Relasi Hubungan. Relasi Relasi Invers dan Komposisi Relasi

7. Mahasiswa mampu mengindentifikasi jenis fungsi injektif, surjektif, dan bijektif 8. Mahasiswa mampu membutkikan sifat-sifat fungsi fungsi injektif, surjektif, dan bijektif 9. Mahasiswa mampu mengaplikasikan sifat-sifat fungsi fungsi injektif, surjektif, dan bijektif dalam bidang matematika

6.2. Relasi Hubungan. Relasi

atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawanan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat “ a adalah ayah b ” atau kalimat “ 4 habis dibagi 2” dan sebgainya. Relasi dapat menyangkut tidak hanya dua himpunan, tetapi bisa tiga atau lebih. Relasi yang menyangkut dua himpunan dari semestanya disebut relasi binair. Secara simbolis kalimat “ a berada dalam relasi R dengan b” dapat disajikan dengan “aRb” atau “   R b a  , ”. Relasi R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian A× B. Demikian juga, sebarang subhimpunan A  B merupakan relasi dari A ke B. Himpunan A disebut domain R yang ditulis D R , himpunan B disebut kodomain R ditulis C R , dan daerah hasil R atau range R yang ditulis RA adalah rangeR =     aRb A a B b    . A B a 1 b 2 c 3 d 4 5 Contoh 6.2.1. Pada diagram di atas relasi R adalah himpunan R =           . 2 , , 4 , , 3 , , 1 , d c c a Berarti aR1, cR3, cR4, dan dR2. Daerah hasil R, rangeR =   4 3, 2, 1, , domain relasi D R =   a, b, c, d , kodomain C R =   5 , 4 3 2 1 , , , . Contoh 6.2.2. Pengaitan f dari ℝ ke ℝ dengan definisi 1  x x  untuk x yang mungkin menunjukkan D f = ℝ, C f = ℝ, dan range f = f ℝ = [ 0,  . Untuk x 1, tidak dapat ditemukan y ℝ yang memenuhi x, y  f .

6.3. Relasi Invers dan Komposisi Relasi

Misalkan f relasi dari A ke B. Relasi invers A B f   : 1 adalah himpunan       . , a , f b a A B b    Pada diagram relasi f berikut diperoleh relasi 1  f : A f B B 1  f A a 1 1 a b 2 2 b c 3 3 c d 4 4 d 5 5 domain 1  f adalah , 1 B D f   kodomain 1  f adalah , 1 A C f   dengan           . , 4 , , 3 , , 2 , , 1 1 c c d a f   Contoh 6.3.1. Pada Contoh 6.2.2 relasi invers f dari ℝ ke ℝ dengan definisi 1  x x  , adalah relasi 1  f dari ℝ ke ℝ dengan aturan 1 2  x x  dan        , 1 1 f range . Selanjutnya, dua buah relasi, yaitu relasi f dari A ke B dan relasi g dari B ke C dapat dikomposisikan menjadi relasi f g  , dengan definisi          . , , . , C B c b B A b a B b C A c a f g            Sebagai ilustrasi diberikan diagram sebagai berikut: A f B B g C a 1 1 I b 2 2 c 3 3 II d 4 4 III         III , , III , , I , d b a f g   karena dapat ditemukan , 2 , 1 B  yang memenuhi:     g f a   I , 1 dan 1 , ;     ; III , 2 dan 2 , g f b       g f d   III , 2 dan 2 , . Contoh 6.3.2. Diketahui relasi f dari ℝ ke ℝ dengan definisi 1  x x  untuk x yang mungkin dan g dari ℝ ke     , dengan definisi 2 2  x x  untuk x yang mungkin. Dapat ditentukan, bahwa         2 , dan 1 1 , 2            x x x g x x - x f , sehingga     1 1 ,      x x x f g  . Teorema 6.3.3. Diketahui B A f  : dan C B g  : relasi. 1. Jika D C h  : relasi, maka     . f g h f g h      2.   . 1 1 1     g f f g   Bukti. 1.            