Catatan Kuliah Metode Numerik BAB 3 Inte

Metode Numerik

Catatan Kuliah

BAB 3
Interpolasi
1. Beda Hingga
2. Interpolasi Linear dan Kuadrat
3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur
Newton
4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton
5. Polinom Interpolasi Lagrange

Metode Numerik

Catatan Kuliah

1. Beda Hingga
Misalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris fj = f(xj) dari suatu fungsi f
pada titik-titik yang berjarak sama,
x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,

x3 = x0 + 3h, …

dengan h > 0 tetap.
Fungsi f(xi) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secara
empiris dari percobaan.
Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap
nilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.
Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilai
beda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam
tabel.
Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalam
kolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolom
sebelumnya dari mana beda itu dibangun. Titik (koma) desimal dan nol
pemula dari beda-beda itu boleh dihilangkan.

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Terdapat tiga notasi untuk beda-beda yang terjadi dalam suatu tabel beda.
A. Beda-beda Pusat
Bentuk tabel beda-beda pusat sebagai berikut:

x− 2

f −2

x−1
x0

f −1
f0

x1
x2

f1

δf −3

δ 2 f −1
δ 2 f0
δ 2 f1

2

δ f −1
2

δf1
2

δf 3

f2

δ 3 f −1
2
3

δ f1
2

2

Secara umum diperoleh,

δf

m+

1
2

= f m +1 − f m

δ 2 f m = δf

1

m+
2

− δf

Indeks beda di kiri adalah
rataan indeks beda di kanan
m−

1
2

Metode Numerik

Catatan Kuliah

B. Beda-beda Maju
Bentuk tabel beda-beda maju sebagai berikut:

x− 2

f −2

x−1

f −1
f0

x0
x1
x2

f1
f2

∆ f−2
∆ f −1

∆2 f −2

∆ f0
∆ f1

∆ f −1

2

∆3 f −2

2

∆3 f −1

∆ f0

Secara umum diperoleh,

∆f m = f m +1 − f m

∆2 f m = ∆f m +1 − ∆f m

Beda-beda dengan indeks yang
sama terletak pada garis yang
miring ke bawah atau maju pada
tabel

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Algoritma Beda-beda maju
Diberikan xj, ∆0 f j = f j = f ( x j ), j = 0, 1, 2, ..., n
Untuk k = 1, 2, …, n lakukan
untuk m = 0, 1, …, n – k, lakukan

∆k f m = ∆k −1 f m +1 − ∆k −1 f m

x− 2

f −2

x−1

f −1
f0

x0
x1
x2

f1
f2

∇ f −1
∇ f0
∇ f1
∇ f2

∇2 f 0
2

∇ f1
∇2 f 2

∇3 f1
∇3 f 2

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Secara umum diperoleh,
Beda-beda dengan indeks yang sama
terletak pada garis yang miring ke atas
atau mundur pada tabel

∇f m = f m−1 − f m

∇ 2 f m = ∇f m −1 − ∇f m

Kaitan dari ke tiga notasi beda-beda di atas adalah :

δ n f m = ∆n f

m−

n
2

= ∇n f

m+

n
2

Contoh 3.1
Nilai dan beda dari f(x) = 1/x, x = 1 (0.2) 2, 4D
!
1 .0

1.0000

1 .2
1 .4
1 .6

0.8333
0.7143
0.6250

1 .8
2 .0

0.5556
0.5000

− 1667
− 1190
− 893
− 694
− 556

477
297
199
138

− 180
− 98
− 61

82
37

Catatan, bila ditetapkan x0 = 1.6, maka diperoleh
-0.0893 = δf −1
2

= ∆f −1
= ∇f 0

Metode Numerik

Catatan Kuliah

2. Interpolasi linear dan Kuadrat
Diberikan tabel nilai suatu fungsi f(x), seringkali untuk mencari nilai-nilai
f(x) untuk nilai x diantara nilai-nilai x yang muncul dalam tabel tersebut.
Masalah untuk memperoleh nilai f(x) demikian disebut Interpolasi.
Nilai-nilai f(x) yang ditabulasikan dan digunakan dalam proses ini disebut
nilai-nilai pivotal.
Metode interpolasi biasanya didasarkan pada asumsi bahwa disekitar nilai
x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang
nilainya pada x tersebut merupakan hampiran dari nilai fungsi f(x).
Interpolasi linear
#

!$
%
!

!

(

%
%

)

$

'
!

!$
%
&

*

(

&

!

!

+ %

(

%

f ( x) ≈ p1 ( x) = f 0 + r ( f1 − f 0 ) = f 0 + r∆f 0
,

(

!

