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Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 12 No. 2(2004), pp. 139–148
F´
ormulas de Cuadratura Optimales
en Variedades Integrales
Optimal Quadrature Formulas in Integral Varieties
Yohan D´ıaz Ferrer (ydiazf@yahoo.es)
Lelis Ra´
ul Vaillant Pascual
Departamento de Matem´atica, Facultad de Matem´atica y Computaci´on
Universidad de Oriente, Patricio Lumumba S/N
Santiago de Cuba, CP 90500, Cuba.
Abel Vel´azquez Pratts
Departamento de Matem´atica, Facultad de Ingenier´ıa El´ectrica
Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba.
Resumen
En este trabajo se da un m´etodo para obtener f´
ormulas de cuadratura optimales en clases de funciones diferenciables con una estructura
dada.
Palabras y frases clave: Integraci´
on num´erica, f´
ormulas de cuadratura.
Abstract
In this paper we present a method to obtain optimal quadrature
formula in a class of differentiable function with a given structure.
Key words and phrases: Numerical integration, quadrature formulas.
1
Planteamiento del Problema
Sean el intervalo [0, T ] de R1 y F(0, T ) el conjunto de funciones que satisfacen
en [0, T ] la ecuaci´on diferencial
n
X
ai f (i) (t) = ξ(t)
i=0
Recibido 2003/07/15. Aceptado 2003/11/12.
MSC (2000): 65D30, 65D32.
(1)
140
Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
donde ai , i = 0, 1, · · · , n − 1 son constantes conocidas, an = 1, n ≥ 1 y
ξ(t) es una funci´on desconocida de un conjunto E ⊂ L2 (0, T ). Para algunas
funciones f ∈ F se conocen valores aproximados de las mismas en los puntos
t1 , t2 , · · · , tN , o sea,
(2)
f (ti ) ∼
= yi , i = 1, 2, · · · , N,
donde 0 < t1 < t2 < · · · < tN < T . Supongamos tambi´en que se cumplen las
desigualdades
Z T
n
X
2
2
ξ 2 (t)dt ≤ ζ 2 .
(3)
|f (ti ) − yi | ≤ ε ,
0
i=0
Para los datos {ai }ni=0 , {yi , ti }N
i=1 , ε, ζ, se exige calcular la integral
I(f ) =
Z
T
ρ(t)f (t)dt
(4)
0
donde ρ(t) ∈ L2 (0, T ) es una funci´on de peso dada, no id´enticamente nula. Para el c´alculo de la integral (4) usualmente se utiliza una f´ormula de cuadratura
del tipo
Z T
N
X
Ck yk
(5)
ρ(t)f (t)dt ∼
=
0
k=1
en la que la suma de la derecha aproxima con cierta precisi´on a la integral de
la izquierda. Ahora bien, definiendo el error de la aproximaci´on como
¯Z
¯
N
¯ T
¯
X
¯
¯
R(C1 , · · · , CN ) = sup ¯
ρ(t)f (t)dt −
Ck yk ¯ ,
¯
¯
0
f∈ F
(6)
k=1
podemos plantearnos el problema de hallar los coeficientes
Ck , k = 1, 2, · · · , N,
para los cuales R(C1 , · · · , CN ) = RN (C) sea m´ınimo, o sea,
RN (C) = m´ın R(C1 , C2 , · · · , CN ).
Ck
(7)
Si el m´ınimo existe, entonces, los coeficientes que lo alcanzan definen una
f´ormula de cuadratura optimal en la clase de funciones dada F.
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 12 No. 2 (2004), pp. 139–148
F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
2
141
Problema Conjugado
Tomemos una funci´on arbitraria ψ(t), la cual tiene en el intervalo (tj , tj+1 )
derivada hasta el orden n inclusive
(t0 = 0, tN +1 = T, j = 0, 1, · · · , N ).
Integrando por partes obtenemos
Z
tj+1
ψf (i) dt =
tj
Z
i−1 ³
¯tj+1 −0
X
¯
−1)ν ψ (ν) f (i−ν−1) ¯
+ (−1)i
tj +0
ν=0
tj+1
ψ (i) f dt.
(8)
tj
Debido a las relaciones (1) y (2) se cumplen las identidades
!
