Ringkasan matematika sma ipa Vektor

  1. Penjumlahan dan pengurangan vektor a

  b b b

  b =     

       _{3 2 1}

  a a a

  ±

      

       _{3 2 1}

  =     

  C. Operasi Vektor

      

  ± ± ± _{3 3 2 2 1 1} b a b a b a

  untuk penjumlahan : R

  a ± b

  Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik ujung Q. Q a P

  VEKTOR A Definisi Vektor : Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

  ±

B. Beberapa pengertian vektor :

      

  ka ka ka

  Jika A(x,y,z) maka OA = a =     

  1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

  b P Q a a + b = PQ + QR = PR

  2. Perkalian skalar dengan vektor k a = k     

       _{3 2 1}

  a a a

  =     

       _{3 2 1}

  3. Besar atau panjang vektor

  z y x

  a. | a | = ² ₃ ² ₂ ² ₁

  a a a

  b. Jika P ( _{3 2 1} , , a a a ) dan Q ( _{3 2 1} , , b b b ) maka | PQ | = ) ( ) ( ) ( _{3 3 2 2 1 1}

  − a b a b a b + − + −

  4. Perbandingan m P n A Q p =

  n m b m a n

  a p b

  a , p dan b adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B dan P

      

  dan | a | = ^{2 2 2}

• 2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu.

  ⇔ _{1 1} ¹ z y x

  3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

  Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang sama.

      

       _{1 1 1}

  z y x

  =     

       _{2 2 2}

  z y x

  1

  z y x

      

       1 dan k =

      

  1 ; j =

      

      

  i =

  Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah :

  = = = _{2 2 2} z y x

  D. Perkalian Skalar dua Vektor

  2. Proyeksi vektor ortogonal Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

  . a . b = | a | | b | cos α  

  a . b

    | c | = . b a

   ^{2 } | b |

    Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi

  α

  G. Rumus-rumus tambahan :

  b

  α menyatakan sudut yang dibentuk oleh

  1. | a + b | = a b a b ^{2 2}

• 2 ( ) − | − |
² vektor a dan b bukti :

     

  a b _{1 1 2 2 2}

      | a b | a b 2 | a || b | cos

  = α + + +

  Jika a =  a  dan b =  b  maka _{2 2}     ^{2 2}

  a b ₃

_{3 ⇔ | a b | =}

a b a b

  2 | || | cos ….(1)     _{2 2 2} α a . b = a b a b a b | a − b | = a b − _{1 1 2 2 3 3}

  2 | a || b | cos α

  ⇔

  2 | a || b | cos α = − | a − b | …(2) ^{2 2 2} E. Besar sudut antara dua Vektor Substitusi (2) ke (1)

• a b

  a . b

  cos =

  α _{2 2 2 2 2}

  | a | . | b | | a b | a b a b | a b |

  = − − + + + +

  2 a b ) a b ( ^{2 2 2}

• = − | − |

  a b a b a b _{1 1 2 2 3 3}

  180 = ; 0 ≤ ≤ _{2 2 2 2 2 2} α

  a a a b b b _{1 2 3} . _{1 2} + + + + _{3 2 2 2} a b a b

  2. | a - b | = 2 ( ) − | |

  F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor :

  bukti : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari _{2 2 2} suatu vektor pada vector lain

  | a − b | = a b − + 2 | a || b | cos α ^{2 2}

  ⇔ | a − b | = −

• a b a b

  2 | || | cos ….(1)

  1. Proyeksi skalar ortogonal _{2 2 2} α A

  | a b | = a b

  2 | a || b | cos

  α

  a _{2 2 2}

  a b ⇔ −

  2 | a || b | cos α = − | a b | …(2)

  θ b

  Substitusi (2) ke (1) 0 c C B _{2 2 2 2 2} | |

  a − b = a b a b | a b | + − + + + a . b

  | OC | = | c | = Proyeksi skalar ortogonal a ^{2 2 2}

  a b a b

  = 2 ( ) − | |

  | b | pada b Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

  Jawab: Contoh Soal

  Proyeksi vektor ortogonal pada adalah : u v

  Soal-soal UN2010 – UN2012

   

  u . v

    | | = .

  c v ₂

    | v |

   

  UN2010

  1. Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika = = B – A = (2-3, 1-2 ,0 – (-1)) = (-1, -1, 1) AB u sudut antara dan adalah maka cos =

AB AC

  α α = = C – A = (-1-3, 2-2 , 3 – (-1)) = ( - 4, 0, 4)

  AC v ….

    u . v

    | | = . c v

   2 

  1

  1

  | v | A.

C. 0 E. -  

  2

  2

  2

  2  

  1

  1 (

  − − + + 1 .

  4 ) ( 1 . 4 ) B.

  D. -

   

  = ( - 4 +4 ) ₂ i k

   

  2

  2

  16 16 )  

• (

  4

•  

  4

  1

  = ( - 4 -2 ) = ( - 4 +4 )

    i k i k

  Jawab:

   32 

  4 AB . AC

  1

  cos = α

• = .4 (- ) = -

  i k i k

  | AB | . | AC |

  4 Jawabannya adalah B

  = B – A = (–1,1,0) AB

  = C – A = (1, –2,2) AC

  UN2011 3. Diketahui titik A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4).