%

x − x0
r=
, 0 ≤ r ≤1
h

"

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Interpolasi linear sering digunakan untuk menghitung tabel logaritma dan
fungsi trigonometri.
Interpolasi linear akan memberikan hasil yang baik selama nilai-nilai x
dalam tabel sedemikian dekatnya sehingga talibusur-talibusur
menyimpang dari kurva f(x) cukup kecil, katakanlah kurang dari ½ satuan
angka terakhir dalam tabel untuk setiap x diantara x0 dan x1.
Galat untuk iterpolasi linear adalah ε ( x) = p1 ( x) − f ( x) = f 0 + r ( f1 − f 0 ) − f ( x)
2
Taksiran galat tersebut adalah : ε ( x) ≤ 18 h M 2

Dimana f(x) mempunyai turunan kedua pada x0 ≤ x ≤ x1 dan f’’(x) terbatas
dengan f ' ' ( x) ≤ M 2
Interpolasi kuadrat
!$
.
'
* (+ %
(
!
$
&
. . .
(. ( .
%
!
&
%
r (r − 1)
f ( x) ≈ p2 ( x) = f 0 + r ( f1 − f 0 ) +
( f 2 − 2 f1 + f 0 ) = f 0 + r∆f 0 + r (r − 1) ∆2 f 0
2
2
x−x
.

r=

0

h

, 0≤r ≤2

-

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Contoh 3.2
Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972 dan nilai ln 9.5 = 2.2513. Tentukan nilai ln 9.2.
Jawab
Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga
ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)
= 2.1972 + 0.4 ( 2.2513 – 2,1972)
= 2.2188 (eksak sampai 3D)

Contoh 3.3
Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972, ln 9.5 = 2.2513 dan nilai ln 10.0 = 2.3026.
Tentukan nilai ln 9.2.
Jawab
Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga
ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)+ (1/2)(0.4)(-0,6)(ln 10.0-(2)(ln 9.5)+ln 9.0)
= 2.197 + 0.4 ( 2.251 – 2,197) +(-0.12)(2.3026 – (2)2.2513 + 2.1972)
= 2.2192 (eksak sampai 4D)
/

Metode Numerik

Catatan Kuliah

3. Interpolasi Beda Maju dan Beda Mundur Newton
Hampiran lebih teliti diperoleh bila menggunakan polinom yang derajatnya
lebih tinggi.
Polinom pn(x) berderajat n ditentukan secara tunggal oleh n+1 nilai xi, i = 0, 1,
2, …, n, yang berlainan, sedemikian sehingga diperoleh,
pn(x0) = f0 , pn(x1) = f1, …, pn(xn) = fn
dengan f(x0) = f0 , f(x1) = f1, …, f(xn) = fn
Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:

f ( x) ≈ pn ( x) = f 0 + r∆f 0 +
n

=
s =0

,

r (r − 1) 2
r (r − 1)...(r − n + 1) n
∆ f 0 + ... +
∆ f0
2!
n!

r s
∆ f0
s

x − x0
, 0≤r ≤n
h
r
r (r − 1)(r − 2)...(r − s + 1)
=
s
s!
r=

% $

$

$

!
(

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa pn(xk) = fk untuk k = 0, 1, 2, …, n.
Tetapkan terlebih dahulu r = k, sehingga diperoleh x = x0 + rh = x0 + kh = xk.
k
k s
dan
f k = p n ( xk ) =
∆ f0
s =0 s

f k = f 0 + k∆f 0 +
0

2

∆2 f 0 + ... +

k
k

∆k f 0

.

*(

1

k

(

2

* (.

*(

%
* 3. &

4

fq =

*3+

q
q
q 2
q q
f0 +
∆ f0
∆ f 0 + ... +
∆f 0 +
0
1
2
q

f q +1 = f q + ∆f q
q
q 2
q 3
q q+1
q
q
q 2
q q
f
f
f
...
∆ f0
∆
+
+
∆
+
∆
+
+
f0 +
∆ f0
∆ f 0 + ... +
∆f 0 +
=
0
0
0
0
1
2
q
0
1
2
q
q
q
q +1
s
. ∆ f0
! &
$
%
=
+
s
s −1
s
q +1
q +1
q +1 2
q + 1 q +1
f q +1 =
f0 +
∆ f0
∆ f 0 + ... +
∆f 0 +
0
1
2
q +1

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Galat yang terlibat dalam interpolasi maju Newton adalah

ε ( x ) = pn ( x ) − f ( x ) =

1
( x − x0 )...( x − xn ) f ( n +1) (t )
(n + 1)!