à n
Z T
X
(i)
ai f (t) − ξ(t) dt ≡ 0,
ψ(t)
0
i=0
(9)
N
X
Ci (yi − f (ti ) + εi ) ≡ 0.
k=1
Aqu´ı los Ci son n´
umeros arbitrarios, εi = f (ti ) − yi son errores desconocidos
de los datos (2). Sumando formalmente las identidades (9), usando la relaci´on
(8) y la identidad (4) y luego igualando los coeficientes de f (ν) , t ∈ [0, T ],
ν = 0, · · · , n − 1, obtenemos las siguientes condiciones para la funci´on ψ(·) :
ψ (n) +
n−1
X
(−1)n−ν aν ψ (ν) = (−1)n−1 ρ(t), t ∈ (ti , ti+1 ), i = 1, N
(10)
ν=0
ψ (ν) (0) = ψ (ν) (T ) = 0, ν = 0, n − 1
ψ (ν) (ti + 0) = ψ (ν) (ti − 0), ν = 0, n − 2, i = 1, N
(11)
ψ (n−1) (ti + 0) − ψ (n−1) (ti − 0) = (−1)n Ci , i = 1, N
(12)
si tal funci´on ψ(t) existe, entonces la integral (4) toma la forma
I(f ) =
N
X
i=1
Ci (yi + εi ) −
Z
T
ψ(t)ξ(t)dt.
0
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 12 No. 2 (2004), pp. 139–148
142
Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
De este modo, llegamos a la siguiente f´ormula de cuadratura
I(f ) =
Z
T
ρ(t)f (t)dt ∼
=
0
N
X
Ci yi ≡ SN (y)
(13)
i=1
el error de la cual tiene la expresi´on
I(f ) − SN (y) ≡ R(f, C, ε) =
N
X
Ci εi −
Z
T
ψ(t)ξ(t)dt
(14)
0
i=1
El problema de frontera (10)−(12) se llama problema conjugado del problema
de b´
usqueda de la f´ormula de cuadratura (13), la que es exacta en el conjunto
de soluciones de la ecuaci´on homog´enea de (1)(ξ = 0). Para la existencia de
la soluci´on del problema conjugado es suficiente que N ≥ n. Es f´acil calcular,
para las condiciones (3) el valor exacto del error (6) de (14).
v
s
uN
Z T
uX
t
2
|R(f, {Ci })| ≤ ε
Ci + ξ
ψ 2 (t)dt ≡ R(C).
(15)
i=1
0
De esta forma, la soluci´on del problema sobre la b´
usqueda de la forma de
cuadratura optimal (13), se reduce a la soluci´on del problema
m´ın
C1 ,··· ,CN
R(C)
(16)
con las condiciones (10) − (12).
3
Soluci´
on del Problema Conjugado
Usando el sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea de
(10)(ρ(t) = 0), el problema de frontera (10) − (12) se puede reducir a un
sistema de ecuaciones lineales relativo a las inc´ognitas C1 , C2 , · · · , CN , a trav´es
de las cuales se puede expresar el valor de R(C). Denotemos por ψ1 (t) la
soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (10) con las condiciones nulas
ψ (i) (0) = 0, i = 0, 1, · · · , n − 1.
(17)
Ahora sea ψ2 (t) la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea de (10) con condiciones
iniciales
ψ (i) (0) = 0, i = 0, 1, · · · , n − 2, ψ (n−1) (0) = (−1)n .
(18)
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 12 No. 2 (2004), pp. 139–148
F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
143
Entonces, la soluci´on de la ecuaci´on (10) con condiciones iniciales (17) y condiciones de saltos (11) y (12) tiene la forma
N (t)
ψ(t) = ψ1 (t) +
X
Ci ψ2 (t − ti ) ≡ ψ(t; C1 , C2 , · · · , CN ) ≡ ψ(t; C),
(19)
i=1
donde N (t) = m´ax j : tj < t. De este modo, el problema de frontera (10)−(12)
se reduce a la b´
usqueda de las constantes C1 , C2 , · · · , CN de las condiciones
(j)
0 = ψ (j) (T ) = ψ1 (T ) +
N
X
(j)
Ci ψ2 (T − ti ), j = 0, 1, · · · , n − 1.
(20)
i=1
Ahora, la soluci´on del problema (16) consiste en la b´
usqueda del m´ınimo de la
funci´on suave convexa R(C), definida por la f´ormula (15) para las relaciones
(19) y (20). Este problema se puede resolver con ayuda de los multiplicadores
de Lagrange. Para ello formemos el funcional de Lagrange
L(C, l) = R(C) +
n−1
X
lj ψ (j) (T, C),
j=0
hallando su primera variaci´on tenemos
δL = γ0
N
X
Z
Ci δi + γ1
T
ψ(t, C)δψ(t, C)dt +
0
i=1
n−1
X
lj δψ (j) (T, C)
(21)
j=0
donde l = (l0 , l1 , · · · , ln−1 ) es el vector de multiplicadores de Lagrange. De
acuerdo a (19) tenemos
N (t)
δψ (j) (t, C) =
X
(j)
δCi ψ2 (t − ti ), j = 0, 1, · · · , n − 1
(22)
!1/2
(23)
i=1
γ0 = ε/
ÃN
X
i=1
Ci2
, γ1 = ζ/
ÃZ
0
T
ψ 2 (t)dt
!1/2
.
