Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:
« ¤¨ª ¢ª §áª¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ¦ãà «
ªâï¡àì{¤¥ª ¡àì, 2000, ®¬ 2, ë¯ã᪠4
517.98
. . ãáà ¥¢
¥«ì áâ®ï饩 áâ âì¨ | ¯®ª § âì, çâ® ¬®¤ã«ïàë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬ â¥á® á¢ï§ ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. ®ç¥¥ £®¢®àï, ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® áë饮©
¬¥à¥ ¢®§¨ª ¥â ®¯¥à â®à £ à ¬, ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ®¯¥à â®à £ à ¬
¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤ã«ïன áë饮© ¬¥à¥.
1. ¢¥¤¥¨¥
¯¥à â®à®¬ £ à ¬ §ë¢ îâ ¯®à浪®¢® ¥¯à¥àë¢ë© ®¯¥à â®à ¢
K-
¯à®áâà á⢥, á®åà ïî騩 ¨â¥à¢ «ë. â®â ª« áá ®¯¥à â®à®¢ ¢¯¥à¢ë¥ à áᬮâ५ . £ à ¬, ª ª ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 â¥å¨ç¥áª®¥ á।á⢮ ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ⥮ਨ ¯®«®¦¨â¥«ìëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¯à®áâà áâ¢ å ¨§¬¥à¨¬ëå äãªæ¨©
(á¬.
横« à ¡®â [14{17], â ª¦¥ ¥¡®«ì让 ®¡§®à [18], ᮤ¥à¦ 騩 ªà â-
ª®¥ ®¯¨á ¨¥ à §¢¨â®£® ¥î ¬¥â®¤ ¨ ä®à¬ã«¨à®¢ªã ®á®¢ëå १ã«ìâ ⮢).
. îªá¥¬¡ã࣠¨ . í¯ [13] à á¯à®áâà ¨«¨ ç áâì ⥮ਨ . £ à ¬, á¢ï§ ®© á ⥮६®© ⨯ ¤® | ¨ª®¤¨¬ , ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ®¯¥à â®àë,
¤¥©áâ¢ãî騥 ¢
K -¯à®áâà á⢠å.
¥à¬¨ ý®¯¥à â®à £ à ¬þ ¡ë« ¢¢¥¤¥
¢ [4]. ¢®©á⢮ ®¯¥à â®à á®åà ïâì ¨â¥à¢ «ë §¢ ® ᢮©á⢮¬ £ à ¬
¢ [13]; â ª¨¥ ®¯¥à â®àë ¢ [14{17] §ë¢ «¨áì full-valued. ®¤à®¡¥¥ ®¡ ®¯¥à â®à å £ à ¬ á¬. ¢ [5, 6, 7, 9].
§¢¥áâ®, ç⮠⥮६ ¤® | ¨ª®¤¨¬ ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ ¤«ï ¬¥à á®
K -¯à®áâà á⢥.
§ 票ﬨ ¢
¤ ª®, . ©â ¯®ª § « ¢ [20], ç⮠⥮६
¤® | ¨ª®¤¨¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï á¯¥æ¨ «ì®£® ª« áá ¬®¤ã«ïàëå ¬¥à á
Q | íªáâ६ «ìë© ª®¬¯ ªâ
L1 () ¤®¯ã᪠¥â áâàãªâãàã ¬®¤ã«ï ¤ ª®«ì殬 C (Q). ®£¤ ¬®¤ã«ïà®áâì ¬¥àë ®§ ç ¥â, çâ®
ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨â¥£à « ï¥âáï ¬®¤ã«ìë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ ¨§ L1 () ¢
C (Q). ª¢¨¢ «¥â®¥ ãá«®¢¨¥ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯à®áâà á⢮ L2 () á«ã¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ áë饮áâ¨. ãáâì
¨
:
B!C Q
(
) | ¥ª®â®à ï ¬¥à . ।¯®«®¦¨¬, çâ®
¦¨â ¬®¤ã«¥¬ ¯« ᪮£® | ¨«ì¡¥àâ (á¬. [12, 20]). ®¯®«¨â¥«ìë¥ á¢¥¤¥¨ï ® ¬®¤ã«ïàëå ¨ áëé¥ëå ¬¥à å á¬. ¢ ª¨£¥ [11], £¤¥, ¢ ç áâ®áâ¨,
à §¢¨â ¡ã«¥¢®§ çë© ¯®¤å®¤ ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î í⮣® ª« áá ¢¥ªâ®àëå ¬¥à.
c 2000 ãáà ¥¢ . .
4{18
. . ãáà ¥¢
¥«ì áâ®ï饩 áâ âì¨ | ¯®ª § âì, çâ® ¬®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë
£ à ¬ â¥á® á¢ï§ ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. ®ç¥¥ £®¢®àï, ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯®
áë饮© ¬¥à¥ ¢®§¨ª ¥â ®¯¥à â®à £ à ¬, ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥
®¯¥à â®à £ à ¬ ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤ã«ïன áë饮© ¬¥à¥. ¥®¡å®¤¨¬ë¥
ᢥ¤¥¨ï ¨¬¥îâáï ¢ [1, 2, 5, 7, 11].
2. ।¢ à¨â¥«ìë¥ á¢¥¤¥¨ï
í⮬ ¯ à £à ä¥ ¯à¨¢¥¤¥¬ á奬㠨⥣à¨à®¢ ¨ï «¥¡¥£®¢áª®£® ⨯ ¯®
¬¥à¥ á® § 票ﬨ ¢ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥. ª®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¡ë«® à §¢¨â® . ©â®¬ [23] ¤«ï ¬¥à á® § 票ﬨ ¢ «£¥¡à å â®ã ,
®¤ ª® ¢áï ⥮à¨ï ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥ ¤«ï ¬¥à á® § 票ﬨ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬
K -
¯à®áâà á⢥, á¬. [21, 22]. 襬 ¨§«®¦¥¨¨ ¬ë á«¥¤ã¥¬ [11], £¤¥ ¯®áâ஥¨ï
. ©â [23] ¯®¢â®à¥ë ¢ ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®¡é¥© á¨âã 樨: ¨â¥£à¨à㥬묨
®¡ê¥ªâ ¬¨ ïîâáï í«¥¬¥âë ¥ª®â®à®£®
K -¯à®áâà á⢠, ª ª ¢ [2, 3], ¢¥ª-
â®à ï à¥è¥âª ®¡à §®¢ § ¬¥¥ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮.
¢¥ªâ®à®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¢
K -¯à®áâà áâ¢ å ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¢ ਠâ¥
â¥®à¥¬ë ¤® | ¨ª®¤¨¬ á¬. â ª¦¥ [19].
2.1. ãáâì G | à áè¨à¥®¥ K -¯à®áâà á⢮ á ¯®à浪®¢®© ¥¤¨¨æ¥© 1,
Y; F ) | ᥪ¢¥æ¨ «ì® bo-¯®«®¥ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤
K -¯à®áâà á⢮¬ F . áᬮâਬ ¯®¤ «£¥¡àã A ¯®«®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë G(1)
¥¤¨¨çëå í«¥¬¥â®¢ ¯à®áâà á⢠G ¨ ª®¥ç® ¤¤¨â¨¢ãî ¬¥àã >
:A!
Y
>
>
>
>
>
>
>
>
>
®£à ¨ç¥®© ¢¥ªâ®à®© ¢ ਠ樨 >> : A ! F . â® ®§ ç ¥â, çâ® >(a)> 6
>>
>
>
>>(a) (a 2 A), ¯à¨ç¥¬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ä®à¬ã« (á¬. [10, 11]):
(
>
>
>
>>
>( ) := sup
a
X
n
k=1
j(ak )j : ak ^ al = 0;
n
_
k=1
ak = a :
S (A) ¢¥ªâ®àãî ¯®¤à¥è¥âªã ¢ G, á®áâ®ïéãî ¨§ ¢á¥å A¯à®áâëå (ª®¥ç®§ çëå) í«¥¬¥â®¢ G, â. ¥. x 2 S (A) ®§ ç ¥â, çâ® ¨¬¥Pn
¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ x =
k=1 k ek , £¤¥ f 1 ; : : :; n g R ¯à®¨§¢®«ìë,
fe1 ; : : :; en g A ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë. ®«®¦¨¬
¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬
Z
I (x) := x d :=
n
X
k=1
,
k (ek ) (x 2 S A) :
¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥¨¥.
2.2.
ª § ï ä®à¬ã« ª®à४⮠®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à
I : S (A) ! Y , ¯à¨ç¥¬
Z
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Z
,
>
>
>>
> x 2 S (A) :
x d 6 jxj d>
4{19
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
áᬮâਬ £« ¢ë© ¨¤¥ « G(1) ¯®à®¦¤¥ë© ¥¤¨¨æ¥© 1 ¨ ¢¢¥¤¥¬ ¢ ¥¬
®à¬ã kxk := inf f : jxj 6 1g: ®£¤ G(1) | AM -¯à®áâà á⢮. ãáâì C (A) |
§ ¬ëª ¨¥ S (A) ¢ AM -¯à®áâà á⢥ G(1).
2.3.
I
C ( A)
C ¬. [11; ¯¯. 1.2.1, 1.2.2]. B
¯¥à â®à
>
>
>
>
>
> >
>= ||.
¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¬ ¦®à¨à㥬®¥ ¯à®¤®«¦¥¨¥
, ª®â®à®¥ ®¡®§ 稬 ⥬ ¦¥ ᨬ¢®«®¬. ਠí⮬
2.4. «ï ª ¦¤®£® ¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à
¥¤¨á⢥ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï ¬¥à
Z
:A!Y
I
I
T : C (A) ! Y
áãé¥áâ¢ã¥â
â ª ï, çâ®
,
Tx = x d x 2 C (A) :
।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® A | -¯®¤ «£¥¡à ¢ E(1). áᬮâਬ à áè¨à¥®¥ K -¯à®áâà á⢮ E G á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å A-§ çëå à §«®¦¥¨©
¥¤¨¨æë (ᯥªâà «ìëå äãªæ¨©). ª«î票¥ E G ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥
®â®¦¤¥á⢫¥¨ï K -¯à®áâà á⢠G ¨ K(E(1)).
2.5. ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨â¥£à « ®â í«¥¬¥â , ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®£® A¯à®áâ묨 í«¥¬¥â ¬¨. ª ¦¥¬, çâ® ¯®«®¦¨â¥«ìë© í«¥¬¥â x 2 E ¨â¥£à¨à㥬 ¯® ¬¥à¥ , ¨«¨ -¨â¥£à¨à㥬 , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (xn )n2N ¯®«®¦¨â¥«ìëå
í«¥¬¥â®¢ ¢ S (A), o-á室ïé ïáï ¢ G
R
>
>
>
>
>
>
ª x, ¯à¨ç¥¬ áã¯à¥¬ã¬ supn2N xn d áãé¥áâ¢ã¥â ¢ F . «ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xn ) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨â¥£à «®¢ (I (xn ))n2N ¡ã¤¥â bo-ä㤠¬¥â «ì®©,
¯®í⮬㠬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨â¥£à « ®â í«¥¬¥â x, ¯®« £ ï
Z
Z
I (x):= x d := bon!1
-lim xn d:
®à४â®áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¢¥àï¥âáï ¡¥§ âà㤠, á¬. [11; ¯. 1.2.6]. «¥¬¥â x 2 E ¨â¥£à¨à㥬 (= -¨â¥£à¨à㥬) ¥á«¨ ¥£® ¯®«®¦¨â¥«ì ï ç áâì
x+ ¨ ®âà¨æ ⥫ì ï ç áâì x, ¨â¥£à¨à㥬ë. ¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬ L1 () ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¨â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® x 2 L1 () ¯®«®¦¨¬
Z
I (x):= x d :=
Z
x+ d ,
Z
x, d:
¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® L1() | ä㤠¬¥â ¢ E ¨ I : L1() ! Y | «¨¥©ë©
®¯¥à â®à.
¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¨§ ª®áâàãªæ¨¨ ¨â¥£à « á«¥¤ã¥â L1 () =
>
>
>
>
L1 (>>). ¯à¥¤¥«¨¬ ¢ L1() ¢¥ªâ®àãî ®à¬ã á® § 票ﬨ ¢ F :
>
>
>
>>
>1 :=
x
Z
> ,
>
>>
> x 2 L1 () :
jxj d>
4{20
. . ãáà ¥¢
ª ¦¥¬, çâ® ¤¢ í«¥¬¥â x; y 2 L1 () -íª¢¨¢ «¥âë
, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨>
>
>
>
¨çë© í«¥¬¥â e 2 G(1), ¤«ï ª®â®à®£® >>(1 , e) = 0 ¨ [e]x = [e]y. ®¦¥á⢮ N () ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ -íª¢¨¢ «¥âëå ã«î ¡ã¤¥â ᥪ¢¥æ¨ «ì® o§ ¬ªãâë¬ ¯®à浪®¢ë¬ ¨¤¥ «®¬
¢ L1 (). § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨â¥£à « ¢¨¤®,
>
>
>x>
>1 = 0g. ¢¥¤¥¬ K -¯à®áâà á⢮ L1 () ª ª
çâ® N () = fx 2 L1 () : >
1
ä ªâ®à-¯à®áâà á⢮ L () ¯® -¨¤¥ «ã N (). « áá íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ í«¥¬¥â x 2 L1 () ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ᨬ¢®«®¬>>
x~. ¥ªâ®à ï
®à¬ L1()
,
>
>
>
>
>
>
á® § 票ﬨ
¢>F>®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© >x~>1 := >x> x 2 L1() . ª¨¬
, 1
>>
> | à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮.
®¡à §®¬, L ();>
2.6. ¥®à¥¬ ® ¬®®â®®© á室¨¬®áâ¨.
(xn )n2N
®¯ãá⨬, çâ®
|
-¨â¥£à¨à㥬ëå
í«¥¬¥â®¢, ¤«ï ª®â®à®©
I||(xn ) n2N ¯®à浪®¢® ®£à ¨ç¥ ¢ F . ®£¤
W
1
1
áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â x 2 L (), çâ® ¢ L () ¢ë¯®«¥® x
~ = n x~n ¨
¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨â¥£à «®¢
Z
,
x d = bon!1
-lim
Z
xn d:
C ¬. [11; ¯. 1.2.8]. B
2.7. ¥®à¥¬ ® ¬ ¦®à¨à®¢ ®© á室¨¬®áâ¨.
ãáâì
-¨â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ ¨ o-lim xn = x ¢ G.
1
¨ jxn j 6 y (n 2 N ), â® x 2 L () ¨
¤®¢ ⥫ì®áâì
Z
C ¬. [11; ¯. 1.2.9]. B
2.8. ¥®à¥¬ .
ãáâì
x d = bon!1
-lim
:A!Y
(1)
L1 () A
(2) I e
¯®á«¥-
y 2 L1 ()
xn d:
| áç¥â® ¤¤¨â¨¢ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï ¬¥-
L () E ¨ ᥪ¢¥æ¨ «ì® bo-¥¯à¥àë¢ë©
I : L1 () ! Y â ª¨¥, çâ® ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ã⢥ত¥¨ï:
à . ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ä㤠¬¥â
¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à
Z
(xn )n2N
᫨
1
;
= (e) (e 2 A)
;
(3) ¥á«¨ L A ¨ Ie = (e) (e 2 A) ¤«ï ¥ª®â®à®£® ä㤠¬¥â
L E ¨ bo-¥¯à¥à뢮£® ¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à I : E ! Y , â® L L1 ()
¨ Ix = I x (x 2 L);
>
> >
>
(4) >
>I>
>= I||.
C ¬. [11; ¯. 1.2.4]. B
4{21
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
2.9. ¥®à¥¬ . ãáâì
¨æã ¨
T : E0 ! Y
®¯¥à â®à.
:A!Y
E0
| ä㤠¬¥â ¢
| ᥪ¢¥æ¨ «ì®
bo
E
, ᮤ¥à¦ 騩 ¯®à浪®¢ãî ¥¤¨-
-¥¯à¥àë¢ë© ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© «¨¥©ë©
®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï
â ª ï, çâ®
L () E
1
Z
Tx = x d;
- ¤¤¨â¨¢ ï ¬¥à
0 ¨
>
>
>
>x
>T>
=
Z
>
>
>>
> (x 2 E0 ):
x d>
C ¬. [11; ¯. 1.2.11]. B
,
>
>
>>
> br
L1 ();>
C ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® â¥å ¦¥ á®®¡à ¦¥¨ïå, çâ® ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮
â¥®à¥¬ë ¨áá | ¨è¥à ¤«ï ᪠«ïàëå ¬¥à. ਢ¥¤¥¬ á奬ã
¤®ª § ⥫ìáâ>
>
>
>
> 6 rk f
¢ . ᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (xn )n2N br-ä㤠¬¥â «ì , â® xn , xm>
(n; m > k) ¤«ï ¥ª®â®à®£® í«¥¬¥â f 2 F+ ¨ ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨
>>
> 2 F (f )g, £¤¥
>x>
(rn )n2N , á室ï饩áï ª ã«î. ®«®¦¨¬ L(f ) := fx 2 L1() : >
F (f ) | ¯®à浪®¢ë© ¨¤¥ «, ¯®à®¦¤¥ë© í«¥¬¥â®¬ f . ®£¤ (xn ) L(f )
¨ ¤®áâ â®ç®
ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® LP(f1) | ¡ 客® ¯à®áâà á⢮ á ®à¬®©
>>
>
>
>
>
kxk := kPx kF>
(f ) . ®¯ãá⨬, çâ® àï¤
n=1 xn ¡á®«îâ® á室¨âáï ¢ L(f ). ®£>
>
>
>
>
á室¨âáï
¢
AM
-¯à®áâà á⢥
F (f ), áâ «® ¡ëâì, r-á室¨âáï ª
x
¤ àï¤ 1
n=1 n
⮩ ¦¥ á ¬®© á㬬¥. ®«®¦¨¬
2.10. ¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮
t :=
1
X> >
>
>;
>xk>
k=1
n :=
n
X
k=1
xk ; sn :=
n
X
k=1
-¯®«®.
jxk j:
ª ¢¨¤®,
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (sn ) á®á⮨⠨§ ¯®«®¦¨â¥«ìëå ç«¥®¢, ¢®§à áR
⠥⠨ sn d 6 t. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ⥮६¥ ® ¬®®â®®© á室¨¬®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« y :=Po1-lim sn , ᮤ¥à¦ 騩áï ¢ L1(). ¥à ¢¥á⢮ jn j 6 sn 6 y
¢«¥ç¥â, çâ® àï¤ k=1 xk o-á室¨âáï. «ï á㬬ë í⮣® àï¤ x0 ¢ë¯®«¥ ®æ¥1
ª
jx0j 6>
y, ®âªã¤
x0 2>L>
(). ਢ«¥ª ï ⥮६ã 2.7 ® á室¨¬®áâ¨, ¢ë¢®¤¨¬
R
>
>
>
>
>
>n , f0>= jn , x0 j d>>! 0. B
®¦® ¯®«ãç âì ¤ «ì¥©è¨¥ १ã«ìâ âë ® ¯®«®â¥ ¯à®áâà á⢠¨â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®£à ¨ç¥¨ïå. ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ãáâ ®¢¨âì ᥪ¢¥æ¨ «ìãî bo-¯®«®âã L1 (), ¥á«¨ ¯à®áâà á⢮ F ॣã«ïà®. ¤ ª® à §«®¦¨¬®áâì § ¢¨á¨â ®â áãé¥á⢥® ¤à㣨å ᢮©áâ¢
¬¥àë.
3. ®¤ã«ïàë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¬¥àë
í⮬ ¯ à £à ä¥ ¢¢¥¤¥¬ ¬®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ¢ëïᨬ ãá«®¢¨ï à §«®¦¨¬®á⨠¨ ¯®«®âë ¯® ¢¥ªâ®à®© ®à¬¥ ¯à®áâà á⢠á㬬¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢.
4{22
. . ãáà ¥¢
® ª®æ ¯ à £à ä ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® Y | ¯à®áâà á⢮ å |
â®à®¢¨ç ¤ K -¯à®áâà á⢮¬ F ¨ : A ! Y | áç¥â® ¤¤¨â¨¢ ï ¬¥à .
¢¥¤¥¬ ã«¥¢®© ¨¤¥ « ¬¥àë ä®à¬ã«®©
3.1.
N ():= fa 2 A : (8 a 2 A) a 6 a ) (a ) = 0g:
>>
>>
~ ¨ ®¡®§ ç îâ
>>
>) = fa 2 A : >
>>
>(a) = 0g. ãáâì A
®ïâ®, çâ® N () = N (>
ä ªâ®à- «£¥¡àã A=N () ¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ä ªâ®à-®â®¡à ¦¥¨¥ A=N () ! A~
ᮮ⢥âá⢥®.>>
ãé¥áâ¢ã¥â
¥¤¨á⢥ ï ¬¥à ~ : A~ ! Y , ¤«ï ª®â®à®© ~ =
>>
0
0
0
f
>=>
>
>.
>
>
. ®«¥¥ ⮣®, >
~>
ãáâì § ¤ ¡ã«¥¢ £®¬®¬®à䨧¬ h : B := P(F ) ! A~. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ®
¬®¤ã«ïà ®â®á¨â¥«ì® h ¨«¨ h-¬®¤ã«ïà , ¥á«¨ b~( a) = ~(h(b) ^ (a))
¤«ï ¢á¥å a 2 A ¨ b 2 B . ª ¢¨¤®, ¬®¤ã«ïà®áâì ¬¥àë ®§ ç ¥â, çâ®
b(a) = (b ^ a W
) ¤«ï ¢á¥å a 2 (a) ¨ b 2 h(b).
ãáâì e := fb 2 B : (8 a 2 A) b(a) = 0g. ®£¤ e(A) = f0g ¨ (A)
(1 , e)Y . ®«¥¥ ⮣®, b(A) = f0g ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ h(b) 2 N ().
¥¬ á ¬ë¬, h ¨ê¥ªâ¨¢¥ [0; 1 , e]. ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ®
(A) = Y ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ h ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨§®¬®à䮥 ¢«®¦¥¨¥ B ¢ A~.
㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® h-¬®¤ã«ïà ï ¬¥à áëé¥ (®â®á¨â¥«ì® h), ¥á«¨
¤«ï «î¡®£® à §¡¨¥¨ï ¥¤¨¨æë (b ) ¢ B ¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ᥬ¥©á⢠(a ) ¢
A áãé¥áâ¢ã¥â>¥¤¨á⢥ë©
(á â®ç®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥â®áâ¨) í«¥¬¥â a 2 A,
>
>>
>(a4a ) = 0 ¤«ï ¢á¥å 2 . â® ãá«®¢¨¥ à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ®
â ª®©, çâ® b>
h(b ) ^ (a) = h(b ) ^ (a ) ( 2 ), ¯®áª®«ìªã h-¬®¤ã«ïà .
3.2. à ¡®â¥ [20] . ©â ®¯à¥¤¥«¨« ¬®¤ã«ïà®áâì ¬¥àë á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ : C (Q) ! L () (Q | íªáâ६ «ìë©
ª®¬¯ ªâ). ¥àã : B ! C (Q) §ë¢ îâ ¬®¤ã«ïன ®â®á¨â¥«ì® , ¥á«¨
0
0
0
0
??
2
2
1
Z
(a)f d = a
Z
f d (a 2 C (Q); f
2 L1()):
ª¢¨¢ «¥â®áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï á ¤ ë¬ ¢ëè¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ 2.10, 3.6 ¨ «¨ç¨ï ¬®¤ã«ì®© áâàãªâãàë ¢ à §«®¦¨¬®¬ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ (á¬. [5, 7]). áë饮áâì ¦¥ ¬¥àë ᮣ« á® . ©âã [20] ®§ ç ¥â,
çâ® ¯à®áâà á⢮ L2 () ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®¤ã«ì ¯« ᪮£® | ¨«ì¡¥àâ . â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ â ª¦¥ à ¢®á¨«ì® ¤ ®¬ã ¢ëè¥ ¢ ᨫã 3.6 ¨ ªà¨â¥à¨ï
¯®«®âë à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®£® ¯à®áâà á⢠¨§ [5, 7].
¬®¤ã«ïà ®â®á¨â¥«ì® ¡ã«¥¢ ¨§®¬®à䨧¬
h ¢ ⮬ ¨ ⮫ì>
>
>
>
ª® ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ â ª®¢®© ï¥âáï ¥¥ â®ç ï ¬ ¦®à â >
>.
