Sebenarnya tabel ini menggambarkan ruang bedimensi –tiga kubus dengan sumbu X
1
, X
2
dan Y, yang dibagi menjadi 8 2x2x2 buah kubus kecil yang membentuk delapan buah sel yang dikemukakan di atas.
2.4 Model Log Linier
Dalam kategorik bivariat dimana diperoleh nilai statistik Chi-kuadrat dari pearson Pearson Chi-Kuadrat dan Rasio Kesamaan. Akan tetapi untuk mempelajari pola
asosiasi ganda berdasarkan data trivariat atau lebih harus diterapkan Model Log Linier, terlebih-lebih jika model yang ditinjau secara teoritis menunjukkan hubungan
antara demikian banyaknya variabel. Model statistik Model Log Linier akan dipakai untuk mempelajari apakah data sampel yang akan dipakai mendukung atau tidak
mendukung model asosiasi ganda yang dihipotesiskan dinyatakan atau diasumsikan berlaku untuk ketiga variabel yang ditinjau.
Analisis yang lebih terinci mengenai tabel kontingensi tiga dimensi atau yang biasanya menggunakan pengujian pasangan yang tidak sederhana dari kebebasan yang
dapat dilakukan pada bagian-bagian dari tabel-tabel dua arah. Sejumlah besar dari model-model yang berbeda adalah mungkin dan teknik analitik yang modern sering
didasarkan pada model log-linier. Dalam sebuah buku dasar-dasar statistik, hal ini cocok hanya untuk memberikan pengenalan singkat untuk model dan pengujian, dan
dijelaskan dengan satu contoh sederhana. Teknik-teknik analitik adalah data diskrit yang analog dengan analisis varians untuk data kontinu. Pembaca yang belum kenal
dengan analisis varians model linier untuk rancangan percobaan dengan struktur percobaan faktorial mungkin sulit untuk mengikuti bagian ini, tetapi diharapkan
sebuah penjelasan yang mendasar akan memberikan beberapa indikasi tentang kekuatan model linier sebagai sebuah alat analitik. Penerapan yang lebih sulit dari
metode ini membutuhkan pengetahuan yang luas mengenai statistik dan tersedianya program komputer yang cocok.
Misalkan {
ijk
m
} merupakan frekuensi harapan, dugalah semua
ijk
m
0 dan misalkan
ijk ijk
m log
=
η . Tanda dot dibawah merupakan rata-rata, seperti:
∑
= I
ijk i
jk .
η η
Di dapatkan:
Universitas Sumatera Utara
...
η µ =
... ..
η η
λ
− =
i x
i
,
... .
.
η η
λ
− =
j Y
j
,
... ..
η η
λ
− =
k Z
k ...
. .
.. .
η η
η η
λ
+ −
− =
j i
ij XY
ij ...
.. ..
.
η η
η η
λ
+ −
− =
k i
k i
XZ ik
... ..
. .
.
η η
η η
λ
+ −
− =
k j
jk YZ
jk ...
.. .
. ..
. .
.
η η
η η
η η
η η
λ
− +
+ +
− −
− =
k j
i jk
k i
ij ijk
XYZ ijk
Jumlah semua parameter di atas sama dengan nol, yaitu:
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
= =
=
i j
k i
j k
XYZ ijk
XY ij
XY ij
Z k
Y j
x i
... λ
λ λ
λ λ
λ Sehingga bentuk umum model log linier untuk tabel kontingensi tiga dimensi, adalah:
XYZ ijk
YZ jk
XZ ik
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m
λ λ
λ λ
λ λ
λ µ
+ +
+ +
+ +
+ =
log
Dalam hal pengujian ini juga sama dengan analisis variansi tiga dimensi. Beberapa model log linier untuk tabel tiga dimensi:
Model log-linier simbol
Z k
Y j
X i
ijk
m
λ λ
λ µ
+ +
+ =
log
X,Y,Z
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m
λ λ
λ λ
µ
+ +
+ +
= log
XY,Z
YZ jk
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m
λ λ
λ λ
λ µ
+ +
+ +
+ =
log
XY,YZ
XZ ik
YZ jk
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m
λ λ
λ λ
λ λ
µ
+ +
+ +
+ +
= log
XY,YZ,XZ
XYZ ijk
XZ ik
YZ jk
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m
λ λ
λ λ
λ λ
λ µ
+ +
+ +
+ +
+ =
log
XYZ
Universitas Sumatera Utara
Untuk menunjukkan model log-linier kita cari bentuk marginal dan partialnya dengan menggunakan odds ratios. X-Y tabel marginal {
π
}
+ ij
dengan I-1J-1 odds ratios, bentuknya:
+ +
+ +
+ +
+ +
=
, ,
, ,
1 .