Poniendo la expresi´on (22) en (21) e igualando a cero los coeficientes de δCi ,
obtenemos la condici´on necesaria de extremo del problema (16)
γ1 bi + γ0 Ci + γ1
N
X
s=1
Cs bis = −
n−1
X
(j)
lj ψ2 (T − ti ), i = 1, 2, · · · , N,
j=0
Divulgaciones Matem´
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(24)
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Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
donde
bi =
y
bis =
Z
Z
T
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt, b = (b1 , b2 , · · · , bN )
ti
T
ψ2 (t − ti )ψ2 (t − ts )dt, tis = m´ax{ti , ts }.
tis
Sin perder generalidad puede considerarse que γ0 = 1, entonces el sistema
(24) puede escribirse en forma matricial como
(E + γ1 B)C = −Ψl − γ1 b,
donde E es la matriz identidad y las matrices
B = B = {bis }N
i,s=1
y
(j)
Ψ = {ψ2 (T − ti )}N,n−1
i=1,j=0
son transformaciones conocidas del sistema param´etrico (24). Como γ1 ≥ 0,
entonces la matriz (E + γ1 B) es no singular por lo que
C = −(E + γ1 B)−1 (Ψl + γ1 b).
(25)
Como la condici´on (22) en forma matricial toma la forma
Ψt C = −ψ1T .
Poniendo en ella la ecuaci´on (25), hallamos la ecuaci´on para los multiplicadores de Lagrange
Ψt (E + γ1 B)−1 (Ψl + γ1 b) = ψ1T .
(26)
³
´
(1)
(n−1)
Aqu´ı denotamos ψ1T = ψ1 (T ), ψ1 (T ), · · · , ψ1
(T ) . Para resolver el problema debemos escoger el par´ametro γ1 apropiado. Esto puede hacerse a trav´es
de un m´etodo iterativo aplicado a la ecuaci´on que resulta de dividir las relaciones de (23)
1
εkψk
γ0
=
=
,
(27)
γ1
γ1
ζkCk
donde la norma de ψ se toma sobre el espacio L2 (0, T ) y la de C es la norma euclidiana. El vector C y la funci´on ψ(·) se consideran dependientes del
par´ametro γ1 a trav´es de la f´ormula (25) y la soluci´on l del sistema (26). De
esta forma, resolviendo la ecuaci´on
kCk − γ1
εkψk
= 0,
ζkCk
podemos hallar una aproximaci´on a γ1 y por supuesto una aproximaci´on a C.
Divulgaciones Matem´
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F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
4
145
F´
ormulas de Cuadratura Particulares
Consideremos que el polinomio caracter´ıstico de (10)
λn +
n−1
X
(−1)n−k ak λk = 0
(28)
k=0
tiene ra´ıces reales distintas λ1 , λ2 , · · · , λn y supongamos adem´as que ρ(t) =
1. Entonces ψ2 (t) como soluci´on de la ecuaci´on homog´enea con condiciones
iniciales
(n−1)
(k)
(0) = (−1)n
ψ2 (0) = 0, k = 0, n − 2, ψ2
se expresa en la forma
ψ2 (t) =
n
X
gi eλi t , k = 0, n − 1,
i=1
Pn
(k)
como ψ2 (t) = i=1 gi λki etλi , k = 0, n − 1 entonces g = (g1 , g2 , · · · , gn ) se
determina como soluci´on del sistema de ecuaciones
ψ2k (0) =
n
X
(n−1)
gi λki = 0, k = 0, n − 2, ψ2
(0) =
n
X
gi λn−1
= (−1)n
i
(29)
i=1
i=1
de aqu´ı obtenemos que
gi =
(−1)n+i
, i = 1, n
i−1
n
Y
Y
(xi − xk )
(xk − xi )
k=1
(30)
k=i+1
ahora ψ1 (t) es la soluci´on particular de la ecuaci´on (10) con condiciones iniciales
ψ (k) (0) = 0, k = 0, n − 1
(31)
y puede escribirse como
ψ1 (t) =
n
X
g i etλi + K
i=1
y es evidente que K =
ψ1 (0) =
n
X
i=1
−1
a0 ,
teniendo en cuenta las condiciones (31)
n
gi +
X
−1
(k)
= 0, ψ1 (0) =
g i λki = 0, k = 1, n − 1
a0
i=1
Divulgaciones Matem´
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Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
de aqu´ı obtenemos g = (g1 , g2 , · · · , gn ). La soluci´on ψ(t) se puede escribir en
la forma
à n
!