>
>,
f
>
> (a) =
C
®¯ãá⨬,
çâ®
h-¬®¤ã«ïà ¨ ¤®ª ¦¥¬ á®®â®è¥¨¥ b>
>
,
,
>
>,
>>
>>
>
f
>
> h(b) ^ (a) . ® à ¢®á¨«ì® à ¢¥áâ¢ã b>
>
> (a) = >
>
> h(b) ^ (a) ,
>
~>
~>
3.3. ¥à
4{23
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
>>
>>
>
>
f
>=>
>
¯®áª®«ìªã >
>
~>.
¥¯¥àì âॡ㥬®¥ ¯à®¢¥àï¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ¯à®áâ묨
¢ëç¨á«¥¨ï¬¨ ¨á¯®«ì§ãî騬¨ 2.1:
_
>>
>,
>
b>
~> (a) = b
(
)
n
X
~(~ak ) : a~1 _ _ a~n = (a)
k
=1
( n
)
_ X
,
=
b~ (ak ) : a1 _ _ an = a
k
=1
(
)
n ,
_ X
~ (b ) ^ (ak ) : a1 _ _ an = a
=
k=1
( n
)
_ X
,
=
~ (ck ) : c1 _ _ cn = (b ) ^ (a)
k=1
,
>
>
>
>
>
>
= h(b) ^ (a) ;
0
0
fa~1; : : : ; ~ang A~, fa1; : : : ; ang A, ¨ fc1 ; : : : ; cn g A
¯®¯ à® ¤¨§êîªâë ¨ h(b) = (b ) ¤«ï ¥ª®â®à®£® b 2 A. ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ¤®ª § ®£® ¨¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 4.3. B
£¤¥ ª®¥çë¥ ¬®¦¥áâ¢
0
0
F | K -¯à®áâà á⢮ áç¥â®£® ⨯ . ®£¤ ¢áïª ï áç¥â® ¤¤¨h-¬®¤ã«ïà ï ¬¥à , ®¯à¥¤¥«¥ ï - «£¥¡à¥, ¡ã¤¥â áë饮©.
C «ï áç¥â®£® à §¡¨¥¨ï ¥¤¨¨æë (bn ) B ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(an )
A ¯®«®¦¨¬ a := Wfcn ^ an : n 2 N g, £¤¥ (cn ) | ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®¯ à®
¤¨§êîªâëå í«¥¬¥â®¢ ¢ A, ¤«ï ª®â®àëå h(bn ) = (cn ) (n 2 N ). ᯮ«ì§ãï
¬®¤ã«ïà®áâì ¨ áç¥âãî ¤¤¨â¨¢®áâì ¬¥àë , ¢ë¢®¤¨¬:
3.4. ãáâì
⨢ ï
bm (a) =
1
X
n=1
X ,
1
=
bm (cn ^ an ) =
1
X
n=1
,
bm ~ (cn ) ^ (an )
~ (cm ) ^ (cn ) ^ (an )
n=1 ,
= bm
~ (am ) = bm (am ):
,
=
~
h(bm ) ^ (am )
B
¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¬¥àë
¨ ~, ¥á«¨ íâ® ¥ ¢¥¤¥â ª ¯ãâ -
¨æ¥.
3.5. ¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮
¬® ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨
h.
C
L1 () ¤¨§êîªâ® à §«®¦¨-
| ¬®¤ã«ïà ï ¬¥à .
ãáâì ¬¥à ¬®¤ã«ïà
®â®á¨â¥«ì®
¥ª®â®à®£® ¡ã«¥¢ £®¬®¬®à䨧¬
>
>
>
>
>
>>
>
B ¨ x
L1 (). ⮦¤¥á⢨¬
®ª ¦¥¬, çâ® b>x>1 = >
>1 ¤«ï ¢á¥å b
>h(b)x>
2
2
4{24
. . ãáà ¥¢
¥¤¨¨çë© í«¥¬¥â h(b) 2 A á ¯®à浪®¢ë¬ ¯à®¥ªâ®à®¬ [h(b)] ¢ E ¨ ¡ã¤¥¬
¯¨á âì h(b)x ¢¬¥áâ® [h(b)]x. ᫨ x = 1a1 + + n an , £¤¥ 1; : : : ; n 2 R
¯à®¨§¢®«ìë, a1; : : : ; an 2 A ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë, â® h(b)x = 1h(b) ^ a1 +
+ n h(b) ^ an ¨ ¬®¦¥¬ ¯¨á âì
I (h(b)x) =
n
X
k=1
k (h(b) ^ ak ) =
n
X
k=1
k b(ak ) = bI (x):
®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (xn ) S (A) â ªãî, çâ®
I (x) = bo-lim n I (xn ). ®£¤ h(b)x = o-lim n h(b)xn , ¯®áª®«ìªã ¯®à浪®¢ë©
¯à®¥ªâ®à [h(b)] ¯®à浪®¢® ¥¯à¥à뢥. ®«¥¥ ⮣®, h(b)xn 6 x, ¨ § ç¨â
h(b)x 2 L1 (), â ª ª ª L1 () | ¯®à浪®¢ë© ¨¤¥ « ¢ E . ᯮ«ì§ãï ⥮६ã
2.7 ® á室¨¬®áâ¨, ¢ë¢®¤¨¬
,
bI (x) = b bo-lim I (xn )
n
!1
= bo-lim I (h(b)x ) = I (h(b)x):
n
n!1
âáî¤ ¢¨¤®, çâ® L1() d-à §«®¦¨¬®. ¡à ⮥ ®ç¥¢¨¤®. B
3.6.
L1 ()
¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮
⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¬¥à
áëé¥ .
ãáâì (b )2
¤¨§êîªâ® ¯®«® ¢
C ®¯ãá⨬, çâ® áëé¥ .
| à §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨æë ¢
P(F ), (x )2 | ®£à ¨ç¥®¥ ¯® ®à¬¥ ᥬ¥©á⢮ ¢ L1(). ãáâì e () : R !
A | ᯥªâà «ì ï äãªæ¨ï í«¥¬¥â x ¨ ¯®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î
e():=
_
2
h(b ) ^ e ()
( 2 R ):
ãªæ¨ï 7! e() á«ã¦¨â à §«®¦¥¨¥¬ ¥¤¨¨æë. â® ¬®¦® ¯à®¢¥à¨âì ¥¯®á।áâ¢¥ë¬ ¢ëç¨á«¥¨¥¬, ¨á¯®«ì§ãï ¡¥áª®¥çë¥ ¤¨áâਡãâ¨¢ë¥ § ª®ë
¢
V
¢¥ªâ®à®© à¥è¥âª¥. ,®¡®á®¢ ¨¨
㦤 ¥âáï «¨èì à ¢¥á⢮ e := fe() :
2 R g = 0. ®áª®«ìªã h(b ) | à §«®¦¥¨¥ ¥¤¨¨æë ¢ A=N (), â® ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® h(b ) ^ e = 0 ¤«ï ¢á¥å 2 . ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢ëç¨á«¥¨ï
¨¬¥îâ ¢¨¤:
h(b ) ^ e =
1
^
h(b ) ^ e(,n) =
0
1
^
1
@h(b ) ^ _ h(b )e (,n)A
n=1
n=1
2
1
1
^_
^
=
h(b ) ^ h(b )e (,n) =
h(b ) ^ e (,n) = 0:
n=1 2
n=1
4{25
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
® ⥮६¥ ® ८«¨§ 樨 à áè¨à¥®£® K -¯à®áâà á⢠¢ ¢¨¤¥ ¢¥ªâ®à®© à¥è¥âª¨ ¢á¥å à §«®¦¥¨© ¥¤¨¨æë ¢ 䨪á¨à®¢ ®© ¯®«®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥
(á¬. [2, 3]) áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â x ¢ ¬ ªá¨¬ «ì®¬ à áè¨à¥¨¨ mL1 (), ¤«ï
ª®â®à®£® e() = ex ( 2 R ). ᫨ y 2 L1() | ¢¥àåïï £à ¨æ ᥬ¥©áâ¢
(jx j), â® jxj 6 y, áâ «® ¡ëâì, x 2 L1(). ਬ¥¨¢ 1.4.2 (10) ¨§ [9], ¯®«ã稬
eh(b )x = eh(b )x ( 2 R ), ®âªã¤ h(b )x = h(b )x . â ª, ¬ë ¯à®¢¥à¨«¨, çâ®
L1 () ¤¨§êîªâ® ¯®«®. ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ ®ç¥¢¨¤® ¨ ⥮६ ¤®ª §
¯®«®áâìî. B
4. â¥£à «ìë¥ ®¯¥à â®àë £ à ¬
¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ ¯®ª § ®, çâ® ¬®¤ã«ïà ï ¬¥à áëé¥ ¢ ⮬ ¨
⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯à®áâà á⢮ á㬬¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ á ¨â¥£à «ì®© ®à¬®© | ¯à®áâà á⢮ å | â®à®¢¨ç , ¨â¥£à « | ®¯¥à â®à
£ à ¬. áâ ¢«¨¢ ¥âáï â ª¦¥ ¢ ਠâ â¥®à¥¬ë ¤® | ¨ª®¤¨¬ ¤«ï
áëé¥ëå ¬¥à.
4.1. ¥®à¥¬ .
«ï áç¥â® ¤¤¨â¨¢®© ¬¥àë á® § 票ﬨ ¢ ¯à®áâà áâ-
¢¥ å | â®à®¢¨ç à ¢®á¨«ìë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï:
(1)
| áëé¥ ï ¬¥à ;
>>
>>
>|
(2) >
L1 ()
áëé¥ ï ¬¥à ;
(3) L1 () | ¯à®áâà á⢮ å | â®à®¢¨ç ;
(4) L1 () | ¯®à浪®¢® ¯®« ï ¢¥ªâ®à ï
, à¥è¥âª ¨
! F , ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®© T x~ = I||(x) x 2 L1 () ,
®¯¥à â®à
T :
ï¥âáï ®¯¥-
à â®à®¬ £ à ¬.
C (1) ) (2): «¥¤ã¥â ¨§ 3.6.
(2) ) (3): «¥¤ã¥â ¨§ 2.10, 3.6 ¨ ªà¨â¥à¨ï ¯®«®âë à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®-
¢ ®£® ¯à®áâà á⢠¨§ [5, 7].
(3) ) (4): ª ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï ¢¥ªâ®à ï à¥è¥âª L1 () ¯®à浪®¢® ¯®« . ® ⥮६¥ 2.6 F -§ ç ï ®à¬ ¢ L1() ᥪ¢¥æ¨ «ì® ¯®à浪®¢® ¥¯à¥àë¢ ,
â. ¥. ¤«ï ã¡ë¢ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xn ) L1 () ¢ë¯®«ï¥âáï
>
>
>xn>
> = 0, ¥á«¨ ⮫쪮 o-lim n xn = 0. ®§ì¬¥¬ ¯®à浪®¢® ®£à ¨ç¥®¥
o-lim n>
¬®¦¥á⢮ M L1 () á ¢¥à奩 £à ¨æ¥© u 2 L1 (). ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®áâ¨P¬®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® M ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ í«¥¬¥âë ¢¨¤ x1 _ _ xn
¨ bo- 2 h(b )x , £¤¥ fx1; : : :; xn g M , (x ) M , ¨ (b ) | à §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨¨æë ¢ P(F ). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤®¡ ¢¨¢ ª M â ª¨¥
í«¥¬¥âë,>¬®¦¥á⢮
¢¥àå¨å
>
>
>
>
>
>
>
£à ¨æ M ¥ ¨§¬¥¨âáï. ®«®¦¨¬ f := sup>f>>
x>: x 2 M g 6>u>¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¯®á«¥>
>
>
>
¤®¢ ⥫ì®áâì
(xn ) M , ¤«ï ª®â®à®© f , xn 6 (1=n)f . ᫨ yn := x1 _
_ xn ,
>
>>
>
>yn>
> 6 (1=n)f (n 2 N ) ¨ (yn ) ¢®§à áâ ¥â. ᫨ y = supn yn , â® >
>y>
>= f .
â® f ,>
®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â z 2 M ¨ ¯à®¢¥à¨¬,
çâ®
z 6 y>. «ï
>
> >
>yn _ z>
>=>
>y _ z>
> 6 f,
í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® o-lim n yn _ z = y _ z > y ¨ o-lim n>
4{26
. . ãáà ¥¢
>
>
>
>
>
>>
>
y
_
z
2
M
.