1 ,
1 i
j i
j i
j i
ij XY
ij
π π
π π
θ ,
1 1
1 ,
1 −
≤ ≤
− ≤
≤ J
j I
i
Dengan k dalam Z, hubungan odds ratiosnya:
k j
i k
j i
k j
i ijk
k ij
, ,
1 ,
1 ,
, 1
, 1
+ +
+ +
=
π π
π π
θ ,
1 1
, 1
1 −
≤ ≤
− ≤
≤ J
j I
i
Menunjukkan hubungan X-Y. Sama halnya antara X dan Y didapatkan dari I-1K-1 Odds ratios
} {
k j
i
θ untuk setiap J pada Y, dan hubungan antara Y dan Z didapatkan
dari J-1K-1 odds ratios {
}
jk i
θ untuk setiap I pada X.
Untuk tabel tiga dimensi
ijk
m log
dalam log odds ratios, didapat:
=
=
=
11 2
11 1
1 2
1 1
1 1
2 11
1 11
111
log 8
1 log
8 1
log 8
1 θ
θ θ
θ θ
θ λ
XYZ
Dengan jumlah nol batasannya
} {
XYZ ijk
λ . Masing-masing
} {
XYZ ijk
λ adalah nol ketika odds
ratios antara dua variabel sama dengan tiga variabel. Bentuk umumnya
} {
=
XYZ ijk
λ dalam tabel 2x 2x K, ketika
11 1
11
...
k
θ θ
= =
, sehingga:
11 11
log 4
1
k XY
θ λ
=
untuk k=1…K
Seperti dalam kasus dua dimensi parameternya sebanding pada log odds ratios. Model Log linier dapat dikenal dengan menggunakan hubungan odds ratios. Dalam hal
hubungan independent antara X dan Y equivalent terhadap
} ,...,
1 ,
1 ,...,
1 ,
1 ,...,
1 1
{ K
k J
j I
i
k ij
= −
= −
= =
θ
Universitas Sumatera Utara
Kenudian kita berikan satu keadaan yang cukup terhadap X-Y odds ratios menjadi sama dalam tabel parsial seperti pada tabel marginal. Ketika keadaan sama kita dapat
mempelajari gabungan X-Y dengan cara menyederhanakan menyelesaikan dimensi Z. selanjutnya, Z akan menjadi variabel tunggal atau multidimensi.
2 1
..
