Ringkasan matematika sma ipa Suku Banyak
SUKU BANYAK
A n = a n A n – 1 = A n. h + a n – 1 Pengertian: n – 2 n–1 . n – 2 A = A h + a . .
. .
n n 1 n
2
2 − − . .
f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a
n n − 1 n −
2
2
1 A
2 3.
2
= A h + a
A 1 = A 2. h + a
1
adalah suku banyak (polinom) dengan :
A = A 1. h + a
- a , a , a , ….,a , a , a adalah koefisien-
n n 1 n
2
2
1 − −
koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan a
n ≠
x = h a a a - - - a a a
n n 1 n
2
2
1 − −
- a adalah suku tetap yang merupakan konstanta real
- n merupakan pangkat tertinggi dari x
A .h A . h A .h A .h A .h
n n
1
3
2
1 −
Menghitung nilai suku banyak: n n – 1 n – 2
2
1 A A A A A A f(h)
1. Metoda Substitusi :
Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat Nilai suku banyak : diselesaikan dengan cara Horner sbb:
n n 1 n
2
2 − −
3
2
f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a
n n − 1 n −
2
2
1
f(x) = 4x + 2x + x - 3 untuk x = h adalah : untuk x = -2 didapat :
n n 1 n
2
2 − −
f(h) = a h + a h + a h +…+ a h +a h + a
n
1
2
1 n − n −
2
x = -2 4 2 1 -3 contoh:
(+) (+)
- 8 12 -26 (+)
3
2
jika f(x) = 4x + 2x + x - 3 nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : 4 -6 13 -29 hasil dari f(-2)
3
2
f(-2) = 4 . (-2) + 2 .(-2) + (-2) – 3 = -32 + 8 - 2 - 3
= kalikan dengan x = -2 = - 29
2. Metoda Horner: didapat f(-2) = -29 Nilai suku banyak :
Pembagian Suku Banyak: n n 1 n
2
2 − −
f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a
n n 1 n
2
2
1
1. Dengan Pembagian Biasa: − −
Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner
n n 1 n
2
2 − −
diperlihatkan sbb: f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a
n n 1 n
2
2
1 − −
adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)
2
a. Pembagian suku banyak dengan x - h
(+)
12
(+)
2
3
f(x) = 4x
2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner
- 2x
- x - 3 dengan x = -2 atau (x+2) (1) (2) (3) 4x
- 2x
- x - 3 dibagi dengan x+2 x = -2 4 2 1 -3
- 6x +13 x +2 4x
- 2x
- x - 3 (4x
- 8 x
- 6 x
- 8
- 26 (+) 4 -6 13 -29 Hasil bagi =: 4x
- x (-6x . (x+2)) - 6 x
- 12x
- 13x – 3 (13 . (x+2)) 13x +26 -
- 29 Hasil bagi = H(h) = 4x
- 6x + 13 dengan sisa = -29
- 6x +13 Sisa = P(h) = -29 Proses pengerjaan: urutan 1 : 4x
b. Pembagian suku banyak dengan ax + b
2
2
2
2
dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2 didapat - 6 x
a b
Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut : Diketahui, h = –
maka bentuk (x – h) dapat dinyatakan sebagai : x – h = ( x – (-
- 8 x
- 2x
- 8 x
- x 4 : bagi - 6 x
- 12x 6 : Kurangi - 6 x
- x dengan - 6 x
- 12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3 7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26 9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29 didapat hasil bagi = 4x
- sisa Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x
- 6x +13 dengan sisa = -29
a b
) ) = ( x +
a b
) Pembagian suku banyak f(x) oleh (x +
a b
2
f(x) = (x + a
) H(h) + sisa =
a
1 (ax + b) H(h) + sisa
= (ax + b)
a H h ) (
3
) memberikan hubungan berikut.
kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x
2
2
Dimana : (x – h) = pembagi
H(h) = hasil bagi P(h) = sisa Contoh sebelumnya : Suku banyak f(x) = 4x
3
2
2
3
2
2
. (x+2)) 4x
3
2
2
2
3
2
3
didapat - 6 x
2
3
dengan 4x
2
3 : kurangi 4x
dibagi dengan x+2 didapat 4x
2
3
dengan x+2 didapat 4x
2
2 : kalikan 4x
2
2
- 4x
- 27x – 9 dibagi (2x + 3) jawab:
3 x = - 12 4 -27 -9 Apabila suku banyak f(x) :
2 - dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a).
