31
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
yang menyatakan gaya konveksi dari ujung kanan elemen dan N
1
x = L menandakan bahwa besarnya N
1
yang dihitung pada x = L.
5. Penggabungan persamaan elemen untuk memperoleh persamaan global dengan
memasukkan syarat batas Matrik kekakuan [K], matrik gaya total {F}.
1
[ ] [ ]
N e
e
K K
=
=
∑
1
{ } { }
N e
e
F F
=
=
∑
{F} = [K] {t}
6. Mendapatkan nilai temperatur nodal
2.3.3.2 Perpindahan kalor 2 dimensi
Langkah – langkah dalam menghitung perpindahan kalor 2 dimensi adalah sebagai berikut [6] :
1. Pemilihan tipe elemen dan diskritisasi.
Gambar. 2. 11 Elemen segitiga dengan 3 node
2. Pemilihan fungsi Temperatur
32
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
Dari gambar 2.11 koordinat lokal dari tiap node dinyatakan dalam U = untuk arah horizontal
V = untuk arah vertikal Koordinat lokal dalam kaitannya dengan koordinat global dihubungkan lewat
persamaan :
1 2
3
, u x y
a a x
a y = +
+ 2.48
1 2
3
, v x y
b a x a y
= + +
2.49 dengan syarat batas
x = x
1
u = u
1
x = x
2
u = u
2
x = x
3
u = u
3
pada persamaan 2.48 diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :
1 1
2 1 3 1
2 1
2 2
3 2
3 1
2 3 3
3
u a
a x a y
u a
a x a y
u a
a x a y
= + +
= + +
= + +
Ketiga persamaan ini, dalam bentuk matrik ditulis sebagai :
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
1 1
1 u
x y
a u
x y
a u
x y
a
=
2.50
atau {T}=[N]{t} Dari persamaan di atas diturunkan, sehingga diperoleh
33
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
{t} = [N]
-1
{T} 2.51
Dimana [N]
-1
adalah invers dari matrik [N]
1 1
1 2
2 3
3
1 int
[ ] [ ]
1 min
[ ] 1
x y
ajo dari
N N
x y
Deter an dari
N x
y
−
==
1 2
3 1
1 2
3 1
2 3
1 [ ]
a a
a N
b b
b c
c c
−
=
∆
matrik ajoint 2.52
Dimana
∆
= determinan dari matrik [N] = x
2
y
3
– x
3
y
2
– x
1
y
3
– x
3
y
1
+ x
1
y
2
– x
2
y
1
= 2 kali luas elemen segitiga Ajoint dari suatu matrik diperoleh dengan menghitung matrik kofaktor kemudian
transpose pada hasil dari matrik kofaktor tersebut.
1 1
2 2
3 3
1 [ ]
1 1
x y
N x
y x
y
=
matrik kofaktornya adalah
2 3
3 2
3 2
3 2
1 3
3 1 3
1 3
1 1
2 2
1 2
1 2
1
x y x y
y y
x x
x y x y
y y
x x
x y x y
y y
x x
+ −
− − + −
= − −
+ − − −
+ −
− −
+ −
Transpose matrik diperoleh matrik ajoint
34
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
[N]
2 3
3 2
3 1 1
3 1
2 2
1 2
3 3
1 1
2 3
2 1
3 2
1
x y x y
x y x y
x y x y
y y
y y
y y
x x
x x
x x
− −
−
= −
− −
− −
−
Matrik di atas diringkas menjadi:
[N]
1 2
3 1
2 3
1 2
3
a a
a b
b b
c c
c
=
Kembali ke persamaan 2.48
1 2
3
, u x y
a a x
a y = +
+ atau
1 2
3
[1 ]
a u
x y
a a
=
atau
{ }
[1 ]
u x
y t =
Substitusikan {t} dari persamaan 2.51 ke persamaan ini dihasilkan :
1
[1 ][ ] { }
u x
y N t
−
= 2.53
Tinjau kembali persamaan 2.53 dengan syarat substitusi [A]
-1
dari persamaan 2.48
1 2
3 1
1 2
3 2
1 2
3 3
1 [1
] a
a a
u u
x y
b b
b u
c c
c u
=
∆
1 1
1 1
2 2
2 3
3 3
2 3
1 [
] u
u a
b x c y a
b x c y a
b x c y u
u
=
+ +
+ +
+ +
∆
35
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
[ ]
1 1
2 3
2 3
u u
N N
N u
u
=
2.54.a
Untuk v diambil analogi dengan hasil yang diperoleh dari u.