k ij
ij ij
XY ij
θ θ
θ θ
= =
= =
, 1 1
1 ,
1 1
− ≤
≤ −
≤ ≤
J j
I i
, 1
=
k j
i
θ 1
1 ,
1 1
, 1
1 −
≤ ≤
− ≤
≤ −
≤ ≤
K k
J j
I i
, 1
=
jk i
θ 1
1 ,
1 1
, 1
1 −
≤ ≤
− ≤
≤ −
≤ ≤
K k
J j
I i
Dengan kata lain, gabungan marginal da parsial X-Y disamakan jika Z dan X bebas i.e, disimbolkan dengan XY,YZterikat, atau jika Z danY bebas i.e, bentuknya
XY,XZterikat
2.4.1 Penerapan Model Log Linier Data Trivariat
Dalam sebuah tabel kontingensi dua dimensi, nilai harapan
ij
e untuk sel ij dengan hipotesis kebebasan atau tidak ada asosiasi adalah
ij
e
= N
n n
j i
+ +
ini selanjutnya mengikuti
21 12
2 2
2 1
1 22
11
e e
N n
n n
n e
e =
=
+ +
+ +
yaitu bahwa produk silang atau diagonal adalah sama, atau
1
21 12
22 11
= e
e e
e
Sifat perkalian dan harapan untuk kebebasan ini dapat dibandingkan dengan sifat harapan aditif bila tidak ada interaksi dalam model liniernya. Sebenarnya ada
kesamaan model-model jika kita mengambil logaritma
ij
e
dan menulis
ij
e x
ln
~
=
ini merupakan dasar model log linier karena persamaan
Universitas Sumatera Utara
1
21 12
22 11
= e
e e
e adalah sebuah kondisi yang diperlukan untuk kebebasan, maka selanjutnya
setiap hipotesis yang menyebutkan ketergantungan menyatakan sebuah hubungan yang lebih umum
1
21 12
22 11
= e
e e
e k 1
≠ Dengan mengambil logaritmanya kita mempunyai analog model yang berinteraksi.
Perluasan untuk tabel tiga dimensi, modelnya dapat diperluas untuk tabel r x c dan lebih penting untuk tabel multi arah. Pertama, kita membuat perluasan dari model
linier untuk tiga faktor masing-masing dengan dua level dalam konteks analisis varians. Pengukuran interaksi telah diperkenalkan dalam model dua faktor yang
disebut sebuah orde pertama atau kadang-kadang disebut sebuah interaksi dua faktor.
Jika kita mempunyai tiga faktor masing-masing pada dua level, kita dapat menyajikan hasil yang diharapkan dalam sebuah perluasan yang jelas dari notasi
ijk
x
~
i, j, k = 1,2 .
Jika kita mempertimbangkan dua faktor pertama pada level pertama dari faktor ketiga ditunjukkan dengan k=1 kita akan mempunyai sebuah interaksi pertama antara
faktor 1 dan faktor 2 pada level tetap faktor 3 ini jika ,
211 121
221 111
≠ Ι
Ι =
− −
+ x
x x
x sebagai tambahan, jika kita mempunyai sebuah interaksi orde pertama antara faktor 1
dan faktor 2 pada level kedua dari faktor 3 k= 2 , ini menyatakan
~
x
112
+
~
x
222
-
~
x
122
-
~
x
212
= J, J=0. jika I ≠ J kita katakana tidak ada interaksi orde kedua antara ketiga
faktor. Jika I
≠ J kita katakan tidak ada sebuah interaksi orde kedua atau orde ketiga. Jika I= J= 0 mempunyai model tidak ada interaksi. Dalam konteks dari model
log-linier dimana kita tulis
~
x
ijk
=ln
ijk
e
dimana
ijk
e
adalah harapan untuk level ke-i klasifikasi 1, untuk level ke-j klasifikasi 2, untuk level ke-k klasifikasi 3, model
dengan tidak ada interaksi berhubungan dengan kebebasan dan
ijk
e
menjadi: 1
212 122
222 112
211 121
221 111
= =
e e
e e
e e
e e
Universitas Sumatera Utara
Ketergantungan dapat menjadi orde pertama atau kedua ditunjukkan untuk interaksi orde pertama atau kedua dalam model log-linier. Untuk interaksi model pertama:
k e
e e
e e
e e
e =
=
212 122
222 112
211 121
221 111
Dimana k
1 ≠
, dan untuk model interaksi orde kedua:
212 122
222 112
211 121
221 111
e e
e e
e e
e e
≠
Model log-linier mengizinkan pengujian untuk menentukan apakah data dapat menjadi cocok digambarkan oleh beberapa model tertentu. Untuk contoh ilustrasi, kita
mengikuti prosedur yang relevan untuk pengujian model interaksi orde pertama. Dalam kasus dalam sebuah tabel kontingensi tiga dimensi, penduga maksimum
likelihood dari
ijk
e
, yang akan dinotasikan dengan e
ijk
harus memenuhi kondisi:
ẽ
111
ẽ
221
ẽ
121
ẽ
211
= ẽ
112
ẽ
222
ẽ
122
ẽ
212
Dengan batasan bahwa e
ijk
harus juga jumlah untuk total marginal yang diamati setiap akhiran. Pada umumnya, penduga maksimum likelihood hanya dapat diperoleh
dengan metode yang berulang-ulang salah satunya dikenal dengan iterative scaling procedure; akan tetapi dalam kasus khusus dari tabel tiga dimensi dengan model
interaksi orde pertama, perhitungan pertama adalah langsung. Sekali e
ijk
telah dihitung, statistik T atau T
1
untuk tabel tiga dimensi digunakan untuk pengujian nyata. T
1
sering lebih disukai karena dari sifat aditif tertentu yang memungkinkan terbagi kedalam komponen-komponen, analog dengan cara yang dilakukan untuk jumlah
kuadrat orthogonal dalam analisis varians.
