17
Pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai jumlahan, yaitu
B A
B A
. Contoh pengurangan matriks:
Diketahui matriks-matriks
7 9
6 4
5 A
dan
2 1
4 5
6 3
B , maka
2 6
5 1
2 2
2 1
4 5
6 3
7 9
6 4
5 B
A .
2. Perkalian Matriks
Ada 2 jenis perkalian pada matriks yaitu, perkalian matriks dengan bilangan real skalar dan perkalian matriks dengan matriks.
Definisi 2.10
Matriks
ij
a A
dikalikan dengan suatu bilangan real k adalah matriks kA yang
diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k , yaitu
ij
ka kA
.
Contoh:
Jika
1 5
8 3
A , maka
4 20
32 12
1 5
8 3
4 4 A
.
18
Teorema 2.2 Perkalian matriks dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat berikut:
1. cB
cA B
A c
Bukti:
Misalkan:
ij
a A
dan
ij
b B
. Maka:
mn m
m n
n
mn m
m n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n mn
m m
n n
mn m
m n
n
cb cb
cb cb
cb cb
cb cb
cb
ca ca
ca ca
ca ca
ca ca
ca cb
ca cb
ca cb
ca cb
ca cb
ca cb
ca cb
ca cb
ca cb
ca b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
c b
b b
b b
b b
b b
a a
a a
a a
a a
a c
B A
c
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
19
mn m
m n
n
mn m
m n
n
b b
b b
b b
b b
b c
a a
a a
a a
a a
a c
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
cB cA
. ■
2. dA
cA A
d c
Bukti:
Misalkan:
ij
a A
. Maka:
mn m
m n
n
mn m
m n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n mn
m m
n n
mn m
m n
n
da da
da da
da da
da da
da
ca ca
ca ca
ca ca
ca ca
ca da
ca da
ca da
ca da
ca da
ca da
ca da
ca da
ca da
ca a
d c
a d
c a
d c
a d
c a
d c
a d
c a
d c
a d
c a
d c
a a
a a
a a
a a
a d
c A
d c
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
20
mn m
m n
n
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a d
a a
a a
a a
a a
a c
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
dA cA
. ■
3. dA
c A
cd
Bukti:
Misalkan:
ij
a A
. Maka:
mn m
m n
n mn
m m
n n
mn m
m n
n mn
m m
n n
da da
da da
da da
da da
da c
da c
da c
da c
da c
da c
da c
da c
da c
da c
a cd
a cd
a cd
a cd
a cd
a cd
a cd
a cd
a cd
a a
a a
a a
a a
a cd
A cd
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
21
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a d
c
2 1
2 22
21 1
12 11
dA c
.
■
4. A
A 1
Bukti:
Misalkan:
ij
a A
. Maka:
mn m
m n
n mn
m m
n n
mn m
m n
n ij
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
A 1
. ■
22
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B , yaitu
m p
p m
B A
. Perkalian matriks baris A berordo
n
1 dan matriks kolom B berordo
1
n , yaitu:
n
a a
a a
A
3 2
1
dan
n
b b
b b
B
3 2
1
adalah matriks AB berordo 1
1 dengan elemennya
n n
b a
b a
b a
b a
3 3
2 2
1 1
atau dapat ditulis:
n n
b a
b a
b a
b a
AB
3 3
2 2
1 1
.
Definisi 2.11
Diketahui matriks A berordo p
m dan matriks B berordo
n p
. Hasil perkalian matriks A dan B , ditulis AB , adalah matriks berordo
n m
dengan elemen pada baris ke- i dan kolom ke- j adalah perkalian matriks baris ke- i dari A dan matriks
kolom ke- j dari B .
23
Contoh:
Diketahui tiga matriks:
2
1 3
, 1
2 3
5 2
1 ,
1 1
3 2
4 C
B A
. 5
2 1
14 1
8 20
2 12
2 5
1 1
1 2
2 1
3 1
1 1
5 3
1 1
3 2
1 2
3 3
1 1
3 2
5 4
1 2
4 2
2 2
4 3
2 1
4 1
2 3
5 2
1 1
1 3
2 4
AB
Perkalian ini menghasilkan matriks AB berordo 4
3 . Perkalian matriks
A dan C dan B dan C tidak dapat dilakukan karena jumlah kolom matriks A maupun
B tidak sama dengan jumlah baris matriks C .
Teorema 2.3
Perkalian matriks memenuhi sifat-sifat berikut: 1.
BC A
C AB
sifat asosiatif
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa
C AB
dan BC
A memiliki ordo yang sama.
24
Misalkan: Matriks A berordo
. k
m
Matriks B berordo .
s k
Matriks C berordo
. n
s
Maka:
n m
n s
s m
n s
s k
k m
C AB
C AB
C B
A C
AB
n m
n k
k m
n s
s k
k m
BC A
BC A
C B
A BC
A
Dengan demikian
C AB
dan BC
A memiliki ordo yang sama.