( n +1)

Dengan f
adalah turunan ke-(n+1) dari fungsi f dan t terletak dalam
interval yang titik-titik ujungnya adalah nilai terkecil dan terbesar dari nilai-nilai
x0, x1, …, xn, x.
Algoritma Rumus Interpolasi Beda-maju Newton
Diberikan xj = x0 + jh, j = 0, 1, 2, … dan nilai-nilai fungsi yang berpadanan
yaitu ∆0 f j = f j = f ( x j ) . Juga diberikan nilai xˆ
Tetapkan
Hitung

p0 ( xˆ ) = f 0

r=

xˆ − x0
h

Untuk k = 0, 1, 2, …, sampai penghentian, lakukan

pk +1 ( xˆ ) = pk ( xˆ ) +

r
k +1

∆k +1 f 0

Periksa untuk penghentian

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Contoh 3.4
Memakai nilai-nilai dari tabel berikut
xi
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
f(xi) 1.414214 1.449138 1.483240 1.516575 1.549193
Terapkan rumus interpolasi beda maju Newton untuk mencari f(2.05) dan
f(2.15).
Jawab
a. Untuk x = 2.05, tetapkan x0 = 2.0 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5
r (r − 1)
r (r − 1)(r − 2)
( f 2 − 2 f1 + f 0 ) +
( f 3 − 3 f 2 + 3 f1 − f 0 )
2!
3!
r (r − 1)(r − 2)(r − 3)
+
( f 4 − 4 f 3 + 6 f 2 − 4 f1 + f 0 )
4!
= 1.431782

f (2.05) ≈ p4 (2.05) = f 0 + r ( f1 − f 0 ) +

b. Untuk x = 2.15, tetapkan x0 = 2.1 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5
f (2.15) ≈ p3 (2.15) = f 0 + r ( f1 − f 0 ) +
= 1.466268

r (r − 1)
r (r − 1)(r − 2)
( f 2 − 2 f1 + f 0 ) +
( f 3 − 3 f 2 + 3 f1 − f 0 )
2!
3!

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Sedangkan rumus untuk interpolasi beda mundur Newton adalah:

f ( x ) ≈ p n ( x ) = f 0 + r∇f 0 +
n

=
s =0

,

r
s

r (r − 1) 2
r (r − 1)...(r − n + 1) n
∇ f 0 + ... +
∇ f0
2!
n!

∇s f0

x − x0
, 0≤r ≤n
h
r
r (r − 1)(r − 2)...(r − s + 1)
=
s
s!
r=

% $

$

$

!

Rumus interpolasi lain yang menggunakan beda hingga adalah rumus Everett
Rumus ini melibatkan beda-beda hingga tingkat genap. Rumus Everett yang
paling sederhana adalah:
(2 − r )(1 − r )(− r ) 2
(r + 1)r (r − 1) 2
f ( x) ≈ (1 − r ) f 0 + rf1 +
δ f0 +
δ f1
3!
3!
x − x0
,
, 0 ≤ r ≤1
r=
h

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Untuk membuat penerapannya mudah, tabel-tabel fungsi biasanya menyertakan beda-beda kedua yang diperlukan. Galatnya adalah

ε ( x ) = pn ( x ) − f ( x) = − h

4

r +1
4

f ( 4 ) (t )

dimana x0 – h < t < x0 + 2h
Contoh 3.5
Memakai nilai-nilai dari tabel berikut
xi
f(xi)
δ 2 fi
1.2
3.3201
333
1.3
3.6693
367
Terapkan rumus Everett untuk mencari f(1.24).
Jawab
Untuk x = 1.24, tetapkan x0 = 1.2 sehingga r = 0.04 / 0.1 = 0.4
(1.6)(0.6)(−0.4)
(0.0333)
f (1.24) ≈ (0.6)(3.3201) + (0.4)(3.6693) +
6
(1.4)(0.4)(−0.6)
+
(0.0367)
6
= 3.4598 − 0.0021 − 0.0021

= 3.4556

Metode Numerik

Catatan Kuliah

4. Polinom Interpolasi Beda terbagi Newton
Misalkan diberikan x0, x1, x2 ,…, xn dengan jarak sembarang.
Polinom pn(x) berderajat n melalui titik-titik (x0, f0), (x1, f1), …, (xn, fn) dengan
fj = f(xj) diberikan oleh rumus interpolasi beda terbagi Newton:

f ( x) ≈ pn ( x) = f 0 + ( x − x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]
+ ... + ( x − x0 )...( x − xn −1 ) f [ x0 , x1 ,..., xn ]
Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,
f ( x1 ) − f ( x0 )
5
* (+ %
f [ x0 , x1 ] =
x1 − x0
!$
f [ x1 , x2 ] − f [ x0 , x1 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] =
4 6 7$
x2 − x0

.................

f [ x0 , x1 ,..., xk ] =

f [ x1 , x2 ,..., xk ] − f [ x0 , x1 ,..., xk −1 ]
xk − x0

.

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Algoritma Polinom Beda terbagi Newton.

Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n
x, Epsilon
Langkah-langkah :
b0 ← f ( x0 )
pbagi ← b0 ; faktor ← 1

(.
(

.

