BAB 2 LANDASAN TEORI
2. 1 Analytial Hierarchy Process AHP 2. 1. 1. Pengertian Analytical Hierarchy Process AHP
Metode AHP merupakan salah satu metode pengambilan keputusan yang menggunakan faktor-faktor logika, intuisi, pengalaman, pengetahuan, emosi dan
rasa untuk dioptimasi dalam suatu proses yang sistematis. Metode AHP ini dikembangkan oleh seorang ahli matematika yaitu Thomas L. Saaty di University
Of Pittsburgh, Amerika Serikat pada tahun 1970-an. Dalam kehidupan sehari-hari seseorang sering dihadapkan pada suatu
pemilihan dari berbagai alternatif. Disini diperlukan penentuan prioritas terhadap pilihan-pilihan yang ada. Dalam menentukan prioritas tersebut, seseorang akan
menggunakan faktor-faktor logika dengan membandingkan pilihan-pilihan tersebut dibantu dengan krieria-kriteria yang berhubungan dengan pilihan.
Analogi tersebut telah menggambarkan bagaimana prinsip dari metode AHP. Pada dasarnya AHP adalah sebuah kerangka untuk mengambil keputusan
dengan efektif atas suatu persoalan dengan menyederhanakan dan mempercepat proses pengambilan keputusan dengan memecah persoalan tersebut ke dalam
suatu bagian-bagian serta menata bagian-bagian tersebut dalam suatu bentuk susunan hirarki, memberi nilai numerik pada pertimbangan subjektif tentang
pentingnya variabel dan mensintesis berbagai pertimbangan ini untuk menetapkan variabel yang mana yang memiliki prioritas paling tinggi dan bertindak untuk
mempengaruhi hasil pada situasi tersebut. Pada perkembangannya, AHP dapat menyelesaikan masalah yang
kompleks atau tidak berkerangka dengan aspek atau kriteria yang cukup banyak. Kompleksitas ini disebabkan oleh struktur masalah yang belum jelas,
ketidakpastian persepsi pengambilan keputusan,srta ketidakpastian tersedianya atau bahkan tidak ada sama sekali data statistik yang akurat. Adakalanya timbul
masalah keputusan yang dirasakan dan diamati perlu diambil secepatnya, tetapi variasinya rumit sehingga datanya tidak mungkin dapat dicatat secara numerik,
Universitas Sumatera Utara
hanya secara kualitatif saja yang dapat diukur, yaitu berdasarkan persepsi pengalaman dan intuisi. Namun, tidak menutup kemungkinan bahwa model-
model lainya ikut dipertimbangkan pada saat proses pengambilan keputusan dengan pendekatan AHP khususnya dalam memahami para pengambil keputusan
individual. Yahya, 1995 Analytical Hierarchy Process AHP mempunyai landasan aksiomatik
yang terdiri dari : 1.
Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan.
2. Homogenity, yaitu mengandung arti kesamaan dalam melakukan
perbandingan. 3.
Dependence, yang berarti setiap level mempunyai kaitan walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna.
4. Ecpectation, yang berarti menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi
dan preferensi dari pengambilan keputusan.
2. 1. 2 Metode-metode Dasar Analytical Hierarchy Process AHP
Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode Analytical Hierarchy Process ada beberapa metode dasar yang harus dipahami antara lain:
1. Decomposition Decomposition adalah memecahkan atau membagi masalah yang utuh ke
bentuk hirarki proses pengambilan keputusan, di mana setiap unsur atau elemen saling berhubungan. Untuk mendapatkan hasil yang akurat,
pemecahan dilakukan terhadap unsur –unsur sampai tidak mungkin
dilakukan pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari persoalan yang hendak dipecahkan. Struktur hirarki keputusan
tersebut dapat dikategorikan sebagai complete dan incomplete. Suatu hirarki keputusan disebut complete jika semua elemen pada suatu tingkat
memiliki hubungan terhadap semua elemen yang ada pada tingkat berikutnya, sedangkan hirarki keputusan incomplete kebalikan dari hirarki
yang complete yakni tidak semua unsur pada masing-masing jenjang
Universitas Sumatera Utara
mempunyai hubungan. Pada umumnya problem nyata mempunyai karakteristik struktur yang incomplete.
