 ˂ x < 9}
b. B = {x : x Є Z, x2 + 1 = 10}
c. C = {x : x Є Z, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}
3. Tentukan
himpunan-himpunan
berikut
dengan
menuliskan
elemen-
elemennya
a. A = {x : x Є R, -5 ˂ x < 5}
b. B = {x : x Є N, x kelipatan 3}
c. C = {x : x warga negara Indonesia, x adalah remaja}
4. Misalkan A = {x : 3x = 6}. Apakah A = 2?
5. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : {w}, {y, w, z}, {w, y, x}, {y, z, w},
{w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama
dengan himpunan A = {w, y, z}?
6. Tentukan
himpunan-himpunan
berikut
dengan
menuliskan
elemen-
elemennya:
a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu}
b. P = {x l x2 – 4 = 0}
c. N = { x l x bilangan asli}
d. A = {x l x2 = 9, x genap}
7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut:
a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}, maka …
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
b. P = {x l x2 – 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka …
c. P = {1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka …
d. G = {x l x bilangan genap} dan H = {x l x blangan bulat}, maka …
2. Diagram Venn
a. Himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable) jika A
B A;
sedangkan
A
(noncomparable) jika A
dan
B
B dan B
tidak
dapat
B atau
diperbandingkan
A.
b. Himpunan A dan B adalah saling asing (disjoint) jika mereka tidak
mempunyai elemen yang sama, yaitu bila tidak ada elemen di A yang
menjadi anggota di B dan tidak ada elemen di B yang menjadi anggota di A.
Sebuah diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunanhimpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta U diwakili oleh
bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh
cakram-cakram dalam persegi. Jika A
B, maka perwakilan cakram A
seluruhnya akan berada di dalam cakram B seperti gambar (a). Jika A dan B
disjoint, yaitu tidak mempuyai elemen bersama. Maka perwakilan cakram A
akan terpisah dari cakram B seperti gambar (b). Gambar (c) adalah beberapa
objek ada di A tetapi tidak di B, ada di B tetapi tidak di A, ada di A dan B, dan
tidak di kedua-duanya.
(a) A
B
(b) A & B saling asing
(c)
U
U
B
A
A
Latihan soal :
1. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A dan B
mempunyai elemen bersama, B dan C mempunyai elemen bersama, tetapi
himpunan A dan C disjoint.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
2. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A
B,
himpunan A dan C saling asing, tetapi himpunan B dan C mempunyai
elemen bersama
3. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana ketiga
himpunan tersebut saling asing.
4. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana akan
membagi himpunan semesta U kedalam 23 = 8 bagian. Mengapa terdapat 8?
5. Perhatikan suatu diagram Venn umum dari 4 himpunan A, B, C,dan D.Dalam
berapa daerah bagiankah himpunan semesta U dapat dibagi?
3. Operasi antar Himpunan
a. Gabungan (union)
Gabungan dari dua himpunan A dan B , dinyatakan dengan A U B, adalah
himpunan semua elemen A atau B :
A U B = {x : x Є A atau x Є B}
Contoh:
1. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A U B = {2, 5, 7, 8, 22}
2. A U ∅ = A
b. Irisan (intersection)
Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, adalah
himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan juga B.
A ∩ B = {x : x Є A atau x Є B}
Jika A ∩ B = ∅ berarti A dan B tidak mempunyai elemen bersama, yaitu ,
bahwa A dan B adalah himpunan yang saling asing (disjoint).
Contoh:
1. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10}
2. Jika A = {x, y)│x + y = 7, x, y Є R} dan B = {x, y)│x - y = 3, x, y Є R}
maka A ∩ B = {(5, 2)}, yang merupakan titik potong garis x + y = 7 dan
x-y=3
3. Jika A = {3, 5, 9} dan B = {-2, 6}, maka A ∩ B = ∅.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
c. Komplemen suatu Himpunan (Absolute Complement)
Komplemen himpunan dinyatakan dengan Ac, adalah himpunan dari elemenelemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A :
Ac = {x : x Є U, x A}
Contoh:
Misalkan S = {1, 2, 3, …, 9}
1. Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ac = {2, 4, 5, 6, 8}
2. Jika A = {x│x/2 Є P, x < 9}, maka Ac = {1, 3, 5, 7, 9}
d. Selisih dari Dua Himpunan (The Relative Complement)
Selisih dari A dan B dinyatakan dengan A\B, adalah himpunan dari elemenelemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B :
A\B = {x : x Є A, x
B}
Contoh:
1. Jika A = {1, 2, 3, …, 10} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka A\B = {1, 3, 5,
7, 9} dan B\A = ∅
2. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3}, maka A\B = {5} dan B\A = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang
elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
A ⊕ B = (A U B)\(A ∩ B) = (A\B) U B\A
Contoh:
1. Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5}, maka A ⊕ B = {3, 4, 5, 6}
2. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ⊕ B = {2, 6, 8,
10, 14, 18}
AA
AUB
B
A
A∩B
B
A
Ac
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
A\B
A
B
A⊕B
A
B
Latihan soal :
1. Diketahui: S ={1,2,3,...,8,9}, A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8}, C ={3,4,5,6}
Tentukan :
1) A U B
14) Bc
2) A U C
15) Cc
3) B U C
16) A\B
4) B U B
17) C\A
5) (A U B) U C
18) B\C
6) A U (B U C)
19) B\A
7) A ∩ B
20) B\B
8) A ∩ C
21) A ∩ (B U C)
9) B ∩ C
22) (A ∩ B) U (A ∩ C)
10)B ∩ B
23) (A U B)c
11)(A ∩ B) ∩ C
24) Ac ∩ Bc
12)A ∩ (B ∩ C)
25) (A ∩ B)\C
13)Ac
26) (A\B)c
27. A ⊕ B
28. A ⊕ C
29. B ⊕ C
2. Diketahui: U ={a,b,c,d,e}, A ={a,b,d},B ={b,d,e}. Tentukan :
1) A U B
6) A U Bc
2) B ∩ A
7) AC U Bc
3) Bc
8) (A ∩ B)C
4) B\A
9) BC\AC
5) Ac ∩ B
10) (A U B)C
3. Di antara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika, 20 orang
memepelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 mempelajari fisika dan
biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
1) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang
tersebut.
2) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu di antara
ketiga bidang tersebut.
4. Aljabar Himpunan
Hukum atau sifat dari aljabar himpunan
Hukum Idempotent
1a. A U A = A
1b. A ∩ A = A
Hukum Assosiatif
2a. (A U B) U C = A U (B U C)
2b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Hukum Komutatif
3a. A U B = B U A
3b. A ∩ B = B ∩ A
Hukum Distributif
4a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
4b. A ∩ (B U C)= (A∩B) U (A ∩ C)
Hukum Identitas
5a. A U Ø = A
6a. A U S = S
5b. A ∩ S = A
6b. A ∩ Ø = Ø
Hukum Involusi
7. (Ac)c = A
Hukum Komplemen
8a. A U Ac = S
8b. A ∩ Ac = Ø
9a. Sc = Ø
9b. Ø = S
Dalil de Morgan
10a. (A U B)c = Ac ∩ Bc
10b. (A ∩ B)c = Ac U Bc
Contoh :
Gunakan hukum-hukum pada tabel diatas untuk membuktikan identitas berikut:
(S ∩ A) U (B ∩ A) = A
(S ∩ A) U (B ∩ A) = (A ∩ S) U (A ∩ B) sifat komutatif 3b
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
= A ∩ (S U B)
sifat distributif 4b
= A ∩ (B U S)
sifat komutatif 3a
=A∩S
sifat identitas 6a
=A
sifat identitas 5b
Latihan soal :
Buktikan identitas-identitas berikut :
1. (B U C) ∩ A = (B ∩ A) U (C ∩ A)
2. (B ∩ C) U A = (B U A) ∩ (C U A)
3. (A U B) ∩ (A U Bc) = A
4. A U (A ∩ B) = A
5. (Bc ∩ S) ∩ (Ac U Ø) = (A U B)c
6. (A U B)c = Ac ∩ Bc
5. Argumen dan Diagram Venn
Pada bagian ini diagram venn digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari
suatu argumen.
Contoh :
1. Terjemahkan setiap pernyataan berikut dalam bentuk diagram venn :
a. Semua mahasiswa adalah malas
b. Beberapa mahasiswa adalah malas
c. Tidak ada mahasiswa yang malas
d. Tidak semua mahasiswa adalah malas
Jawab :
orang malas
mahasiswa
(a)
Orang
malas
mahasiswa
(b) dan (d)
Orang
malas
mahasiswa
(c)
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
(a) Himpunan mahasiswa tercakup dalam himpunan orang malas seperti
ditunjukkan gambar a
(b) Himpunan mahasiswa dan orang malas mempunyai suatu elemen
bersama seperti gambar b
(c) Himpunan mahasiswa dan orang malas adalah saling asing seperti
gambar c.