N (t)
n
X
X
X
1
λi (t−tk )
tλk
ψ(t) =
ck
gi e
+
(32)
gk e −
a0
i=1
k=1
donde N (t) =
ψ
(q)
k=1
m´ax {j : t > tj }, derivando q veces obtenemos
tj ≤t≤tj+1
(t) =
n
X
N (t)
g k λqk eλk t
+
k=1
X
ck
à n
X
gi λqi eλi (t−tk )
i=1
k=1
!
, q = 1, n − 1
entonces
0 = ψ(T ) =
n
X
N
λk T
gk e
k=1
k=1
0 = ψ (q) (T ) =
n
X
g k λqk eλk T +
ck
k=1
N
X
ck
k=1
Sean
ψkq =
n
X
Ã
n
X
N
X
ck
à n
X
λi (T −tk )
gi e
i=1
gi λqi eλi (T −tk )
i=1
gi λqi eλi (T −tk ) ,
!
à n
X
à n
X
gi e
i=1
gi λqi eλi (T −tk )
!
=−
=−
q = 1, n − 1,
n
X
g k eλk T +
k=1
n
X
!
!
, q = 1, n − 1
1
a0
(33)
g k λqk eλk T , q = 1, n − 1
k = 1, N ,
ψ0 =
n
X
g i eλi T −
i=1
n
X
g i λqi eλi T ,
q = 1, n − 1,
(34)
k=1
i=1
ψq =
λi (T −tk )
i=1
k=1
k=1
N
X
X
1
−
+
ck
a0
ψ1T = (ψ0 , ψ1 , · · · , ψn−1 )
i=0
recordemos que
Ψt C = −ψ1T ,
C = −(E + γB)−1 (Ψl + γb),
Ψt (E + γB)−1 (Ψl + γb),
Ψt (E + γB)−1 (Ψl + γb) = ψ1T ,
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1
,
a0
F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
b = (b1 , b2 , · · · , bn ),
Z
T
bi =
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt, i = 1, N ,
ti
!Ã n
!
Z T ÃX
n
X
1
λk t
λk (t−ti )
gk e −
bi =
gk e
dt,
a0
ti
k=1
ahora tenemos que
Z
Z T
ψ 2 (t)dt =
0
=
+
Z
T
0
ψ12 (t)dt
0
Z
T
bi =
T
=
Z
ti
=
bis =
ti k=1
n
n
XX
g k gj
Z
=
ci
N
X
cj
j=1
ψ12 (t)dt
Z
T
T
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt
0
ψ2 (t − ti )ψ2 (t − tj )dt
tij
+2
N
X
ci bi +
i=1
N X
N
X
ci cj bij
i=1 j=1
n
1 X eλj (T −ti ) − 1
eλk T −λj (T −ti ) − eλk ti
−
gj
λk + λj
a0 j=1
λj
T
ψ2 (t − ti )ψ2 (t − ts )dt =
n
n X
X
k=1 j=1
n X
n
X
k=1 j=1
Z
T
n
X
tis k=1
tis
=
ci
Z
= kψ1 k2 + 2cb + C t BC, tij = m´ax{ti , tj },
! n
Z T ÃX
n
1 X
λk t
gk e −
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt =
gj eλj (t−ti ) dt
a0 j=1
ti
k=1
Z TX
n
n
n
X
X
1
λk t
λj (t−ti )
gk e
gj eλj (t−ti ) dt
gj e
dt −
a
0
t
i
j=1
j=1
k=1 j=1
y
T
0
+2
N
X
i=1
i=1
=
¶
µ
N (t)
X
2
ci ψ2 (t − ti ) dt
ψ1 (t) +
i=1
T
N
X
Z
k=1
gk gj
Z
T
gk eλk (t−ti )
n
X
gj eλj (t−ts ) dt
j=1
eλk (t−ti )+λj (t−ts ) dt
tis
e(λk +λj )(T −λk ti −λj ts ) − e(λk +λj )(tis −λk ti −λj ts )
.
λk + λj
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Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
Referencias
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(1980), 55–62.
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H p , Numer. Math. 44 (1984), 301–308.
[3] Bajvalov, N. S. M´etodos num´ericos, edit. Mir, Mosc´
u, 1973.
[4] Bojanov, B. D. Best quadrature formula for a certain class of analytic
functions, Zastosowania Mathematyki Applications Mathematicae, XIV,
3 (1974), 441–447.
