Ringkasan matematika sma ipa Trigonometri

• 6. tan (A - B) =
• −

  1 (A –B)

  1 tan

  1. Sin A + sin B = 2 sin

  Jumlah/selisih perkalian

  1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)

  Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian jumlah/selisih

  A −

  2 A

  3. tan 2A = ₂ ) (tan

  1 (A + B) cos

  Rumus-rumus Sudut Rangkap : 1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = ² cos A - ² sin A

  1 tan tan

  . tan tan

  B A B A

  −

  1 tan tan

  2

  2

  B A B A

  1 (A + B) cos

  2

  1 (A + B) sin

  2

  4. cos A - cos B = - 2 sin

  1 (A –B)

  2

  2

  1 (A –B)

  3. cos A + cos B = 2 cos

  1 (A –B)

  2

  1 (A + B) sin

  2

  2. Sin A - sin B = 2 cos

  . tan tan

  5. tan (A + B) =

• ² cos

  α α

  TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

  Sin α =

  r y

  r y Cos α =

  r x α

  x Tan

  α

  =

  x y Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. ² sin

  α

  α

  = 1 2. tan

  α

  =

  cos sin 3. sec α =

  3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

  α

  1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B

  α Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :

  α 7. ² cot an α

  α

  6. ² tan

  sin cos

  α α

  =

  α

  1 5 . cotan

  sin

  α

  1 4. cosec α =

  cos

• 1 =
² sec
• 1 =
² cos ec

  Sudut-sudut istimewa : Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

  θ

  45

  60

  90 Sin

  2

  1

  2

  Cos (180 + θ ) = -cos θ tan (180 + θ ) = tan θ Kuadrant IV : Sin (360 -

  ) = -sin

  α

  θ

  1

  2

  2

  1 3 1 Cos

  1

  1

  1

  30

1 Tan

  α β

  2

  θ

  tan (180 - θ ) = -tan θ Kuadrant III : Sin (180 +

  θ

  ) = -cos

  θ

  Kuadrant I Sin (90 - θ ) = cos θ Cos (90 - θ ) = sin θ tan (90 - θ ) = cotan θ Kuadratn II : Sin (180 - θ ) = sin θ Cos (180 -

  2

  Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:

  3

  2

  III IV Tan + Cos +

  2

  θ

  3

  1 3 1

  3 ~

  Kuadrant I α

  Kuadrant II

  180 -

  α Kuadrant III

  180 +

  α Kuadrant IV

  360 -

  

α

  Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

  ) = -sin

  Cos (360 - θ ) = cos θ tan (360 - θ ) = -tan θ

  A c B

  Luas segitiga =

  aturan sinus α

  sin

  a

  =

  β sin b

  =

  γ sin c

  Aturan cosinus 1. ² a = ² b + ² c - 2bc cos

  α 2. ² b = ² a + ² c - 2ac cos

  β 3. ² c = ² a + ² b - 2ab cos

  γ Luas Segitiga

  2

  Aturan sinus dan cosinus

  1 ab sin

  γ

  =

  II I Sin + Semua +

  1 ac sin

  β

  =

  2

  1 bc sin α

  a

  γ

  C b

  2

  Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri

  Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

  1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri

  P(r, ) koordinat kutub

  α adalah :

  y

  a. sin x = sin , maka x = + k. 360

  α ^{1 α}

  180 - 360 x = ( ) + k. _{2 α}

  α

  x b. cos x = cos , maka x = + k. 360

  ± α ^{1 , 2 α}

  P (x,y) P (r, )

  → α

  180 c. tan x = tan α , maka x = α + k. ^{2 2}

• r = x y

  y

  didapat dari tan =

  α α Persamaan umum trigonometri adalah : x

  a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - )

  α ^{2 2}

  α →

  dengan k = a b : x = r cos ; y = r sin

• P (r, ) P (x,y)

  α α

  persamaan lengkapnya: jadi , p (x,y) = p(r cos α , r sin α ) a cos x + b sin x = k cos (x - ) = c

  α Nilai Maksimum dan Minimum b

  didapat dari tan =

  α α a

  1. Jika y = k cos (x + n ) dengan k > 0 maka

  π

  Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai

  a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n ) = 1

  π

  jawaban adalah : sehingga (x + n π )= 0 _{2 2 2}

  b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1 c ≤ a + b sehingga (x + n )=

  π π

  2. Jika y = k sin (x + n ) dengan k > 0 maka

  π

  2. Pertidaksamaan

  a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n ) = 1

  π π

  Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sehingga (x + n )=

  π

  2 sin ax ≤

  c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n ) = -1

  π

  umum pertidaksamaan seperti :

  3

  π

  sehingga (x + n )=

  π

• Diagram garis bilangan

  2

• Grafik fungsi trigonometri

  Fungsi Trigonometri: .

  Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x

  a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

  b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1

  c. Memiliki Periode sebesar 2 π

  d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k

  ∈

  bilangan bulat

  2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x

  a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

  b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1

  c. Memiliki Periode sebesar 2 π

  d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat

  Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :

  a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga)

  b. Mempunyai perioda sebesar π

  c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k bilangan bulat

  ∈

• −

  α α α α − + + − + +

  3

  1

  2

  3

  =

  30 cos 60 sin

  α α =

  2

  60 sin

  cos 30 cos 2 cos

  =

  ) ) 60 sin( 60 sin(

  1

  ) ) 30 cos( 30 cos(

  α α α α

  ) ) 60 sin( 60 sin(

  ) ) 30 cos( 30 cos(

  = − + +

  Jawab: 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)

  3 D. 1

  1

  3

  3 B. -

  3 E.

  1

  2

  = 1 Jawabannya adalah D UN2010

  3 C.

  2

  1

  4

  π ) – cos(A-B)} =

  3

  { cos (

  1

  1

  4

  { cos (A+B) – cos(A-B)} =

  1

  { cos (A+B) – cos(A-B)}

  1

  3 Jawab:

  3. Diketahui (A+B) =

  4

  1 D.

  2

  B. -

  1 E. 1

  2

  A. –1 C.

  . Nilai dari cos (A – B) = ….

