57
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
BAB 4 HASIL PERBANDINGAN APLIKASI DAN DISKUSI
4.1 Studi kasus soal – soal perpindahan kalor
Berikut beberapa soal – soal yang diselesaikan dengan menggunakan Tochnog untuk mengetahui kemampuan aplikasi Tochnog, penulis akan membandingkan
dengan cara manual dan juga dengan aplikasi metode elemen hingga yang sudah populer yaitu ANSYS.
4.1.1 Studi Kasus 1
Sebuah benda seperti terlihat pada gambar 4.1 dengan dimensi 2 ft x 2 ft. Memilki temperatur pada bagian kiri elemen dijaga konstan pada suhu 100
o
F. Tebal elemen 1 ft. Bagian yang dihitamkan diisolasi. Koefisien konveksi pada sisi kanan
benda h = 20 BTUhr.ft
2
.
o
F. Temperatur sekitar 50
o
F. koefisien konduksi panas K = 25 BTUhr.ft.
o
F. Tentukan distribusi temperatur dalam plate tersebut dengan menggunakan perhitungan manual, perangkat lunak Tochnog dan perangkat lunak
ANSYS
Gambar 4.1 Plat datar
4.1.1.1 Penyelesaian dengan Manual
Tahapan penyelesaian dengan perhitungan secara manual adalah sebagai berikut :
58
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
Diketahui data – data pada studi kasus 1 K = 25 BTUhr.ft.
o
F h = 20 BTUhr.ft
2
.
o
F t
= 1 ft l
= 2 ft T
w
= 100
o
F T
f
= 50
o
F 1. Diskritisasi benda dalam bidang 2 dimensi berupa segitiga
koordinat : node 1 0,0 node 2 2,0, node 3 2,2, node 4 0,4 dan node 5 1,1 elemen 1 berbatasan pada node 1, 2 dan 5
elemen 2 berbatasan pada node 1, 4 dan 5 elemen 3 berbatasan pada node 4, 5 dan 3
elemen 4 berbatasan pada node 2, 3 dan 5
Gambar 4.2 Diskritisasi
2. Elemen 1 berbatas node 1, 2, dan 5.koordinat node 1 0,0, node 2 2,0, node 5
1,1 b
1
= y
2
-y
5
= 0-1 = -1 c
1
= x
5
-x
2
= 1-2 = -1 b
2
= y
5
-y
1
= 1-0 = 1 c
2
= x
1
-x
5
= 0-1 = -1 b
3
= y
1
-y
2
= 0-0 = 0 c
3
= x
2
-x
1
= 2-0 = 2 Luas elemen segitiga, A = ½ . alas. tinggi = ½ . 2 . 1 = 1
59
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
Persamaan matrik global untuk menghitung matrik [K]c : [ ]
[ ] [ ] 4
T c
K K
B B
A =
4.1
1
[ ] [ ] [ ]
4
T c
K K
B B
A =
1 1
1 2
3 2
2 1
2 3
3 3
25 41
1 1 1
1 6, 25 1
1 1
1 2 0 2
1 2
5 12, 5
12, 5 1 12, 5
12, 5 2 12, 5
12, 5 25
5 b c
b b
b b c
c c
c b c
=
− −
−
= −
− −
−
=−
− −
Angka 1,2 dan 5 di atas matriks terakhir menyatakan nomor node dalam elemen.