b
- 18 21 9
- dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f( )
- a
12 -14 -6 0 - habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0
2 Teorema Faktor:
12 x − 14 x −
6 Jadi hasil baginya adalah
2
- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan
2
= 6x - 7x - 3 dan sisanya adalah 0 f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)
2
c. Pembagian suku banyak dengan ax + bx + c
- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x) Dengan cara pembagian biasa:
- jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x) contoh:
3
2
2
x - x + 4x – 4 dibagi oleh x - 1 (1) (2)
Akar-akar Suku banyak
x - 1
1. Jika x , x dan x adalah akar-akar persamaan
1
2
3
2
3
2
x - 1 x - x + 4x – 4
3
2
2
3
ax + bx + cx +d = 0 maka
- 1)) - x - (x . (x x
b
2
- x +5x x + x + x = -
1
2
3
2
2 a
- 1)) (-1 . (x -x + 1 -
c
5x – 5 x x + x x + x x =
1
2
1
3
2
3
2 a
- 1, maka (berderajat lebih kecil dari x
d
perhitungan selesai dan ini merupakan sisa) x x x = -
1
2
3 a
Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5
2. Jika x , x , x dan x adalah akar-akar persamaan
1
2
4
3
4
3
2 Teorema Sisa:
ax + bx + cx + dx + e = 0 maka Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa s(x)
b
x + x + x + x = -
a
f(x) = g(x) h(x) + s(x)
c
x x + x x + x x + x x + x x + x x =
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4 a f(x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi h(x) = hasil bagi d
x x x + x x x + x x x + x x x = -
1
2
3
1
3
4
1
2
4
2
3
4 s(x) = sisa pembagian a
Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut.
e
x x x x =
- derajat h(x) adalah (n – m)
1
2
3
4 a
- derajat maksimum s(x) adalah (m – 1)
- jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan
2
- jika g(x) = ax + bx +c maka s(x) = Ax + B
Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak:
Persamaan suku banyak : Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar
terlebih dahulu:
n n 1 n
2
2 − −
a x + a x + a x +…+ a x +a x + a =0
n n 1 n
2
2
1 − −
ambil nilai x=1 : dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 x = 1 adalah akar persamaan tersebut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak tersebut. ambil nilai x = 2
Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 x= 2 bukan akar faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 . ambil nilai x = -2
Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari
f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 x = -2 adalah akar
dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb:
persamaan
1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0, didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2
m
yaitu , kalikan dua nilai sbb:
n
2
(x-1)(x+2) = x + x - 2 dimana: m = factor bulat positif dari a
Bagi persamaan dengan nilai tsb : n = factor bulat dari a
2
x -x -12
m
2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f ( ) = 0
2
4
2
x +x- 2 x - 15x - 10x + 24
n
4
3
2
x - + x -2x Contoh:
3
2
- x -13x -10x
4
2
3
2
f(x) = x - 15x - 10x + 24 = 0 maka
- x -x + 2 x -
2
a = 1 dan a = 24
n
- 12x -12x + 24
- 12x -12x + 24 - m = faktor bulat positif dari a = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
( sisa 0 ) n = faktor bulat dari a yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8
- 12, 12, -24,24 sehingga hasil akhirnya didapat :
m
2
akar yang mungkin adalah( ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 f(x)= (x-1)(x+2)( x -x -12) = 0 atau
n
,8,-8 (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0 substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan didapat akar-akar persamaan :
m
apakah f( ) = 0 ? x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4
n Contoh Soal: Soal UN2010 – UN2012 UN2010
A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 6 Jawab: Pergunakan Metoda Substitusi dibagi dengan (x-1) x =1 P(1) =
Diketahui suku banyak P(x) = 2x
- ax
- 3x
Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11, dibagi (x+1) sisa -1, maka nilai (2a+b) = .....
2 + 5x + b.