h d c f g c a C c D A d a f g h         , , . ,                   h d c g c b f b a B b C c D A d a             , , , . ,                h d c g c b f b a B b C c D A d a             , , , ,                h d c g c b f b a C c B b D A d a             , , , ,               h d c g c b C c f b a B b D A d a             , , , . ,               h d c g c b C c f b a B b D A d a             , , , . ,            . , , . , f g h g h d b f b a B b D A d a             2.         f g c a A C a c f g        , , 1          g c b f b a B b A C a c         , , . ,          1 1 , , . ,           g b c f a b B b A C a c = . 1 1   g f  Definisi 6.3.3 . Suatu relasi R dikatakan determinatif pada A atau antara anggota-anggota A jika dan hanya jika kalimat “aRb” adalah kalimat deklaratif untuk setiap a, b dalam A. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: R determinatif  a, b A.     R b a R b a    , , 6.4. Relasi Ekuivalensi . Berikut diberikan beberapa sifat dari relasi binair. Definisi 6.4.1 . Diketahui A himpunan tidak kosong. Relasi R pada A dari A ke A disebut refleksif jika jika dan hanya jika untuk setiap anggota dari semestanya berlaku aRa. Secara matematis dinyatakan dengan notasi, R refleksif   a A.aRa. Misalnya relasi mencintai antara orang-orang adalah relasi yang refleksif, sebab tidak ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri. Contoh 6.4.2. 1. Relasi kesejajaran antara garis-garis lurus pada bidang ℝ 2 refleksif, sebab a sejajar dengan a sendiri, untuk setiap garis a. 2. Relasi R pada ℝ dengan definisi untuk setiap a, b  ℝ, aRb jika b a  , merupakan relasi refleksif 3. Diketahui  m ℕ, dengan 1  m . Pada ℤ didefinisikan relasi modulo m, ditulis “mod m” dengan definisi     a b m m b a    mod , , yaitu terdapat k ℤ, sehingga . km a b   Relasi m mod reflesif. Notasi lain untuk   m b a mod ,  adalah m b a mod  Suatu relasi R pada A disebut non-refleksif jika sekurang-kurangnya ada satu a A tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri,    R b a A a    , Contoh 6.4.3. 1. Relasi R pada ℝ dengan definisi untuk setiap a, b  ℝ, aRb jika b a  , merupakan relasi non-refleksif, sebab , 1 1  jadi   R  1 , 1 2. Didefinisikan relasi R pada ℝ dengan definisi untuk setiap a, b  ℝ,     , , b a R b a    dengan   b bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari b. Relasi R non- refleksi. Definisi 6.4.4 . Relasi R pada A disebut irrefleksi jika untuk setiap a  A berlaku:   R a a  , . Notasi matematisnya, R irrefleksif  a,b  A.   R a a  , . Contoh 6.4.5. 1. Relasi R pada ℝ dengan definisi untuk setiap a, b  ℝ, aRb jika b a  , merupakan relasi irrefleksif, sebab , a a  untuk setiap . A a  2. Relasi R pada ℝ di Contoh 6.4.3 nomor 2 bukan relasi irrefleksi sebab untuk a  ℤ⊂ ℝ,   a a  . Akibatnya   . , R a a  3. Relasi “  ” pada himpunan semua garis di ℝ 2 atau ℝ 3 irrefleksif, sebab untuk setiap garis g pasti tidak tegak lurus dengan g sendiri. Jenis relasi berikutnya berkaitan erat dengan kesimetrisan relasi antara dua elemen himpunan. Definisi 6.4.6. Relasi R pada A disebut simetris jika untuk setiap a,b dari semestanya berlaku: aRb  bRa. Notasi matematisnya, R simetris  a,b  A.aRb  bRa. Contoh 6.4.7. 1. Relasi kesejajaran antara garis-garis lurus di ℝ 2 atau ℝ 3 bersifat simetris, sebab g sejajar h, maka h pasti juga sejajar g. 2. Relasi R pada ℝ dengan definisi aRb jika a b b a 2 2 2 2    merupakan relasi simetris, sebab jika a b b a 2 2 2 2    dapat dipastikan b a a b 2 2 2 2    . 