[ ]
1 1
2 3
2 3
v v
N N
N v
v
=
2.54.b
Contoh bentuk diskritisasi pada perpindahan panas 2 dimensi :
Gambar 2.12 Diskritisasi elemen segitiga dengan 3 node
maka fungsi temperaturnya ada
{ } [ ]
i i
j m
j m
t T
N N N t
t
=
2.55
di mana t
i
, t
j
, t
m
adalah temperatur nodal. [N] merupakan shape function yang ditulis dari persamaan :
1 [
]
i i
i i
N a
b x c y
= +
+ ∆
2.56 di mana
∆ = 2 kali luas elemen segitiga
36
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
3. Mendapatkan hubungan antara Temperatur – Gradien temperatur dan Fluks panas – Gradien Temperatur
Matrik gradien {g} analaog dengan matrik strain pada analisa stress, dengan persamaan :
{g} = [B] {t} 2.57
di mana matrik [B] diperoleh dari substitusi harga ketiga persamaan i, j, m dalam persamaan 2.56
3 1
2 3
1 2
1 [ ]
2 b
b b
B c
c c
A
=
2.58
Hubungan fluks panas dan gradien temperatur
[ ]{ }
x y
q D g
q
= −
2.59
di mana [D] =
xx yy
K K
= matrik sifat material 2.59a
4. Menurunkan persamaan Matrik Konduksi Matrik kekakuan elemen seperti pada persamaan 2.13 adalah
3
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] . [ ]
T T
K B
D B dV h N
N dS s
v = ∫ ∫ ∫
+ ∫ ∫
di mana:
37
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
1 1
3 1
2 2
2 2
3 1
2 3
3
1 [ ]
[ ] [ ][ ] 4
xx T
c yy
v v
b c K
b b
b K
B D B dV
b c dV
K c
c c
A b c
==
∫∫∫ ∫∫∫
Jika elemen mempunyai ketebalan yang seragam, konduktivitas yang sama dan semua bentuk yang ada pada ruas kanan persamaan di atas konstan tidak
sebagai fungsi volume, maka persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi :
[ ] [ ] [ ]
4
T
K K
B B
A =
2.60 Persamaan ini merupakan bagian dari matrik kekakuan yang disebabkan
karena pengaruh konduksi, yang memberikan kontribusi perpindahan kalor konduksi pada matrik kekakuan elemen bentuk diskritiasi segitiga. Suku kedua
pada ruas kanan dari persamaan 2.13 yaitu :
[K] =
3
[ ] . []
T
h N N dS
s ∫ ∫
Dari persamaan di atas dapat ditulis secara eksplisit menjadi :
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 3
1 3
2 3
3
[ ]
h s
N N N N
N N K
h N N
N N N N
d S N N
N N N N
=
∫∫
2.61
Untuk memperoleh gambaran penggunaan persamaan di atas, dicontohkan pada gambar 2.14 sebuah elemen segitiga di mana pada sisi 1-2 terjadi konveksi. Sisi 1-
2 mempunyai N
3
= 0.
Gambar 2. 14 Elemen segitiga pada salah satu bagian terjadi konveksi
38
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
Maka matrik kekakuan elemen untuk perpindahan kalor konveksinya
1 2
2 1
. [ ]
1 2
6
h
h L t K
−
=
2.62
Matrik gaya dihitung dengan menggunakan persamaan : { }
[ ] [ ]
T v
v
f Q N
dV Q
N TdV ==
∫∫∫ ∫∫∫
2.63
Untuk Q yang konstan sumber panas konstan persamaan di atas menjadi : 1
{ } 1
3 1
QV f
=
dimana V = Volume Elemen = A . t 2.64
Hasil ini menunjukan bahwa, panas yang ditimbulkan dalam benda, terbagi merata pada ketiga node-node elemen. Matrik gaya yang lainnya dalam persamaan :
2 2
{ } [ ]
T q
S S
Ni f
q N
dS q
Nj dS Nm
==
∫∫ ∫∫
2.65
Perhatikan gambar 2.14. maka gaya untuk masing-masing sisi adalah sebagai berikut:
Sisi i – j 1
. 1
2
i j
L t
q
−
=
:
2.66
Sisi j – m .
1 2
1
j m
L t
q
−
=
: 2.67
39
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
Sisi m – j 1
. 2
1
m i
L t
q
−
=
: 2.68
Di mana L adalah masing – masing panjang sisi dan q dianggap konstan untuk masing – masing sisi. Untuk permasalahan konveksi maka q diganti dengan
h.T ∞.
5. Penggabungan persamaan elemen untuk memperoleh persamaan global dengan memasukkan syarat batas
Matrik kekakuan [K], matrik gaya total {F}.
1
[ ] [ ]
N e
e
K K
=
=
∑
1
{ } { }
N e
e
F F
=
=
∑
{F} = [K] {t}
6. Mendapatkan nilai temperatur node.
40
Wira Pratama : Pengembangan Perangkat Lunak Open Source Untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi Dengan Metode Elemen Hingga, 2010.
BAB 3 METODOLOGI PENGEMBANGAN APLIKASI
Studi kasus perpindahan kalor diselesaikan dengan pengembangan dan penggunaan perangkat lunak metode elemen hingga yang ada di sistem operasi distro
Linux Ubuntu. Perangkat lunak metode elemen hingga yang digunakan adalah Tochnog dan perangkat lunak GiD untuk menampilkan gambar distribusi kalor yang
terjadi.
3.1 Menginstalasi Sistem Operasi Distro Linux
Menginstalasi sistem operasi distro Linux menyediakan kemudahan dan dukungan paket program yang lengkap. Di Sistem operasi distro Linux perangkat
lunak metode elemen hingga yang berlisensi terbuka akan diinstal, dijalankan, dan dimodifikasi. Secara umum proses instalasi Linux dari berbagai distro sama dengan
instalasi Windows dengan membuat booting ke cd compact disk. Berikut proses instalasi Ubuntu sistem operasi distro Linux, yaitu :
1. Membuat booting ke cd Linux dan menentukan pilihan
Gambar 3.1 Tampilan pilihan instalasi