[5] Rabinowitz, P., Davis, P. J. Methods of numerical integration, Academic
Press, New York, 1978.
[6] Gansca, I. On an optimal quadrature formula with high degree of exactness, Rev. Roum. de Mathematiques Pures et Appliquees, XXI(2) (1976).
[7] Issacson, E., Keller, H. B. Analysis of numerical methods, John Wiley &
Sons, New York, 1966.
[8] Kirin, N. E. Valoraci´
on de sistemas en problemas de teor´ıa de control,
Edit. FAN, Taskent, 1990.
[9] Korneichuk, N. P. Splines en teor´ıa de aproximaci´
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Mosc´
u, 1984.
[10] Krylov, V. I. C´
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u,
1982.
[11] Nikolski, S. F´
ormulas de cuadratura, Edit. MIR, Mosc´
u, 1990.
[12] Tijomirov, V., Galeev, E. Breve curso de la teor´ıa de problemas extremales, Edit. MIR, Mosc´
u, 1991.
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Resumen
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ormulas de cuadratura optimales en clases de funciones diferenciables con una estructura
dada.
Palabras y frases clave: Integraci´
on num´erica, f´
ormulas de cuadratura.
Abstract
In this paper we present a method to obtain optimal quadrature
formula in a class of differentiable function with a given structure.
Key words and phrases: Numerical integration, quadrature formulas.
1
Planteamiento del Problema
Sean el intervalo [0, T ] de R1 y F(0, T ) el conjunto de funciones que satisfacen
en [0, T ] la ecuaci´on diferencial
n
X
ai f (i) (t) = ξ(t)
i=0
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(1)
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donde ai , i = 0, 1, · · · , n − 1 son constantes conocidas, an = 1, n ≥ 1 y
ξ(t) es una funci´on desconocida de un conjunto E ⊂ L2 (0, T ). Para algunas
funciones f ∈ F se conocen valores aproximados de las mismas en los puntos
t1 , t2 , · · · , tN , o sea,
(2)
f (ti ) ∼
= yi , i = 1, 2, · · · , N,
donde 0 < t1 < t2 < · · · < tN < T . Supongamos tambi´en que se cumplen las
desigualdades
Z T
n
X
2
2
ξ 2 (t)dt ≤ ζ 2 .
(3)
|f (ti ) − yi | ≤ ε ,
0
i=0
Para los datos {ai }ni=0 , {yi , ti }N
i=1 , ε, ζ, se exige calcular la integral
I(f ) =
Z
T
ρ(t)f (t)dt
(4)
0
donde ρ(t) ∈ L2 (0, T ) es una funci´on de peso dada, no id´enticamente nula. Para el c´alculo de la integral (4) usualmente se utiliza una f´ormula de cuadratura
del tipo
Z T
N
X
Ck yk
(5)
ρ(t)f (t)dt ∼
=
0
k=1
en la que la suma de la derecha aproxima con cierta precisi´on a la integral de
la izquierda. Ahora bien, definiendo el error de la aproximaci´on como
¯Z
¯
N
¯ T
¯
X
¯
¯
R(C1 , · · · , CN ) = sup ¯
ρ(t)f (t)dt −
Ck yk ¯ ,
¯
¯
0
f∈ F
(6)
k=1
podemos plantearnos el problema de hallar los coeficientes
Ck , k = 1, 2, · · · , N,
para los cuales R(C1 , · · · , CN ) = RN (C) sea m´ınimo, o sea,
RN (C) = m´ın R(C1 , C2 , · · · , CN ).
Ck
(7)
Si el m´ınimo existe, entonces, los coeficientes que lo alcanzan definen una
f´ormula de cuadratura optimal en la clase de funciones dada F.
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F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
2
141
Problema Conjugado
Tomemos una funci´on arbitraria ψ(t), la cual tiene en el intervalo (tj , tj+1 )
derivada hasta el orden n inclusive
(t0 = 0, tN +1 = T, j = 0, 1, · · · , N ).
Integrando por partes obtenemos
Z
tj+1
ψf (i) dt =
tj
Z
i−1 ³
¯tj+1 −0
X
¯
−1)ν ψ (ν) f (i−ν−1) ¯
+ (−1)i
tj +0
ν=0
tj+1
ψ (i) f dt.
(8)
tj
Debido a las relaciones (1) y (2) se cumplen las identidades
!