2. Comparative Judgement Comparative Judgement dilakukan dengan penilaian tentang kepentingan
relatif dua elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkatan di atasnya. Penilaian ini merupakan inti dari AHP karena akan
berpengaruh terhadap urutan prioritas dari elemen –elemennya. Hasil dari
penilaian ini lebih mudah disajikan dalam bentuk matriks pair-wise comparisons yaitu matriks perbandingan berpasangan memuat tingkat
preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria. 3. Synthesis of Priority
Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan eigen vektor method untuk mendapatkan bobot relatif bagi unsur
–unsur pengambilan keputusan.
4. Logical Consistency Logical Consistency dicapai dengan mengagresikan seluruh eigen vektor
yang diperoleh dari berbagai tingkatan hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vektor composite tertimbang yang menghasilkan urutan pengambilan
keputusan.
2. 1. 3. Landasan Aksiomatik Analytic Hierarchy Process AHP
Analytic Hierarchy Process AHP mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari :
1. Resiprocal Comparison
Matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan. Misalnya, jika A adalah k kali lebih penting dari pada B
maka B adalah kali lebih penting dari A.
Universitas Sumatera Utara
2. Homogenity
Mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan. Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan apel dengan bola kasti dalam hal
rasa, akan tetapi lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat. 3.
Dependence Setiap level mempunyai kaitan complete hierarchy walaupun mungkin
saja terjadi hubungan yang tidak sempurna incomplete hierarchy. 4.
Expectation Menonjolkon penilaian yang bersifat ekspektasi dan preferensi dari
pengambilan keputusan. Penilaian dapat merupakan data kuantitatif maupun yang bersifat kualitatif.
2. 1. 4 Prinsip Pokok Analytic Hierarchy Process AHP
Pengambilan keputusan dalam metode Analytic Hierarchy Process didasarkan pada tiga prinsip pokok, yaitu:
1. Penyusunan Hirarki
Penyusunan hirarki merupakan langkah pendefinisian masalah agar lebih jelas. Hirarki keputusan disusun berdasarkan pandangan pihak-pihak yang
memiliki pengetahuan di bidang bersangkutan. Keputusan yang diambil dijadikan tujuan dan dijabarkan menjadi elemen yang lebih detail hingga
mencapai suatu tahapan yang terukur. Hirarki permasalahan akan mempermudah pengambilan keputusan untuk menganalisa dan menarik
kesimpulan. 2.
Penentuan Prioritas Prioritas elemen-elemen kriteria dapat dipandang sebagai bobot atau
kontribusi elemen-elemen tersebut terhadap tujuan. AHP melakukan analisa prioritas elemen dengan metode perbandingan berpasangan
antardua elemen sehingga seluruh elemen yang ada tercakup. Prioritas ini
Universitas Sumatera Utara
ditentukan berdasarkan pandangan para ahli dan pihak yang berkepentingan terhadap pengambilan keputusan baik secara langsung
maupun tidak langsung. 3.
Kosnsistensi Logis Konsistensi jawaban responden dalam menentukan prioritas elemen
merupakan prinsip pokok yang akan menentukan validitas data dan hasil pengambilan keputusan. Secara umum responden harus memiliki
konsistensi dalam melakukan perbandingan elemen. Jika A B dan B C maka A C.
2. 1. 5. Langkah-langkah dalam Metode Analytic Hierarchy Process AHP
Secara umum pengambilan keputusan dengan metode AHP didasarkan pada langkah-langkah berikut:
1. Mendefinisikan masalah dan menentukan solusi yang diinginkan. Jika AHP dipakai untuk menentukan alternatif atau menyusun prioritas alternatif
maka dilakukan pengembangan alternatif. 2. Membuat struktur hirarki yang diawali dengan tujuan umum, dilanjutkan
dengan kriteria –kriteria dan alternaif–alternatif pilihan yang ingin di
rangking. 3. Membentuk matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan
kontribusi relatif atau pengaruh setiap elemen terhadap masing –masing
tujuan atau kriteria yang setingkat di atasnya. Perbandingan dilakukan berdasarkan pilihan atau judgement dari pembuat keputusan dengan
menilai tingkat kepentingan suatu elemen dibandingkan elemen lainnya. 4. Menghitung eigen vektor dari setiap matriks perbandingan berpasangan.
