LATAR BELAKANG MASALAH PENDAHULUAN

1

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Matriks Pascal telah dikenal sejak zaman kuno, dan telah dijumpai dalam matematika China sejak tahun 1303. Matriks ini dipakai dalam bidang analisis numerik, kombinatorik, dan sebagainya. Di sini akan diperkenalkan beberapa sifat penting dari matriks Pascal beserta bagaimana relasinya dengan matriks lain yang ternama, yaitu matriks Vandermonde. Kita mengenal adanya teori polinomial dalam matematika. Sebuah ekspresi 1 1 1 1 a r a r a r a n n n n        disebut polinomial dalam r jika dan hanya jika eksponen r adalah bilangan bulat positif dimana n a a a  1 , adalah bilangan real. Di sini akan diulas bagaimana relasi antara matriks Pascal dengan polinomial. Sebelum mendefinisikan matriks Pascal, akan dibahas mengenai kombinasi dimana elemen-elemen dari matriks Pascal dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi. Kombinasi n elemen yang diambil sebanyak r dalam setiap pengambilan dilambangkan dengan n r C atau       r n . Kombinasi ini akan digunakan dalam menentukan elemen-elemen dalam matriks Pascal. 2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen adalah r n r n r n C n r          dimana     1 ... 3 2 1     n n n n n . Bilangan       r n juga disebut koefisien binomial karena merupakan koefisien dari ekspansi binomial   n y x  . Koefisien-koefisien tersebut dapat disusun dalam suatu segitiga yang disebut segitiga Pascal, yang merupakan suatu pola bilangan yang disusun membentuk segitiga dengan aturan koefisien binomial yang ditemukan oleh Blaisc Pascal 1623-1662.         3 2 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 1 b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a                                                                           3 3 2 3 1 3 3 2 2 1 2 2 1 1 1 Matriks Pascal n x n adalah matriks segitiga bawah yang elemen-elemen segitiga bawahnya adalah n baris pertama dari segitiga Pascal. Secara umum, kita dapat menyatakan matriks Pascal ij p P  sebagai berikut : 3 , untuk untuk 1 1                j i j i j i p ij Berikut adalah beberapa contoh matriks Pascal,                               1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 , 1 2 1 1 1 1 , 1 1 1 , 1 Secara umum, matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai berikut: ij p P  dimana , untuk untuk 1 1                j i j i j i p ij dan n j i  , 2 , 1 ,  1 . . . 1 1 1 12 11                          n p p p n 1 1 . . . 1 1 1 1 1 2 22 21                          n p p p n 1 2 . . . 2 1 2 1 2 3 32 31                          n p p p n . . . . . . . . . 1 2 . . . 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1                                 n n p n n p n p n n n n 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 2 1                              n n p n n p n p nn n n 4 Jadi matriks Pascal berordo n n  dapat dituliskan sebagai berikut:                             1 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 n n n n p P ij      .

B. RUMUSAN MASALAH