Suatu penelitian yang meneliti tiga faktor X, Y dan Z yang masing-masing dicobakan dalam berbagai tingkatan. Faktor X dalam x tingkatan, faktor Y dalam y
Universitas Sumatera Utara
tingkatan dan faktor Z dalam z tingkatan. Percobaan tersebut merupakan percobaan faktorial xxyxz. Dengan demikian banyak perlakuan yang dicobakan adalah t=xyz.
Andaikan bahwa tiap perlakuan diulang dengan ulangan yang sama sebanyak n ukuran contohnya n. tentu saja pada percobaan demikian, data yang diperoleh akan
beragam yang dapat dikaitkan dengan tingkat masing-masing faktornya. Dengan demikian dapat dituliskan:
ijkl ijk
jk ik
ij k
j i
ijkl
X ε
αβ β
α αβ
β α
µ +
Γ +
Γ +
Γ +
+ Γ
+ +
+ =
Dengan: =
ijkl
X pengamatan ke 1 1=1,2,…,n untuk faktor X yang ke i i=1,2,…,n, faktor Y
yang ke j j=1,2,…,b, dan faktor z yang ke k k=1,2,…,c
=
µ rata-rata =
i
α pengaruh faktor X yang ke i
=
j
β pengaruh faktor Y yang ke j
= Γ
k
pengaruh faktor Z yang ke k
=
ij
αβ interaksi faktor X yang ke i dengan faktor Y yang ke j
= Γ
ik
α interaksi faktor X yang ke i dengan faktor Z yang ke k
= Γ
jk
β interaksi faktor Y yang ke j dengan faktor Z yang ke k
= Γ
ijk
αβ interaksi faktor X yang ke i, faktor Y yang ke j dengan faktor Z yang ke k
=
ijkl
ε sesatan pengamatan yang bersangkutan
Penduga masing-masing komponen dalam model di atas diduga dengan cara yang sama seperti yang sudah biasa dilakukan. Penduga yang didapat adalah:
µ = ...
−
X
i
α =
_ ..
_
... X
X
i
−
j
β =
... _
. .
_
X X
j
−
k _
Γ =
.... _
... _
X X
−
Universitas Sumatera Utara
=
ij
αβ
... _
. .
_ ..
_ .
_
X X
X X
j i
ij
− −
−
ik
Γ
α =
__ ...
. .
_ ..
_ .
_
X X
X X
k i
k i
− −
− =
Γ
jk
β
... _
. .
_ .
. _
. _
X X
X X
k j
jk
− −
−
ijk
Γ
αβ =
...
_ .
. _
. .
_ ..
_ .
_ .
. _
. _
_
X X
X X
X X
X X
k j
i jk
k i
ij ijk
− −
− +
− −
−
=
jkl
ε ...
