73
B. Beberapa Sifat Penting Matriks Pascal
Elemen-elemen dalam matriks Pascal
ij
p P
merupakan kombinasi
dari 1
i
elemen yang diambil sebanyak 1
j
elemen dalam setiap pengambilan. Subbab ini akan membahas tentang beberapa sifat penting matriks Pascal, yaitu
hubungannya dengan
H
e dan dengan matriks Vandermonde.
1. Matriks Pascal sebagai
H
e
Misalkan H adalah matriks
n n
yang didefinisikan sebagai berikut:
n n
n H
1 3
2 1
.
Matriks H ini disebut matriks penghasil dan akan dipergunakan untuk menyatakan matriks Pascal P.
Matriks H juga disebut matriks derivasi karena 1
, ,
1
1
n i
e i
e H
i i
1
dimana
1 ,
,
n
i e
i
adalah vektor-vektor basis standar di
n
R dengan
ketentuan
i
e untuk
n i
.
74
Untuk
i , maka
1 1
1 1
1
1 2
1 e
e n
e H
.
Jika 1
i
, maka
2 2
1
1 1
2 1
2 2
1
1 2
1 e
e n
e H
.
Jika 1
n
i , maka
n n
e n
n e
H 1
1 1
1 2
1
1
.
Hal ini konsisten dengan fakta bahwa matriks
j
H untuk
n j
. Misalkan jika
2
j , maka
75
.
2 1
6 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2
n n
n n
n n
H
Jika 3
j
, maka
3 2
1 6
1 2
3 1
2 1
6 2
2 3
n n
n n
n n
n n
H H
H
Dengan memperhatikan pola dan melakukan perhitungan dengan cara yang sama, diperoleh
76
1 3
2 1
1
n n
n H
n
.
Maka
. 1
2 3
1
1 3
2 1
1
n n
n n
n n
H H
H
n n
Perhatikan bahwa kolom pertama matriks H adalah
1
e H
e
. Maka berdasarkan persamaan 1
2 3
2 2
1 1
2 1
2 1
1 1
2 1
2 1
1 1
1 1
1
i j
i j
i j
i j
i j
i j
i j
e H
H i
i e
H i
i e
i H
i e
H H
i e
i H
e H
H e
H
77
j i
j i
j i
j i
j j
i j
i j
e j
i i
i i
e I
j i
i i
i e
H j
i i
i i
e H
j i
i i
i e
H i
i i
e i
H i
i
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 1
2 2
1
3 3
1 2
3
dimana I
H
adalah matriks identitas. Maka
j i
j j
i i
j
e j
i e
j i
i i
i e
H
:
3 2
1
, 1
, ,
n j
dimana
1 2
1 :
i
i j
i j
i j
i
j
menyatakan pangkat factorial,
dan 1
i
.
Persamaan diferensial dalam
n
R t
y H
t y
dt d
,
dengan nilai awal
t
y y
, , memiliki penyelesaian sebagai
berikut:
C Ht
y dt
H y
dy dt
H y
dy Hy
dt dy
ln
78
C Ht
C Ht
e e
y e
y
Jika
t dan nilai awal
y y
, maka
C C
H
e y
e e
y
sehingga penyelesaian tunggalnya adalah y
e t
y
Ht
.
Karena
k k
x
k x
e ,
maka matriks eksponensial
Ht
e t
P
: dapat diberikan dengan deret takhingga:
k k
k Ht
t P
. Karena
k
H untuk semua
n k
, maka
n j
i ij
n k
k k
n k
k
t p
H k
t k
Ht t
P
1 ,
1 1
:
2 adalah polinomial dalam H.
Teorema 4.1
Jika P adalah matriks Pascal
n n
, maka
H
e P
.
Bukti:
Untuk 1
t
:
79
H n
k k
e k
H P
1
1 .
Di lain pihak
1 2
2 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1 2
1 2
2 1
1 2
1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 3
2 1
1
1 2
1 3
2 1
1
n n
n n
n n
n n
H n
H H
I n
H H
H H
H k
H P
n n
n k
k
80
1 1
3 1
2 3
2 1
2 1
1 1
3 3
1 1
2 1
1 1
1
n n
n n
n n
n
. P
Jadi
.
H
e P
■
Teorema 4.2
m
P m
P
untuk semua bilangan bulat m.
Bukti:
Dengan menggunakan Induksi Matematika: 1.
Untuk
m ,
. 1
2 3
2 1
1 1
1 2
3 2
1
1 2
3 2
1 1
1 2
2 3
3 2
2 1
1 1
1
P I
n H
n H
H H
H I
n H
n H
H H
H H
k H
k H
P
n n
n n
n n
n k
k k
n k
k
81
Jadi pernyataan tersebut benar untuk
m .
2. Untuk
1
m ,
1
1 P
P P
. Jadi pernyataan tersebut benar untuk 1
m
. 3.