Nilai eigen vektor merupakan bobot setiap elemen. Langkah ini untuk mensintesis pilihan dalam penentuan prioritas elemen
–elemen pada tingkat hirarki terendah sampai pencapaian tujuan
Universitas Sumatera Utara
5. Mengulangi langkah 3, 4, dan 5 untuk seluruh tingkat hirarki. 6. Menguji konsistensi hirarki. Jika tidak memenuhi dengan CR 0,100,
maka penilaian harus diulang kembali.
2. 1. 6. Penghitungan Bobot Elemen dalam Metode Analytic Hierarchy Process AHP
Menentukan susunan prioritas elemen adalah dengan menyusun perbandingan berpasangan yaitu membandingkan dalam bentuk berpasangan seluruh elemen
untuk setiap sub hirarki. Perbandingan tersebut ditransformasikan dalam bentuk matriks.
Nilai numerik yang dikenakan untuk seluruh perbandingan diperoleh dari skala perbandingan 1 sampai 9 yang telah ditetapkan oleh Saaty, seperti pada tabel
berikut: Tabel 2. 1 Skala Saaty
Tingkat Kepentinga
n Definisi
Keterangan
1 Equal importance
sama penting Kedua elemen mempunyai pengaruh yang sama
3 Weak importance o one
over another sedikit lebih penting
Pengalaman dan penilaian sangat memihak satu elemen dibandingkan dengan pasangannya
5 Essential or strong
importance lebih penting
Satu elemen sangat disukai dan secara praktis dominasinya sangat nyata, dibandingkan dengan
elemen pasangannya 7
Demonstrated importance sangat
penting Satu elemen terbukti sangat disukai dan secara
praktis dominasinya sangat, dibandingkan dengan elemen pasangannya
9 Extreme importance
Satu elemen mutlak lebih disukai dibandingkan
Universitas Sumatera Utara
mutlak lebih penting dengan pasangannya, pada tingkat keyakinan
tertinggi 2, 4, 6, 8
Intermediate values between the two
adjacent judgments Nilai di antara dua pilihan yang berdekatan
Resiprokal Kebalikan
Jika elemen i memiliki salah satu angka di atas ketika dibandingkan elemen j, maka j memiliki
kebalikannya ketika dibanding elemen i
Perbandingan berpasangan dimulai dari hirarki yang paling tinggi, dengan suatu criteria digunakan sebagai dasar pembuatan perbandingan. Selanjutnya perhatikan
elemen yang akan dibandingkan. Tabel 2. 2 Matriks Perbandingan Berpasangan
A
1
A
2
… An
A
1
a
11
a
12
… a
2n
A
2
a
21
a
22
… a
2n
. .
. .
. .
. .
. …
… …
. .
. A
n
a
n1
a
n2
… a
nn
Matriks A n x n adalah matriks resiprokal. Diasumsikan terdapat n elemen yaitu w
1
, w
2
, …, w
n
yang akan dinilai secara perbandingan. Nilai perbandingan secara berpasangan antara w
i
, w
j
dapat dipresentasikan seperti matriks tersebut.
Bila vektor pembobotan elemen-elemen operasi dinyatakan sebagai vektor ⃗⃗⃗ dengan
⃗⃗⃗ maka intensitas kepentingan elemen opersi A1
………. 2. 1
Universitas Sumatera Utara
terhadap A
2
yaitu W
1
W
2
yang sama dengan a
12
sehingga matriks perbandingan dapat dinyatakan sebagai berikut :
Tabel 2. 3 Matriks Perbandingan Berpasangan dan Nilai Intensitas A
1
A
2
… A
n
A
1
W
1
W
2
W
1
W
2
… W
2
W
1
A
2
W
2
W
1
W
2
W
2
… W
2
W
1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. A
n
W
n
W
1
W
n
W
2
… W
n
W
n
Nilai-nilai w
i
,w
j
dengan diperoleh dari yang responden
yang dipilih yaitu orang-orang yang berkompeten dalam permasalahan yang dianalisa. Bila matriks ini dikalikan dengan vektor kolom,
⃗⃗⃗ maka diperoleh hubungan:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Persamaan tersebut menyatakan bahwa ⃗⃗⃗ adalah eigen vektor dari matriks A
dengan eigen value n. persamaan tersebut akan terlihat pada matriks berikut :
Variabel n pada persamaan di atas dapat digantikan secara umum dengan sebuah vektor λ.
