5. PERSAMAAN LINIER
1. Persamaan Linier
Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier.
Contoh : a
2x + 3y -4z = 5 linier, karena x, y dan z berpangkat satu
b 2x + 3y
2
- 4z
12
= 5 tidak linier, karena y dan z tidak berpangkat satu
c 4xz + 3y – 2x = 7
tidak linier, karena ada perkalian antara variabel x z
Persamaan aljabar linier mempunyai bentuk sbb : a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
, dimana a
11
, a
12
, ..., a
1n
dan b
1
adalah konstanta. Jika persamaan aljabar linier tersebut jumlahnya lebih dari satu, dan dikumpulkan, maka
himpunan dari persamaan-persamaan tersebut disebut Sistem Persamaan Linier SPL.
Contoh : 1.
Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel. x
1
– 3x
2
+ x
3
= 4 3x
1
+ 2x
2
- 5x
3
= -2 2x
1
– x
2
+ 3x
3
= 8 x
1
– 7x
3
= 6 SPL di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matriks koefisien berikut :
[ ] [
] [ ] atau Ax = b
Dimana:
A = [
] x =
[ ]
b = [
]
Yaitu: A : matriks koefisien berordo m x n x : vektor kolom berordo n x 1 dari bilangan tak diketahui variabel
b : vektor kolom berordo m x 1 dari konstanta Atau bisa dinyatakan dalam bentuk matriks Augmented matriks lengkap yaitu matriks
yang terdiri dari koefisien-koefisien x dan nilai b
[ ] [ ]
Bentuk matriks koefisien
[ ]
Bentuk matriks Augmented matriks lengkap
[ ]
2. SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 4 variabel.
x
1
+ x
2
+ 2x
3
– 5x
4
= 3 2x
1
+ 5x
2
– x
3
- 9x
4
= -3 2x
1
+ x
2
- x
3
– 3x
4
= -11 x
1
- 3x
2
+ 2x
3
+ 7x
4
= -5 Bentuk matriks koefisien
[ ]
Bentuk matriks Augmented matriks lengkap
[ ]
Bila matriks b ≠ 0, persamaan tersebut disebut sebagai sistem persamaan linier nonhomogen. Sebaliknya, bila matriks b = 0, disebut sebagai sistem persamaan linier
homogen. Ada 3 hal penting yang dapat dijumpai pada persamaan di atas, yaitu: 1.
m n jumlah persamaan lebih besar dari pada jumlah variabel 2.
m n jumlah persamaan lebih kecil dari pada jumlah variabel 3.
m = n jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel Pada kasus ini ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu:
1. sistem mempunyai solusi unik tunggal, hanya ada satu solusi
2. sistem tidak mempunyai solusi inkonsisten
3. sistem mempunyai banyak solusi
Sebagai gambaran akan dijelaskan secara grafik, bagaimana bentuk grafik dari SPL yang mempunyai solusi tunggal, SPL yang tidak mempunyai solusi inkonsisten dan SPL
yang mempunyai solusi banyak. Gambar grafik dari ketiga SPL tersebut adalah:
1. SPL punya solusi tunggal
tampak pada grafik di atas bahwa SPL yang pertama terdapat satu titik potong. Artinya SPL tersebut hanya mempunyai satu solusi unik.
2. SPL tidak punya solusi
Pada kedua grafik tersebut tidak ada titik potong, sehingga sistem ini disebut SPL yang tidak punya solusi atau inkonsisten.
3. SPL punya solusi banyak
Terdapat banyak titik potong sehingga SPL semacam ini mempunyai solusi yang banyak.
2. Eksistensi dan Keunikan SPL Nonhomogen
Kategori