Ringkasan matematika sma ipa Logika Matematika
Kompetensi 1 LOGIKA MATEMATIKA Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi :
Tabel Kebenaran : p q ~ p ~ q p
∨ q p
∧ q
∧ ~q ~q ⇒ ~p ~p
∧ ~p ~p ⇒ ~q ~p
∧ ~q q ⇒ p q
(Tautologi) Pernyataan Ingkaran/Negasinya p ⇒ q p
∧ p] ⇒ q
B B B B B B S S S S S B B S S S S B S S Kesimpulannya adalah (p ⇒ q)
∧ p] ⇒ q
∧ p [(p ⇒ q)
∴ q (Benar) Lihat tabel berikut : p q p ⇒ q (p ⇒ q)
1. Modus Ponens: p ⇒ q (Benar) p (Benar)
~(semua p) ⇒ ada/beberapa ~p ~(ada/beberapa p) ⇒ semua ~p
∨ q
Ekuivalen/sama Konvers : q ⇒ p Invers : ~p ⇒ ~q Kontraposisi : ~q ⇒ ~p Ekuivalensi : p ⇒ q = ~q ⇒ ~p = ~p
~q Konvers, Invers, Kontraposisi :
~(p ⇒ q) = p ∧
∨ ~q
~(p ∧ q) = ~p
∧ ~q
∨ q) = ~p
Ingkaran/negasi : atau: ~(p
5. p ⇔ q = Biimplikasi Bernilai benar jika p dan q kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama)
∧ q = Konjungsi Bernilai salah jika ada yang salah (jika salah satu dari p dan q salah atau kedua-duanya salah) 4. p ⇒ q = Implikasi Bernilai salah jika p benar dan q salah (jika tidak memenuhi kriteria ini nilainya benar)
~ q = ingkaran/negasi dari q 2. p ∨ q = Disjungsi Bernilai Benar jika ada salah satu dari p dan q benar atau kedua-duanya benar) 3. p
B B S S B B B B B S S B B S S S S B B S B S B S S S B B S S B B Keterangan : 1. ~ p = ingkaran/negasi dari p
⇔ q
∧ q p ⇒ q p
Ingkaran/negasi: Negasi kalimat berkuantor :
Penarikan Kesimpulan :
2. Modus Tollens: p ⇒ q (Benar) ~q (Benar) ~p (Benar)
∴ Lihat tabel berikut :
⇒ ⇒ ⇒ p q (p q) ~q [(p q) ~q]
∧ ∧ p q ~p ~q
⇒ ~p
B B S S B S S B S S B S S S S B B S B S S S S B B B B B Kesimpulannya adalah [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ ~p (Tautologi)
3. Sillogisme p ⇒ q (Benar) q ⇒ r (Benar)
∴ p ⇒ r (Benar) Lihat tabel berikut:
⇒ ⇒ ⇒ q p q r p q r p r B B B B B B B B S B S S B S B S B B B S S S B S S B B B B B S B S B S B S S B B B B S S S B B B terlihat dari huruf yang berwarna merah bahwa jika p ⇒ q Benar dan q ⇒ r Benar maka p ⇒ r adalah Benar atau kesimpulannya adalah :
[(p ⇒ q) (q ⇒ r )] ⇒ (p ⇒ r ) ∧
(Tautologi)
UN 2011 Contoh Soal :
2. Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung
Soal UN TH 2010 - 2012 (2) Ibu tidak memakai payung UN 2010
1. Diberikan premis sebagai berikut : Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-presmis
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan tersebut adalah.... pokok naik.
A. Hari tidak hujan D. Hari hujan dan Ibu memakai payung Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua
B. Hari hujan E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung orang tidak senang.
C. Ibu memakai payung Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah: A. Harga BBM tidak naik.
Jawab:
B. Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak p = hari hujan senang. q = Ibu memakai payung
C. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak ~q = Ibu tidak memakai payung (ingkaran dari q) senang.
D. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM penarikan kesimpulan: naik.
E. Harga BBM naik dan ada orang senang. p q
Jawab:
~q dari soal di atas didapatkan : ~p p = harga BBM naik q = harga bahan pokok naik modus Tollens r = semua orang tidak senang p= hari hujan maka ~p= hari tidak hujan
Jawabannya adalah A ⇒
premis 1 : p q ( jika p maka q)
⇒ modus silogisme
premis 2 : q r (jika q maka r )
UN 2012 ⇒
3. Diketahui premis-premis sebagai berikut: p r (kesimpulan)
∴
Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.
⇒ ⇒
ingkaran (p r) = ~(p r) = p ~r
∧ Premis 2 : Bona keluar rumah.
p ~r = Jika Harga BBM naik dan ada orang senang Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....
∧ Jawabannya adalah E
A. Hari ini hujan deras
B. Hari ini hujan tidak deras
C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar
⇒
( maka, dan, atau);
∧ ∨
Rumah Ingkaran:
D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah
E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah ~(semua p) ada/beberapa ~p
⇔
~(ada/beberapa p) semua ~p
⇔
Jawab: p = hari ini hujan deras q = Bona tidak keluar rumah ~q = Bona keluar rumah p q ~q
Soal SNMPTN TH 2010 - 2012
Kesimpulannya adalah ~p (Hari ini tidak hujan deras)
Matematika Dasar SNMPTN 2010
Modus Tollens
1. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan
Jawabannya B
pernyataan , “Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan ganjil” adalah……
UN2012
A. “ Jika bilangan ganjil tidak sama dengan bilangan genap,
4. Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga maka 1 + 2 bilangan genap” pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah
B. “ Bilangan ganjil sama dengan bilangan genap dan 1 + 2 .... bilangan ganjil”
A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada
C. “ Jika 1 + 2 bilangan ganjil, maka bilangan ganjil sama pintu rumah yang tidak dikunci rapat. dengan bilangan genap
D. “ Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka
B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka 1 + 2 bilangan genap” ada anggota keluarga yang tidak pergi.
E.
E. “ Bilangan ganjil sama dengan bilangan genap dan 1 + 2 bilangan genap” C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.
Jawab:
D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. p = Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap
E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada pernyataan Salah anggota keluarga yang tidak pergi. q = 1 + 2 bilangan ganjil Peryataan Benar
⇒
p q Jawab
⇒
S B hasilnya B Negasi kalimat berkuantor :
⇒
p q = Implikasi
⇒
~(semua p) ada/beberapa ~p Bernilai salah jika p benar dan q salah (jika tidak
⇒
~(ada/beberapa p) semua ~p memenuhi kriteria ini nilainya benar)
⇒
p = semua anggota keluarga pergi, maka lihat tabel implikasi ( ) : ~ p = ada anggota keluarga yg tidak pergi
⇒ P q p q
B B B q = semua pintu rumah dikunci rapat, maka B S S
~ q = ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat S B B
Jawaban yang cocok adalah A
S S B Nilai kebenaran yang lain jika :
⇒
B B Jika bilangan ganjil tidak sama dengan bilangan genap maka 1 + 2 bilangan ganjil (Tidak ada pilihan di atas)
⇒
S S Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap maka 1 + 2 bilangan genap (jawaban pilihan D)
Jawabannya adalah D