2. Eksistensi dan Keunikan SPL Nonhomogen
Eksistensi dan keunikan dari SPL digunakan jika kita ingin menentukan apakah solusi dari SPL tersebut ada atau tidak. Kalau solusinya tidak ada, kita tidak perlu menyelesaikan
persamaan tersebut. Untuk menentukan ada atu tidaknya solusi dari SPL digunakan Operasi Baris Elementer OBE, yaitu sebuah matriks dikenai transformasi elementer baris secara
berkali-kali sehingga diperoleh matriks identitas I. a.
Kasus m n
Perhatikan SPL nonhomogen Ax = b, yang terdiri dari m persamaan dan n variabel. Jika
matriks A, bisa direduksi menjadi matriks identitas I berordo n x n, sehingga m-n baris yang bernilai nol, maka sistem Ax =b, mempunyai solusi yang unik.
Contoh: x + y = 6
2x – y = 3
7x -2y = 15 Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak.
Jawab: Matriks augmented dari sistem tersebut adalah:
[ ]
Operasi Baris Elementer OBE: [
] H
21 -2
, H
31 -7
→ [ ] H
32 -3
→ [ ]
[ ] H
2 -13
→ [ ] H
12 -1
→ [ ]
Hasil matriks augmented: [
] Pada contoh ini matriks 3x2 direduksi menjadi matriks identitas I ordo 2x2, dan 3
– 2 elemen baris yang lain adalah nol. Sistem ini punya solusi unik, yaitu x = 3 dan y = 3.
Latihan: Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak:
1. 2x + 4y = 8
x + 2y = 4 7x + 14 y = 28
2. 2x + y = 4
x – 3y = 3
3x + 2y = 12
b. Kasus m n
Pada kasus ini, sistem mempunyai banyak solusi. Contoh:
x + 2y + z = 2 4x + 9y +6z = 9
Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak. Jawab:
Matriks augmented dari sistem tersebut adalah: [
] Operasi Baris Elementer OBE:
[ ]
H
21 -4
→ [ ]
Pada contoh ini diperoleh persamaan berikut: y + 2z = 1
atau y = 1
– 2z x + 2y + z = 2
atau x = 2 - 2y
– z Bila diambil nilai z = λ, λ bilangan riil maka diperoleh persamaan berikut:
y = 1 - 2λ
x = 3λ artinya, disini didapat banyak solusi untuk sistem persamaan tersebut.
c. Kasus m = n
Pada kasus ini digunakan konsep determinan dan invers untuk melihat ada atau tidaknya solusi. Jika besar m = n, berarti matriks ini adalah matriks bujursangkar yang bisa
dihitung nilai determinannya. 1.
Jika detA ≠ 0, berati invers matriks A ada, sehingga Ax = b punya solusi unik.
2. Jika detA = 0, berati invers matriks A tidak ada, sehingga Ax = b tidak punya solusi
atau mempunyai solusi banyak. Contoh:
Jelaskan apakah sistem ini mempunyai solusi atau tidak. x + y + 6z = 17
4x – 3y - 2z = 4
2x + 3y + z = -1 Jawab:
Matriks A dari sistem tersebut adalah: [
]
detA = |
| = 103 karena detA ≠ 0, persamaan tersebut punya solusi unik x = y = z = 0
Latihan soal: Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak:
2x + y – z = 0
x + 4z = 0 3x + y + 3z = 0
3. Solusi Sistem Persamaan Linier
Kategori