sederhana. Ada beberapa langkah dalam metode fraksi parsial, yaitu:
Langkah 1 Misalkan fungsi rasional
dengan P dan Q adalah fungsi polinom. Dapat dinyatakan bahwa f sebagai jumlah fraksi yang
lebih sederhana, dengan syarat bahwa derajat P lebih kecil dari derajat Q, fungsi rasional
seperti ini disebut proper. Jika f taksejati, yakni degP degQ, maka kita harus
mengambil langkah pendahuluan dengan membagi Q dengan P sampai sisa Rx
diperoleh sedemikian sehingga degR degQ. Hasil pembagiannya adalah
sebagai berikut:
, dengan S dan R adalah fungsi polinom juga.
Langkah 2 Faktorkan penyebut Qx sampai tuntas.
Dapat ditunjukkan bahwa sebarang polinom Q dapat difaktorkan sebagai hasil kali faktor
linier berbentuk ax+b dan faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan berbentuk
, dengan .
Langkah 3 Nyatakan fungsi rasional sejati
sebagai jumlah dari fraksi parsial yang berbentuk
atau Stewart 1988
2.3 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat paling sedikit satu
turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Bentuk umum suatu persamaan diferensial
tingkat satu adalah
, atau
, , dengan f adalah fungsi dari dua variabel x dan
y. Setiap fungsi yang terturunkan
pada suatu selang I yang memenuhi persamaan
, untuk setiap
adalah penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Permasalahan
dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial yang memenuhi syarat jika
maka berlaku disebut masalah nilai
awal. Nilai disebut syarat awal
untuk suatu penyelesaian .
Penyelesaian persamaan diferensial dengan variabel terpisah
Bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu dengan variabel-variabel
terpisahkan adalah
. Untuk memperoleh penyelesaian umum dari
persamaan diferensial adalah dengan cara mengintegralkan kedua ruas, sehingga
diperoleh
dengan C konstanta sembarang. Farlow 1994
2.4 Persamaan Logistik
Persamaan logistik merupakan persamaan yang menggambarkan pertumbuhan populasi
dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung lingkungan
yang terbatas. Bentuk umum persamaan logistik:
,
Gambar 1 Kurva logistik
3
Sifat-sifat fungsi logistik 1.
lim 2.
Rt merupakan fungsi naik 3.
Titik belok terjadi pada saat log
4. 2, 3 4 lihat Lampiran 1
Persamaan logistik menghasilkan suatu kurva berbentuk S, yaitu bahwa pada awal
adalah serupa dengan eksponensial, proses dapat dilihat terus meningkat sampai titik
tertentu, kemudian akan konvergen pada titik tertentu. Jadi titik belok akan membagi
lintasan Rt menjadi dua pola: bagian pertama adalah cekung ke atas terhadap sumbu
horizontal, dan bagian sesudahnya cekung ke bawah. Pada bagian pertama pertumbuhan
dipercepat, pada bagian kedua ini masih positif, tapi melambat. Pada titik tertentu
proses konvergen menuju satu titik teretentu.
Florio Colautti 2005
III PEMBAHASAN
3.1 Model Pertumbuhan Wagner Teori Wagner tentang perkembangan
pengeluaran pemerintah disebut sebagai Wagner law of increased government activity.
Teori ini mengemukakan perkembangan pengeluaran pemerintah yang semakin besar
dalam persentase terhadap GNP, di mana teori ini didasarkan pada pengamatan di negara-
negara Eropa, US, dan Jepang pada abad ke- 19. Wagner mengemukakan pendapatnya
dalam bentuk Hukum Wagner sebagai berikut. Dalam suatu perekonomian, apabila
pendapatan per kapita meningkat, secara relatif pengeluaran pemerintah pun akan
meningkat.
Permintaan pengeluaran publik merupakan pernyataan dari hukum Wagner yang
ditafsirkan sebagai: a.
Beberapa barang dapat diberikan secara efisien oleh negara.
b. Permintaan terhadap barang-barang
dilambangkan dengan Y, terus meningkat dari waktu ke waktu.
Hukum Wagner dapat diformulasikan sebagai berikut :
= Pengeluaran Pemerintah per kapita = Pendapatan per kapita, yaitu GDPjumlah
penduduk i = 1,2,...n : Jangka waktu tahun
Pertumbuhan ekonomi dengan populasi stabil di mana N adalah jumlah penduduk,
dapat dinyatakan dengan Hukum Wagner, maka dapat diasumsikan:
Y = Yt N = Nt
G = Gt .
Lintasan GY akan lebih mudah dipelajari dengan menggunakan notasi berikut ini:
= Laju perubahan dari logaritma pengeluaran publik
y = Laju perubahan dari logaritma pendapatan nasional
R = Rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional
h = Selisih antara laju pengeluaran publik dengan pendapatan nasional
yaitu : log
log
. Dengan menurunkan R terhadap waktut
4
,
sehingga diperoleh laju dari lintasan R adalah:
dR hR
dt =
dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan persamaan tersebut diperoleh solusi yang
membentuk fungsi eksponensial.
. Jika
adalah nilai awal yang diperoleh saat t=0, maka dapat di peroleh C=
, sehingga ,
maka dapat diperoleh Gambar 2 berikut ini.
Waktu
Gambar 2 Kurva lintasan R,
, .
Jika kita perhatikan Gambar 2, jelaslah bahwa dalam jangka panjang hukum Wagner,
baik secara teoritis maupun empiris, tidak masuk akal, karena kurva tersebut berbentuk
fungsi eksponensial yang menunjukkan bahwa G Y meningkat dari waktu ke waktu tanpa
batas.
Jika h berubah seiring waktu, proses eksponensial yang sama akan dihasilkan untuk
mengatur perubahan dalam arah yang berlawanan dari elastisitas pendapatan
pemerintah. Dalam kasus yang lebih umum h dapat bervariasi setiap saat, dan integrasi
persamaan diferensial di atas mungkin menghasilkan banyak jenis lintasan.
Berdasarkan penjelasan di atas, jelas mengapa dalam jangka panjang hukum
Wagner baik secara teoritis maupun empiris tidak masuk akal. Proses eksponensial
menunjukkan bahwa GY meningkat dari waktu ke waktu tanpa batas. Hal ini berarti
pengeluaran pemerintah selalu lebih besar dari pendapatan, dan untuk mengatasinya
pemerintah melakukan pinjaman yang dapat menyebabkan hutang negara akan terus
meningkat serta pajak akan semakin mahal. Misal
dianggap G = T, di mana T adalah
pendapatan pajak. Ketika GY1, yang berarti bahwa pengeluaran pemerintah lebih besar
dari pendapatan yang berakibat bahwa GT, yang menyatakan bahwa pengeluaran lebih
besar dari pajak yang diterima pemerintah. Dalam keadaan ini tidak ada cara lain untuk
memungut pajak dari pengeluaran publik sendiri, akibatnya adalah meningkatnya
hutang, dan ini juga tampaknya tidak masuk akal. Oleh karena itu, diperlukan sesesuatu
yang dapat mengendalikan hal tersebut, dan pada hal ini pengendalinya adalah pajak. Pajak
bertindak sebagai rem dari rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan
nasional. Dengan adanya pajak, pasokan barang-barang yang disediakan secara publik
akan terkendali sehingga pengeluaran pemerintah juga akan bisa dikendalikan.
3.2 Dugaan Pigou
