Estimating the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
RUHIYAT
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2013
Ruhiyat
NIM G551110101
RINGKASAN
RUHIYAT. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan I GUSTI PUTU
PURNABA.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai
fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses
Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah
dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di
bidang asuransi dan keuangan, fisika, demografi, geologi, serta biologi.
Pengembangan model proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan
memperumum proses Poisson yang digunakan. Salah satunya adalah dengan
menggunakan proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses
Poisson periodik majemuk.
Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) merumuskan penduga bagi
fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk; (2) menganalisis
kekonsistenan penduga; (3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared error
(MSE) penduga; dan (4) mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang
interval waktu pengamatan yang terbatas.
Misalkan
adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi
intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
memiliki periode (diketahui)
Fungsi intensitas
tidak diasumsikan
memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik, yakni
untuk setiap
dan
. Misalkan
periodik majemuk yang bersesuaian dengan proses
∑
adalah proses Poisson
dengan
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga bebas
terhadap proses
. Fungsi nilai harapan dari
adalah
dengan
⌊ ⌋
dan
∫
Misalkan untuk suatu
, suatu realisasi tunggal
dari proses
yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
diamati pada
suatu interval terbatas
. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
yang diamati, misalkan titik data ke- ,
1, 2, ,
,
peubah acak yang bersesuaian juga diamati.
Penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
̂
dengan
dan
̂
̂
̂
̂
̂
∑
∑
̂
dengan ̂
saat
.
Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah dan kuat, yaitu
dan
untuk →
adalah
dan
̂
→
̂
→
. Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut
[̂
]
( )
[̂
]
( )
[̂
]
( )
untuk → . Perilaku penduga belum cukup baik ketika interval waktu
pengamatannya sepanjang 20 periode, tetapi sudah cukup baik ketika interval
waktu pengamatannya sepanjang 40 periode yang merupakan interval yang
terbatas.
Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, pendugaan konsisten,
proses Poisson majemuk
SUMMARY
RUHIYAT. Estimating the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson
Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and I GUSTI PUTU PURNABA.
A stochastic process has an important role in modeling various real
phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson
process. Many phenomena in different fields that have been modeled as a
compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and
finance, physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson
process model can be extended by generalizing the corresponding Poisson
process. One of them is using cyclic Poisson process, so that the model becomes a
compound cyclic Poisson process.
This research has four objectives as follows: (1) to formulate an estimator of
the mean function of a compound cyclic Poisson process; (2) to analyze the
consistency of the estimator; (3) to analyze the bias, variance, and mean squared
error (MSE) of the estimator; and (4) to observe the behavior of the estimator in
the case that the length of the observation time interval is bounded.
Let
be a cyclic Poisson process with (unknown) locally
integrable intensity function . We consider the case when the intensity function
has a (known) period
. We do not assume any (parametric) form of except
that it is periodic, that is, the equality
holds for all
and
. Let
process that corresponds to the process
be a compound cyclic Poisson
where
∑
with
is a sequence of independent and identically distributed random
variables having mean
and variance
, which is also independent of
the process
. The mean function of
is given by
where
⌊ ⌋
and
∫
Suppose that, for some
, a single realization
of the process
defined on a probability space
is observed, though only
within a bounded interval
. Furthermore, suppose that for each data point in
the observed realization
, say -th data point,
1, 2, ,
,
its corresponding random variable is also observed.
The estimator of the mean function is given by
̂
where
and
̂
̂
̂
̂
̂
∑
∑
̂
with the understanding that ̂
when
.
The estimator of the mean function is both a weak and a strong consistent
estimator, that is
and
̂
→
̂
→
as → . The rate of convergence of the bias, variance, and MSE of the
estimator are respectively
[̂
and
]
( )
[̂
]
( )
[̂
]
( )
as → . The behavior of the estimator is not good enough when the length of
the time interval of observations is 20 period, but it is good enough when the
length of the time interval of observations is 40 period, which is a bounded
interval.