ª¨¬ ®¡à §®¬, f 6 >y> 6 >y _ z> 6 f , § ç¨â,
n
>
>
>y >
>. ®áª®«ìªã
f =>
_ z>
®à¬ L1 () ¤¤¨â¨¢ ª®ãá¥, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® à ¢¥áâ>
>
>>
> >
>
>
>
>
>
>y _ z , y>
>= 0
>y _ z , y>
>+>
>y>
>=>
>y _ z , y>
>+ f , ®âªã¤ >
¢ f =>
>(y _ z , y ) + y>
>=>
1
¨ y _ z = y . ¥¬ á ¬ë¬ ãáâ ®¢«¥®, çâ® y = sup(M ) ¨ L () ¯®à浪®¢® ¯®«®.
áᬮâਬ ¯à ¢«¥®¥ ¢¨§ ¬®¦¥á⢮ D ¨ ¯ãáâì inf (D ) = 0. ®«®>>
>x>
> : x 2 D g. ®¢â®à¨¢ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à áá㦤¥¨ï, ¬®¦®
¦¨¬ f := inf f>
¢ë¡à âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (yn ) L1 () (¥ ᮤ¥à¦ é¨åáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,
> >
>
>
¢ D ) â ªãî, çâ® f = inf n>yn> ¨ 0 = inf n yn . ª ª ª ®à¬ ¯®à浪®¢® ¥¯à¥àë¢ ,
â®>
¯®«ãç ¥¬
f = 0. ¥¬ á ¬ë¬, T ¯®à浪®¢® ¥¯à¥à뢥, ¯®áª®«ì>
>
>
>
>
>
>
,
+
>
>
>
>
ªã Tx =>x >,>x >. ¢¨¤ã ᢮©áâ¢ à §«®¦¨¬ëå à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ëå
¯à®áâà á⢠(á¬. [5, 7]) L1 () ¤®¯ã᪠¥â ᮣ« ᮢ ãî ¬®¤ã«ìãî áâàãªâãàã
¤ Orth(F ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ 0 6 f 6 Tx ¤«ï ¥ª®â®à®£® 0 6 x 2 L1 (),
>
>>
> >
> >
>
â® áãé¥áâ¢ã¥â 2 Orth(F ) â ª®©, çâ® f = Tx = >x>= >x>= T (x). ª¨¬
®¡à §®¬ T ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ £ à ¬.
â ª ª ª
)
á¬. [7]. B
(4)
(1): ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠®¯¥à â®à £ à ¬,
: A ! F ¨ : A ! Y | ª®¥ç® ¤¤¨â¨¢ë¥ ¬¥àë. ®
¡á®«îâ® ¥¯à¥àë¢ ®â®á¨â¥«ì® ¨ ¯¨èãâ , ¥á«¨
>
>
>
>(a)>
> 2 (A)?? ¤«ï ¢á¥å a 2 A. ª ¢¨¤®, ¨§ á«¥¤ã¥â N ( ) N (),
¯®í⮬㠪®à४⮠®¯à¥¤¥«¥ ¡ã«¥¢ £®¬®¬®à䨧¬ % : A=N ( ) ! A=N () ä®à¬ã«®© % 0 = , £¤¥ 0 | ª ®¨ç¥áª¨© ä ªâ®à-£®¬®¬®à䨧¬ ¨§ A ¢ A=N ( ).
¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬ a ¯®à浪®¢ë© ¯à®¥ªâ®à ¢ E , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥¤¨¨ç®¬ã í«¥¬¥âã a 2 A.
4.3.
h h%
C ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®á⨠¬®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ®
>
, ¯®«®¦¨â¥«ì>
>
>
>
.
® ãá«®¢¨î ¤«ï ª ¦¤®£® b 2 B ¢ë¯®«ï¥âáï > h(b) ^ (a) >
> 2
,
??
,
0
?
h(b) ^ (a) , áâ «®
¡ëâì, b h(b) ^ (a) = 0 ¤«ï ¢á¥å b 2 B ¨ a 2 A.
,
,
âáî¤ ¢ë¢®¤¨¬ h(b) ^ (a) = b h(b) ^ (a) . ¬¥¨¢ b b? , ¯®«ã,
,
稬 b h(b? ) ^ (a) = 0, ®âªã¤ b( (a)) = b h(b) ^ (a) . «¥¤®¢ ⥫ì®,
,
b( (a)) = h(b) ^ (a) , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. B
4.4. ¥®à¥¬ ¤® | ¨ª®¤¨¬ .
; : A ! F
y 2 L1()
4.2.
ãáâì
¢®àïâ,
> > çâ®
,
.
ãáâì
¤¤¨â¨¢ë¥ ¬¥àë, ¯à¨ç¥¬
¥¯à¥àë¢ ®â®á¨â¥«ì®
¯®«®¦¨â¥«ì ¨ áëé¥ .
, â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â
Z
(a) = a y d (a 2 A):
| áç¥â®
᫨
¡á®«îâ®
, çâ®
4{27
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
C ।¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® j j 6 . ¯à¥¤¥«¨¬ ®¯¥à â®à S : L1 () ! F
ä®à¬ã«®©
S (~x) :=
Z
x d
(x
2 L1()):
T , áâ «® ¡ëâì, ¯® ⥮६¥ ¤® | ¨ª®¤¨¬ ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ £ à ¬ (á¬. [5, 13]) ¬®¦® ©â¨ â ª®© 2 Orth(L1 ()), çâ® jj 6 I ¨
S (u) = T (u) (u 2 L()). à⮬®à䨧¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (u) = y~u
¤«ï ¥ª®â®à®£® y
~ 2 L1 (), jy j 6 , ®âªã¤
ª ¢¨¤®,
S
1
(a) = T ( a y~) =
Z
a y d
⮡ë à áᬮâà¥âì ®¡é¨© á«ãç ©, ¯®«®¦¨¬
®£¤
n
% ,
Sn
% S
(a
2 A):
n := ^ (n) ¨ Sn := Sn (n 2 N ).
¨ ¢ ᨫ㠤®ª § ®£® ¢ëè¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢®§à áâ î1 (), ¤«ï ª®â®à®© (a) = I ( y ) (a
é ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (yn )
).
n
a n
®áª®«ìªã
I (yn )
=
n (1)
2L
6 (1),
2A
¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ⥮६㠮 ¬®®â®®© á室¨¬®áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥â y := supn yn ᮤ¥à¦¨âáï ¢ 1 () ¨
L
(a) = I ( a y ) (a 2 A). B
4.5.
¥®à¥¬ã 4.4 ¯®-áãé¥áâ¢ã ãáâ ®¢¨« . ©â ¢ [20] ¤à㣨¬ ᯮá®-
¡®¬. ¢ë¢¥« íâ®â ä ªâ ¨§ á«¥¤ãî饣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ã⢥ত¥¨ï, ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ î饣® ¨§ ®¤®£® १ã«ìâ â . ¯« ᪮£® [12; ⥮६ 5]
(á¬. [20; «¥¬¬ 4.2]):
ãáâì
| áëé¥ ï ¬¥à á® § 票ﬨ ¢ C (Q) ¨ T : L2 () ! C (Q) |
®£à ¨ç¥ë© ¯® ®à¬¥ ¬®¤ã«ìë© £®¬®¬®à䨧¬.
¢¥ ï äãªæ¨ï
®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ-
g 2 L2 (), ¤«ï ª®â®à®©
Tf
Z
=
fg d
,
f
2 L2 () :
| ¯®«®¦¨â¥«ì ï áëé¥ ï ¬¥à . ®£¤ ®â®¡à ¦¥¨¥ x !
x (a) := I ( a x) (a 2 A), ¡ã¤¥â à¥è¥â®çë¬
1
??.
¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®àëå à¥è¥â®ª L () ¨ fg
4.6. ãáâì
x , £¤¥ x
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
¨â¥à âãà
1.
ª¨«®¢ . .,
ãâ ⥫ ¤§¥ . .
¯®à冷ç¥ë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà -
á⢠.|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1978.|368 á.
2.
㫨å . .
¢¥¤¥¨¥ ¢ ⥮à¨î ¯®«ã㯮à冷ç¥ëå ¯à®áâà áâ¢.|.:
, 1961.|407 á.
4{28
. . ãáà ¥¢
3. â®à®¢¨ç . ., 㫨å . ., ¨áª¥à . . ãªæ¨® «ìë© «¨§ ¢
¯®«ã㯮à冷ç¥ëå ¯à®áâà á⢠å.|.-.: ®áâ¥å¨§¤ â, 1950.|548 á.
4. ãáà ¥¢ . . ¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤¥§¨â¥£à¨à®¢ ¨ï // ®ª«. .|
1982.|. 265, ü 6.|. 1312{1316.
5. ãáà ¥¢ . . ¥ªâ®à ï ¤¢®©á⢥®áâì ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥¨ï.|®¢®á¨¡¨àáª:
㪠, 1985.|256 á.
6. ãáà ¥¢ . . ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë ¢ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ëå ¯à®áâà á⢠å // áá«¥¤®¢ ¨ï ¯® £¥®¬¥âਨ ý¢ 楫®¬þ ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã
«¨§ã.|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1987.|. 84{123.
7. ãáà ¥¢ . . ¦®à¨àã¥¬ë¥ ®¯¥à â®àë // ª: ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë,
ᮣ« ᮢ ë¥ á ¯®à浪®¬.|®¢®á¨¡¨àáª: §¤-¢® -â ¬ â-ª¨ ,
1995.|. 212{292.
8. ãáà ¥¢ . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . . ¥áâ ¤ àâ ï ⥮à¨ï ¢¥ªâ®àëå à¥è¥â®ª // ª: ¥ªâ®àë¥ à¥è¥âª¨ ¨ ¨â¥£à «ìë¥ ®¯¥à â®àë / ãå¢ «®¢ . ., ®à®âª®¢ . ., ãáà ¥¢ . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . C., ª ஢ . .|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1991.|214á.; Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 1996.
9. ãáà ¥¢ . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . . 㡤¨ää¥à¥æ¨ «ë. ¥®à¨ï ¨
¯à¨«®¦¥¨ï.|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1992.|270 á.; Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.
10. ãáà ¥¢ . ., «î£¨ . . ¯®à浪®¢® ¥¯à¥à뢮© á®áâ ¢«ïî饩
¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à // ¨¡. ¬ â. ¦ãà.|1987.|. 28, ü 4.|. 127{
139.
11. ãáà ¥¢ . ., «î£¨ . . ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ ¢¥ªâ®àëå
¬¥à.|®¢®á¨¡¨àáª: §¤-¢® -â ¬ â-ª¨ , 1988.|182á.
12. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.|1953.|V. 75,
No. 4, P. 839{858.
13. Luxemburg W. A. J. and Schep A. A Radon{Nikodym type theorem for positive
operators and a dual // Indag. Math. (N.S.).|1978.|V. 40.|P. 357{375.
14. Maharam D. The representation of abstract measure functions // Trans. Amer.
Math. Soc.|1949.|V. 65, No. 2.|P. 279{330.
15. Maharam D. Decompositions of measure algebras and spaces // Trans. Amer.
Math. Soc.|1950.|V. 69, No. 1.|P. 142{160.
16. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math.
Soc.|1953.|V. 75, No. 1.|P. 154{184.
17. Maharam D. On kernel representation of linear operators // Trans. Amer.
Math. Soc.|1955.|V. 79, No. 1.|P. 229{255.
18. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.|1984.|V. 26.|
P. 263{277.
19. Wickstead A. W. Stone algebra valued measures: integration of vector-valued
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
20.
21.
22.
23.
4{29
functions and Radon{Nikodym type theorems // Proc. London Math. Soc.|
1982.|V. 45, No. 2.|P. 193{226.
A Radon{Nikodym theorem for Stone algebra valued measures // Trans. Amer. Math. Soc.|1969.|V. 139.|P. 75{94.
Stone algebra valued measures and integrals // Proc. London
Math. Soc. Proc. London Math. Soc.|1969.|V. 19, No. 3.|P. 107{122.
The measure extension problem for vector lattices // Ann.
Inst. Fourier (Grenoble).|1971.|V. 21.|P. 65{68.
Vector lattice measure on locally compact spaces // Math.
Z.|1971.|V. 120.|P. 193{203.
Wright J. D. M.
Wright J. D. M.
Wright J. D. M.
Wright J. D. M.
£. « ¤¨ª ¢ª §
â âìï ¯®áâ㯨« 15 ¨îï 2000 £.