à n
Z T
X
(i)
ai f (t) − ξ(t) dt ≡ 0,
ψ(t)
0
i=0
(9)
N
X
Ci (yi − f (ti ) + εi ) ≡ 0.
k=1
Aqu´ı los Ci son n´
umeros arbitrarios, εi = f (ti ) − yi son errores desconocidos
de los datos (2). Sumando formalmente las identidades (9), usando la relaci´on
(8) y la identidad (4) y luego igualando los coeficientes de f (ν) , t ∈ [0, T ],
ν = 0, · · · , n − 1, obtenemos las siguientes condiciones para la funci´on ψ(·) :
ψ (n) +
n−1
X
(−1)n−ν aν ψ (ν) = (−1)n−1 ρ(t), t ∈ (ti , ti+1 ), i = 1, N
(10)
ν=0
ψ (ν) (0) = ψ (ν) (T ) = 0, ν = 0, n − 1
ψ (ν) (ti + 0) = ψ (ν) (ti − 0), ν = 0, n − 2, i = 1, N
(11)
ψ (n−1) (ti + 0) − ψ (n−1) (ti − 0) = (−1)n Ci , i = 1, N
(12)
si tal funci´on ψ(t) existe, entonces la integral (4) toma la forma
I(f ) =
N
X
i=1
Ci (yi + εi ) −
Z
T
ψ(t)ξ(t)dt.
0
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142
Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
De este modo, llegamos a la siguiente f´ormula de cuadratura
I(f ) =
Z
T
ρ(t)f (t)dt ∼
=
0
N
X
Ci yi ≡ SN (y)
(13)
i=1
el error de la cual tiene la expresi´on
I(f ) − SN (y) ≡ R(f, C, ε) =
N
X
Ci εi −
Z
T
ψ(t)ξ(t)dt
(14)
0
i=1
El problema de frontera (10)−(12) se llama problema conjugado del problema
de b´
usqueda de la f´ormula de cuadratura (13), la que es exacta en el conjunto
de soluciones de la ecuaci´on homog´enea de (1)(ξ = 0). Para la existencia de
la soluci´on del problema conjugado es suficiente que N ≥ n. Es f´acil calcular,
para las condiciones (3) el valor exacto del error (6) de (14).
v
s
uN
Z T
uX
t
2
|R(f, {Ci })| ≤ ε
Ci + ξ
ψ 2 (t)dt ≡ R(C).
(15)
i=1
0
De esta forma, la soluci´on del problema sobre la b´
usqueda de la forma de
cuadratura optimal (13), se reduce a la soluci´on del problema
m´ın
C1 ,··· ,CN
R(C)
(16)
con las condiciones (10) − (12).
3
Soluci´
on del Problema Conjugado
Usando el sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea de
(10)(ρ(t) = 0), el problema de frontera (10) − (12) se puede reducir a un
sistema de ecuaciones lineales relativo a las inc´ognitas C1 , C2 , · · · , CN , a trav´es
de las cuales se puede expresar el valor de R(C). Denotemos por ψ1 (t) la
soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (10) con las condiciones nulas
ψ (i) (0) = 0, i = 0, 1, · · · , n − 1.
(17)
Ahora sea ψ2 (t) la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea de (10) con condiciones
iniciales
ψ (i) (0) = 0, i = 0, 1, · · · , n − 2, ψ (n−1) (0) = (−1)n .
(18)
Divulgaciones Matem´
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F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
143
Entonces, la soluci´on de la ecuaci´on (10) con condiciones iniciales (17) y condiciones de saltos (11) y (12) tiene la forma
N (t)
ψ(t) = ψ1 (t) +
X
Ci ψ2 (t − ti ) ≡ ψ(t; C1 , C2 , · · · , CN ) ≡ ψ(t; C),
(19)
i=1
donde N (t) = m´ax j : tj < t. De este modo, el problema de frontera (10)−(12)
se reduce a la b´
usqueda de las constantes C1 , C2 , · · · , CN de las condiciones
(j)
0 = ψ (j) (T ) = ψ1 (T ) +
N
X
(j)
Ci ψ2 (T − ti ), j = 0, 1, · · · , n − 1.
(20)
i=1
Ahora, la soluci´on del problema (16) consiste en la b´
usqueda del m´ınimo de la
funci´on suave convexa R(C), definida por la f´ormula (15) para las relaciones
(19) y (20). Este problema se puede resolver con ayuda de los multiplicadores
de Lagrange. Para ello formemos el funcional de Lagrange
L(C, l) = R(C) +
n−1
X
lj ψ (j) (T, C),
j=0
hallando su primera variaci´on tenemos
δL = γ0
N
X
Z
Ci δi + γ1
T
ψ(t, C)δψ(t, C)dt +
0
i=1
n−1
X
lj δψ (j) (T, C)
(21)
j=0
donde l = (l0 , l1 , · · · , ln−1 ) es el vector de multiplicadores de Lagrange. De
acuerdo a (19) tenemos
N (t)
δψ (j) (t, C) =
X
(j)
δCi ψ2 (t − ti ), j = 0, 1, · · · , n − 1
(22)
!1/2
(23)
i=1
γ0 = ε/
ÃN
X
i=1
Ci2
, γ1 = ζ/
ÃZ
0
T
ψ 2 (t)dt
!1/2
.