3. Relasi “ m mod ” pada Contoh 6.4.2. bersifat simetris, sebab jika   m b a mod ,  , maka terdapat k ℤ, sehingga . km a b   Akibatnya terdapat –kℤ, sehingga     . m k a b b a       Selanjutnya, jika sekurang-kurangnya terdapat satu pasang a, b  A sedemikian hingga   R b a  , dan   R b a  , , maka R dikatakan non-simetris. Misalnya relasi mencintai pada himpunan semua manusia. Contoh 6.4.8. 1. Diketahui  X ∅. Relasi “⊂” pada himpunan kuasa   X P bersifat non simetris, sebab jika B A  , maka B A  2. Diketahui  X ∅. Relasi “” pada himpunan kuasa   X P bersifat non simetris, sebab untuk X A X   , berlaku X A  , yang berarti X A  . 3. Pada himpunan Mℝ yang memuat semua matriks       d c b a atas ℝ, didefinisikan relasi R; untuk semua A, B Mℝ,   R B A  , jika  AB . Relasi R bersifat non simetris, sebab                    1 1 1 tetapi                    1 1 1 1 Definisi 6.4.9. Relasi R pada himpunan A dikatakan antisimetris jika       b a bRa aRb A b a      , Contoh 6.4.10. 1. Diketahui  X ∅. Relasi “” pada himpunan kuasa   X P bersifat anti simetris, sebab jika B A  dan A B  , maka B A  2. Pada himpunan ℤ didefinisikan relasi P dengan definisi     k a b k aPb 7 . , 1 ,       Relasi P anti simetris, jika k a b 7   dan m b a 7   , dengan  k m, ℕ⋃   , maka    k m , sehingga . a b  Definisi 6.4.11. Relasi R pada himpunan A dikatakan asimetris jika untuk setiap A b a  , berlaku, jika   R b a  , pastilah   R a b  , . Dengan kata lain R asimetris ⇔         R a b R b a A b a      , , , . Salah satu contoh relasi asimetris yang sudah dikenal dengan baik dalam pelajaran matematika mulai dari SD, SMP, dan SMA adalah relasi lebih kecil “ “ pada himpunan semua bilangan real. Contoh-contoh relasi asimetris yang lain diberikan sebagai berikut. Contoh 6.4.12. 1. Pada himpunan ℤ didefinisikan relasi P dengan definisi     k a b k aPb 7 . , 2 , 1       Relasi P asimetris. 2. Diketahui  X ∅. Relasi “” pada himpunan kuasa   X P bersifat asimetris. 3. Pada Contoh 6.4.8, relasi R pada Mℝ bersifat non simetris, tapi tidak asimetris , sebab                    1 1 dan                    1 1 . Definisi 6.4.13 . Relasi R pada A dikatakan transitif jika untuk setiap tripel a,b,c di A berlaku apabila aRb dan bRc maka aRc. Notasi matematisnya, R transitif  a, b, cA.aRb  bRc  aRc. Relasi transitif sangat banyak dijumpai dalam konsep-konsep matematika. Semua sistem bilangan seperti ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, dan ℂ mengenal relasi “urutan parsial ” yang salah satu syaratnya harus transitif. Demikian juga dalam aljabar, dikenal istilah semigrup terurut, lapangan terurut parsial, dan grup kuosien yang proses pembentukannya menggunakan relasi ekuivalensi. Contoh 6.4.14 . 1. Relasi kesejajaran antara garis-garis lurus di ℝ 2 atau ℝ 3 bersifat transitif. 