Keywords: compound Poisson process, consistent estimation, cyclic intensity
function, mean function
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2013
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
RUHIYAT
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Penguji pada Ujian Tesis: Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Judul Tesis : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk
Nama
: Ruhiyat
NIM
: G551110101
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Ketua
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 25 April 2013
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penelitian yang dilaksanakan
sejak bulan Januari 2013 sampai April 2013 ini berjudul Pendugaan Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Dr
Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing, atas semua ilmu, saran,
kesabaran, dan motivasinya. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir Hadi
Sumarno, MS selaku penguji yang telah memberi saran. Di samping itu,
penghargaan penulis sampaikan kepada keluarga besar Departemen Matematika
FMIPA IPB yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Ungkapan
terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas doa,
dukungan, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, April 2013
Ruhiyat
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kerangka Pikir Penelitian
Tujuan Penelitian
1
1
1
3
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
3
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN
Perumusan Penduga
Kekonsistenan Penduga
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
Ilustrasi Penyusunan Penduga dengan Data Bangkitan
5
5
6
14
23
SIMPULAN
26
DAFTAR PUSTAKA
27
LAMPIRAN
29
RIWAYAT HIDUP
36
DAFTAR GAMBAR
1 Kerangka pikir penelitian
2 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 40]
3 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 80]
4 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 160]
2
25
25
26
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti beberapa persamaan
2 Beberapa lema dan teorema teknis
3 Program R untuk ilustrasi
29
33
35
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses
stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam
fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson
majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson
majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga
perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh
pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan
proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses
Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi
(Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan
menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian
memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu
dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh
karena itu, Proses Poisson majemuk kurang sesuai untuk memodelkan
permasalahan tersebut. Untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat
dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh
terhadap peluang terjadinya suatu kejadian, sehingga proses Poisson yang
digunakan adalah proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini
merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson
periodik. Sesuai dengan namanya, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik
berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik ini cocok dalam menggambarkan
fenomena yang terjadi secara periodik, seperti proses kedatangan pelanggan ke
suatu pusat pelayanan dengan periode satu hari.
Kerangka Pikir Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan alur seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat diasumsikan bahwa fungsi
intensitas dari proses Poissonnya konstan menjadikan model proses Poisson
majemuk perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti
proses Poisson homogen menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya
menjadi proses Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson
periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang
dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut.
Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena peubah acak Poisson
periodik majemuk merupakan fungsi dari waktu. Oleh karena itu, nilai harapan ini
disebut sebagai fungsi nilai harapan.
2
Keterbatasan Model
Proses Poisson
Majemuk
Pengembangan Model
Proses Poisson
Majemuk
Keperiodikan Fungsi
Intensitas
Model Proses Poisson
Periodik Majemuk
Fungsi Nilai Harapan
pada Proses Poisson
Periodik Majemuk
Penjabaran Fungsi
Nilai Harapan
Pendugaan Fungsi
Nilai Harapan
Perumusan Penduga
Kekonsistenan
Penduga
Kekonsistenan
Lemah
Bias, Ragam, dan
Mean Squared Error
(MSE)
Kekonsistenan
Kuat
Gambar 1 Kerangka pikir penelitian
Ilustrasi
3
Pada penelitian ini, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik
diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui,
fungsi nilai harapan dapat dengan mudah ditentukan. Dengan asumsi ini,
diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan
merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan. Suatu penduga merupakan
penduga yang tidak baik apabila tidak dapat mendekati nilai yang diduganya
ketika banyaknya sampel yang digunakan membesar. Oleh karena itu, penduga
yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya. Kekonsistenan yang dianalisis
ada dua, yaitu kekonsistenan lemah dan kekonsistenan kuat. Berbeda dengan
analisis kekonsistenan pada umumnya, analisis kekonsistenan pada penelitian ini
dilakukan ketika interval waktu pengamatan memanjang. Nantinya, harus
dibuktikan bahwa semakin panjang interval waktu pengamatan yang digunakan,
semakin banyak pula sampel yang digunakan. Selain itu, untuk melihat perbedaan
antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya dilakukan analisis
terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga. Kemudian,
pada penerapannya perlu diketahui seberapa panjang interval waktu pengamatan
yang harus digunakan agar diperoleh penduga yang baik. Oleh karena itu,
diperlukan pengamatan terhadap perilaku penduga untuk kasus panjang interval
waktu pengamatan yang terbatas. Pengamatan ini dapat dilakukan dengan
menggunakan data bangkitan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1) merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk,
2) menganalisis kekonsistenan penduga,
3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga, dan
4) mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang interval waktu pengamatan
yang terbatas.
