,
sehingga diperoleh laju dari lintasan R adalah:
dR hR
dt =
dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan persamaan tersebut diperoleh solusi yang
membentuk fungsi eksponensial.
. Jika
adalah nilai awal yang diperoleh saat t=0, maka dapat di peroleh C=
, sehingga ,
maka dapat diperoleh Gambar 2 berikut ini.
Waktu
Gambar 2 Kurva lintasan R,
, .
Jika kita perhatikan Gambar 2, jelaslah bahwa dalam jangka panjang hukum Wagner,
baik secara teoritis maupun empiris, tidak masuk akal, karena kurva tersebut berbentuk
fungsi eksponensial yang menunjukkan bahwa G Y meningkat dari waktu ke waktu tanpa
batas.
Jika h berubah seiring waktu, proses eksponensial yang sama akan dihasilkan untuk
mengatur perubahan dalam arah yang berlawanan dari elastisitas pendapatan
pemerintah. Dalam kasus yang lebih umum h dapat bervariasi setiap saat, dan integrasi
persamaan diferensial di atas mungkin menghasilkan banyak jenis lintasan.
Berdasarkan penjelasan di atas, jelas mengapa dalam jangka panjang hukum
Wagner baik secara teoritis maupun empiris tidak masuk akal. Proses eksponensial
menunjukkan bahwa GY meningkat dari waktu ke waktu tanpa batas. Hal ini berarti
pengeluaran pemerintah selalu lebih besar dari pendapatan, dan untuk mengatasinya
pemerintah melakukan pinjaman yang dapat menyebabkan hutang negara akan terus
meningkat serta pajak akan semakin mahal. Misal
dianggap G = T, di mana T adalah
pendapatan pajak. Ketika GY1, yang berarti bahwa pengeluaran pemerintah lebih besar
dari pendapatan yang berakibat bahwa GT, yang menyatakan bahwa pengeluaran lebih
besar dari pajak yang diterima pemerintah. Dalam keadaan ini tidak ada cara lain untuk
memungut pajak dari pengeluaran publik sendiri, akibatnya adalah meningkatnya
hutang, dan ini juga tampaknya tidak masuk akal. Oleh karena itu, diperlukan sesesuatu
yang dapat mengendalikan hal tersebut, dan pada hal ini pengendalinya adalah pajak. Pajak
bertindak sebagai rem dari rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan
nasional. Dengan adanya pajak, pasokan barang-barang yang disediakan secara publik
akan terkendali sehingga pengeluaran pemerintah juga akan bisa dikendalikan.
3.2 Dugaan Pigou
Dalam dua abad terakhir, proses penurunan pendapatan pemerintah dari sektor selain pajak
serta peningkatan tekanan fiskal adalah berbeda menurut negara, tetapi kecenderungan
secara keseluruhan adalah sama, yaitu pengeluaran pemerintah kebanyakan berbasis
pajak. Oleh karena itu, pada tahap ini akan diabaikan sumber-sumber lain pendapatan
pemerintah selain dari pajak.
Diasumsikan lebih lanjut : a.
Faktor-faktor produksi disediakan oleh sektor publik adalah memiliki tingkat
pengembalian konstan. b.
Ada tambahan biaya pajak yang bersifat kuadratik dari TY.
Dimulai dengan kasus yang paling sederhana, misalkan terdapat sistem ekonomi
dengan satu konsumen, satu barang pribadi, dan satu barang publik yang disediakan oleh
pemerintah. Jumlah dari barang pribadi adalah x, sementara biaya produksi adalah p. Florio
Colauti 2005 mendefinisikan untuk
R
5
20 40
60 80
100 200
400 600
800 1000
1200 1400
kelebihan beban pajak adalah setengah dari perubahan jumlah barang pribadi dikalikan
dengan pajak rendah, sebagai berikut:
Jika pajak hanya dihasilkan dari barang pribadi, maka penerimaan pajak bagi negara
adalah , atau
di mana adalah tingkat pajak efektif. Jika barang publik disediakan gratis, pendapatan
nasional pada harga konsumen adalah
di mana p adalah harga konsumen. Sedangkan untuk pajak rendah
dp = p = τ
di mana τ = T x adalah pajak untuk suatu unit
kecil barang pribadi. Elastisitas harga Marshallian dari permintaan barang pribadi
adalah ε = dxdpxp atau
dx x
ε θ
=
. Maka kdefinisi standar kelebihan beban pajak
adalah:
2 2
2 .
2 2
2 dxdp
E x
p E
px E
Y E
ε θ θ ε θ
εθ =
= =
=
Tapi karena G = T dan Y = px, rasio agregat kelebihan beban pajak terhadap
pendapatan nasional berbentuk kuadrat dalam rasio pengeluaran publik untuk pendapatan
nasional itu sendiri:
Kemudian Hukum Wagner dikombinasikan dengan dugaan Pigou, diperoleh persamaan
seperti berikut ini: ,
di mana dalam persamaan tersebut terlihat bahwa Hukum Wagner dikurangi dengan
kelebihan beban pajak. Kelebihan beban pajak bertindak sebagai rem yang membalikkan
proses dari proses eksponensial yang cekung ke atas menjadi cekung ke bawah pada titik
tertentu smpai akhirnya konvergen pada satu titik tertentu. Kemudian dengan substitusi nilai
, ,
, maka diperoleh
,
di mana α, β adalah parameter.
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial biasa tidak linear orde pertama
yang dapat ditulis sebagai
di mana h =
α , k =
βε2, dan R=GY sehingga persamaan tersebut menjadi
sehingga dapat diperoleh solusinya sebagai berikut:
lihat Lampiran 2 Jika R
adalah nilai awal saat t=0
,
maka sehingga
3.3 Simulasi Parameter
