4
3. Solusi Kesetimbangan Model
Misalkan ,
, ,
, z
x R
w u
adalah solusi kesetimbangan dari model, maka
untuk mencarinya
perlu diketahui
bahwa kesetimbangan akan terpenuhi jika
= dt
dR
,
= dt
dw
,
= dt
dx
,
= dt
dz
,
= dt
du
. Dengan memasukkan syarat tersebut ke dalam persamaan 2.2
didapat
=
τ
d dR
= +
− +
R wR
w
λ β
γ α
w R
R
γ α
λ β
+ =
+
R R
w γ
α λ
β +
+ =
3.1
=
τ
d dw
2
1 w
R u
v γ
+ −
− =
+ +
+ +
− w
v r
λ γ
α dengan mensubstisuaikan persamaan
3.1, maka diperoleh +
− =
1 R u
v R
R M
R R
2
γ α
γ α
λ β
γ λ
β +
+ −
+ +
3.2
=
τ
d dx
1 =
− −
− R
cx w
bx x
a dengan mensubstisuaikan persamaan
3.1, maka diperoleh
{ }
2
R c
R c
b b
a a
R a
x γ
α λ
β γ
α γ
α +
+ +
+ +
+ =
3.3
=
τ
d dz
1 =
+ −
− z
e a
x e
dengan mensubstisuaikan persamaan 3.2, maka diperoleh
×
+
= e
a e
z
+ +
+ +
+ +
+ +
2
R c
R a
b c
a R
R c
b c
γ γ
λ β
α α
γ λ
β α
3.4 Karena
, ,
, z
x w
u adalah persamaan
yang mengandung R , maka terlebih
dahulu akan dicari nilai R dengan
mensubstitusikan persamaan
3.1 sampai 3.4 ke dalam persamaan
uz wu
rw R
u d
du
ξ γ
β λ
τ
− +
+ +
− =
1
sehingga nilai R didefinisikan sebagai
solusi polinomial berderajat 6 sebagai berikut
2 2
3 3
4 4
5 5
R A
R A
R A
R A
R +
+ +
1
= +
+ A
R A
dengan ξ
γ
2 4
5
v acDF
A =
,
3 4
λ β
β λ
β γ
+ +
− +
= a
B Ac
v A
ξ α
aF c
AD v
a +
+ +
2
2
ξ γ
α λ
β v
a a
B cDF
− +
+ −
+
2 3
λ β
β λ
β γ
+ +
− +
= a
B A
A A
λ β
γ α
α
+ +
+ −
+ +
a a
c B
v v
a v
a c
a c
a
γ α
α αλ
βγ
+ +
−
+ +
− +
+
2 2
λ β
a B
AF A
D
v E
RF a
c A
2 2
γ γ
α α
− +
+
2
2 λ
β α
+ −
+ a
B v
cF
3
ξ γ
α
v a
− +
2
λ β
λ λ
β γ
+ +
− +
= a
B A
A a
A
v a
α
−
+ +
− +
− +
2 2
2 2
v a
B v
a α
λ β
γ 2
2
2 2
λ β +
− +
a B
AF A
D
5
v F
a aF
c A
1 3
γ α
+ −
− +
+ 3
ξ γ
α
v a
B v
cF −
+
,
2 1
λ β
λ λ
β γ
α +
+ +
− =
a B
v aA
A
v a
α
−
v F
aA ABF
A D
γ 1
3
2
+ −
− +
+
2
ξ αγ
v acF
− ,
ξ α
1
3
F v
aAD A
− =
, λ
β α
+ +
= b
c v
A
, λ
β α
+ +
= M
v a
B
M r
v a
D λ
γ α
λ β
ξ +
+ +
+ =
, λ
γ α
+ +
+ +
= v
r M
, λ
γ α
λ λ
β λ
β α
ξ
+ +
+ +
+ +
+ +
= r
v e
a a
b c
ev F
Maka jelas terdapat 6 solusi
kesetimbangan dengan
salah satu
akarnya bernilai
= R
. Ketika
= R
, maka
= ,
, ,
, :
z x
R w
u E
1, 0, 0, 1, 0 disebut Disease Free Equilibrium
DFE, yaitu kondisi dimana setiap individu dalam populasi tersebut belum
terjangkit penyakit. Dan ketika
≠ R
, maka titik kesetimbangannya disebut
kesetimbangan endemik.