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui)
. Fungsi
intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa
fungsi periodik, yakni memenuhi
(1)
untuk setiap
dan
, dengan menyatakan himpunan bilangan asli.
Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Helmers et al. (2003). Proses
dengan fungsi intensitas yang demikian disebut dengan proses
Poisson periodik.
4
Selanjutnya, misalkan
adalah suatu proses dengan
(2)
∑
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed (i.i.d.) dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap proses
. Proses
disebut dengan proses
Poisson periodik majemuk. Model dalam persamaan (2) adalah perumuman dari
proses Poisson majemuk yang mengasumsikan bahwa
adalah suatu
proses Poisson homogen.
Fungsi nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
, diberikan oleh
(3)
dengan
∫
(4)
Bukti persamaan (3) dapat dilihat pada Lampiran 1. Misalkan
⌊ ⌋
di mana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
maka untuk setiap bilangan real
⌊ ⌋
, dapat dinyatakan sebagai
(5)
dengan
. Misalkan
∫
yaitu fungsi intensitas global dari proses
(6)
, dan diasumsikan bahwa
(7)
maka untuk setiap
yang diberikan,
(8)
Bukti persamaan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1. Akhirnya, berdasarkan
persamaan (3) dan (8), fungsi nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
(9)
Fungsi nilai harapan inilah yang diduga dalam tulisan ini.
5
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (9) dilakukan dengan
menggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas
, untuk suatu
, yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
.
Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
yang diamati,
misalkan titik data ke- ,
1, 2, ,
, peubah acak yang bersesuaian
juga diamati.
Perumusan Penduga
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (9) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan fungsi intensitas global ,
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi
pendugaan
pada interval waktu
, dan pendugaan . Penduga bagi fungsi intensitas
global telah dikaji pada Mangku (2001) dan rumusannya adalah sebagai berikut:
̂
Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
waktu
. Pendugaan fungsi intensitas global juga dilakukan pada Helmers
dan Mangku (2012) serta Mangku (2010) untuk tujuan yang berbeda. Penduga
bagi
dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑
Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada setiap
interval waktu
,
, yang termasuk dalam interval pengamatan
. Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang sama dengan
panjang interval waktu banyaknya kejadian yang diduga, yaitu
, kecuali
mungkin untuk satu interval. Selain itu, masing-masing interval waktu tersebut
memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya kejadian
yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan akibat dari
sifat keperiodikan fungsi intensitas . Helmers dan Mangku (2012) serta Mangku
(2010) juga melakukan pendugaan
untuk tujuan yang berbeda. Penduga
bagi dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑
dengan ̂
saat
. Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
. Dengan menggunakan ketiga rumusan penduga tersebut, penduga bagi
fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
6
̂
̂
dengan ̂
saat
̂
.
̂
(10)
Kekonsistenan Penduga
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi nilai harapan.
Lema 1
Misalkan fungsi intensitas
maka
untuk →
bagi .
Bukti:
Misalkan
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂ ]
∫
( )
. Dengan kata lain, ̂ merupakan penduga yang tak bias asimtotik
, maka [ ̂ ] dapat ditulis menjadi
[̂ ]
∫
∫
∫
Pertama, perhatikan bahwa
∫
∫
∫
∫
Karena merupakan fungsi periodik dengan periode
bilangan real
, berlaku
∫
sehingga
∫
(11)
(
∫
)
, maka untuk setiap
∫
(
∫
⏟
∫
∫
)
7
∫
∫
Kemudian, karena (
untuk
→
)
untuk
untuk
→
(
)
( )
, sehingga bagian pertama pada persamaan (11) adalah
untuk → . Kedua, karena
→ , maka
untuk
untuk setiap , maka
( )
( )
terintegralkan lokal dan
, untuk
∫
, sehingga bagian kedua pada persamaan (11) adalah
∫
→
. Jadi,
→
. Bu t eng p ■
( )
[̂ ]
( )
Dalam tulisan ini, untuk setiap peubah acak
dan
dalam suatu ruang
peluang
,
→ menyatakan bahwa
konvergen lengkap ke , untuk
→ . Peubah acak
disebut konvergen lengkap ke , jika untuk setiap
,
∑
|
|
8
Lema 2
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
dan
̂ →
(12)
̂ →
(13)
untuk → .