3. Elemen 2 berbatas node 1, 4, dan 5.koordinat node 1 0,0, node 4 0,2, node 5
1,1 b
1
= y
5
- y
4
= 1 - 2 = -1 c
1
= x
4
- x
5
= 0 – 1 = -1 b
2
= y
4
- y
1
= 2 - 0 = 2 c
2
= x
1
- x
4
= 0 – 0 = 0 b
3
= y
1
- y
5
= 0 - 1 = -1 c
3
= x
5
- x
1
= 1 – 0 = 1 dengan menggunakan persamaan 4.1 untuk menghitung matriks [K]c
2
2
[ ] [ ] [ ]
4
T c
K K
B B
A =
1 1
1 2
3 2
2 1
2 3
3 3
6, 25 b c
b b
b b c
c c
c b c
=
1 1 1 2
1 6, 25 2 0
1 0 1
1 1 − −
−
−
=
−
−
60
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
1 5
4 12, 5
12, 5 1
12, 5 25
12, 5 5 12, 5
12, 5 4 −
= −
−
−
4. Elemen 3 berbatas node 4, 5, dan 3.koordinat node 4 0,2, node 5 1,1, node 3
2,2 b
1
= y
5
– y
3
= 1 - 2 = -1 c
1
= x
3
- x
5
= 2 – 1 = -1 b
2
= y
3
- y
4
= 2 - 2 = 0 c
2
= x
4
- x
3
= 0 – 2 = -2 b
3
= y
4
- y
5
= 2 - 1 = 1 c
3
= x
5
- x
4
= 1 – 0 = 1 dengan menggunakan persamaan 4.1 untuk menghitung matriks [K]c
3
3
[ ] [ ] [ ]
4
T c
K K
B B
A =
1 1
1 2
3 2
2 1
2 3
3 3
6, 25 b c
b b
b b c
c c
c b c
=
1 1 1
1 6, 25 0
2 1
2 1 1 1
4 5
3 12, 5
12, 5 4
12, 5 25
12, 5 5 12, 5
12, 5 3
−
−
= −
−
−
=
− −
−
5. Elemen 4 berbatas node 2, 3, dan 5.koordinat node 2 2,0, node 3 2,2, node 5
1,1 b
1
= y
5
-y
3
= 1 - 2 = -1 c
1
= x
3
-x
5
= 2 - 1 = - 1 b
2
= y
3
-y
4
= 2 - 2 = 0 c
2
= x
4
-x
3
= 0 - 2 = -2 b
3
= y
4
-y
5
= 2 - 1 = 1 c
3
= x
5
-x
4
= 1 - 0 = 1
61
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
1 2
2 1
[ ] 1
2 6
h
hL t K
−
=
dengan menggunakan persamaan 4.1 untuk menghitung matriks [K]c
4
4
[ ] [ ] [ ]
4
T c
K K
B B
A =
1 1
1 2
3 2
2 1
2 3
3 3
6, 25 b c
b b
b b c
c c
c b c
=
1 1 1 1
2 6, 25 1 1
1 1 2 0
−
=
−
1 2
5 12, 5
12, 5 1 12, 5
12, 5 2 12, 5
12, 5 25
5 −
=−
− −
6. Pada elemen 4 terjadi konveksi. Perpindahan kalor ini memberi kontribusi pada
matriks kekakuan konveksi dengan menggunakanan persamaan 4.2 di mana i = 2 dan j = 3
4.2
4
2 1
13, 3 6, 67
2021 [ ]
1 2
6, 67 13, 3
6
h
K
==
Secara keseluruhan pada sisi 2 -3, akan mempunyai matriks kekakuan [K]
4
= [K]
c4
+ [K]
h
4
1 2
5 25,83
6, 67 12, 5 1
[ ] 6, 67
25,83 12, 5 2
12, 5 12, 5
25 5
K −
=−
− −
62
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
Matriks kekakuan benda, diperoleh dari penggabungan matrik kekakuan tiap elemen. hasil penggabungan elemen adalah
[K]
G
= [K]c
1
+ [K]c
2
+ [K]c
3
+ [K]c
4
1 2
3 4
5 12, 5 12, 5
12, 5 12, 5 1
25,83 12, 5 6, 67
12, 5 12, 5 [ ]
6, 67 25,83 12, 5
12, 5 12, 5 12, 5 12, 5
12, 5 12, 5 12, 5 12, 5
12, 5 12, 5 12, 5 12, 5
12, 5 12, 5 25 25 25 25
G
K +
− −
+ −
−
=
+ −
−
+
− −
− −
− −
− −
− −
+ + +
2
3 4
5
1 2
3 4
5 25
25 1 38, 33
6, 67 25 2
[ ] 6, 67
38, 33 25 3
25 25 4
25 25
25 25 100 5
G
K −
−
=
−
−
− −
− −
Matrik gaya tiap elemen menggunakan persamaan 4.3 dengan menggantikan q = hT. Karena Q = 0 dan q = 0 dan konveksi hanya terjadi pada sisi 2-3, maka hanya
elemen 4 yang memberikan kontribusi nodal. Gaya nodal tersebut
2 2 3
4 3
5
1 { }
1 2
f hT L t
f f
f
∞ −
= =
4.3
4
1 1000
205021 { }
1 1000
2 f
==
63
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
