Ringkasan matematika sma ipa Differensial Turunan

  ' 18. y = sec x y = sec x tan x

  → DIFERENSIAL (Turunan)

  ' 19. y = cosec x y = - cosec x cotan x

  → Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan Penggunaan Turunan : dy

  ' dengan y’ = = f (x)

  1. Garis singgung dx

• Lim dy f ( x h ) f ( x )

  − dengan = dx h h

  → Rumus-Rumus Diferensial:

  ' 1. y = k y = 0

  → n ' n

  1 − x x

  2. y = k y = k. n →

  ' 3. y = sin x y = cos x

  → '

  4. y = cos x y = - sin x → persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a)

  ' dimana m = f (x)

  ' ' ' 5. y = u ± v y = u ± v

  → apabila terdapat dua persamaan garis y= m x + c dan

  1

  1 ' ' ' 6. y = u. v y = u v + v u

  → y= m x + c dikatakan

  2

  2

• sejajar apabila m = m

  1

  2 u u ' v v ' u

  ' − 7. y = y =

  →

• tegak lurus apabila m . m = -1

  2

  1

  2 v v n ' n

  1

  2. Fungsi naik/turun −

  8. y = k [f(x)] → y = k . n [f(x)] . [f’(x)] diketahui y = f(x); ' '

  ' 9. y = sin f(x) → y = f (x). cos f(x)

  '

• jika f (x) >0 maka f(x) naik

  ' ' 10. y = cos f(x) → y = - f (x). sin f(x)

  3. Menentukan titik stasioner n ' n 1 '

  − 11. y = sin f(x) y = n sin f(x). cos f(x) . f (x)

  → diketahui y = f (x).

  ' Bila f (a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner n ' n 1 '

  − 12. y = cos f(x) → y = - n cos f(x). sin f(x) . f (x)

  ''

• (a, f(a) ) titik minimum jika f (a) > 0

  f ( x ) ' f ( x ) ''

  13. y = a → y = a . ln a . f’(x)

• (a, f(a) ) titik maksimum jika f (a) < 0

  ''

• (a, f(a) ) titik belok jika f (a) = 0

  f ( x ) ' f ( x ) ' 14. y = e y = e . f (x)

  →

  3. Menentukan Kecepatan dan percepatan f ' ( x )

  ' S = S(t) jarak yang ditempuh S merupakan

  → 15. y = ln f(x) y =

  → f ( x ) fungsi waktu (t), maka

  '

  1

• kecepatan v = S (t)

  '

  2 16. y = tan x y = sec x =

  → ''

  2

• percepatan a = S (t) cos x

  '

  2 17. y = cot x y = - cosec x

  →

  2 UN2012

  ) ditanya = laba maksimum? Laba (L) = harga produk - Biaya produk = 5000x - ( 9.000 + 1.000x + 10x

  A. Rp. 149.000,00 D. Rp. 609.000,00

  B. Rp. 249.000,00 E. Rp. 757.000,00

  C. Rp. 391.000,00 Jawab:

  Differensial

  Diketahui biaya produksi (B) = ( 9.000 + 1.000x + 10x

  2

  2

  2

  ) = -10 x

  2

  '

  = 0 L

  ’

  = -20x + 4000 = 0 4000 = 20x x = 200 maka laba maksimum = -10. 200

  ) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp.5.000 untuk satu produknya , maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah....

  ( 9.000 + 1.000x + 10x

  Contoh Soal: UN2010 – UN2012 UN2010

  2. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar

  1. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar ( 9.000 + 1.000x +10x

  2

  ) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp. 5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

  A. Rp. 149.000,00 D. Rp. 609.000,00

  B. Rp. 249.000,00 E. Rp. 757.000,00

  C. Rp. 391.000,00 Jawab: Laba = harga penjualan – biaya produksi = 5000. x - ( 9.000 + 1.000x +10x

• 4000x - 9000 agar laba maksimum maka L
• 4000x – 9000 Memperoleh laba maksimum jika turunan laba = 0 (L
>4000. 200 – 9000 = - 400.000 + 800.000 – 9000 maka laba maksimum = harga produk - Biaya produk = -10 200
• 4000. 200 – 9000 = -400.000 + 800.000 – 9000 = Rp. 391.000 Jawabannya adalah C<
• 4000. 200 – 9000 = -400000 + 800000 – 9000 = Rp. 391.000,-

  2

  2

  '

  (x) = 0) L

  '

  (x) = -20x + 4000 = 0 20x = 4000 x = 200 Maka laba maksimumnya adalah : Laba = -10. 200

  2

  Jawabannya adalah C UN2011

  ) = - 10x

  3. Suatu perusahaan memproduksi unit barang, dengan

  2 biaya (4x - 8x + 24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit.

  Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

  A. Rp 16.000,00 D. Rp 52.000,00

  B. Rp 32.000,00 E. Rp 64.000,00

  C. Rp 48.000,00 Jawab: Biaya Produksi dalam ribuan per unit adalah:

2 B = 4x - 8x + 24

  Keuntungan = (Harga x barang) – (biaya produksi x barang) dalam ribuan

2 K = 40 x –(4x - 8x + 24). x

  3

  2

  = 40x – 4x + 8x – 24 x

  3

  2

  = – 4x + 8x + 16 x Agar keuntungan maksimum maka = 0

  2

  2

• 12x + 16x + 16 = 0 -3x + 4x + 4 = 0 (-3x - 2 ) (x – 2) = 0 x = - atau x = 2 yangberlaku adalah nilai yang positif yaitu x = 2 Masukkan ke K :

  3

  2

• 4 . 2 + 8. 2 + 16. 2
• 32 + 32 + 32 = 32 dalam ribuan menjadi 32 x Rp.1000 = Rp. 32.000

  Jawabannya B