ªâï¡àì{¤¥ª ¡àì, 2000, ®¬ 2, ë¯ã᪠4
517.98
. . ãáà ¥¢
¥«ì áâ®ï饩 áâ âì¨ | ¯®ª § âì, çâ® ¬®¤ã«ïàë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬ â¥á® á¢ï§ ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. ®ç¥¥ £®¢®àï, ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® áë饮©
¬¥à¥ ¢®§¨ª ¥â ®¯¥à â®à £ à ¬, ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ®¯¥à â®à £ à ¬
¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤ã«ïன áë饮© ¬¥à¥.
1. ¢¥¤¥¨¥
¯¥à â®à®¬ £ à ¬ §ë¢ îâ ¯®à浪®¢® ¥¯à¥àë¢ë© ®¯¥à â®à ¢
K-
¯à®áâà á⢥, á®åà ïî騩 ¨â¥à¢ «ë. â®â ª« áá ®¯¥à â®à®¢ ¢¯¥à¢ë¥ à áᬮâ५ . £ à ¬, ª ª ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 â¥å¨ç¥áª®¥ á।á⢮ ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ⥮ਨ ¯®«®¦¨â¥«ìëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¯à®áâà áâ¢ å ¨§¬¥à¨¬ëå äãªæ¨©
(á¬.
横« à ¡®â [14{17], â ª¦¥ ¥¡®«ì让 ®¡§®à [18], ᮤ¥à¦ 騩 ªà â-
ª®¥ ®¯¨á ¨¥ à §¢¨â®£® ¥î ¬¥â®¤ ¨ ä®à¬ã«¨à®¢ªã ®á®¢ëå १ã«ìâ ⮢).
. îªá¥¬¡ã࣠¨ . í¯ [13] à á¯à®áâà ¨«¨ ç áâì ⥮ਨ . £ à ¬, á¢ï§ ®© á ⥮६®© ⨯ ¤® | ¨ª®¤¨¬ , ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ®¯¥à â®àë,
¤¥©áâ¢ãî騥 ¢
K -¯à®áâà á⢠å.
¥à¬¨ ý®¯¥à â®à £ à ¬þ ¡ë« ¢¢¥¤¥
¢ [4]. ¢®©á⢮ ®¯¥à â®à á®åà ïâì ¨â¥à¢ «ë §¢ ® ᢮©á⢮¬ £ à ¬
¢ [13]; â ª¨¥ ®¯¥à â®àë ¢ [14{17] §ë¢ «¨áì full-valued. ®¤à®¡¥¥ ®¡ ®¯¥à â®à å £ à ¬ á¬. ¢ [5, 6, 7, 9].
§¢¥áâ®, ç⮠⥮६ ¤® | ¨ª®¤¨¬ ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ ¤«ï ¬¥à á®
K -¯à®áâà á⢥.
§ 票ﬨ ¢
¤ ª®, . ©â ¯®ª § « ¢ [20], ç⮠⥮६
¤® | ¨ª®¤¨¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï á¯¥æ¨ «ì®£® ª« áá ¬®¤ã«ïàëå ¬¥à á
Q | íªáâ६ «ìë© ª®¬¯ ªâ
L1 () ¤®¯ã᪠¥â áâàãªâãàã ¬®¤ã«ï ¤ ª®«ì殬 C (Q). ®£¤ ¬®¤ã«ïà®áâì ¬¥àë ®§ ç ¥â, çâ®
ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨â¥£à « ï¥âáï ¬®¤ã«ìë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ ¨§ L1 () ¢
C (Q). ª¢¨¢ «¥â®¥ ãá«®¢¨¥ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯à®áâà á⢮ L2 () á«ã¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ áë饮áâ¨. ãáâì
¨
:
B!C Q
(
) | ¥ª®â®à ï ¬¥à . ।¯®«®¦¨¬, çâ®
¦¨â ¬®¤ã«¥¬ ¯« ᪮£® | ¨«ì¡¥àâ (á¬. [12, 20]). ®¯®«¨â¥«ìë¥ á¢¥¤¥¨ï ® ¬®¤ã«ïàëå ¨ áëé¥ëå ¬¥à å á¬. ¢ ª¨£¥ [11], £¤¥, ¢ ç áâ®áâ¨,
à §¢¨â ¡ã«¥¢®§ çë© ¯®¤å®¤ ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î í⮣® ª« áá ¢¥ªâ®àëå ¬¥à.
c 2000 ãáà ¥¢ . .
4{18
. . ãáà ¥¢
¥«ì áâ®ï饩 áâ âì¨ | ¯®ª § âì, çâ® ¬®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë
£ à ¬ â¥á® á¢ï§ ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. ®ç¥¥ £®¢®àï, ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯®
áë饮© ¬¥à¥ ¢®§¨ª ¥â ®¯¥à â®à £ à ¬, ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥
®¯¥à â®à £ à ¬ ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤ã«ïன áë饮© ¬¥à¥. ¥®¡å®¤¨¬ë¥
ᢥ¤¥¨ï ¨¬¥îâáï ¢ [1, 2, 5, 7, 11].
2. ।¢ à¨â¥«ìë¥ á¢¥¤¥¨ï
í⮬ ¯ à £à ä¥ ¯à¨¢¥¤¥¬ á奬㠨⥣à¨à®¢ ¨ï «¥¡¥£®¢áª®£® ⨯ ¯®
¬¥à¥ á® § 票ﬨ ¢ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥. ª®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¡ë«® à §¢¨â® . ©â®¬ [23] ¤«ï ¬¥à á® § 票ﬨ ¢ «£¥¡à å â®ã ,
®¤ ª® ¢áï ⥮à¨ï ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥ ¤«ï ¬¥à á® § 票ﬨ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬
K -
¯à®áâà á⢥, á¬. [21, 22]. 襬 ¨§«®¦¥¨¨ ¬ë á«¥¤ã¥¬ [11], £¤¥ ¯®áâ஥¨ï
. ©â [23] ¯®¢â®à¥ë ¢ ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®¡é¥© á¨âã 樨: ¨â¥£à¨à㥬묨
®¡ê¥ªâ ¬¨ ïîâáï í«¥¬¥âë ¥ª®â®à®£®
K -¯à®áâà á⢠, ª ª ¢ [2, 3], ¢¥ª-
â®à ï à¥è¥âª ®¡à §®¢ § ¬¥¥ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮.
¢¥ªâ®à®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¢
K -¯à®áâà áâ¢ å ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¢ ਠâ¥
â¥®à¥¬ë ¤® | ¨ª®¤¨¬ á¬. â ª¦¥ [19].
2.1. ãáâì G | à áè¨à¥®¥ K -¯à®áâà á⢮ á ¯®à浪®¢®© ¥¤¨¨æ¥© 1,
Y; F ) | ᥪ¢¥æ¨ «ì® bo-¯®«®¥ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤
K -¯à®áâà á⢮¬ F . áᬮâਬ ¯®¤ «£¥¡àã A ¯®«®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë G(1)
¥¤¨¨çëå í«¥¬¥â®¢ ¯à®áâà á⢠G ¨ ª®¥ç® ¤¤¨â¨¢ãî ¬¥àã >
:A!
Y
>
>
>
>
>
>
>
>
>
®£à ¨ç¥®© ¢¥ªâ®à®© ¢ ਠ樨 >> : A ! F . â® ®§ ç ¥â, çâ® >(a)> 6
>>
>
>
>>(a) (a 2 A), ¯à¨ç¥¬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ä®à¬ã« (á¬. [10, 11]):
(
>
>
>
>>
>( ) := sup
a
X
n
k=1
j(ak )j : ak ^ al = 0;
n
_
k=1
ak = a :
S (A) ¢¥ªâ®àãî ¯®¤à¥è¥âªã ¢ G, á®áâ®ïéãî ¨§ ¢á¥å A¯à®áâëå (ª®¥ç®§ çëå) í«¥¬¥â®¢ G, â. ¥. x 2 S (A) ®§ ç ¥â, çâ® ¨¬¥Pn
¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ x =
k=1 k ek , £¤¥ f 1 ; : : :; n g R ¯à®¨§¢®«ìë,
fe1 ; : : :; en g A ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë. ®«®¦¨¬
¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬
Z
I (x) := x d :=
n
X
k=1
,
k (ek ) (x 2 S A) :
¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥¨¥.
2.2.
ª § ï ä®à¬ã« ª®à४⮠®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à
I : S (A) ! Y , ¯à¨ç¥¬
Z
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Z
,
>
>
>>
> x 2 S (A) :
x d 6 jxj d>
4{19
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
áᬮâਬ £« ¢ë© ¨¤¥ « G(1) ¯®à®¦¤¥ë© ¥¤¨¨æ¥© 1 ¨ ¢¢¥¤¥¬ ¢ ¥¬
®à¬ã kxk := inf f : jxj 6 1g: ®£¤ G(1) | AM -¯à®áâà á⢮. ãáâì C (A) |
§ ¬ëª ¨¥ S (A) ¢ AM -¯à®áâà á⢥ G(1).
2.3.
I
C ( A)
C ¬. [11; ¯¯. 1.2.1, 1.2.2]. B
¯¥à â®à
>
>
>
>
>
> >
>= ||.
¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¬ ¦®à¨à㥬®¥ ¯à®¤®«¦¥¨¥
, ª®â®à®¥ ®¡®§ 稬 ⥬ ¦¥ ᨬ¢®«®¬. ਠí⮬
2.4. «ï ª ¦¤®£® ¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à
¥¤¨á⢥ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï ¬¥à
Z
:A!Y
I
I
T : C (A) ! Y
áãé¥áâ¢ã¥â
â ª ï, çâ®
,
Tx = x d x 2 C (A) :
।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® A | -¯®¤ «£¥¡à ¢ E(1). áᬮâਬ à áè¨à¥®¥ K -¯à®áâà á⢮ E G á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å A-§ çëå à §«®¦¥¨©
¥¤¨¨æë (ᯥªâà «ìëå äãªæ¨©). ª«î票¥ E G ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥
®â®¦¤¥á⢫¥¨ï K -¯à®áâà á⢠G ¨ K(E(1)).
2.5. ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨â¥£à « ®â í«¥¬¥â , ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®£® A¯à®áâ묨 í«¥¬¥â ¬¨. ª ¦¥¬, çâ® ¯®«®¦¨â¥«ìë© í«¥¬¥â x 2 E ¨â¥£à¨à㥬 ¯® ¬¥à¥ , ¨«¨ -¨â¥£à¨à㥬 , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (xn )n2N ¯®«®¦¨â¥«ìëå
í«¥¬¥â®¢ ¢ S (A), o-á室ïé ïáï ¢ G
R
>
>
>
>
>
>
ª x, ¯à¨ç¥¬ áã¯à¥¬ã¬ supn2N xn d áãé¥áâ¢ã¥â ¢ F . «ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xn ) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨â¥£à «®¢ (I (xn ))n2N ¡ã¤¥â bo-ä㤠¬¥â «ì®©,
¯®í⮬㠬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨â¥£à « ®â í«¥¬¥â x, ¯®« £ ï
Z
Z
I (x):= x d := bon!1
-lim xn d:
®à४â®áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¢¥àï¥âáï ¡¥§ âà㤠, á¬. [11; ¯. 1.2.6]. «¥¬¥â x 2 E ¨â¥£à¨à㥬 (= -¨â¥£à¨à㥬) ¥á«¨ ¥£® ¯®«®¦¨â¥«ì ï ç áâì
x+ ¨ ®âà¨æ ⥫ì ï ç áâì x, ¨â¥£à¨à㥬ë. ¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬ L1 () ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¨â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® x 2 L1 () ¯®«®¦¨¬
Z
I (x):= x d :=
Z
x+ d ,
Z
x, d:
¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® L1() | ä㤠¬¥â ¢ E ¨ I : L1() ! Y | «¨¥©ë©
®¯¥à â®à.
¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¨§ ª®áâàãªæ¨¨ ¨â¥£à « á«¥¤ã¥â L1 () =
>
>
>
>
L1 (>>). ¯à¥¤¥«¨¬ ¢ L1() ¢¥ªâ®àãî ®à¬ã á® § 票ﬨ ¢ F :
>
>
>
>>
>1 :=
x
Z
> ,
>
>>
> x 2 L1 () :
jxj d>
4{20
. . ãáà ¥¢
ª ¦¥¬, çâ® ¤¢ í«¥¬¥â x; y 2 L1 () -íª¢¨¢ «¥âë
, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨>
>
>
>
¨çë© í«¥¬¥â e 2 G(1), ¤«ï ª®â®à®£® >>(1 , e) = 0 ¨ [e]x = [e]y. ®¦¥á⢮ N () ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ -íª¢¨¢ «¥âëå ã«î ¡ã¤¥â ᥪ¢¥æ¨ «ì® o§ ¬ªãâë¬ ¯®à浪®¢ë¬ ¨¤¥ «®¬
¢ L1 (). § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨â¥£à « ¢¨¤®,
>
>
>x>
>1 = 0g. ¢¥¤¥¬ K -¯à®áâà á⢮ L1 () ª ª
çâ® N () = fx 2 L1 () : >
1
ä ªâ®à-¯à®áâà á⢮ L () ¯® -¨¤¥ «ã N (). « áá íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ í«¥¬¥â x 2 L1 () ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ᨬ¢®«®¬>>
x~. ¥ªâ®à ï
®à¬ L1()
,
>
>
>
>
>
>
á® § 票ﬨ
¢>F>®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© >x~>1 := >x> x 2 L1() . ª¨¬
, 1
>>
> | à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮.
®¡à §®¬, L ();>
2.6. ¥®à¥¬ ® ¬®®â®®© á室¨¬®áâ¨.
(xn )n2N
®¯ãá⨬, çâ®
|
-¨â¥£à¨à㥬ëå
í«¥¬¥â®¢, ¤«ï ª®â®à®©
I||(xn ) n2N ¯®à浪®¢® ®£à ¨ç¥ ¢ F . ®£¤
W
1
1
áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â x 2 L (), çâ® ¢ L () ¢ë¯®«¥® x
~ = n x~n ¨
¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨â¥£à «®¢
Z
,
x d = bon!1
-lim
Z
xn d:
C ¬. [11; ¯. 1.2.8]. B
2.7. ¥®à¥¬ ® ¬ ¦®à¨à®¢ ®© á室¨¬®áâ¨.
ãáâì
-¨â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ ¨ o-lim xn = x ¢ G.
1
¨ jxn j 6 y (n 2 N ), â® x 2 L () ¨
¤®¢ ⥫ì®áâì
Z
C ¬. [11; ¯. 1.2.9]. B
2.8. ¥®à¥¬ .
ãáâì
x d = bon!1
-lim
:A!Y
(1)
L1 () A
(2) I e
¯®á«¥-
y 2 L1 ()
xn d:
| áç¥â® ¤¤¨â¨¢ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï ¬¥-
L () E ¨ ᥪ¢¥æ¨ «ì® bo-¥¯à¥àë¢ë©
I : L1 () ! Y â ª¨¥, çâ® ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ã⢥ত¥¨ï:
à . ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ä㤠¬¥â
¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à
Z
(xn )n2N
᫨
1
;
= (e) (e 2 A)
;
(3) ¥á«¨ L A ¨ Ie = (e) (e 2 A) ¤«ï ¥ª®â®à®£® ä㤠¬¥â
L E ¨ bo-¥¯à¥à뢮£® ¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à I : E ! Y , â® L L1 ()
¨ Ix = I x (x 2 L);
>
> >
>
(4) >
>I>
>= I||.
C ¬. [11; ¯. 1.2.4]. B
4{21
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
2.9. ¥®à¥¬ . ãáâì
¨æã ¨
T : E0 ! Y
®¯¥à â®à.
:A!Y
E0
| ä㤠¬¥â ¢
| ᥪ¢¥æ¨ «ì®
bo
E
, ᮤ¥à¦ 騩 ¯®à浪®¢ãî ¥¤¨-
-¥¯à¥àë¢ë© ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© «¨¥©ë©
®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï
â ª ï, çâ®
L () E
1
Z
Tx = x d;
- ¤¤¨â¨¢ ï ¬¥à
0 ¨
>
>
>
>x
>T>
=
Z
>
>
>>
> (x 2 E0 ):
x d>
C ¬. [11; ¯. 1.2.11]. B
,
>
>
>>
> br
L1 ();>
C ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® â¥å ¦¥ á®®¡à ¦¥¨ïå, çâ® ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮
â¥®à¥¬ë ¨áá | ¨è¥à ¤«ï ᪠«ïàëå ¬¥à. ਢ¥¤¥¬ á奬ã
¤®ª § ⥫ìáâ>
>
>
>
> 6 rk f
¢ . ᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (xn )n2N br-ä㤠¬¥â «ì , â® xn , xm>
(n; m > k) ¤«ï ¥ª®â®à®£® í«¥¬¥â f 2 F+ ¨ ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨
>>
> 2 F (f )g, £¤¥
>x>
(rn )n2N , á室ï饩áï ª ã«î. ®«®¦¨¬ L(f ) := fx 2 L1() : >
F (f ) | ¯®à浪®¢ë© ¨¤¥ «, ¯®à®¦¤¥ë© í«¥¬¥â®¬ f . ®£¤ (xn ) L(f )
¨ ¤®áâ â®ç®
ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® LP(f1) | ¡ 客® ¯à®áâà á⢮ á ®à¬®©
>>
>
>
>
>
kxk := kPx kF>
(f ) . ®¯ãá⨬, çâ® àï¤
n=1 xn ¡á®«îâ® á室¨âáï ¢ L(f ). ®£>
>
>
>
>
á室¨âáï
¢
AM
-¯à®áâà á⢥
F (f ), áâ «® ¡ëâì, r-á室¨âáï ª
x
¤ àï¤ 1
n=1 n
⮩ ¦¥ á ¬®© á㬬¥. ®«®¦¨¬
2.10. ¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮
t :=
1
X> >
>
>;
>xk>
k=1
n :=
n
X
k=1
xk ; sn :=
n
X
k=1
-¯®«®.
jxk j:
ª ¢¨¤®,
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (sn ) á®á⮨⠨§ ¯®«®¦¨â¥«ìëå ç«¥®¢, ¢®§à áR
⠥⠨ sn d 6 t. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ⥮६¥ ® ¬®®â®®© á室¨¬®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« y :=Po1-lim sn , ᮤ¥à¦ 騩áï ¢ L1(). ¥à ¢¥á⢮ jn j 6 sn 6 y
¢«¥ç¥â, çâ® àï¤ k=1 xk o-á室¨âáï. «ï á㬬ë í⮣® àï¤ x0 ¢ë¯®«¥ ®æ¥1
ª
jx0j 6>
y, ®âªã¤
x0 2>L>
(). ਢ«¥ª ï ⥮६ã 2.7 ® á室¨¬®áâ¨, ¢ë¢®¤¨¬
R
>
>
>
>
>
>n , f0>= jn , x0 j d>>! 0. B
®¦® ¯®«ãç âì ¤ «ì¥©è¨¥ १ã«ìâ âë ® ¯®«®â¥ ¯à®áâà á⢠¨â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®£à ¨ç¥¨ïå. ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ãáâ ®¢¨âì ᥪ¢¥æ¨ «ìãî bo-¯®«®âã L1 (), ¥á«¨ ¯à®áâà á⢮ F ॣã«ïà®. ¤ ª® à §«®¦¨¬®áâì § ¢¨á¨â ®â áãé¥á⢥® ¤à㣨å ᢮©áâ¢
¬¥àë.
3. ®¤ã«ïàë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¬¥àë
í⮬ ¯ à £à ä¥ ¢¢¥¤¥¬ ¬®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ¢ëïᨬ ãá«®¢¨ï à §«®¦¨¬®á⨠¨ ¯®«®âë ¯® ¢¥ªâ®à®© ®à¬¥ ¯à®áâà á⢠á㬬¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢.
4{22
. . ãáà ¥¢
® ª®æ ¯ à £à ä ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® Y | ¯à®áâà á⢮ å |
â®à®¢¨ç ¤ K -¯à®áâà á⢮¬ F ¨ : A ! Y | áç¥â® ¤¤¨â¨¢ ï ¬¥à .
¢¥¤¥¬ ã«¥¢®© ¨¤¥ « ¬¥àë ä®à¬ã«®©
3.1.
N ():= fa 2 A : (8 a 2 A) a 6 a ) (a ) = 0g:
>>
>>
~ ¨ ®¡®§ ç îâ
>>
>) = fa 2 A : >
>>
>(a) = 0g. ãáâì A
®ïâ®, çâ® N () = N (>
ä ªâ®à- «£¥¡àã A=N () ¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ä ªâ®à-®â®¡à ¦¥¨¥ A=N () ! A~
ᮮ⢥âá⢥®.>>
ãé¥áâ¢ã¥â
¥¤¨á⢥ ï ¬¥à ~ : A~ ! Y , ¤«ï ª®â®à®© ~ =
>>
0
0
0
f
>=>
>
>.
>
>
. ®«¥¥ ⮣®, >
~>
ãáâì § ¤ ¡ã«¥¢ £®¬®¬®à䨧¬ h : B := P(F ) ! A~. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ®
¬®¤ã«ïà ®â®á¨â¥«ì® h ¨«¨ h-¬®¤ã«ïà , ¥á«¨ b~( a) = ~(h(b) ^ (a))
¤«ï ¢á¥å a 2 A ¨ b 2 B . ª ¢¨¤®, ¬®¤ã«ïà®áâì ¬¥àë ®§ ç ¥â, çâ®
b(a) = (b ^ a W
) ¤«ï ¢á¥å a 2 (a) ¨ b 2 h(b).
ãáâì e := fb 2 B : (8 a 2 A) b(a) = 0g. ®£¤ e(A) = f0g ¨ (A)
(1 , e)Y . ®«¥¥ ⮣®, b(A) = f0g ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ h(b) 2 N ().
¥¬ á ¬ë¬, h ¨ê¥ªâ¨¢¥ [0; 1 , e]. ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ®
(A) = Y ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ h ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨§®¬®à䮥 ¢«®¦¥¨¥ B ¢ A~.
㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® h-¬®¤ã«ïà ï ¬¥à áëé¥ (®â®á¨â¥«ì® h), ¥á«¨
¤«ï «î¡®£® à §¡¨¥¨ï ¥¤¨¨æë (b ) ¢ B ¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ᥬ¥©á⢠(a ) ¢
A áãé¥áâ¢ã¥â>¥¤¨á⢥ë©
(á â®ç®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥â®áâ¨) í«¥¬¥â a 2 A,
>
>>
>(a4a ) = 0 ¤«ï ¢á¥å 2 . â® ãá«®¢¨¥ à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ®
â ª®©, çâ® b>
h(b ) ^ (a) = h(b ) ^ (a ) ( 2 ), ¯®áª®«ìªã h-¬®¤ã«ïà .
3.2. à ¡®â¥ [20] . ©â ®¯à¥¤¥«¨« ¬®¤ã«ïà®áâì ¬¥àë á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ : C (Q) ! L () (Q | íªáâ६ «ìë©
ª®¬¯ ªâ). ¥àã : B ! C (Q) §ë¢ îâ ¬®¤ã«ïன ®â®á¨â¥«ì® , ¥á«¨
0
0
0
0
??
2
2
1
Z
(a)f d = a
Z
f d (a 2 C (Q); f
2 L1()):
ª¢¨¢ «¥â®áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï á ¤ ë¬ ¢ëè¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ 2.10, 3.6 ¨ «¨ç¨ï ¬®¤ã«ì®© áâàãªâãàë ¢ à §«®¦¨¬®¬ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ (á¬. [5, 7]). áë饮áâì ¦¥ ¬¥àë ᮣ« á® . ©âã [20] ®§ ç ¥â,
çâ® ¯à®áâà á⢮ L2 () ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®¤ã«ì ¯« ᪮£® | ¨«ì¡¥àâ . â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ â ª¦¥ à ¢®á¨«ì® ¤ ®¬ã ¢ëè¥ ¢ ᨫã 3.6 ¨ ªà¨â¥à¨ï
¯®«®âë à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®£® ¯à®áâà á⢠¨§ [5, 7].
¬®¤ã«ïà ®â®á¨â¥«ì® ¡ã«¥¢ ¨§®¬®à䨧¬
h ¢ ⮬ ¨ ⮫ì>
>
>
>
ª® ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ â ª®¢®© ï¥âáï ¥¥ â®ç ï ¬ ¦®à â >
>.
>
>,
f
>
> (a) =
C
®¯ãá⨬,
çâ®
h-¬®¤ã«ïà ¨ ¤®ª ¦¥¬ á®®â®è¥¨¥ b>
>
,
,
>
>,
>>
>>
>
f
>
> h(b) ^ (a) . ® à ¢®á¨«ì® à ¢¥áâ¢ã b>
>
> (a) = >
>
> h(b) ^ (a) ,
>
~>
~>
3.3. ¥à
4{23
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
>>
>>
>
>
f
>=>
>
¯®áª®«ìªã >
>
~>.