7. Dengan persamaan [K] {t} = {f}
25 25
38, 33 6, 67
25 6, 67
38, 33 25
25 25
25 25
25 25 100
−
−
−
−
− −
− −
1 2
3 4
5
t t
t t
t
= 100
1000 1000
100
Temperatur nodal yang sudah diketahui dalam persamaan di atas adalah t
1
dan t
4
= 100
o
F. modifikasi dari matriks [K] sehingga seluruh elemen baris 1, kolom 1 diambil = 1. Dengan demikian elemen-elemen yang perlu diubah dinyatakan dengan
huruf a, b, c, dan d dalam matrik berikut
1 2
3 4
5
1 100
1000 1000
100 t
t t
t a
b c
d t
=
Baris 1 kolom 1 sudah memenuhi persamaan t
1
=100
o
F. agar baris 4 kolom 1, memenuhi persamaan t
4
= 100
o
F. Maka a = b = d = 0 sedangkan c = 1 , sehingga matriks berubah menjadi :
1 2
3 4
5
1 1
1 1
1 100
t t
t t
t e
=
Elemen – elemen lain dari matrik [K] yang berupa diisi dengan matrik [K] yang mula-mula diperoleh :
64
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
1 2
3 4
5
1 100
38, 33 6, 67
25 1000
6, 67 38, 33 0
25 1000
1 100
25 25
0 100 t
t t
t t
e
−
=
−
−
−
Harga pengganti dari e akan dihitung. elemen matrik [K] yang dijadikan 0 yang terkait dengan temperatur nodal yang diketahui adalah :
Baris 5 kolom 1 yaitu -25. Ini berarti e bernilai = --25 x 100 = 2500 Baris 4 kolom 4 yaitu -25. Ini berarti e bernilai = --25x100=2500
Jadi e harus berganti dengan 0 + 2500 + 2500 = 5000, di mana 0 merupakan harga mula – mula dari elemen tersebut. Maka persamaan berikutnya :
1 2
3 4
5
1 100
38, 33 6, 67
25 1000
6, 67 38, 33 0
25 1000
1 100
25 25
0 100 5000
t t
t t
t
−
=
−
−
−
Dari persamaan di atas memuat 3 buah temperatur nodal yang belum diketahui besarannya yaitu t
2,
t
3
dan t
5
Maka persamaan linier dari bentuk di atas : diketahui t
1
= 100
o
F dan t
4
= 100
o
F 38,33 t
2
+ 6,67 t
3
– 25 t
5
= 1000 4.4
6,67 t
2
+ 38,33 t
3
– 25 t
5
= 1000 4.5
- 25 t
2
– 25 t
3
– 100 t
5
= 5000 4.6
Eliminasi persamaan 4.4 dan 4.5 38,33 t
2
+ 6,67 t
3
– 25 t
5
= 1000 6,67 t
2
+ 38,33 t
3
– 25 t
5
= 1000 - 31,66 t
2
- 31,66 t
3
= 0
65
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
31,66 t
2
= 31,66 t
3
t
2
= t
3
4.7
Substitusi persamaan 4.7 ke dalam persamaan 4.6 - 25 t
2
– 25 t
3
– 100 t
5
= 5000 - 25 t
3
– 25 t
3
– 100 t
5
= 5000 - 50 t
3
– 100 t
5
= 5000 4.8
Substitusi persamaan 4.7 ke dalam persamaan 4.5 6,67 t
2
+ 38,33 t
3
– 25 t
5
= 1000 6,67 t
3
+ 38,33 t
3
– 25 t
5
= 1000 45 t
3
– 25 t
5
= 1000 4.9
Eliminasi persamaan 4.8 dan persamaan 4.9 - 50 t
3
– 100 t
5
= 5000 45 t
3
– 25 t
5
= 1000 + dikalikan 4 - 50 t
3
– 100 t
5
= 5000 180 t
3
– 100 t
5
= 4000 + 130 t
3
= 9000 maka t
3
= 69,23 substitusi nilai t
3
ke persamaan 4.7 maka t
2
= t
3
= 69,23 substitusi nilai t
3
ke persamaan 4.9 45 t
3
– 25 t
5
= 1000 45 69,23 – 25 t
5
= 1000 3115,35 - 25 t
5
= 1000 t
5
= 84,62 Dari perhitungan manual di atas maka temperatur tiap node adalah
t
1
= Node 1 = 100
o
F t
2
= Node 2 = 69,23
o
F
66
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
t
3
= Node 3 = 69,23
o
F t
4
= Node 4 = 100
o
F t
5
= Node 5 = 84,62
o
F
4.1.1.2 Penyelesaian dengan Tochnog