  Besar sudut ABC adalah.... ( − 1 . 1 ) ( 1 . − 2 ) −

  3

  cos = = α _{2 2 2 2} 2 .

  3 ( − 1 ) ( 1 ) . 1 ( −

  2 )

  2 A. π B.

  C. D. E. 0

  1

  1

  2

  1

  = - = - = -

  2

  2

  2

  2

  2 Jawab:

  Jawabannya adalah E Vektor dan Trigonometri

  UN2010 A

  2. Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika wakil vektor dan wakil maka proyeksi AB u AC v

  B β vector pada adalah …. u v

  1 A. ( ) C. 4( ) E. 8( )

  i j k j k i j k C

  4 B. -

D. 4( )

• A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4)

  i k i j k

  2 5 −3 = - = = −1 1 −2

• −1

  3 −4

  4 −3 6 ; =

  1 ; =

  2 −1 3 . Jika tegak lurus , maka hasil dari ( - 2 ) . (3 ) adalah....

• 5

  A. 171 B. 63 C. -63 D. -111 E. -171 Jawab: BAB XX Vektor tegak lurus maka . = 0 /

• 2 −1 −1 =
• – 2

  E. 45 Jawab: a . b = | a | | b | cos

  D. 60

  | | . | | .

  α =

  2 −1 1 .

  4 −3 6 = 0 p. 4 + 2.(-3) + (-1).6 = 0

  4p – 6 – 6 = 0 4p = 12 p = 3 ( - 2 ) . (3 ) =

  2

  3

  2 −1

  4 −3 6 3 . 23

  2 −1

  3

  3 =

  2

  3

  2 −1

• – 8 −6

  α cos

  6 −3 9 =

  −5

  8 −13 .

  6 −3 9 = -30 + (-24) + (-117)

  = -30 – 24 – 117 = -171 Jawabannya E UN2012

  6. Diketahui vektor = 2 −3 3 dan =

  3 −2 −4 . Sudut antara vektor dan adalah...

  A. 135

  B. 120

  C. 90

  12 3 .

  Jawabannya adalah B UN2012

  5. Diketahui vektor = / 2 −1

  2 ( − 6 ) + 4 * ) = ( − 3 ) + 2 *

  | | = (−3) + (−2) + (−4) = √9 + 4 + 16 = √29 = - =

  4

  2 −4

  1

  3 = −1

  1 −7 | | = (−1) + 1 + (−7) = √1 + 1 + 49 = √51

  = - =

  4

  2 −4

  2

  3 −3 | | = 2 + 3 + (−3) = √4 + 9 + 9 = √22 aturan cosinus: Cos β =

  ! " – " . . " =

  % ! –&' .√ % √&' = 0 β = 90 =

  Jawabannya adalah B UN2011

  4. Diketahui vektor = 4 ( − 2 ) + 2 * dan vektor = 2 ( − 6 ) + 4 * . Proyeksi vektor pada vektor adalah....

  A.

  2 ( − 6 ) + 4 * ) =

  (

  2 ( − 6 ) + 4 * ) = '

  & (

  2 ( − 6 ) + 4 * ) = .

  (.!' !.) (√,! !' ) (

  (,. !(- )(- )! .,) ( !(- ) !, ) (

  ( − ) + * D. 2 ( − ) + * B. ( − 3 ) + 2 * E. 6 ( − 8 ) +6 * C.

  b b a . b =

  | | .

      ₂

     

  | =

  ( − 4 ) +4 * Jawab: Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah : | c

  b a b a = _{2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1} ^{3 3 2 2 1 1} . b b b a a a b a b a b a

  2 . 3 . ( 3 ).( 2 ) (

• − − +

  3 ).( − 4 )

  = _{2 2 2 2 2 2}

  2 ( − 3 ) 3 . 3 ( − 2 ) ( −

  4 )

• 6 .

  6 −

  12

  = _{2 2 2 2 2 2}

  2 ( − + + 3 ) 3 . 3 ( − 2 ) ( −

  4 )

  = = 0 _{2 2 2 2 2 2}

  2 ( − 3 ) 3 . 3 ( − 2 ) ( −

  4 )

  cos = 0 = 90 α α

  Jawabannya C UN2012

  7. Diketahui vektor = 5 ( + 6) + * dan = ( - 2) - 2 * . Proyeksi orthogonal vektor pada adalah....

  A.

  ( + 2) + 2* D. - ( + 2) + 2* B. ( + 2) - 2* E. 2 ( + 2) - * C. .

  ( - 2) + 2* Jawab: Proyeksi vektor ortogonal pada adalah : a b

   

  a . b

    | | = .

  c b

   ^{2 } | b |

       

  5

  1      6   − 2 

   

  1    

   

  1

  2

  −

      = . _{2 2 2 2}  − 2   

  ( 1 ( −

  2 ) ( − 2 ) )

  −

  2  

       

  1

  1

  1

  −

       

  5

  12

  2

  − − = = -1 =

   − 2   − 2   2 

  9      

  2

  2

  2

  − −

         

  −

  1  

  = - +2 +2

   2  i j k  

  2  

  Jawabannya D