¥¯¥àì âॡ㥬®¥ ¯à®¢¥àï¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ¯à®áâ묨
¢ëç¨á«¥¨ï¬¨ ¨á¯®«ì§ãî騬¨ 2.1:
_
>>
>,
>
b>
~> (a) = b
(
)
n
X
~(~ak ) : a~1 _ _ a~n = (a)
k
=1
( n
)
_ X
,
=
b~ (ak ) : a1 _ _ an = a
k
=1
(
)
n ,
_ X
~ (b ) ^ (ak ) : a1 _ _ an = a
=
k=1
( n
)
_ X
,
=
~ (ck ) : c1 _ _ cn = (b ) ^ (a)
k=1
,
>
>
>
>
>
>
= h(b) ^ (a) ;
0
0
fa~1; : : : ; ~ang A~, fa1; : : : ; ang A, ¨ fc1 ; : : : ; cn g A
¯®¯ à® ¤¨§êîªâë ¨ h(b) = (b ) ¤«ï ¥ª®â®à®£® b 2 A. ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ¤®ª § ®£® ¨¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 4.3. B
£¤¥ ª®¥çë¥ ¬®¦¥áâ¢
0
0
F | K -¯à®áâà á⢮ áç¥â®£® ⨯ . ®£¤ ¢áïª ï áç¥â® ¤¤¨h-¬®¤ã«ïà ï ¬¥à , ®¯à¥¤¥«¥ ï - «£¥¡à¥, ¡ã¤¥â áë饮©.
C «ï áç¥â®£® à §¡¨¥¨ï ¥¤¨¨æë (bn ) B ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(an )
A ¯®«®¦¨¬ a := Wfcn ^ an : n 2 N g, £¤¥ (cn ) | ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®¯ à®
¤¨§êîªâëå í«¥¬¥â®¢ ¢ A, ¤«ï ª®â®àëå h(bn ) = (cn ) (n 2 N ). ᯮ«ì§ãï
¬®¤ã«ïà®áâì ¨ áç¥âãî ¤¤¨â¨¢®áâì ¬¥àë , ¢ë¢®¤¨¬:
3.4. ãáâì
⨢ ï
bm (a) =
1
X
n=1
X ,
1
=
bm (cn ^ an ) =
1
X
n=1
,
bm ~ (cn ) ^ (an )
~ (cm ) ^ (cn ) ^ (an )
n=1 ,
= bm
~ (am ) = bm (am ):
,
=
~
h(bm ) ^ (am )
B
¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¬¥àë
¨ ~, ¥á«¨ íâ® ¥ ¢¥¤¥â ª ¯ãâ -
¨æ¥.
3.5. ¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮
¬® ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨
h.
C
L1 () ¤¨§êîªâ® à §«®¦¨-
| ¬®¤ã«ïà ï ¬¥à .
ãáâì ¬¥à ¬®¤ã«ïà
®â®á¨â¥«ì®
¥ª®â®à®£® ¡ã«¥¢ £®¬®¬®à䨧¬
>
>
>
>
>
>>
>
B ¨ x
L1 (). ⮦¤¥á⢨¬
®ª ¦¥¬, çâ® b>x>1 = >
>1 ¤«ï ¢á¥å b
>h(b)x>
2
2
4{24
. . ãáà ¥¢
¥¤¨¨çë© í«¥¬¥â h(b) 2 A á ¯®à浪®¢ë¬ ¯à®¥ªâ®à®¬ [h(b)] ¢ E ¨ ¡ã¤¥¬
¯¨á âì h(b)x ¢¬¥áâ® [h(b)]x. ᫨ x = 1a1 + + n an , £¤¥ 1; : : : ; n 2 R
¯à®¨§¢®«ìë, a1; : : : ; an 2 A ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë, â® h(b)x = 1h(b) ^ a1 +
+ n h(b) ^ an ¨ ¬®¦¥¬ ¯¨á âì
I (h(b)x) =
n
X
k=1
k (h(b) ^ ak ) =
n
X
k=1
k b(ak ) = bI (x):
®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (xn ) S (A) â ªãî, çâ®
I (x) = bo-lim n I (xn ). ®£¤ h(b)x = o-lim n h(b)xn , ¯®áª®«ìªã ¯®à浪®¢ë©
¯à®¥ªâ®à [h(b)] ¯®à浪®¢® ¥¯à¥à뢥. ®«¥¥ ⮣®, h(b)xn 6 x, ¨ § ç¨â
h(b)x 2 L1 (), â ª ª ª L1 () | ¯®à浪®¢ë© ¨¤¥ « ¢ E . ᯮ«ì§ãï ⥮६ã
2.7 ® á室¨¬®áâ¨, ¢ë¢®¤¨¬
,
bI (x) = b bo-lim I (xn )
n
!1
= bo-lim I (h(b)x ) = I (h(b)x):
n
n!1
âáî¤ ¢¨¤®, çâ® L1() d-à §«®¦¨¬®. ¡à ⮥ ®ç¥¢¨¤®. B
3.6.
L1 ()
¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯à®áâà á⢮
⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¬¥à
áëé¥ .
ãáâì (b )2
¤¨§êîªâ® ¯®«® ¢
C ®¯ãá⨬, çâ® áëé¥ .
| à §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨æë ¢
P(F ), (x )2 | ®£à ¨ç¥®¥ ¯® ®à¬¥ ᥬ¥©á⢮ ¢ L1(). ãáâì e () : R !
A | ᯥªâà «ì ï äãªæ¨ï í«¥¬¥â x ¨ ¯®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î
e():=
_
2
h(b ) ^ e ()
( 2 R ):
ãªæ¨ï 7! e() á«ã¦¨â à §«®¦¥¨¥¬ ¥¤¨¨æë. â® ¬®¦® ¯à®¢¥à¨âì ¥¯®á।áâ¢¥ë¬ ¢ëç¨á«¥¨¥¬, ¨á¯®«ì§ãï ¡¥áª®¥çë¥ ¤¨áâਡãâ¨¢ë¥ § ª®ë
¢
V
¢¥ªâ®à®© à¥è¥âª¥. ,®¡®á®¢ ¨¨
㦤 ¥âáï «¨èì à ¢¥á⢮ e := fe() :
2 R g = 0. ®áª®«ìªã h(b ) | à §«®¦¥¨¥ ¥¤¨¨æë ¢ A=N (), â® ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® h(b ) ^ e = 0 ¤«ï ¢á¥å 2 . ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢ëç¨á«¥¨ï
¨¬¥îâ ¢¨¤:
h(b ) ^ e =
1
^
h(b ) ^ e(,n) =
0
1
^
1
@h(b ) ^ _ h(b )e (,n)A
n=1
n=1
2
1
1
^_
^
=
h(b ) ^ h(b )e (,n) =
h(b ) ^ e (,n) = 0:
n=1 2
n=1
4{25
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
® ⥮६¥ ® ८«¨§ 樨 à áè¨à¥®£® K -¯à®áâà á⢠¢ ¢¨¤¥ ¢¥ªâ®à®© à¥è¥âª¨ ¢á¥å à §«®¦¥¨© ¥¤¨¨æë ¢ 䨪á¨à®¢ ®© ¯®«®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥
(á¬. [2, 3]) áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â x ¢ ¬ ªá¨¬ «ì®¬ à áè¨à¥¨¨ mL1 (), ¤«ï
ª®â®à®£® e() = ex ( 2 R ). ᫨ y 2 L1() | ¢¥àåïï £à ¨æ ᥬ¥©áâ¢
(jx j), â® jxj 6 y, áâ «® ¡ëâì, x 2 L1(). ਬ¥¨¢ 1.4.2 (10) ¨§ [9], ¯®«ã稬
eh(b )x = eh(b )x ( 2 R ), ®âªã¤ h(b )x = h(b )x . â ª, ¬ë ¯à®¢¥à¨«¨, çâ®
L1 () ¤¨§êîªâ® ¯®«®. ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ ®ç¥¢¨¤® ¨ ⥮६ ¤®ª §
¯®«®áâìî. B
4. â¥£à «ìë¥ ®¯¥à â®àë £ à ¬
¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ ¯®ª § ®, çâ® ¬®¤ã«ïà ï ¬¥à áëé¥ ¢ ⮬ ¨
⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯à®áâà á⢮ á㬬¨à㥬ëå í«¥¬¥â®¢ á ¨â¥£à «ì®© ®à¬®© | ¯à®áâà á⢮ å | â®à®¢¨ç , ¨â¥£à « | ®¯¥à â®à
£ à ¬. áâ ¢«¨¢ ¥âáï â ª¦¥ ¢ ਠâ â¥®à¥¬ë ¤® | ¨ª®¤¨¬ ¤«ï
áëé¥ëå ¬¥à.
4.1. ¥®à¥¬ .
«ï áç¥â® ¤¤¨â¨¢®© ¬¥àë á® § 票ﬨ ¢ ¯à®áâà áâ-
¢¥ å | â®à®¢¨ç à ¢®á¨«ìë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï:
(1)
| áëé¥ ï ¬¥à ;
>>
>>
>|
(2) >
L1 ()
áëé¥ ï ¬¥à ;
(3) L1 () | ¯à®áâà á⢮ å | â®à®¢¨ç ;
(4) L1 () | ¯®à浪®¢® ¯®« ï ¢¥ªâ®à ï
, à¥è¥âª ¨
! F , ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®© T x~ = I||(x) x 2 L1 () ,
®¯¥à â®à
T :
ï¥âáï ®¯¥-
à â®à®¬ £ à ¬.
C (1) ) (2): «¥¤ã¥â ¨§ 3.6.
(2) ) (3): «¥¤ã¥â ¨§ 2.10, 3.6 ¨ ªà¨â¥à¨ï ¯®«®âë à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®-
¢ ®£® ¯à®áâà á⢠¨§ [5, 7].
(3) ) (4): ª ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï ¢¥ªâ®à ï à¥è¥âª L1 () ¯®à浪®¢® ¯®« . ® ⥮६¥ 2.6 F -§ ç ï ®à¬ ¢ L1() ᥪ¢¥æ¨ «ì® ¯®à浪®¢® ¥¯à¥àë¢ ,
â. ¥. ¤«ï ã¡ë¢ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xn ) L1 () ¢ë¯®«ï¥âáï
>
>
>xn>
> = 0, ¥á«¨ ⮫쪮 o-lim n xn = 0. ®§ì¬¥¬ ¯®à浪®¢® ®£à ¨ç¥®¥
o-lim n>
¬®¦¥á⢮ M L1 () á ¢¥à奩 £à ¨æ¥© u 2 L1 (). ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®áâ¨P¬®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® M ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ í«¥¬¥âë ¢¨¤ x1 _ _ xn
¨ bo- 2 h(b )x , £¤¥ fx1; : : :; xn g M , (x ) M , ¨ (b ) | à §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨¨æë ¢ P(F ). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤®¡ ¢¨¢ ª M â ª¨¥
í«¥¬¥âë,>¬®¦¥á⢮
¢¥àå¨å
>
>
>
>
>
>
>
£à ¨æ M ¥ ¨§¬¥¨âáï. ®«®¦¨¬ f := sup>f>>
x>: x 2 M g 6>u>¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¯®á«¥>
>
>
>
¤®¢ ⥫ì®áâì
(xn ) M , ¤«ï ª®â®à®© f , xn 6 (1=n)f . ᫨ yn := x1 _
_ xn ,
>
>>
>
>yn>
> 6 (1=n)f (n 2 N ) ¨ (yn ) ¢®§à áâ ¥â. ᫨ y = supn yn , â® >
>y>
>= f .
â® f ,>
®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â z 2 M ¨ ¯à®¢¥à¨¬,
çâ®
z 6 y>. «ï
>
> >
>yn _ z>
>=>
>y _ z>
> 6 f,
í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® o-lim n yn _ z = y _ z > y ¨ o-lim n>
4{26
. . ãáà ¥¢
>
>
>
>
>
>>
>
y
_
z
2
M
.