.8
&
. 9 (. :. 9 (. . :

Untuk i ← 1, 2, ..., n, lakukan
bi ← f ((xxi )
Untuk j ← i − 1, i − 2, ..., 0, lakukan
b j +1 − b j
bj ←
xi − x j
faktor ← faktor.( x − xi −1 )
suku ← b0 . faktor
pbagi ← pbagi + suku

Jika suku ≤ Epsilon maka Selesai
"

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Contoh 3.6
Diberikan pasangan nilai x0 = 1, f(x0) = 0; x1 = 4, f(x1) = 1.3862944;
x2 = 6, f(x2) = 1.7917595; x3 = 5, f(x3) = 1.6094379;
a. Buat tabel beda terbagi dari data tersebut.
b. Gunakan tabel beda terbagi di atas dalam menerapkan rumus interpolasi
beda terbagi Newton dengan x = 2
Jawab
a. Tabel beda terbaginya adalah
9.:

0
1
2
3

1
4
6
5

0
1.3862944
1.7917595
1.6094379

0.4620981
0.2027326
0.1823216

9. .:

9. . .:

− 0.0518731
− 0.0204109

0.007865

b. f (2) ≈ p2 (2) = 0 + (2 − 1)(0.4620981) + (2 − 1)(2 − 4)(−0.0518731) = 0.5658444

f (2) ≈ p3 (2) = p2 (2) + (2 − 1)(2 − 4)(2 − 6)(0.007865) = 0.6287687
-

Metode Numerik

Catatan Kuliah

5. Polinom Interpolasi Lagrange
Metode interpolasi lain dalam kasus nilai pivotal x0 ini didasarkan kepada
rumus interpolasi Lagrange n + 1 titik,
n

f ( x) ≈ Ln ( x) =
i =0

li ( x)
fi
li ( xi )

dengan, l0 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 )...( x − xn )

l1 ( x) = ( x − x0 )( x − x2 )...( x − xn )
.................
li ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn )
.................
ln ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 )
Dalam hal ini terlihat bahwa untuk x = xi, maka

f ( xi ) ≈ Ln ( xi ) = f i

Rumus Interpolasi Lagrange dapat juga ditulis dalam bentuk
n

f ( x) ≈ Ln ( x) =

l ( x, xi ) f i
i =0

dengan

l ( x, xi ) = ∏

j ≠i

x − xj
xi − x j
/

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange

Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n ; x
Langkah-langkah :

plag ← 0
Untuk i ← 1, 2, ..., n, lakukan
faktor ← 1

Untuk j ← 0, 1, ..., n, lakukan

Jika j ≠ i maka faktor ← faktor.

x − xj
xi − x j

plag ← plag + faktor . f ( xi )

Contoh 3.7
Diberikan pasangan nilai x dan f(x) berikut:
X
f(x)

9.0
2.19722

9.5
2.25129

10.0
2.30259

11.0
2.39790

Gunakan Interpolasi Lagrange untuk menghitung f(9.2).
(

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Jawab
Dalam hal ini diperoleh,

l0 ( x) = ( x − 9.5)( x − 10.0)( x − 11.0)

l1 ( x) = ( x − 9.0)( x − 10.0)( x − 11.0)
l2 ( x) = ( x − 9.0)( x − 9.5)( x − 11.0)

l3 ( x) = ( x − 9.0)( x − 9.5)( x − 10.0)
Sehingga

3

f (9.2) ≈ L3 (9.2) =
i =0

li (9.2)
fi
li ( xi )

l3 (9.2)
l2 (9.2)
l1 (9.2)
l0 (9.2)
f0 +
=
f3
f2 +
f1 +
l3 ( x3 )
l 2 ( x2 )
l1 ( x1 )
l0 ( x0 )
=

− 0.43200
0.28800
0.10800
0.04800
2.19722 +
2.25129 +
2.30259 +
2.39790
− 1.0000
− 0.50000
0.37500
3.00000

= 2.21920

;

!

,

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Masalah pencarian x untuk f(x) yang diberikan dikenal sebagai interpolasi
balikan / invers.
Jika fungsi f terdiferensialkan dan df/dx tidak nol dekat titik dimana
interpolasi balikan harus diperhitungkan, balikan x = F(y) dan y = f(x) ada
secara lokal didekat nilai f yang diberikan dan mungkin terjadi bahwa F
dapat dihampiri dalam lingkungan itu dengan suatu polinom yang
derajatnya agak rendah. Kemudian jalankan interpolasi balikan dengan
membuat tabulasi F sebagai suatu fungsi y dan menerapkan metodemetode interpolasi yang langsung pada F.
Jika df/dx = 0 dekat atau pada titik yang diinginkan, kemungkinan berguna
untuk memecahkan p(x) = f dengan iterasi. Dalam hal ini, p(x) adalah
polinom yang menghampiri f(x) dan f adalah nilai yang diberikan.