Teknik Pengintegralan Fraksi Parsial Persamaan Diferensial

II LANDASAN TEORI 2.1 Beberapa Definisi Ekonomi Definisi Pendapatan Nasional Pendapatan nasional adalah jumlah pendapatan yang diterima oleh faktor-faktor produksi yang digunakan untuk memproduksikan barang dan jasa dalam suatu tahun tertentu. Y = C + I + G + X – M dengan Y : Pendapatan nasional C : Konsumsi rumah tangga I : Investasi G : Pengeluaran pemerintah X : Ekspor M : Impor Sukirno 2004 Sumber-sumber dari pendapatan nasional berasal dari penerimaan dalam negri dan penerimaan pembangunan. Penerimaan dalam negri berasal dari penerimaan pajak langsung, pajak tidak langsung, dan penerimaan bukan pajak. Pajak langsung adalah pajak yang dikenakan langsung pada orang yang harus menanggung dan membayarnya. Pajak tidak langsung adalah pajak yang dikenakan pada orang yang harus menanggung dan membayarkan lewat orang lain, peristiwa, barang, atau jasa. Sebagian besar pendapatan pemerintah berasal dari pajak, terutama pajak yang berasal dari perseroan minyak. Partadiredja 1981 Definisi Pengeluaran Publik Pengeluaran publik adalah suatu kegiatan perbelanjaan negara untuk menghasilkan barang dan jasa dalam rangka memenuhi kebutuhan dan hak publik, yang akan dilakukan dalam perekonomian pada suatu waktu tertentu biasanya dalam satu tahun pada berbagai tingkat pendapatan negara. Sebagai contoh dari pengeluaran publik pemerintah adalah biaya untuk menyediakan fasilitas pendidikan, untuk polisi dan tentara, dan pembelanjaan untuk mengembangkan infrastruktur dalam masyarakat. Sukirno 2004 Definisi GDP dan GNP Gross Domestic Product GDP atau biasa disebut Produk Domestik Bruto PDB adalah nilai barang dan jasa dalam suatu negara yang diproduksikan oleh faktor-faktor produksi milik warga negara tersebut dan juga negara asing. Sedangkan Gross National Product GNP atau biasa disebut Produk Nasional Bruto PNB adalah seluruh jumlah barang dan jasa yang dihasilkan tiap tahun oleh negara yang bersangkutan diukur menurut harga pasar pada suatu negara. Menurut Partadiredja 1981, besarnya PNB sama dengan besarnya pendapatan nasional dan besarnya PNB sama dengan PDB dikurangi dengan pendapatan netto dari luar negri. – PDB = PNB – X – M dengan PDB = Produk domestik bruto PNB = Produk nasional bruto X = Nilai ekspor M = Nilai impor Sukirno 2004 Definisi Elastisitas Elastisitas adalah sebuah ukuran perubahan persentase dalam satu variabel yang diakibatkan oleh perubahan persen dalam variabel lainnya. Jika , maka elastisitas y terhadap x adalah . Elastisitas harga adalah perubahan dari sebuah harga barang P yang mempengaruhi pada jumlah barang yang akan dibeli Q . Nicholson 2002

2.2 Teknik Pengintegralan Fraksi Parsial

Fraksi parsial adalah teknik pengintegralan suatu fungsi rasional dengan menyatakannya sebagai jumlah dari fraksi yang lebih sederhana. Ada beberapa langkah dalam metode fraksi parsial, yaitu: Langkah 1 Misalkan fungsi rasional dengan P dan Q adalah fungsi polinom. Dapat dinyatakan bahwa f sebagai jumlah fraksi yang lebih sederhana, dengan syarat bahwa derajat P lebih kecil dari derajat Q, fungsi rasional seperti ini disebut proper. Jika f taksejati, yakni degP degQ, maka kita harus mengambil langkah pendahuluan dengan membagi Q dengan P sampai sisa Rx diperoleh sedemikian sehingga degR degQ. Hasil pembagiannya adalah sebagai berikut: , dengan S dan R adalah fungsi polinom juga. Langkah 2 Faktorkan penyebut Qx sampai tuntas. Dapat ditunjukkan bahwa sebarang polinom Q dapat difaktorkan sebagai hasil kali faktor linier berbentuk ax+b dan faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan berbentuk , dengan . Langkah 3 Nyatakan fungsi rasional sejati sebagai jumlah dari fraksi parsial yang berbentuk atau Stewart 1988

2.3 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat paling sedikit satu turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Bentuk umum suatu persamaan diferensial tingkat satu adalah , atau , , dengan f adalah fungsi dari dua variabel x dan y. Setiap fungsi yang terturunkan pada suatu selang I yang memenuhi persamaan , untuk setiap adalah penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Permasalahan dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial yang memenuhi syarat jika maka berlaku disebut masalah nilai awal. Nilai disebut syarat awal untuk suatu penyelesaian . Penyelesaian persamaan diferensial dengan variabel terpisah Bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu dengan variabel-variabel terpisahkan adalah . Untuk memperoleh penyelesaian umum dari persamaan diferensial adalah dengan cara mengintegralkan kedua ruas, sehingga diperoleh dengan C konstanta sembarang. Farlow 1994

2.4 Persamaan Logistik