  1

  4

  π dan sin A sin B =

  3

  3

  A. -

1. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos

  3

  11 ,

  6

    

    

  B.

  3 2 π π

  4 ,

  3

    

    

  π π E.

  2 ,

  α α α α .…

  3

    

    

  π π C.

  6

  5 ,

  6

    

    

  A.

  ² x – 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah ….

  Contoh Soal : UN2010

  6

  π π D.

    

    

  3

  5 ,

  3

  π π Jawab: 2cos ² x – 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y 2y ² - 3y + 1 = 0 (2y -1) (y -1) = 0

  ) ) 60 sin( 60 sin(

  ) ) 30 cos( 30 cos(

  2. Hasil dari = − + +

• −

  2

  3

  2y-1 = 0 y =

  2

  1

  π π Jawabannya adalah D UN2010

  3

  5 ,

    

  1

    

  π ) tidak memenuhi 0 < x < 2π Himpunan penyelesaiannya adalah

  ) y-1 = 0 y = 1 cos x = 1 x = 0 dan 360 (2

  3 5 π

  cos x =

  3

  x = 60 (

  π ) dan 300 (

• 2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) sin A sin B = -
• 2
• 2

  1

  1

  1 Jawab:

  { – cos(A-B)} = -

  2

  2

  4

  1

  1

  1

  2

  1

  cos A - cos B = - 2 sin (A + B) sin (A –B)

• – cos(A-B) = - = -

  2

  2

  2

  4

  2

  1

  1 Sin A - sin B = 2 cos (A + B) sin (A –B)

  1

  1

  2

  2

  = cos(A-B) +

  2

  2

  cos(A-B) = 1 =

  Jawabannya adalah E UN2011 = = -

  4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, adalah....

  ≤ ≤ 180 √

  A. {45 , 120 } C. {60 , 135 } E. {60 , 180 } = - = √3

  B. {45 , 135 } D. {60 , 120 } Jawabannya adalah E

  Jawab: UN2011 cos 2x + cos x = 0 _{2 2 2 2}

  6. Diketahui (A+B) = dan Sin A Sin B = , Nilai dari cos (A- B) = … cos 2x = cos x - sin x = cos x – (1 - cos x) ₂ = 2 x - 1

  cos A. -1 B. - C. D. E.

  1 sehingga ₂ Jawab: 2 x - 1 + cos x = 0

  cos 2x + cos x = cos

  (A+B) = maka cos (A+B) = cos = Cos 60 = (2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0 2 cos x – 1 = 0 cos x + 1 = 0 cos (A+B) = CosA Cos B – Sin A Sin B 2 cos x = 1 cos x = -1 = CosA Cos B – CosA Cos B = + =

  1

  cos x =

  x = 180 (di kuadran ke-2)

  2 x = 60

  cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B = + = 1 Himpunan penyelesaiannya adalah 60 atau 180 Jawabannya adalah E Jawabannya adalah E UN2011 5. Nilai = .....

  1

  1 A. - √3 B. − √3 C. − √3

  2

  3 √ D.

  3 E. √3

  UN2012

  1

  2

  1

  (75 + 165 ) sin

  2

  1

  (75 –165 ) = 2 cos

  2

  . 240 sin

  1

  2

  1

  (-90 ) = 2 cos 120 sin (-45 ) sin – = - sin cos – = cos tan – = tan Cos (180 -

  θ ) = - cos

  θ = 2 cos (180 – 60 ) . – sin 45 = - 2 cos 60 . – sin 45 = 2. ½ . ½ √2 = ½ √2 Jawabannya D UN2012

  9. Diketahui α – β = dan sin α . sin β = dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = ...

  A. 1 B. C. D. E. 0 Jawab: cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

  (A –B) sin 75° - sin165 = 2 cos

  2

  7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1; 0 < x < 2π adalah ....

  = + 0. 2π ; ₂ x

  A. { 0, π, π, 2π } C. { 0, π, π, π } E. { 0, π, π }

  B. { 0, π, π, 2π } D. { 0, π, π } Jawab: cos2x = cos ² x – sin ² x = cos ² x – (1 – cos ² x) = 2 cos ² x - 1 cos2x -2cos x = -1

  2 cos ² x – 1 – 2 cos x + 1 = 0 2 cos ² x – 2cos x = 0 cos ² x – cos x = 0 cosx . (cosx – 1) = 0 cos x = 0 ; cos x = 1 cos x = cos cos x = cos 0 cos x = cos

  α , maka _{2 , 1} x

  = ± α + k.

  360

  cos x = cos ₁ x

  =- + 1. 2π = = cos x = cos 0 ₁ x

  (A + B) sin

  = 0 + 0. 2π ; ₂ x

  = 0 + 1. 2π = 0 = 2π karena intervalnya 0 < x < 2π, maka nilai yang memenuhi adalah dan Tidak ada jawaban UN2012 8. Nilai dari sin 75° - sin165° adalah ....

  A.

  √2 D. √2 B.

  √3 E. √6 C. √6 Jawab:

  Sin A - sin B = 2 cos

  2

  1

  = cos (α - β) - sin α sin β - sin α sin β = cos – ¼ - ¼ = ½ - ½ = 0 Jawabannya E