(d) Dalam hal ini himpunan mahasiwa tidak tercakup dalam himpunan orangorang malas. Ini menunjuk pada gambar b (dengan kemungkinan bahwa
irisan himpunannya kosong)
2. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah benar :
S1 : Panci adalah sesuatu yang saya punya, terbuat dari timah
S2 : Saya mendapatkan semua pemberian kamu yang sangat berguna
S3 : Tak satupun dari panci saya yang berguna
S : Pemberian kamu pada saya bukan terbuat dari timah
Menurut S1 barang dari timah tercakup dalam himpunan panci dan
menurut S3 himpunan panci dan barang berguna adalah saling asing;
seperti digambarkan dalam diagram venn berikut :
panci dr timah
Barang yg berguna
panci
Menurut S2 himpunan “hadiah anda” adalah subset dari himpunan barang
berguna seperti gambar berikut :
panci dr timah
panci
Hadiah anda
Barang yg berguna
Kesimpulannya dengan jelas cocok oleh diagram venn di atas karena
himpunan “hadiah anda” adalah disjoint dari himpunan barang yang tebal
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Latihan soal :
1. Perhatikan asumsi-asumsi berikut :
S1 : Penyair adalah orang yang bahagia
S2 : Setiap dokter adalah orang kaya
S3 : Tak satupun orang yang bahagia adalah orang kaya
Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut :
a. Tak ada penyair yang kaya
b. Dokter adalah orang yang bahagia
c. Tak ada satupun yang menjadi penyair dan dokter
2. Perhatikan argumen-argumen berikut :
S1 : Semua ahli matematik adalah orang-orang yang menarik
S2 : Beberapa guru menjual asuransi
S3 : Beberapa ahli filsafat adalah ahli matematik
S4 : Hanya orang yang tidak menarik menjadi penjual asuransi
Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut :
a. S : Penjual asuransi bukan ahli matematik
b. S : Beberapa orang yang menarik adalah bukan guru
c. S : Beberapa guru bukan ahli filsafat
3. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar :
S1 : Semua mahasiswa adalah pemalas
S2 : Tak seorangpun yang kaya adalah seorang mahasiswa
S : Orang pemalas adalah tidak kaya
4. Tunjukkan bahwa argumen berikut benar
S1 : Tidak ada mahasiswa yang pemalas
S2 : John adalah seorang artis
S3 : Semua artis adalah pemalas
S : John bukan seorang mahasiswa
5. Tunjukkan bahwa arguman berikut adalah benar :
S1 : Semua pengacara adalah orang kaya
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
S2 : Penyair adalah orang temperamental
S3 : Audrey adalah seorang pengacara
S4 : Tidak ada orang temperamental adalah orang kaya
S : Audrey bukan seorang penyair
6. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar (mekipun setiap
pernyataannya benar):
S1 : Beberapa binatang dapat berpikir
S2 : Man adalah seekor binatang
S : Man dapat berpikir
7. Tunjukan bahwa argumen berikut adalah benar :
S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : Setiap raja merupakan orang kaya
S3 : Tidak ada orang kaya yang tenteram hidupnya
S : Tidak ada seorang pun guru yang juga raja
8. Induksi Lengkap
Prinsip bentuk induksi matematika yang ekuivalen :
1. Bentuk I : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang didefinisikan pada
bilangan bulat positif N; P(n) bisa benar atau salah utuk setiap n dalam N.
anggap P mempunyai dua sifat berikut :
(i)
P(1) adalah benar
(ii)
P(n + 1) bernilai benar bilamana P(n) benar
Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.
2. Bentuk II (induksi lengkap) : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang
didefinisikan pada bilangan bulat positif N, sedemikian hingga :
(i)
P(1) adalah benar
(ii)
P(n) bernilai benar bilaman P(k) benar untuk setiap 1 ≤ k ≤ n.
Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Prinsip induksi matematika dimulai dengan n0 = 1 dan membuktikanbahwa P(n)
berlaku untuk setiap n ≥ 1. Atau dapat dimulai dengan sembarang n0 = m dan
membuktikan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n ≥ m.
Contoh :
1. Misalkan P adalah proposisi bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah
n2, yaitu,
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2
(Bilangan ganjil ke-n adalah 2n – 1, dan bilangan ganjil berikutnya adalah 2n
+ 1). Buktikan P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n Є N.
Penyelesaian :
Karena 1 = 12, maka P(1) benar. Asumsikan P(n) benar. kita tambahkan 2n
+ 1 pada kedua sisi P(n), di dapat :
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2
yang mana adalah P(n + 1). Sehingga P(n + 1) benar bilamana P(n) benar.
Menurut prinsip induksi matematika, P berlaku untuk setiap n
2. Buktikan proposisi P, jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah ½ n(n
+ 1); yaitu
P(n) : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n (n + 1)
Penyelesaian :
Proposisi berlaku untuk n = 1 karena 1 = ½ (1) (1 + 1), sehingga P(1)
benar. Asumsikan P(n) benar, kita tambahkan n + 1 pada kedua sisi P(n),
didapat :
1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = ½ n (n + 1) + (n + 1)
= ½ [(n (n + 1) + 2(n + 1)]
= ½ [(n + 1)(n + 2)]
Yang mana adalah P(n + 1) benar bilamana P(n) benar. Menurut prinsip
induksi, P berlaku untuk setiap n.
BY : SRI ESTI
MATEMATIKA DISKRIT
Latihan soal :
Buktikan proposisi berikut :
1. P(n) : 12 + 22 + … + n2 =
2. P(n) : 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =
3. P(n) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) =
4. P(n) : 1(1!) + 2 (2!) + … + n(n!) = (n + 1)! - 1
5. P(n) : 12 - 22 - 32 + (-1)n+1 n2 =
6. P(n) : 13 + 23 + 33 + … + n3 = [
7. P(n) : 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
]
BY : SRI ESTI