Akan ditunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk
n m
, maka pernyataan tersebut juga benar untuk
1
n m
. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk
n m
, yaitu
n
P n
P
. Maka
1 1
1 1
1 1
n n
H n
H H
Hn n
H n
k k
P P
P e
e e
e k
n H
n P
Jadi pernyataan tersebut benar untuk 1
n
m .
Jadi dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat taknegatif m.
Selanjutnya 1.
Untuk 1
m , maka
. 1
1
1 1
1
P e
e k
H P
H H
n k
k
Jadi pernyataan tersebut benar untuk 1
m .
82
2. Akan ditunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk
n m
, maka pernyataan tersebut juga benar untuk
1
n m
. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk
n m
yaitu
n
P n
P
. Maka
1 1
1 1
1
1 1
n n
H n
H H
Hn n
H n
k k
P P
P e
e e
e k
n H
n P
Jadi pernyataan tersebut benar untuk 1
k
m .
Jadi dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat negatif m. Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap
bilangan bulat m. ■
Teorema 4.3
n P
m P
n m
P
untuk setiap bilangan bulat m dan n.
Bukti:
n m
n H
m H
Hn Hm
Hn Hm
n m
H
P P
e e
e e
e e
n m
P
n P
m P
untuk setiap bilangan bulat m dan n.
■
83
Matriks segitiga bawah
n j
i ij
p P
P
1 ,
: 1
adalah Matriks Pascal, yang entri- entrinya adalah
j
i j
i j
i p
ij
untuk untuk
1 1
3
n j
i ,
, 2
, 1
,
Dengan menggunakan persamaan 3, entri-entri pada
t P
adalah:
j i
j i
j i
t t
p
j i
ij
untuk untuk
1 1
4
n j
i ,
, 2
, 1
,
Entri-entri pada matriks t
P dapat disajikan sebagai berikut:
1 3
2 1
4 1
4 43
42 41
3 1
3 33
32 31
2 1
2 23
22 21
1 1
1 13
12 11
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t p
t P
nn n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
84
.
1 1
2 1
2 1
3 3
1 2
1 1
3 2
1 2
3 2
t n
t n
n t
n t
t t
t t
t t
n n
n
Entri-entri diagonal utama matriks segitiga bawah t
P semuanya adalah 1,
sehingga t
P adalah matriks taksingular untuk semua t, karena
. 1
det
t
P
Definisi 4.2
Suatu matriks bujur sangkar A berordo
n n
dikatakan secara diagonal serupa dengan matriks B jika terdapat matriks diagonal X yang taksingular sedemikian
sehingga A
X B
X
1
.
Teorema 4.4
Matriks t
P secara diagonal serupa dengan matriks P untuk setiap bilangan
bulat
t .
85
Bukti:
Didefinisikan matriks diagonal
1 2
1
n
t t
t t
D
dengan t bilangan bulat yang tidak sama dengan 0. Maka
. 1
4 6
4 1
3 3
1 2
1 1
1 1
1 1
1
4 6
4 3
3 2
1 1
1 1
1 1
1 4
6 4
1 1
3 3
1 1
2 1
1 1
1 1
2 3
4 2
3 2
4 3
2 4
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 4
3 2
4 3
2 1
t P
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t PD
t D
86
Jadi matriks segitiga bawah t
P secara diagonal serupa dengan P
untuk semua bilangan bulat
t .
■ Matriks
t P
H H
t P
untuk semua t seperti terlihat dalam
perhitungan berikut:
1 3
3 1
2 3
2 2
1 2
1 3
6 3
2 2
1 1
2 1
1 1
2 1
2 1
3 3
1 2
1 1
4 3
2 2
3 2
1 2
3 2
n t
n n
n t
n n
t n
t t
t n
t n
t n
n t
n t
t t
t t
t t
H t
P
n n
n n
n n
dan
1 1
2 1
2 1
3 3
1 2
1 1
1 2
1
3 2
1 2
3 2
t n
t n
n t
n t
t t
t t
t t
n t
P H
n n
n
87
.
1 3
3 1
2 3
2 2
1 2
1 3
6 3
2 2
1
4 3
2 2
n t
n n
n t
n n
t n
t t
t
n n
n
Corollary 4.5
. 1
1
1
PD D
P
Bukti:
Dari bukti Teorema 4.4: .
1
t
PD t
D t
P Untuk
1
t
:
1
1 1
1
PD D
P sehingga
1 1
1 1
PD
D P
.
Karena
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
n n
D D
88
I
1
1 1
1
maka 1
1
1
D D
. Jadi
. 1
1
1
PD D
P ■
Berikut ini adalah contoh untuk 5
n
:
. 1
4 6
4 1
1 3
3 1
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 4
6 4
1 1
3 3
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 4
6 4
1 1
3 3
1 1
2 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
PD D
P
89
2. Hubungan dengan Matriks Vandermonde
Kategori