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Di mana λ =
………. 2. 3
………. 2. 2
. . . 2. 4
Universitas Sumatera Utara
Setiap λ yang memenuhi persamaan 2. 4 disebut sebagai eigen value, sedangkan vektor
⃗⃗⃗ yang memenuhi persamaan 2. 4 dinamakan eigen vektor. Karena matriks A adalah suatu matriks resiprokal dengan
untuk semua I, maka
∑
Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten maka semua eigen value bernilai nol kecuali satu yang bernilai sama dengan n. bila matriks A adalah
matriks yang tak konsisten, variasi kecil atas a
ij
akan membuat nilai eigen value terbesar, λ
max
tetap dekat dengan n, dan eigen value lainnya mendekati nol. Nilai λ
max
dapat diperoleh melalui persamaan berikut: ⃗⃗⃗
atau [A
– λ
max
I] = 0 Dengan I adalah matriks identitas.
Nilai a
ij
akan menyimpang dari rasio w
i
w
j
dan dengan demikian persamaan 2. 2 tidak terpenuhi. Deviasi max dari n merupakan suatu parameter
Consistency Index CI sebagai berikut:
Nilai tidak akan berarti jika mnunjukkan suatu matriks yang konsisten.
2. 1. 7 Pengujian Konsistensi Hirarki
Pengujian konsistensi hirarki dilakukan dengan mengaikan semua nilai consistency indeks CI dengan bobot suatu criteria yang menjadi acuan pada
suatu matriks perbandingan brpasangan lalu menjumlahkannya. Jumlah tersebut ………. 2. 5
………. 2. 6
………. 2. 7
………. 2. 8
Universitas Sumatera Utara
akan dibandingkan dengan nilai yang didapat dengan cara sama tetapi untu suatu matriks random. Hasil akhirnya berupa suatu parameter yang dinamakan
Consistency Ratio CR, dengan rumus:
Di mana: CI = Consistency Indeks
RI = Random Indeks
Prosedur penghitungan data dilakukan dengan cara: 1.
Perbandingan antarkriteria yang dilakukan untuk seluruh hirarki akan menghasilkan beberapa matriks perbandingan berpasangan. Setiap matris
akan mempunyai beberapa hal sebagai berikut: a.
Satu kriteria yang menjadi acuan perbandingan antarkriteria pada tingkat hirarki di bawahnya.
b. Nilai bobot untuk criteria acuan tersebut, relatif terhadap kriteria yang
berada di tingkat yang lebih tinggi. c.
Nilai Consistency Indeks CI untuk matriks perbandingan berpasangan. d.
Nilai Random Indeks RI untuk matriks perbandingan berpasangan tersebut.
2. Untuk setiap matriks perbandingan, kalikan nilai CI dengan bobot kriteria
acuan. Jumlahkan semua hasil perkalian tersebut, maka didapatkan Consistency Indeks. Untuk setiap matriks perbandingan, kalikan nilai RI
dengan bobot acuan. Jumlahkan semua hasil perkalian tersebut, maka didapatkan Random Indeks RI.
3. Nilai CR didapatkan dengan pembagian nilai CI dengan nilai RI. Sama
halnya dengan konsistensi matriks perbandingan berpasangan, sutu hirarki disebut konsisten bila nilai CRH tidak lebih dari 0.1 10.
………. 2. 9
Universitas Sumatera Utara
2. 2. Eigen Value dan Eigen Vector
Untuk melengkapi pembahasan tentang eigen value dan eigen vector maka akan diberikan definisi-definisi mengenai matriks dan vektor.
2. 2. 1. Definisi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka sering disebut elemen-elemen yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, di mana
panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris- baris.
Sekumpulan himpunan objek bilangan riil atau kompleks, variable- variabel yang disusun secara persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom
yang biasanya dibatasi dengan kurung siku atau biasa. Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n kolom maka matriks tersebut berukuran ordo m x n.
Matriks dikatakan bujur sangkar square matrix jika m = n. Dan skalar –skalarnya
berada di baris ke-i dan kolom ke-j yang disebut ij matriks entri.