Poniendo la expresi´on (22) en (21) e igualando a cero los coeficientes de δCi ,
obtenemos la condici´on necesaria de extremo del problema (16)
γ1 bi + γ0 Ci + γ1
N
X
s=1
Cs bis = −
n−1
X
(j)
lj ψ2 (T − ti ), i = 1, 2, · · · , N,
j=0
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(24)
144
Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
donde
bi =
y
bis =
Z
Z
T
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt, b = (b1 , b2 , · · · , bN )
ti
T
ψ2 (t − ti )ψ2 (t − ts )dt, tis = m´ax{ti , ts }.
tis
Sin perder generalidad puede considerarse que γ0 = 1, entonces el sistema
(24) puede escribirse en forma matricial como
(E + γ1 B)C = −Ψl − γ1 b,
donde E es la matriz identidad y las matrices
B = B = {bis }N
i,s=1
y
(j)
Ψ = {ψ2 (T − ti )}N,n−1
i=1,j=0
son transformaciones conocidas del sistema param´etrico (24). Como γ1 ≥ 0,
entonces la matriz (E + γ1 B) es no singular por lo que
C = −(E + γ1 B)−1 (Ψl + γ1 b).
(25)
Como la condici´on (22) en forma matricial toma la forma
Ψt C = −ψ1T .
Poniendo en ella la ecuaci´on (25), hallamos la ecuaci´on para los multiplicadores de Lagrange
Ψt (E + γ1 B)−1 (Ψl + γ1 b) = ψ1T .
(26)
³
´
(1)
(n−1)
Aqu´ı denotamos ψ1T = ψ1 (T ), ψ1 (T ), · · · , ψ1
(T ) . Para resolver el problema debemos escoger el par´ametro γ1 apropiado. Esto puede hacerse a trav´es
de un m´etodo iterativo aplicado a la ecuaci´on que resulta de dividir las relaciones de (23)
1
εkψk
γ0
=
=
,
(27)
γ1
γ1
ζkCk
donde la norma de ψ se toma sobre el espacio L2 (0, T ) y la de C es la norma euclidiana. El vector C y la funci´on ψ(·) se consideran dependientes del
par´ametro γ1 a trav´es de la f´ormula (25) y la soluci´on l del sistema (26). De
esta forma, resolviendo la ecuaci´on
kCk − γ1
εkψk
= 0,
ζkCk
podemos hallar una aproximaci´on a γ1 y por supuesto una aproximaci´on a C.
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F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
4
145
F´
ormulas de Cuadratura Particulares
Consideremos que el polinomio caracter´ıstico de (10)
λn +
n−1
X
(−1)n−k ak λk = 0
(28)
k=0
tiene ra´ıces reales distintas λ1 , λ2 , · · · , λn y supongamos adem´as que ρ(t) =
1. Entonces ψ2 (t) como soluci´on de la ecuaci´on homog´enea con condiciones
iniciales
(n−1)
(k)
(0) = (−1)n
ψ2 (0) = 0, k = 0, n − 2, ψ2
se expresa en la forma
ψ2 (t) =
n
X
gi eλi t , k = 0, n − 1,
i=1
Pn
(k)
como ψ2 (t) = i=1 gi λki etλi , k = 0, n − 1 entonces g = (g1 , g2 , · · · , gn ) se
determina como soluci´on del sistema de ecuaciones
ψ2k (0) =
n
X
(n−1)
gi λki = 0, k = 0, n − 2, ψ2
(0) =
n
X
gi λn−1
= (−1)n
i
(29)
i=1
i=1
de aqu´ı obtenemos que
gi =
(−1)n+i
, i = 1, n
i−1
n
Y
Y
(xi − xk )
(xk − xi )
k=1
(30)
k=i+1
ahora ψ1 (t) es la soluci´on particular de la ecuaci´on (10) con condiciones iniciales
ψ (k) (0) = 0, k = 0, n − 1
(31)
y puede escribirse como
ψ1 (t) =
n
X
g i etλi + K
i=1
y es evidente que K =
ψ1 (0) =
n
X
i=1
−1
a0 ,
teniendo en cuenta las condiciones (31)
n
gi +
X
−1
(k)
= 0, ψ1 (0) =
g i λki = 0, k = 1, n − 1
a0
i=1
Divulgaciones Matem´
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146
Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
de aqu´ı obtenemos g = (g1 , g2 , · · · , gn ). La soluci´on ψ(t) se puede escribir en
la forma
à n
!