_ _
X X
ijkl
−
Berbagai penduga ini dengan mudah dapat kita peroleh apabila kita lihat pola untuk mendapatkannya. Penduga pengaruh suatu tingkat suatu faktor merupakan selisih
antara rerata tingkat faktor tersebut dengan rata-rata keseluruhan data. Perhatikan notasinya yang ternyata berupa satu indeks saja yang lainnya titik i atau j atau k saja,
yang lainnya berupa titik dan pengurangnya mempunyai indeks yang berupa titik semua. Pada interaksi dua faktor, penduganya didapat dengan jalan mengurangi rata-
rata gabungan tingkat kedua faktornya dengan rata-rata tingkat masing-masing faktor dan kemudian ditambah dengan rata-rata keseluruhan data. Menyimak indeksnya,
penduga interaksi dua faktor ini didapat dengan jalan mengurangi rata-rata yang berindeks dua i dan j, i dan k, atau j dan k sedangkan lainnya berupa titik dengan
rata-rata yang berindeks satu yang persis dengan indeks duanya dan kemudian ditambah rata-rata keseluruhan data yang semua indeksnya berupa titik.
Seperti halnya dengan analisis varian yang terdahulu, berbagai jumlah kuadrat didapat tidak dengan menggunakan berbagai penduga diatas tetapi dalam bentuk yang telah
disederhanakan terlebih dahulu. Untuk jumlah kuadrat X
JKX =
2 _
.. _
... X
X
i
− Σ
= yzn ...
... 2
2 _
.. _
_ 2
.. _
X xyzn
X X
yzn X
i i
+ Σ
− Σ
= yzn ....
2 _
2 ..
_
X xyzn
X
i
− Σ
Universitas Sumatera Utara
Karena ...
_ ..
_
X x
X
i
= Σ
sehingga
JKX = FK
yzr X
i
− Σ
2 ..
dengan FK = xyzn
X ...
2
perhatikan bahwa JKX didapat dengan menjumlahkan kuadrat jumlah masing-masing tingkat faktor X dijumlah terhadap i yang dibagi dengan sesuatu yang besarnya
sama dengan batas indeks yang berubah menjadi titik. Dalam hal ini indeks yang berubah menjadi titik adalah j, k, dan l yang mempunyai batas nilai y, z dan n.
perhatikan bahwa rumus untuk jumlah kuadrat ini bertalian dengan rumus untuk penduganya. Penduga untuk pengaruh X yang ke i adalah rata-rata dengan indeks i
yang lainnya berupa titik dikurangi dengan rata-rata dengan semua indeksnya berupa titik rumus JKX juga mempunyai indeks i yang dikurangi dengan sesuatu yang tanpa
indeks, yaitu FK. Maka dengan mudah diperoleh JKY dan JKZ, sebagai berikut:
JKY =
FK yzr
X
j
− Σ
2 .
.
JKZ = FK
yzr X
k
− Σ
2 .
..
Sekarang akan kita lihat bagaimana penyederhanaan jumlah kuadrat interaksi dua faktor. Kita akan simak terlebih untuk interaksi antara X dan Y:
JKXY =
2 _
. .
_ ..
_ ..
... X
X X
X
j i
ij
+ −
− ΣΣ
−
Yang apabila disederhanakan akan diperoleh: JKXY =
... .
2 _
2 .
. 2
.. 2
.
X xy
xzn X
yzn X
zn X
j j
i i
ij
+ Σ
− Σ
− ΣΣ
Universitas Sumatera Utara
Dalam kaitannya dengan rumus untuk penduganya, lihat keterkaitan antara rumus penduga dan jumlah kuadrat suatu komponen. Rumus penduga komponen interaksi
XY didapat dengan mengurangi rata-rata berindeks dua yaitu i dan j untuk X dan Y dengan rata-rata berindeks satu untuk X dan berideks satu untuk Y, dan akhirnya
ditambah dengan rata-rata yang semua indeksnya berupa titik tidak berindeks. Penyederhanaan lebih lanjut akan menghasilkan:
JKXY = JKY
JKX FK
zn X
ij
− −
− ΣΣ
2 ..