ª¨¬ ®¡à §®¬, f 6 >y> 6 >y _ z> 6 f , § ç¨â,
n
>
>
>y >
>. ®áª®«ìªã
f =>
_ z>
®à¬ L1 () ¤¤¨â¨¢ ª®ãá¥, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® à ¢¥áâ>
>
>>
> >
>
>
>
>
>
>y _ z , y>
>= 0
>y _ z , y>
>+>
>y>
>=>
>y _ z , y>
>+ f , ®âªã¤ >
¢ f =>
>(y _ z , y ) + y>
>=>
1
¨ y _ z = y . ¥¬ á ¬ë¬ ãáâ ®¢«¥®, çâ® y = sup(M ) ¨ L () ¯®à浪®¢® ¯®«®.
áᬮâਬ ¯à ¢«¥®¥ ¢¨§ ¬®¦¥á⢮ D ¨ ¯ãáâì inf (D ) = 0. ®«®>>
>x>
> : x 2 D g. ®¢â®à¨¢ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à áá㦤¥¨ï, ¬®¦®
¦¨¬ f := inf f>
¢ë¡à âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (yn ) L1 () (¥ ᮤ¥à¦ é¨åáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,
> >
>
>
¢ D ) â ªãî, çâ® f = inf n>yn> ¨ 0 = inf n yn . ª ª ª ®à¬ ¯®à浪®¢® ¥¯à¥àë¢ ,
â®>
¯®«ãç ¥¬
f = 0. ¥¬ á ¬ë¬, T ¯®à浪®¢® ¥¯à¥à뢥, ¯®áª®«ì>
>
>
>
>
>
>
,
+
>
>
>
>
ªã Tx =>x >,>x >. ¢¨¤ã ᢮©áâ¢ à §«®¦¨¬ëå à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ëå
¯à®áâà á⢠(á¬. [5, 7]) L1 () ¤®¯ã᪠¥â ᮣ« ᮢ ãî ¬®¤ã«ìãî áâàãªâãàã
¤ Orth(F ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ 0 6 f 6 Tx ¤«ï ¥ª®â®à®£® 0 6 x 2 L1 (),
>
>>
> >
> >
>
â® áãé¥áâ¢ã¥â 2 Orth(F ) â ª®©, çâ® f = Tx = >x>= >x>= T (x). ª¨¬
®¡à §®¬ T ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ £ à ¬.
â ª ª ª
)
á¬. [7]. B
(4)
(1): ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠®¯¥à â®à £ à ¬,
: A ! F ¨ : A ! Y | ª®¥ç® ¤¤¨â¨¢ë¥ ¬¥àë. ®
¡á®«îâ® ¥¯à¥àë¢ ®â®á¨â¥«ì® ¨ ¯¨èãâ , ¥á«¨
>
>
>
>(a)>
> 2 (A)?? ¤«ï ¢á¥å a 2 A. ª ¢¨¤®, ¨§ á«¥¤ã¥â N ( ) N (),
¯®í⮬㠪®à४⮠®¯à¥¤¥«¥ ¡ã«¥¢ £®¬®¬®à䨧¬ % : A=N ( ) ! A=N () ä®à¬ã«®© % 0 = , £¤¥ 0 | ª ®¨ç¥áª¨© ä ªâ®à-£®¬®¬®à䨧¬ ¨§ A ¢ A=N ( ).
¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬ a ¯®à浪®¢ë© ¯à®¥ªâ®à ¢ E , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥¤¨¨ç®¬ã í«¥¬¥âã a 2 A.
4.3.
h h%
C ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®á⨠¬®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ®
>
, ¯®«®¦¨â¥«ì>
>
>
>
.
® ãá«®¢¨î ¤«ï ª ¦¤®£® b 2 B ¢ë¯®«ï¥âáï > h(b) ^ (a) >
> 2
,
??
,
0
?
h(b) ^ (a) , áâ «®
¡ëâì, b h(b) ^ (a) = 0 ¤«ï ¢á¥å b 2 B ¨ a 2 A.
,
,
âáî¤ ¢ë¢®¤¨¬ h(b) ^ (a) = b h(b) ^ (a) . ¬¥¨¢ b b? , ¯®«ã,
,
稬 b h(b? ) ^ (a) = 0, ®âªã¤ b( (a)) = b h(b) ^ (a) . «¥¤®¢ ⥫ì®,
,
b( (a)) = h(b) ^ (a) , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. B
4.4. ¥®à¥¬ ¤® | ¨ª®¤¨¬ .
; : A ! F
y 2 L1()
4.2.
ãáâì
¢®àïâ,
> > çâ®
,
.
ãáâì
¤¤¨â¨¢ë¥ ¬¥àë, ¯à¨ç¥¬
¥¯à¥àë¢ ®â®á¨â¥«ì®
¯®«®¦¨â¥«ì ¨ áëé¥ .
, â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â
Z
(a) = a y d (a 2 A):
| áç¥â®
᫨
¡á®«îâ®
, çâ®
4{27
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
C ।¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® j j 6 . ¯à¥¤¥«¨¬ ®¯¥à â®à S : L1 () ! F
ä®à¬ã«®©
S (~x) :=
Z
x d
(x
2 L1()):
T , áâ «® ¡ëâì, ¯® ⥮६¥ ¤® | ¨ª®¤¨¬ ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ £ à ¬ (á¬. [5, 13]) ¬®¦® ©â¨ â ª®© 2 Orth(L1 ()), çâ® jj 6 I ¨
S (u) = T (u) (u 2 L()). à⮬®à䨧¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (u) = y~u
¤«ï ¥ª®â®à®£® y
~ 2 L1 (), jy j 6 , ®âªã¤
ª ¢¨¤®,
S
1
(a) = T ( a y~) =
Z
a y d
⮡ë à áᬮâà¥âì ®¡é¨© á«ãç ©, ¯®«®¦¨¬
®£¤
n
% ,
Sn
% S
(a
2 A):
n := ^ (n) ¨ Sn := Sn (n 2 N ).
¨ ¢ ᨫ㠤®ª § ®£® ¢ëè¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢®§à áâ î1 (), ¤«ï ª®â®à®© (a) = I ( y ) (a
é ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (yn )
).
n
a n
®áª®«ìªã
I (yn )
=
n (1)
2L
6 (1),
2A
¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ⥮६㠮 ¬®®â®®© á室¨¬®áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥â y := supn yn ᮤ¥à¦¨âáï ¢ 1 () ¨
L
(a) = I ( a y ) (a 2 A). B
4.5.
¥®à¥¬ã 4.4 ¯®-áãé¥áâ¢ã ãáâ ®¢¨« . ©â ¢ [20] ¤à㣨¬ ᯮá®-
¡®¬. ¢ë¢¥« íâ®â ä ªâ ¨§ á«¥¤ãî饣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ã⢥ত¥¨ï, ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ î饣® ¨§ ®¤®£® १ã«ìâ â . ¯« ᪮£® [12; ⥮६ 5]
(á¬. [20; «¥¬¬ 4.2]):
ãáâì
| áëé¥ ï ¬¥à á® § 票ﬨ ¢ C (Q) ¨ T : L2 () ! C (Q) |
®£à ¨ç¥ë© ¯® ®à¬¥ ¬®¤ã«ìë© £®¬®¬®à䨧¬.
¢¥ ï äãªæ¨ï
®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ-
g 2 L2 (), ¤«ï ª®â®à®©
Tf
Z
=
fg d
,
f
2 L2 () :
| ¯®«®¦¨â¥«ì ï áëé¥ ï ¬¥à . ®£¤ ®â®¡à ¦¥¨¥ x !
x (a) := I ( a x) (a 2 A), ¡ã¤¥â à¥è¥â®çë¬
1
??.
¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®àëå à¥è¥â®ª L () ¨ fg
4.6. ãáâì
x , £¤¥ x
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
¨â¥à âãà
1.
ª¨«®¢ . .,
ãâ ⥫ ¤§¥ . .
¯®à冷ç¥ë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà -
á⢠.|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1978.|368 á.
2.
㫨å . .
¢¥¤¥¨¥ ¢ ⥮à¨î ¯®«ã㯮à冷ç¥ëå ¯à®áâà áâ¢.|.:
, 1961.|407 á.
4{28
. . ãáà ¥¢
3. â®à®¢¨ç . ., 㫨å . ., ¨áª¥à . . ãªæ¨® «ìë© «¨§ ¢
¯®«ã㯮à冷ç¥ëå ¯à®áâà á⢠å.|.-.: ®áâ¥å¨§¤ â, 1950.|548 á.
4. ãáà ¥¢ . . ¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤¥§¨â¥£à¨à®¢ ¨ï // ®ª«. .|
1982.|. 265, ü 6.|. 1312{1316.
5. ãáà ¥¢ . . ¥ªâ®à ï ¤¢®©á⢥®áâì ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥¨ï.|®¢®á¨¡¨àáª:
㪠, 1985.|256 á.
6. ãáà ¥¢ . . ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë ¢ à¥è¥â®ç® ®à¬¨à®¢ ëå ¯à®áâà á⢠å // áá«¥¤®¢ ¨ï ¯® £¥®¬¥âਨ ý¢ 楫®¬þ ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã
«¨§ã.|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1987.|. 84{123.
7. ãáà ¥¢ . . ¦®à¨àã¥¬ë¥ ®¯¥à â®àë // ª: ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë,
ᮣ« ᮢ ë¥ á ¯®à浪®¬.|®¢®á¨¡¨àáª: §¤-¢® -â ¬ â-ª¨ ,
1995.|. 212{292.
8. ãáà ¥¢ . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . . ¥áâ ¤ àâ ï ⥮à¨ï ¢¥ªâ®àëå à¥è¥â®ª // ª: ¥ªâ®àë¥ à¥è¥âª¨ ¨ ¨â¥£à «ìë¥ ®¯¥à â®àë / ãå¢ «®¢ . ., ®à®âª®¢ . ., ãáà ¥¢ . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . C., ª ஢ . .|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1991.|214á.; Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 1996.
9. ãáà ¥¢ . ., ãâ ⥫ ¤§¥ . . 㡤¨ää¥à¥æ¨ «ë. ¥®à¨ï ¨
¯à¨«®¦¥¨ï.|®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1992.|270 á.; Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.
10. ãáà ¥¢ . ., «î£¨ . . ¯®à浪®¢® ¥¯à¥à뢮© á®áâ ¢«ïî饩
¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à // ¨¡. ¬ â. ¦ãà.|1987.|. 28, ü 4.|. 127{
139.
11. ãáà ¥¢ . ., «î£¨ . . ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ ¢¥ªâ®àëå
¬¥à.|®¢®á¨¡¨àáª: §¤-¢® -â ¬ â-ª¨ , 1988.|182á.
12. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.|1953.|V. 75,
No. 4, P. 839{858.
13. Luxemburg W. A. J. and Schep A. A Radon{Nikodym type theorem for positive
operators and a dual // Indag. Math. (N.S.).|1978.|V. 40.|P. 357{375.
14. Maharam D. The representation of abstract measure functions // Trans. Amer.
Math. Soc.|1949.|V. 65, No. 2.|P. 279{330.
15. Maharam D. Decompositions of measure algebras and spaces // Trans. Amer.
Math. Soc.|1950.|V. 69, No. 1.|P. 142{160.
16. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math.
Soc.|1953.|V. 75, No. 1.|P. 154{184.
17. Maharam D. On kernel representation of linear operators // Trans. Amer.
Math. Soc.|1955.|V. 79, No. 1.|P. 229{255.
18. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.|1984.|V. 26.|
P. 263{277.
19. Wickstead A. W. Stone algebra valued measures: integration of vector-valued
®¤ã«ïàë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë £ à ¬
20.
21.
22.
23.
4{29
functions and Radon{Nikodym type theorems // Proc. London Math. Soc.|
1982.|V. 45, No. 2.|P. 193{226.
A Radon{Nikodym theorem for Stone algebra valued measures // Trans. Amer. Math. Soc.|1969.|V. 139.|P. 75{94.
Stone algebra valued measures and integrals // Proc. London
Math. Soc. Proc. London Math. Soc.|1969.|V. 19, No. 3.|P. 107{122.
The measure extension problem for vector lattices // Ann.
Inst. Fourier (Grenoble).|1971.|V. 21.|P. 65{68.
Vector lattice measure on locally compact spaces // Math.
Z.|1971.|V. 120.|P. 193{203.
Wright J. D. M.
Wright J. D. M.
Wright J. D. M.
Wright J. D. M.
£. « ¤¨ª ¢ª §
â âìï ¯®áâ㯨« 15 ¨îï 2000 £.