2. 2. 2. Perkalian Matriks
Untuk melakukan perkalian matriks dapat dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.
∑
Contoh: [
] [ ] [
] [ ]
2. 2. 3. Transpose Matriks
………. 2. 10
Universitas Sumatera Utara
Transpose suatu matriks ialah suatu matriks baru yang mana elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan syarat bahwa baris-baris dan
kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru ini, dengan kata lain baris ke-i dari matriks A menjadi kolom ke-i dari
matriks baru. Transpose suatu matriks diperoleh dengan menukarkan unsur baris
menjadi unsur kolom. Transpose matriks A dinyatakan dengan atau
. [
] [
]
2. 2. 4 Determinan Matriks
Determinan matriks berukuran
adalah suatu saklar yang menentukan matriks
, dengan disebut orde dari determinan. Determinan matriks
dinyatakan dengan atau |A|. Secara umum determinan dapat dicari dengan:
1. Ekspansi kofaktor dengan kaidah Cramer
a. Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, minor entri
dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tinggal
setelah baris ke- dan kolom ke- . Bilangan
dinyatakan oleh
dinamakan kofaktor entri .
b. Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor aij, maka
matriks dinamakan matriks kofaktor A. Transposisi matriks ini dinamakan adjoin dari A dinyatakan dengan adjA.
2. Menentukan determinan dengan aturan laplace ekspansi kofaktor yang
ditentukan dengan cara berikut: a.
Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j. DetA = a
1j
K
1j
+ a
2j
K
2j
+ … + a
nj
K
nj
b. Ekspansi kofaktor sepanjang kolok ke-i, dengan a
ij
adalah elemen unsur matriks dan K
1j
adalah kofaktor.
Universitas Sumatera Utara
2. 2. 5 Vektor dari n Dimensi
Suatu vektor dengan dimensi merupakan suatu susunan elemen-elemen yang
teratur berupa angka-angka sebanyak buah yang disusun baik menurut baris,
dari kiri ke kanan disebut vektor baris dengan ordo maupun menurut
kolom, dari atas ke bawah disebut vektor kolom dengan ordo . Himpunan
semua vektor dengan komponen dengan entri riil dinotasikan dengan
. Untuk vektor
→ dirumuskan sebagai berikut:
→
→ [ ]
2. 2. 6 Eigen Value dan Eigen Vector
Definisi: jika
adalah matriks maka vektor tak nol di dalam dinamakan eigen vektor dari
kelipatan saklar , yakni:
Saklar dinamakan eigen value dari dan dikatakan eigen vector yang
bersesuaian dengan . Untuk mencapai eigen value dari matriks yang berukuran
, maka dapat ditulis pada persamaan berikut:
Atau secara ekivalen
Agar lamda menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Akan tetapi, persamaan di atas akan mempunyai pemecahan nol
jika dan hanya jika: ………. 2. 11
………. 2. 13
………. 2. 14
………. 2. 15 ………. 2. 12
Universitas Sumatera Utara
Ini dinamakan persamaan karakteristik , saklar yang memenuhi
persamaan ini adalah eigen value dari . Bila diketahui bahwa nilai perbandingan
elemen terhadap elemen
adalah , maka secara teoritis matriks tersebut
berciri positif berkebalikan yakni . Bobot yang dicari dinyatakan
dalam vektor Nilai
menyatakan bobot kriteria terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut.
Jika mewakili derajat kepentingan
terhadap faktor dan menyatakan kepentingan dari faktor
terhadap , maka agar keputusan menjadi konsisten, kepentingan
terhadap faktor , harus sama dengan atau jika
untuk semua maka matriks tersebut konsisten. Untuk suatu
matrik k onsisten dengan vektor ω, maka elemen
dapat ditulis menjadi:
Jadi matriks konsisten adalah:
Seperti yang diuraikan di atas, maka untuk pair-ise comparison matriks diuraikan seperti berikut ini:
⁄
Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa:
Dengan demikian untuk pair-ise comparison matriks yang konsisten menjadi: ∑
Persamaan di atas ekivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini: ………. 2. 15
………. 2. 16
………. 2. 19
………. 2. 20 ………. 2. 18
………. 2. 17
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
Kategori