Perhatikan bahwa jumlah kuadrat interaksi X dan Y didapat dengan menjumlahkan semua jumlah pada kombinasi X dan Y yang dibagi dengan sesuatu yang merupakan
nilai batas indeks yang berupa titik dalam hal ini indeks yang berupa titik adalah untuk k dan l yang mempunyai batas z dan n sehingga sebagai pembagi adalah zn,
dikurangi dengan faktor koreksi dan dikurangi lagi dengan jumlah kuadrat faktor- faktor yang menyusun interaksinya.
Jumlah kuadrat interaksi tiga faktornya didapat dari: JKXYZ =
2 _
.. _
. .
_ ..
_ .
_ .
_ .
_ _
... X
X X
X X
X X
X
k j
i jk
k i
ij ijk
− +
+ +
− −
− ΣΣΣ
Yang apabila disederhanakan akan menghasilkan:
JKXYZ =
2 _
2 ..
2 ..
2 ..
2 .
2 .
2 .
2
X xyzn
xyn X
xzn X
yzn X
xn X
yn X
zn X
n X
k k
j j
i i
jk k
j k
i k
i ij
j i
ijk
− Σ
+ Σ
+ Σ
+ Σ
Σ −
Σ Σ
− Σ
Σ −
ΣΣΣ
JKXYZ = JKYZ
JKXZ JKXY
JKZ JKY
JKX n
X
ijk
− −
− −
− −
ΣΣΣ
2
Derajat bebas berbagai jumlah kuadrat diatas dapat dengan mudah diperoleh dengan memperhatikan beberapa kali pengkuadratan yang kita jumlahkan dan kurangkan.
Untuk faktor X, kita mengkuadrat a kali yang dijumlahkan dan mengkuadratkan
Universitas Sumatera Utara
sekali untuk memperoleh faktor koreksi yang kemudian kita gunakan untuk mengurangi. Dengan demikian derajat bebas X adalah x-1. Analogi dengan X
adalah untuk Y dan Z.
Untuk interaksi dua faktor, XY misalnya kita mengkuadratkan sebanyak xy kali yang kemudian kita jumlahkan, kemudian dikurangi dengan FK yang diperoleh dengan
sekali mengkuadratkan dan dikurangi lagi dengan JKX dan JKB yang mempunyai derajat bebas x-1 dan y-1. Dengan demikian derajat bebas XY adalah:
xy-1-x-1-y-1=x-1y-1
dengan cara yang sama kita dapatkan bahwa interaksi XZ mempunyai derajat bebas x-1z-1 dan interaksi YZ mempunyai derajat bebas y-1z-1. Derajat bebas
interaksi tiga faktor XY pun diperoleh dengan cara yang sama. Suku pertama pada rumus jumlah kuadrat XYZ menunjukkan bahwa kita harus mengkuadratkan xyz kali,
sedangkan derajat bebas suku-suku pengurangannya telah kita ketahui. Dengan demikian derajat bebas untuk interaksi XYZ adalah:
xyz-1-x-1y-1-x-1z-1-y-1z-1-x-1-y-1-z-1 yang telah disederhanakan akan berubah menjadi x-1y-1z-1
hasil-hasil perhitungan di atas dapat disusun dalam suatu tabel anava.
Universitas Sumatera Utara
BAB III
PEMBAHASAN
Suatu penelitian yang meneliti tiga faktor X, Y dan Z yang masing-masing dicobakan dalam berbagai tingkatan. Faktor X dalam x tingkatan, faktor Y dalam y
tingkatan dan faktor Z dalam z tingkatan. Percobaan tersebut merupakan percobaan faktorial xxyxz. Dengan demikian banyak perlakuan yang dicobakan adalah t=xyz.
Andaikan bahwa tiap perlakuan diulang dengan ulangan yang sama sebanyak n ukuran contohnya n. tentu saja pada percobaan demikian, data yang diperoleh akan
beragam yang dapat dikaitkan dengan tingkat masing-masing faktornya.
3.1 Kasus