3
2
3
4
1. Suku banyak x
- 2x
- px+q, jika dibagi (2x – 4) bersisa 16 dan jika dibagi (x + 2) bersisa 20. Nilai dari 2p+ q = ….
A. 17 C. 19 E. 21
- a. 1
- 3. 1
- 5.1 + b = 11 2 + a – 3 + 5 + b = 11 a + b + 4 = 11 a + b = 7 ... (1) dibagi dengan (x+1) x = -1
2
2
Jawabannya adalah C UN2012
4. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x
2
2
A. x
3
2
3
3
4
2
B. x
3
2
3
2
3
2
2
3
2
4
- a. (-1)
- 3. (-1)
- 5.(-1) + b = - 1 2 - a – 3 - 5 + b = -1
⇒
=
x =
2
- a + b - 6 = -1
- a + b = 5 ... (2) Substitusi dengan eliminasi (1) dan (2) a + b = 7
- a + b = 5 + 2b = 12 b = 6 a + b = 7 a = 7 – b = 7 – 6 = 1 2a + b = 2 . 1 + 6 = 8
2
4
=
1 2 -p q
2 8 16 – 2p (+) 1 4 8-p q+16-2p (sisa) q+16-2p = 16
x = -2 1 2 -p q
q – 2p = 0 …(1) x+2 x = -2
2
Jawabannya adalah D UN2011 2. f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 5 . 3 – 2 = 13 f(-2) = -8 a + 4b - 2 c + d = 5 .(-2) – 2 = -12 - 35 a + 5b + 5c = 25 | : 5| 7a + b + c = 5 ....(1)
2
2x- 4 x =
B. 18 D. 20 Jawab: Gunakan metoda Horner:
2. 1
4
3
P(-1) = 2. (-1)
- 2 0 2p (+) 1 0 -p q+2p (sisa) q+2p = 20 …(2) Substitusi 1 dan 2: Eliminasi q q – 2p = 0 q+2p = 20 -
- 4p = - 20 p = 5 q – 2p = 0 q = 2p = 2 . 5 = 10 Sehingga 2p + q = 2 . 5 + 10 = 20
- – x - 6) bersisa 5x-2, jika dibagi (x
- 2x - 3 ) bersisa ( 3x + 4 ). Suku banyak tersebut adalah....
- – 2x
- x + 4 C. x
- – 2x
- x - 4 E. x
- 2x
- 4
- – 2x
- x - 4 D. x
- – 2x
- 4 Jawab: cara 1: Suku banyak berderajat 3 f(x) = ax
- bx
- cx + d f(x) = (x
- – x - 6) h(x) + 5x – 2 = (x – 3)(x + 2) h(x) + 5x – 2
2
f(x) = (x - 2x - 3 ) h (x) + 3x + 4 = (x – 3)(x + 1) h(x) + 3x + 4 f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 3 . 3 + 4 = 13 f(-1) = - a + b – c + d = 3. (-1) + 4 = 1 - 28 a + 8b + 4c = 12 | : 4| 7 a + 2 b + c = 3 ...(2) eliminasi c: 7a + b + c = 5
7 a + 2 b + c = 3 -
- b = 2 b = -2 masukkan nilai b: 7a + b + c = 5 7a – 2 + c =5 7a + c = 7 a adalah variabel pangkat tiga (≠ 0), diasumsikan bahwa a bukan pecahan dan nilainya ≥1, nilai yang memungkinkan adalah a = 1 sehingga c = 7 – 7a = 7 – 7 = 0 nilai d : 27 a + 9b + 3 c + d = 13 27 . 1 + 9. (-2) + 3. 0 + d = 13 d = 13 – 27 + 18 = 4 Maka suku banyak tersebut adalah :
3
2
3
2
3
2 f(x) = ax + bx + cx + d = x - x + 0. x + 4 = x - x + 4 Jawabannya D Cara 2:
2 f(x) = (x – x - 6) h(x) + 5x – 2 = (x – 3)(x + 2) h(x) + 5x – 2 f(3) = 5.3 – 2 = 13 f(-2) = 5 . (-2) – 2 = -12 masukkan nilai salah satu f(3) atau f(-2) ke salah satu jawaban.
Didapat D yang benar