2
2. Model Penyebaran Malaria
Dalam rangka
mengkonstruksi model penyebaran malaria, populasi
manusia dan
nyamuk akan
dikelompokkan terlenih dahulu. Untuk populasi
manusia terdapat
empat kelompok yang terdiri dari kelas rentan
h
S , inkubasi
h
E , terinfeksi
h
I , dan kebal
h
R . Sedangkan populasi nyamuk hanya dibagi ke dalam tiga
kelas, yaitu kelas rentan
v
S , inkubasi
v
E , dan terinfeksi
v
I . Pada populasi nyamuk tidak terdapat kelas kebal,
karena periode
infeksinya selalu
berakhir dengan kematian. Dari kelas- kelas tersebut maka jumlah populasi
manusia dapat dirumuskan dengan
h h
h h
h
R I
E S
N +
+ +
= ,
sedangkan jumlah populasi nyamuk dirumuskan
dengan
v v
v v
I E
S N
+ +
= . Parameter –
parameter lain yang digunakan antara lain kecepatan kelahiran per kapita
untuk manusia dan nyamuk yang masing - masing adalah
h
λ dan
v
λ .
Manusia dalam
kelas kebal,
kekebalannya akan semakin menurun dengan kecepatan
h
β . Individu –
individu dalam masa inkubasi akan menjadi terinfeksi dengan kecepatan
h
v untuk manusia dan
v
v untuk nyamuk. Individu – individu yang terinfeksi
menjadi sembuh dan masuk ke dalam kelas rentan dengan kecepatan
h
r , sedangkan individu yang terinfeksi
menjadi sembuh dan masuk ke dalam kelas kebal dengan kecepatan
h
α .
Kecepatan kematian per kapita untuk populasi manusia dan nyamuk masing –
masing dinyatakan dengan
h h
N f
dan
v v
N f
dengan
h
f dan
v
f diasumsikan sebagai fungsi monoton naik. Individu –
individu yang
terinfeksi malaria
meninggal dengan kecepatan
h
γ .
Misal
v
a adalah rata-rata jumlah gigitan per nyamuk per unit waktu,
maka dengan melihat kembali kelas- kelas populasi manusia dan nyamuk,
jumlah manusia terinfeksi per unit waktu
dapat dirumuskan
dengan
h h
v v
vh
S N
I a
c
.
Sedangkan jumlah
nyamuk terinfeksi per unit waktu dapat dirumuskan dengan
v h
h v
hv
S N
I a
c
+
v h
h v
hv
S N
R a
c
dengan
vh
c = penularan dari nyamuk yang terinfeksi ke manusia rentan
hv
c = penularan dari manusia yang telah terinfeksi ke nyamuk
rentan
hv
c~ = penularan dari manusia kebal yang telah terinfeksi ke
nyamuk rentan Dari parameter – parameter di atas ,
model penyebaran
malaria dapat
diformulasikan sebagai berikut
h h
h h
h h
h
I r
R N
dt dS
+ +
=
β λ
S N
I a
c S
N f
h v
v vh
h h
h
− −
;
h h
v v
vh h
S N
I a
c dt
dE
=
h h
h h
E N
f v
+ −
;
h h
h h
h h
r E
v dt
dI γ
α + +
− =
h h
h
I N
f +
;
3
h h
h h
h h
h
R N
f I
dt dR
+ −
= β
α
− −
=
v v
v v
v v
S N
f N
dt dS
λ
v h
h v
hv v
h h
v hv
S N
R a
c S
N I
a c
−
~
; +
=
v h
h v
hv v
S N
I a
c dt
dE
v v
v v
v h
h v
hv
E N
f v
S N
R a
c ~
+ −
;
v v
v v
v v
I N
f E
v dt
dI −
= ;
h h
h h
h h
h h
I N
N f
N dt
dN γ
λ −
− =
v v
v v
v v
N N
f N
dt dN
− =
λ 2.1
sedangkan kecepatan kematian per kapita dirumuskan dengan
h h
h h
h
N N
f
2
µ µ +
=
v v
v v
v
N N
f
2
µ µ +
= Untuk
lebih memudahkan
dalam menganalisa model, maka dilakukan
pendefinisian variabel baru sebagai berikut
, ,
, ,
h h
h h
h h
h h
N R
R N
I w
N E
v N
S u
= =
= =
v v
v v
v v
N I
z N
E y
N S
x =
= =
, ,
sehingga ,
1 1
R w
u v
R w
v u
− −
− =
⇒ =
+ +
+
y x
y z
y x
− −
= ⇒
= +
+ 1
1
Dengan pendefinisian parameter – parameter baru sebagai berikut
, ,
,
v h
v h
v
t µ
β β
µ λ
λ µ
τ =
= =
v h
v h
v h
r r
v v
µ µ
µ γ
γ
= =
= ,
,
, v
h µ
α α =
v h
µ µ
ε =
h h
h v
v v
v v
h v
vh v
h
N N
a c
N N
,
2 2
µ λ
µ µ
µ λ
µ ξ
− −
=
, ,
, ,
v v
hv v
hv v
v
a c
c av
c b
a
µ µ
µ λ
= =
=
v v
v e
µ
=
maka modelnya akan menjadi
uz wu
rw R
u d
du
ξ γ
β λ
τ
− +
+ +
− =
1
2
1 w
R u
v d
dw
γ τ
+ −
− =
w v
r +
+ +
+ −
λ γ
α
R wR
w d
dR
λ β
γ α
τ
+ −
+ =
cxR bxw
x a
d dx
− −
− =
1
τ
z e
a x
e d
dz 1
+ −
− =
τ 2.2
4
3. Solusi Kesetimbangan Model
Kategori