2. Relasi R pada ℝ dengan definisi a b b a aRb 2 2 2 2     merupakan relasi transitif 3. Relasi “ m mod ” pada Contoh 6.4.2. bersifat transitif, sebab jika     m c b b a mod , , ,  , maka terdapat h, k ℤ, sehingga . km a b   dan . hm b c   Akibatnya terdapat m+k ℤ, yang memenuhi       . m k h km hm a b b c a c          Jadi   . mod , m a c  Bentuk ingkaran dari relasi transitif memberi syarat keanggotaan untuk terbentuknya relasi jenis lain. Syarat tersebut menyatakan, jika pada himpunan A dapat ditemukan triple a, b, dan c elemen A, sehingga aRb dan bRc tetapi aRc, maka R dikatakan non-transitif. Dengan kata lain: Definisi 6.4.15. Relasi R pada himpunan A dikatakan non-transitif jika           R c a R c b R b a A c b a        , , , , , Contoh relasi non-simetris banyak dijumpai dalam bidang matematika dan kehidupan sehari- hari. Relasi “menyukai” atau “bersahabat” pada semesta himpunan semua manusia menunjukkan kondisi yang non-transitif, sebab jika A menyukai B dan B menyukai C, tidak selalu berakibat A menyukai C. Ada beberapa kasus yang secara ekstrim justru menunjukkan A tidak menyukai C. Contoh 6.4.16. 1. Relasi “  ” pada himpunan semua garis di ℝ 3 non transitif, sebab dapat ditemukan garis g = h : sumbu OX dan l : sumbu OY yang memenuhi h g h l l g tetapi , dan   . Namun jika diambil g sumbu OX, h sumbu OY, dan l sumbu OZ, diperoleh h g h l l g    dan , , 2. Diambil   3 , 2 , 1  X . Relasi “” pada himpunan kuasa   X P bersifat non transitif, sebab        2 , 1 3 , 2 , 3 , 2 1   , tetapi    2 , 1 1  . Definisi 6.4.17. Relasi R pada himpunan A dikatakan intransitif jika             R c a R c b R b a A c b a        , , , , , Contoh 6.4.18. 1. Dari Contoh 6.4.16, keduannya bukan relasi intransitif. 2. Relasi “  ” pada himpunan semua garis di ℝ 2 merupakan relasi intransitif, sebab jika h g h g h l l g    atau maka , dan . Definisi 6.4.19 . Relasi R pada himpunan A yang sekaligus memiliki sifat refleksif, simetris, dan transitif disebut relasi ekuivalensi. Dalam matematika relasi ekuivalensi memegang peranan penting. Contoh- contoh relasi ekuivalensi adalah : 1. Relasi kesejajaran antara garis – garis lurus pada bidang datar. 2. Relasi kesebangunan antara segitiga-segitga dalam bidang datar. Contoh 6.4.20. 1. Relasi R pada ℝ dengan definisi a b b a aRb 2 2 2 2     merupakan relasi ekuivalensi 2. Relasi “ m mod ” pada Contoh 6.4.2. bersifat ekuivalensi, sebab : 1. Sifat refleksif dipenuhi: a - a = 0.m, sehingga a  amod m. 2. Sifat simetris dipenuhi: Jika a – b = k.m, maka b – a = -km, suatu kelipatan -k dari m, sehingga untuk setiap a, b berlaku, jika a  bmod m maka b  amod m. 3. Sifat transitif dipenuhi, sebab jika a  bmod m dan b  cmod m, maka a – b = km dan b – c = lm, untuk suatu bilangan bulat k dan l, sehingga jika dijumlahkan diperoleh a – c = k + lm, dengan k + l bilangan bulat. Jadi a  cmod m. Selanjutnya diberikan suatu teorema yang memegang peranan penting dalam matematika, khususnya di bidang aljabar abstrak. Untuk itu sebelumnya didefiniskan pengertian partisi himpunan. Definisi 6.4.21. Diketahui A himpunan tak kosong dan K = { H i | i  I } koleksi subhimpunan A. Koleksi K disebut partisi A jika       i H I i , A H i I i    , dan        j i H H j i Contoh 6.4.22. 1. Diketahui   19 , 13 , 10 , 8 , 6 , 3 , 1  H . Keluarga himpunan        13 , 10 , 8 , 3 , 19 , 6 , 1  K merupakan partisi H 2. Pada himpunan bilangan real ℝ, 2.1.     bulat bilangan 1 n n, n L   merupakan partisi ℝ. 2.2.                     