4. Analisis Kestabilan
Kestabilan dari solusi setimbang dapat
dicari
dengan linearisasi
persamaan 2.1
di titik
, ,
, ,
z x
R w
u dengan menggunakan
ekspansi Taylor. Persamaan differensial non linear 2.1 jika dilinierisasi
menjadi persamaan
4.1 sebagai
berikut
R w
u r
u z
w dt
du
β γ
ξ λ
γ
+ +
+ −
− =
z u
x ξ
− +
+ ,
R v
w M
w u
v dt
dw 2
− +
− +
− =
γ
z x
+ +
,
+ +
+ =
w R
u dt
dR
γ α
z x
R w
+ +
− −
λ β
γ ,
R cx
w bx
u dt
dx −
+ −
+ =
z x
x a
+ −
+
,
x e
R w
u dt
dz −
+ +
+ =
z e
a +
−
, 4.1 dengan
cR bw
a x
a +
+ =
λ γ
α
+ +
+ +
= v
r M
Jika JE adalah matriks Jacobian dari persamaan 4.1, I adalah matriks
identitas, maka persamaan karakteristik nilai
eigen dapat
dicari dengan
= −
I JE
ζ . Persamaan karakteristik
nilai eigen dari persamaan 4.1 adalah
5 4
3 3
2 4
1 5
a a
a a
+ +
+ +
ζ ζ
ζ ζ
dengan
3 2
1 1
B B
B x
a e
a a
+ +
+ +
+ =
+ +
+ +
=
2
x a
e a
e a
x a
a
3 2
1 3
2 1
B B
B B
B B
+ +
+ +
5 4
3 2
B B
v B
B +
+ +
6
3 2
1
3
B B
B e
a x
a a
+ +
+ +
=
3 2
1
B B
B x
a e
a +
+ +
+
5 4
3 2
B B
v B
B +
+ +
4 3
5 4
3 2
1
B B
B v
vB B
B B
β +
+ +
+
3 2
3 2
1 4
B B
B B
B e
a x
a a
+ +
+ =
+ +
+ +
+
5 4
x a
e a
B B
v
4 3
5 4
3 2
1
B B
B v
vB B
B B
β +
+ +
b x
evu ξ
−
4 3
2 1
5
vB B
B B
e a
x a
a +
+ =
4 3
5
B B
vB β
+ +
3 4
bB cB
x evu
+ −
ξ dengan
5 ,...,
1 ,
= i
B
i
fungsi – fungsi dari solusi
R yang
diberikan oleh
persamaan 3.1 sampai 3.4 sebagai berikut
,
1
w z
B γ
ξ λ
− +
= ,
2
2
w M
B γ
− =
,
3
w B
γ λ
β
− +
=
4
R B
γ α +
= ,
5
u r
B
γ
+ =
. Dari nilai eigen tersebut dapat
ditentukan kestabilan dari titik – titik kesetimbangan dengan menggunakan
teori teori kestabilan. Jika semua nilai eigennya adalah bilangan real negatif
atau komplek konjugat dengan bagian real negatif, maka titik kesetimbangan
nya stabil asimtotik. Jika semua nilai eigennya sama dengan nol atau murni
imajiner, maka titik kesetimbangannya stabil tetapi tidak asimtotik. Dan jika
salah satu atau semua nilai eigennya adalah bilangan real positif atau
komplek konjugat dengan bagian real positif, maka titik kesetimbangannya
tidak stabil.
5. Studi Kasus