Misalkan:
ij
a A
,
ij
b B
dan
ij
c C
.
Akan ditunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari
C AB
dan BC
A adalah sama, yaitu:
ij ij
bc a
c ab
untuk semua i dan j .
2 2
1 1
2 2
2 22
2 1
21 2
1 1
2 12
1 1
11 1
2 2
1 1
2 2
2 22
2 2
12 1
1 1
1 21
2 1
11 1
2 2
1 1
2 2
22 2
12 1
1 1
21 2
11 1
kj mk
im j
m im
j m
im kj
k i
j i
j i
kj k
i j
i j
i kj
mk im
kj k
i kj
k i
j m
im j
i j
i j
m im
j i
j i
kj mk
im k
i k
i j
m im
i i
j m
im i
i ij
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a b
a b
a c
b a
b a
b a
c b
a b
a b
a c
ab
25
k p
pj mp
im k
p pj
mp im
k p
pj p
i k
p pj
p i
kj mk
j m
j m
im kj
k j
j i
kj k
j j
i
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
c b
c b
a c
b c
b c
b a
c b
c b
c b
a
1 1
1 2
2 1
1 1
2 2
1 1
2 2
22 1
21 2
1 2
12 1
11 1
.
ij
bc a
■
2. AC
AB C
B A
sifat distributif
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa C
B A
dan
AC AB
memiliki ordo yang sama.
Misalkan: Matriks A berordo
. m
r
Matriks B berordo .
n m
Matriks C berordo
. n
m
Maka:
n r
n m
m r
n m
n m
m r
C B
A C
B A
C B
A C
B A
n r
m r
n r
n m
m r
n m
m r
AC AB
AC AB
C A
B A
AC AB
Dengan demikian C
B A
dan
AC AB
memiliki ordo yang sama.
26
Misalkan:
ij
a A
,
ij
b B
dan
ij
c C
.
Akan ditunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari C
B A
dan
AC AB
adalah sama, yaitu:
ij ij
ac ab
c b
a
untuk semua i dan j . Berdasarkan definisi penjumlahan dan perkalian matriks, diperoleh:
ij ij
mj im
j i
j i
mj im
j i
j i
mj im
mj im
j i
j i
j i
j i
mj mj
im j
j i
j j
i ij
ac ab
c a
c a
c a
b a
b a
b a
c a
b a
c a
b a
c a
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
2 1
1 1
.
ij
ac ab
■
3. Jika A matriks berordo
n m
, maka A
AI
n
dan A
A I
m
, dimana
n
I adalah matriks identitas berordo
n n
dan
m
I adalah matriks identitas berordo
m m
.
Bukti:
Misalkan:
mn m
m n
n ij
a a
a a
a a
a a
a a
A
2 1
2 22
21 1
12 11
1
1 1
2 1
2 22
21 1
12 11
nn n
n n
n n
i i
i i
i i
i i
i I
27
. 1
1 1
2 1
2 22
21 1
12 11
mm m
m m
m m
i i
i i
i i
i i
i I
Maka:
mn m
m n
n mn
m m
n n
nn n
n n
n
mn m
m n
n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
i i
i i
i i
i i
i
a a
a a
a a
a a
a AI
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
1 1
1
A
dan
1 1
1
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
mn m
m n
n mm
m m
m m
mn m
m n
n m
a a
a a
a a
a a
a i
i i
i i
i i
i i
a a
a a
a a
a a
a AI
28
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
2 1
2 22
21 1
12 11
A .
■
Definisi 2.12
Suatu matriks bujursangkar A disebut taksingular mempunyai invers jika terdapat matriks B sedemikian sehingga
I BA
AB
. Matriks
disebut invers dari matriks A terhadap perkalian. Suatu matriks bujursangkar
disebut singular jika tidak memiliki invers terhadap perkalian.
Teorema 2.4
Matriks
d c
b a
A mempunyai invers yaitu
a c
b d
bc ad
A 1
1
jika dan hanya jika
bc
ad .
Bukti:
Jika
bc ad
, maka
bc ad
a bc
ad c
bc ad
b bc
ad d
d c
b a
AA
1
B A
29
I bc
ad ad
bc ad
bc bc
ad cd
bc ad
cd bc
ad ab
bc ad
ab bc
ad bc
bc ad
ad
1 1
dan
. 1
1
1
I bc
ad ad
bc ad
bc bc
ad ac
bc ad
ac bc
ad bd
bc ad
bd bc
ad bc
bc ad
ad d
c b
a bc
ad a
bc ad
c bc
ad b
bc ad
d A
A
Jadi terbukti bahwa matriks A mempunyai invers, yaitu
a c
b d
bc ad
A 1
1
.
Jika
d c
b a
A mempunyai invers, yaitu
a c
b d
bc ad
A 1
1
, maka
bc ad
. ■
30
C. Matriks Elementer