Bukti:
Karena berlakunya (13) mengakibatkan berlakunya (12), maka cukup dibuktikan
(13) saja. Untuk membuktikan (13), harus diperiksa bahwa untuk setiap
,
∑ (| ̂
|
)
(14)
Perhatikan bahwa berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
(| ̂
|
Berdasarkan Lema 1, untuk
yang cukup besar,
(| ̂
)
(| ̂
(| ̂
[̂ ]
[ ̂ ]|
[̂ ]
| [̂ ]
yang cukup besar, | [ ̂ ]
|
|̂
)
[ ̂ ]|
|
|
|
)
)
, sehingga untuk
(15)
Oleh karena itu, berdasarkan uji banding, untuk membuktikan (14), cukup
dibuktikan bahwa
∑
|̂
[ ̂ ]|
(16)
Dengan menerapkan Lema L.1, peluang pada ruas kanan pertidaksamaan (15)
dapat dibatasi seperti berikut:
|̂
|
|
(
|
[ ̂ ]|
|
|
|
)
9
[̂ ]
Berdasarkan Lema 1, [ ̂ ]
cukup besar,
|̂
, untuk
[ ̂ ]|
→
, sehingga untuk
yang
[̂ ]
. Selanjutnya, berdasarkan uji
Untuk penyederhanaan, misalkan
banding kembali, untuk membuktikan (16), cukup dibuktikan bahwa
∑
Perhatikan bahwa
(17)
∫
sehingga berdasarkan uji integral, diperoleh (17). Bu t eng p ■
Lema 3
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂
]
( )
untuk → . Dengan kata lain, ̂
merupakan penduga yang tak bias
asimtotik bagi
.
Bukti:
Nilai harapan ̂
dapat dihitung seperti berikut:
[̂
]
[ ∑
∑
]
10
∑ ∫
Misalkan
untuk
Karena
, maka
. Berarti,
untuk
. Oleh karena itu, setelah perubahan variabel,
[̂
]
∑∫
merupakan fungsi periodik dengan periode , maka
[̂
]
∑∫
∫
Perhatikan bahwa
untuk
→
. Jadi,
∑
∑
[̂
]
∫
∫
untuk
Lema 4
→
( )
. Bu t eng p ■
Misalkan fungsi intensitas
maka
dan
dan
( )
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
̂
→
(18)
̂
→
(19)
untuk → .
Bukti:
Sama seperti pada bukti Lema 2, karena berlakunya (19) mengakibatkan
berlakunya (18), maka cukup dibuktikan (19) saja. Untuk membuktikan (19),
harus ditunjukkan bahwa untuk setiap
,
11
∑ (| ̂
|
)
(20)
Perhatikan bahwa berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
(| ̂
|
(| ̂
(| ̂
)
[̂
[̂
]
]|
[̂
| [̂
Berdasarkan Lema 3, untuk
yang cukup besar, | [ ̂
sehingga untuk yang cukup besar,
(| ̂
|
|̂
)
[̂
]|
]
]
]
|
|
|
)
)
,
(21)
Oleh karena itu, berdasarkan uji banding, untuk membuktikan (20), cukup
dibuktikan bahwa
Misalkan
∑
|̂
[̂
]|
∑
(22)
Jelas bahwa
merupakan peubah acak Poisson karena proses
memiliki inkremen bebas. Dengan menerapkan Lema L.1, peluang pada ruas
kanan pada pertidaksamaan (21) dapat dibatasi seperti berikut:
|̂
[̂
|
|
|
(
|
]|
|
|
[̂
)
]
12
Berdasarkan Lema 3, [ ̂
yang cukup besar,
|̂
]
[̂
, untuk
]|
→
[̂
, sehingga untuk
]
Dengan argumen yang sama pada bukti Lema 2,
∑
Oleh karena itu, berdasarkan uji banding, diperoleh (22). Bu t eng p ■
Lema 5
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kondisi (7) dipenuhi, maka dengan peluang 1,
→
untuk → .