bulat bilangan 1 , 2 1 , 2 1 n n, n n n M merupakan partisi ℝ. Teorema 6.4.23 . Relasi ekuivalensi antara anggota-anggota himpunan A, mengakibatkan terbentuk partisi penggolongan di dalam A. Partisi dalam himpunan A membagi A ke dalam himpunan bagian- himpunan bagian kelas-kelas yang masing-masing tidak kosong dan saling asing, sehingga setiap anggota dari A berada dalam salah satu dan hanya satu kelas A. Bukti . Misalkan relasi di atas disebut R. Karena ekuivalensi, maka R memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif. Semua elemen – elemen yang berelasi R dengan a, dikumpulkan dalam suatu hmpunan,sebut S a . Jadi S a = { x S | xRa }. Himpunan S a tidak kosong sebab R refleksif, jadi aRa, sehingga a S a dan S a mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota. Daapat disimpulkan bahwa setiap anggota pasti berada dalam sekurang-kurangnya satu kelas, yaitu yang memuat ia sendiri. Selanjutnya, misalkan S a dan S b beririsan tidak kosong, dengan salah satu elemen irisannya c. Karena c  S a , maka cRa; dan karena R simetris maka aRc. Selain itu karena c  S b maka berlaku juga cRb. Dari aRc dan cRb, sehingga dengan menggunakan sifat transitif diperoleh aRb, sehingga a  S b . Selanjutnya untuk setiap p  S a berlaku pRa dan karena aRb, dengan menggunakan R transitif, maka pRb. Jadi p  S b , sehingga terbukti, S a  S b. Dengan cara yang analog dapat dibuktikan S b  S a , sehingga berlaku S a = S b . Dengan demikian terbukti bahwa relasi ekuivalensi akan menyebabkan terbentuknya kelas-kelas yang disebut kelas ekuivalensi. Akibat 6.4.24 . Diambil m ℕ lebih besar daripada 1. Terhadap relasi modulo m, himpunan ℤ terpartisi menjadi kelas-kelas : 1.         , 2 , , , , 2 , m m m m n m n      2.         , 1 2 , 1 , 1 , 1 , 1 2 , 1 1          m m m m n m n 3.         , 2 , , , , 2 , i m i m i i m i m i n m n i          4.           , 1 2 , 1 , 1 , 1 , 1 2 , 1 1             m m m m m n m n m Himpunan kelas-kelas:   1 , , 2 , 1 ,  m  . Teorema 6.4.25 . Terhadap relasi m mod pada ℤ berlaku: 1. m d b c a m d c m b a mod mod mod        2. m bd ac m d c m b a mod mod mod      Relasi mod m juga disebut dengan relasi kongruensi. Definisi 6.4.26. Relasi R pada A disebut relasi urutan parsial lemah jika memenuhi refleksif, antisimetris, dan transitif. Himpunan A yang dilengkapi urutan parsial lemah disebut himpunan terurut lemah. Contoh 6.4.27. 1. Pada ℝ didefinisikan relasi lebih kecil atau sama dengan “≤”. Relasi “≤” bersifat refleksif, antisimetris, dan transitif. 2. Diketahui  X ∅. Relasi “” pada himpunan kuasa   X P bersifat refleksi, anti simetris, dan transitif. Jadi relasi urutan lemah 3. Pada himpunan ℤ didefinisikan relasi P dengan definisi    , 4 , 2 ,    a b aPb merupakan relasi refleksif, anti sinetris, dan transitif. Jadi P urutan parsial lemah 4. Pada himpunan ℝ n =     n i x x x x i n , , 2 , 1 real, bilangan , , , 2 1    didefinisikan relasi R, dengan   n a a a , , 1   ,   n b b b , , 1    ℝ n n n b a b a aRb    , , 1 1  Relasi R merupakan urutan parsial lemah. Selanjutnya, jika R relasi urutan parsial lemah pada A, dengan merujuk notasi “≤” pada contoh 1 di atas, maka “ aRb ” dapat ditulis dengan “ b a  ” atau “ b a R  ”. Relasi lain yang berkaitan langsung dengan urutan lemah dan banyak digunakan di bidang analisis dikenal dengan relasi urutan parsial tegas. Definisi 6.4.28. Relasi R pada A disebut relasi urutan parsial tegas jika memenuhi irrefleksif, asimetris, dan transitif. Himpunan A yang dilengkapi urutan parsial tegas disebut himpunan terurut tegas. Contoh 6.4.29. 