11
Definisi 2.7
Matriks A disebut matriks nol jika setiap elemen dari
adalah bilangan nol. Contoh matriks nol:
, B
A .
B. Operasi pada Matriks
Definisi 2.8
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis B
A jika ordo kedua matriks
tersebut adalah sama, dan elemen yang seletak juga sama, yaitu
ij ij
b a
untuk setiap
i dan j . Contoh diketahui matriks-matriks:
4
3 2
1 A
4 3
2 1
B
4 3
2 1
C
Matriks-matriks tersebut merupakan tiga matriks yang berbeda. Matriks B
A karena terdapat elemen seletak dari kedua matriks tersebut yang berbeda, yaitu
12 12
b a
. Sedangkan matriks
C A
dan C
B karena ordo matriks yang berbeda.
1. Penjumlahan Matriks
A
12
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan adalah elemen yang
letaknya sama.
Definisi 2.9
Misalkan
ij
a A
dan
ij
b B
adalah dua buah matriks berordo m n. Jumlah
matriks dan B ,ditulis
B A
, adalah matriks berordo m n dengan elemennya merupakan jumlah elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. Dalam
hal ini kita tulis
ij ij
b a
B A
.
Contoh penjumlahan dua matriks:
Diketahui
4 3
2 1
A ,
8
7 6
5 B
dan
6 5
4 3
2 1
C ,
maka .
12 10
8 6
8 7
6 5
4 3
2 1
B
A
Sedangkan penjumlahan matriks C
A atau
C B
tidak terdefinisi karena kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang berbeda.
A
13
Teorema 2.1
Jumlahan matriks memenuhi sifat-sifat berikut: 1.
A B
B A
sifat komutatif
Bukti:
Misalkan:
ij ij
b B
a A
Maka:
mn m
m n
n
mn m
m n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n mn
m m
n n
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
b b
b b
b b
b b
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b b
b b
b b
b b
a a
a a
a a
a a
a B
A
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
A B
. ■
14
2. C
B A
C B
A
sifat asosiatif
Bukti:
Misalkan: ,
ij
a A
ij
b B
dan
.
ij
c C
Maka:
mn m
m n
n
mn m
m n
n
mn m
m n
n mn
mn m
m m
m n
n n
n
mn m
m n
n mn
mn mn
m m
m m
m m
n n
n n
n n
mn mn
mn m
m m
m m
m n
n n
n n
n mn
m m
n n
mn mn
m m
m m
n n
n n
mn m
m n
n
mn m
m n
n
mn m
m n
n
c c
c c
c c
c c
c
b b
b b
b b
b b
b
a a
a a
a a
a a
a c
b c
b c
b c
b c
b c
b c
b c
b c
b
a a
a a
a a
a a
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
b a
c b
a c
c c
c c
c c
c c
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
c c
c c
c c
c c
c
b b
b b
b b
b b
b
a a
a a
a a
a a
a C
B A
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
2 1
1 1
2 2
2 22
22 22
21 21
21 1
1 1
12 12
12 11
11 11
2 2
2 1
1 1
2 2
2 22
22 22
21 21
21 1
1 1
12 12
12 11
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
C B
A
. ■
15
3. A
O A
untuk setiap matriks A , di mana O adalah matriks nol.
Bukti:
Misalkan:
ij
a A
,
ij ij
o o
O untuk setiap i dan .
j Maka:
mn m
m n
n mn
m m
n n
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a O
A
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
A .
■
4. Untuk setiap matriks A ada matriks B sedemikian sehingga
O B
A
, di mana
O adalah matriks nol. Untuk selanjutnya ditulis A
B
dan disebut invers dari
matriks A terhadap operasi jumlahan.
16
Bukti:
Misal:
mn m
m n
n ij
a a
a a
a a
a a
a a
A
2 1
2 22
21 1
12 11
.
Maka:
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a A
B
2 1
2 22
21 1
12 11
.
Dan
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
mn mn
m m
m m
n n
n n
mn m
m n
n
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
a a
a a
a a
a a
a B
A
O .
■
17
Pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai jumlahan, yaitu
B A
B A
. Contoh pengurangan matriks:
Diketahui matriks-matriks
7 9
6 4
5 A
dan
2 1
4 5
6 3
B , maka
2 6
5 1
2 2
2 1
4 5
6 3
7 9
6 4
5 B
A .
2. Perkalian Matriks