N (t)
n
X
X
X
1
λi (t−tk )
tλk
ψ(t) =
ck
gi e
+
(32)
gk e −
a0
i=1
k=1
donde N (t) =
ψ
(q)
k=1
m´ax {j : t > tj }, derivando q veces obtenemos
tj ≤t≤tj+1
(t) =
n
X
N (t)
g k λqk eλk t
+
k=1
X
ck
à n
X
gi λqi eλi (t−tk )
i=1
k=1
!
, q = 1, n − 1
entonces
0 = ψ(T ) =
n
X
N
λk T
gk e
k=1
k=1
0 = ψ (q) (T ) =
n
X
g k λqk eλk T +
ck
k=1
N
X
ck
k=1
Sean
ψkq =
n
X
Ã
n
X
N
X
ck
à n
X
λi (T −tk )
gi e
i=1
gi λqi eλi (T −tk )
i=1
gi λqi eλi (T −tk ) ,
!
à n
X
à n
X
gi e
i=1
gi λqi eλi (T −tk )
!
=−
=−
q = 1, n − 1,
n
X
g k eλk T +
k=1
n
X
!
!
, q = 1, n − 1
1
a0
(33)
g k λqk eλk T , q = 1, n − 1
k = 1, N ,
ψ0 =
n
X
g i eλi T −
i=1
n
X
g i λqi eλi T ,
q = 1, n − 1,
(34)
k=1
i=1
ψq =
λi (T −tk )
i=1
k=1
k=1
N
X
X
1
−
+
ck
a0
ψ1T = (ψ0 , ψ1 , · · · , ψn−1 )
i=0
recordemos que
Ψt C = −ψ1T ,
C = −(E + γB)−1 (Ψl + γb),
Ψt (E + γB)−1 (Ψl + γb),
Ψt (E + γB)−1 (Ψl + γb) = ψ1T ,
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1
,
a0
F´ormulas de Cuadratura Optimales en Variedades Integrales
b = (b1 , b2 , · · · , bn ),
Z
T
bi =
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt, i = 1, N ,
ti
!Ã n
!
Z T ÃX
n
X
1
λk t
λk (t−ti )
gk e −
bi =
gk e
dt,
a0
ti
k=1
ahora tenemos que
Z
Z T
ψ 2 (t)dt =
0
=
+
Z
T
0
ψ12 (t)dt
0
Z
T
bi =
T
=
Z
ti
=
bis =
ti k=1
n
n
XX
g k gj
Z
=
ci
N
X
cj
j=1
ψ12 (t)dt
Z
T
T
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt
0
ψ2 (t − ti )ψ2 (t − tj )dt
tij
+2
N
X
ci bi +
i=1
N X
N
X
ci cj bij
i=1 j=1
n
1 X eλj (T −ti ) − 1
eλk T −λj (T −ti ) − eλk ti
−
gj
λk + λj
a0 j=1
λj
T
ψ2 (t − ti )ψ2 (t − ts )dt =
n
n X
X
k=1 j=1
n X
n
X
k=1 j=1
Z
T
n
X
tis k=1
tis
=
ci
Z
= kψ1 k2 + 2cb + C t BC, tij = m´ax{ti , tj },
! n
Z T ÃX
n
1 X
λk t
gk e −
ψ1 (t)ψ2 (t − ti )dt =
gj eλj (t−ti ) dt
a0 j=1
ti
k=1
Z TX
n
n
n
X
X
1
λk t
λj (t−ti )
gk e
gj eλj (t−ti ) dt
gj e
dt −
a
0
t
i
j=1
j=1
k=1 j=1
y
T
0
+2
N
X
i=1
i=1
=
¶
µ
N (t)
X
2
ci ψ2 (t − ti ) dt
ψ1 (t) +
i=1
T
N
X
Z
k=1
gk gj
Z
T
gk eλk (t−ti )
n
X
gj eλj (t−ts ) dt
j=1
eλk (t−ti )+λj (t−ts ) dt
tis
e(λk +λj )(T −λk ti −λj ts ) − e(λk +λj )(tis −λk ti −λj ts )
.
λk + λj
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148
Yohan D´ıaz F., Lelis R. Vaillant P., Abel Vel´azquez P.
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