1. Pada ℝ didefinisikan relasi lebih kecil “”. Relasi “” bersifat irrefleksif, asimetris, dan transitif. Berarti merupakan urutan parsial tegas. 2. Diketahui  X ∅. Relasi subhimpunan sejati “” pada himpunan kuasa   X P bersifat irrefleksi, asimetris, dan transitif. Jadi relasi urutan parsial tegas. 3. Pada himpunan ℤ didefinisikan relasi P dengan definisi    , 4 , 2    a b aPb merupakan relasi irrefleksif, asinetris, dan transitif. Jadi P urutan parsial tegas 4. Pada himpunan ℝ n =     n i x x x x i n , , 2 , 1 real, bilangan , , , 2 1    didefinisikan relasi R, dengan   n a a a , , 1   ,   n b b b , , 1    ℝ n       i i n n b a n i b a b a aRb        , , 2 , 1 , , 1 1   Relasi R memenuhi: 1. Irrefleksif: Tidak mungkin ditemukan j, n j   1 yang memenuhi j j a a  , sehingga   R a a  , 2. Asimetris: Jika       i i n n b a n i b a b a aRb       , , 2 , 1 , , maka , 1 1   . Akibatnya tidak mungkin ditemukan j, n j   1 yang memnuhi j j b a  . Jadi   R b a  , 3. Transitif: Jika aRb dan bRc maka       i i n n b a n i b a b a       , , 2 , 1 , , 1 1   , dan       j j n n c b n j c b c b       , , 2 , 1 , , 1 1   . Akibatnya untuk semua l, n l   1 , memnuhi l l l c b a   , l l i c b a   , dan j j j c b a   . Jadi   R c a  , Selanjutnya, jika R relasi urutan parsial tegas pada A, dengan merujuk notasi “” pada contoh 1 di atas, maka “ aRb ” dapat ditulis dengan “ b a  ” atau “ b a R  ”. Salah satu jenis relasi yang disebut urutan trivial adalah relasi R dengan definisi aRb jika a = b. Relasi ini merupakan relasi urutan parsial lemah. Hubungan antara relasi urutan lemah dan relasi urutan tegas nampak dalam teorema berikut ini. Teorema 6.4.30. Diketahui R relasi pada himpunan A. 1. Jika R relasi urutan parsial lemah di A, maka relasi  R dengan definisi b aR  ⇔   b a b a R    merupakan relasi urutan tegas. 2. Jika R relasi urutan parsial tegas di A, maka relasi  R dengan definisi b aR  ⇔   b a b a R    merupakan relasi urutan lemah. Contoh 6.4.31. Pada himpunan ℝ n =     n i x x x x i n , , 2 , 1 real, bilangan , , , 2 1    didefinisikan relasi “  ”, “ 1  ”, dan “  ” dengan   n a a a , , 1   ,   n b b b , , 1    ℝ n       i i n n b a n i b a b a b a         , , 2 , 1 , , 1 1 1   n n b a b a b a     , , 1 1  . , , 1 1 n n b a b a b a      1. Relasi “  ” dan “ 1  ” merupakan urutan parsial lemah; sedangkan “  ” merupakan relasi urutan parsial tegas, 2. Jika didefinisikan relasi “   ” dengan definisi b a   jika b a  dan b a  , maka “   ” merupakan relasi urutan tegas; dan berlaku . b a b a     3. Jika didefinisikan relasi “   ” dengan definisi b a   jika b a  atau b a  , maka “   ” merupakan relasi urutan parsial lemah; dan berlaku . b a b a     Dari uraian tersebut jelas, bahwa       1 dan        1 . Selanjutnya, dalam matematika dapat ditemukan himpunan terurut parsial A terhadap relasi urutan R yang di dalamnya terdapat sepasang elemen a dan b yang tidak dapat “dibandingkan” artinya   , R b a  dan   , R a b  . Demikian juga dapat ditemukan contoh urutan parsial lemah R pada A yang memenuhi    a b b a A b a R R      , Relasi urutan yang memenuhi sifat ini dinamakan relasi urutan total lemah. Pengayaan: Menurut anda apakah himpunan kosong itu merupakan relasi dari A ke B ? Jelaskan menggunakan logika matematika

6.5. Fungsi Pemetaan.