Solusi Kesetimbangan Model Kestabilan dari Model Dinamik Penyebaran Malaria - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

4

3. Solusi Kesetimbangan Model

Misalkan , , , , z x R w u adalah solusi kesetimbangan dari model, maka untuk mencarinya perlu diketahui bahwa kesetimbangan akan terpenuhi jika = dt dR , = dt dw , = dt dx , = dt dz , = dt du . Dengan memasukkan syarat tersebut ke dalam persamaan 2.2 didapat = τ d dR = + − + R wR w λ β γ α w R R γ α λ β + = + R R w γ α λ β + + = 3.1 = τ d dw 2 1 w R u v γ + − − = + + + + − w v r λ γ α dengan mensubstisuaikan persamaan 3.1, maka diperoleh + − = 1 R u v R R M R R 2 γ α γ α λ β γ λ β + + − + + 3.2 = τ d dx 1 = − − − R cx w bx x a dengan mensubstisuaikan persamaan 3.1, maka diperoleh { } 2 R c R c b b a a R a x γ α λ β γ α γ α + + + + + + = 3.3 = τ d dz 1 = + − − z e a x e dengan mensubstisuaikan persamaan 3.2, maka diperoleh ×       + = e a e z       + + + + + + + + 2 R c R a b c a R R c b c γ γ λ β α α γ λ β α 3.4 Karena , , , z x w u adalah persamaan yang mengandung R , maka terlebih dahulu akan dicari nilai R dengan mensubstitusikan persamaan 3.1 sampai 3.4 ke dalam persamaan uz wu rw R u d du ξ γ β λ τ − + + + − = 1 sehingga nilai R didefinisikan sebagai solusi polinomial berderajat 6 sebagai berikut 2 2 3 3 4 4 5 5 R A R A R A R A R + + + 1 = + + A R A dengan ξ γ 2 4 5 v acDF A = , 3 4 λ β β λ β γ + + − + = a B Ac v A ξ α aF c AD v a + + + 2 2 ξ γ α λ β v a a B cDF − + + − + 2 3 λ β β λ β γ + + − + = a B A A A λ β γ α α + + + − + + a a c B v v a v a c a c a γ α α αλ βγ + + − + + − + + 2 2 λ β a B AF A D v E RF a c A 2 2 γ γ α α − + + 2 2 λ β α + − + a B v cF 3 ξ γ α v a − + 2 λ β λ λ β γ + + − + = a B A A a A v a α − + + − + − + 2 2 2 2 v a B v a α λ β γ 2 2 2 2 λ β + − + a B AF A D 5 v F a aF c A 1 3 γ α + − − + + 3 ξ γ α v a B v cF − + , 2 1 λ β λ λ β γ α + + + − = a B v aA A v a α − v F aA ABF A D γ 1 3 2 + − − + + 2 ξ αγ v acF − , ξ α 1 3 F v aAD A − = , λ β α + + = b c v A , λ β α + + = M v a B M r v a D λ γ α λ β ξ + + + + = , λ γ α + + + + = v r M , λ γ α λ λ β λ β α ξ + + + + + + + + = r v e a a b c ev F Maka jelas terdapat 6 solusi kesetimbangan dengan salah satu akarnya bernilai = R . Ketika = R , maka = , , , , : z x R w u E 1, 0, 0, 1, 0 disebut Disease Free Equilibrium DFE, yaitu kondisi dimana setiap individu dalam populasi tersebut belum terjangkit penyakit. Dan ketika ≠ R , maka titik kesetimbangannya disebut kesetimbangan endemik. 4. Analisis Kestabilan Kestabilan dari solusi setimbang dapat dicari dengan linearisasi persamaan 2.1 di titik , , , , z x R w u dengan menggunakan ekspansi Taylor. Persamaan differensial non linear 2.1 jika dilinierisasi menjadi persamaan 4.1 sebagai berikut R w u r u z w dt du β γ ξ λ γ + + + − − = z u x ξ − + + , R v w M w u v dt dw 2 − + − + − = γ z x + + , + + + = w R u dt dR γ α z x R w + + − − λ β γ , R cx w bx u dt dx − + − + = z x x a + − + , x e R w u dt dz − + + + = z e a + − , 4.1 dengan cR bw a x a + + = λ γ α + + + + = v r M Jika JE adalah matriks Jacobian dari persamaan 4.1, I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristik nilai eigen dapat dicari dengan = − I JE ζ . Persamaan karakteristik nilai eigen dari persamaan 4.1 adalah 5 4 3 3 2 4 1 5 a a a a + + + + ζ ζ ζ ζ dengan 3 2 1 1 B B B x a e a a + + + + + =       + + + + = 2 x a e a e a x a a 3 2 1 3 2 1 B B B B B B + + + + 5 4 3 2 B B v B B + + + 6 3 2 1 3 B B B e a x a a + + + + = 3 2 1 B B B x a e a +       + + + 5 4 3 2 B B v B B + + + 4 3 5 4 3 2 1 B B B v vB B B B β + + + + 3 2 3 2 1 4 B B B B B e a x a a + + + =       + + + + + 5 4 x a e a B B v 4 3 5 4 3 2 1 B B B v vB B B B β + + + b x evu ξ − 4 3 2 1 5 vB B B B e a x a a + + = 4 3 5 B B vB β + + 3 4 bB cB x evu + − ξ dengan 5 ,..., 1 , = i B i fungsi – fungsi dari solusi R yang diberikan oleh persamaan 3.1 sampai 3.4 sebagai berikut , 1 w z B γ ξ λ − + = , 2 2 w M B γ − = , 3 w B γ λ β − + = 4 R B γ α + = , 5 u r B γ + = . Dari nilai eigen tersebut dapat ditentukan kestabilan dari titik – titik kesetimbangan dengan menggunakan teori teori kestabilan. Jika semua nilai eigennya adalah bilangan real negatif atau komplek konjugat dengan bagian real negatif, maka titik kesetimbangan nya stabil asimtotik. Jika semua nilai eigennya sama dengan nol atau murni imajiner, maka titik kesetimbangannya stabil tetapi tidak asimtotik. Dan jika salah satu atau semua nilai eigennya adalah bilangan real positif atau komplek konjugat dengan bagian real positif, maka titik kesetimbangannya tidak stabil.

5. Studi Kasus