Bukti:
Berdasarkan Lema 1 dan kondisi (7),
∫
(23)
→
untuk → . Kemudian, berdasarkan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli),
diperoleh (23). Bu t eng p ■
Kekonsistenan penduga fungsi nilai harapan disajikan dalam kedua teorema
berikut. Hasil ini dapat juga dilihat pada Ruhiyat et al. (2013).
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
(24)
̂ →
(25)
untuk → . Jadi, ̂
merupakan penduga yang konsisten lemah bagi
.
Bukti:
Perhatikan kembali persamaan (10). Dengan menerapkan Lema L.2, untuk
membuktikan (24), cukup diperiksa bahwa
dan
̂
→
(26)
13
(27)
̂ →
untuk → . Dengan Lema 2 diperoleh (25), dengan Lema 4 diperoleh (26),
serta dengan Lema 5 dan Teorema L.2 (hukum lemah bilangan besar) diperoleh
(27). Bu t eng p ■
Teorema 2 (Kekonsistenan kuat)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
(28)
̂ →
(29)
→
(30)
̂ →
(31)
untuk → . Jadi, ̂
merupakan penduga yang konsisten kuat bagi
.
Bukti:
Analog dengan bukti Teorema 1, untuk membuktikan (28), dengan menerapkan
Lema L.3, cukup ditunjukkan bahwa
̂
dan
untuk
,
→
. Berdasarkan Lema 2, ̂ → , untuk
∑ (| ̂
|
→
, yaitu untuk setiap
)
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
→
(| ̂
|
)
yang merupakan (29). Dengan argumen yang sama, berdasarkan Lema 4,
̂
→
, untuk → , yaitu untuk setiap
,
∑ (| ̂
|
)
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
→
(| ̂
|
)
yang merupakan (30). Terakhir, berdasarkan Lema 5 dan Teorema L.3 (hukum
kuat bilangan besar) diperoleh (31). Bu t eng p ■
14
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
Berikut ini merupakan hasil analisis terhadap bias, ragam, dan mean
squared error (MSE) dari penduga bagi fungsi nilai harapan.
Teorema 3 (Laju kekonvergenan bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
[̂
]
]
( )
untuk → . Artinya, bias ̂
konvergen ke nol dengan laju
jika
→ .
Bukti:
Nilai harapan dari penduga fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai
harapan bersyarat berikut:
[̂
]
[̂
∑ [̂
[̂
|
|
∑ [̂
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
,
̂
sehingga untuk
]
|
]
, untuk
̂
,
[
]
|
(
[̂
]
|
[̂
]
∑
[
( )
( )
( )
, sedangkan
∑
)
]
̂
, ̂
]
∑
]
(∑
(∑
)
)
15
( )
untuk
[̂
→
. Oleh karena itu,
]
∑
( )
∑
∑
[̂ ]
untuk
untuk
→
→
( )
. Jadi,
( )
∑
( )
(
( )
(
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
. Bu t eng p ■
)
( ) (
( )
[̂
∑
]
[̂
( )
]
( )
)
(
)
)
(
)
16
Perhitungan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan memerlukan
beberapa hasil berikut.
Lema 6
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂ ]
( )
untuk → .
Bukti:
Ragam ̂ dapat dihitung seperti berikut:
[̂ ]
Karena
merupakan peubah acak Poisson, maka
[̂ ]
[̂ ]
untuk
→
( )
( )
. Bu t eng p ■
Berdasarkan Lema 1 dan Lema 6, diperoleh akibat berikut.
Akibat 1
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂ ]
( )
untuk → .
Bukti:
Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:
[̂ ]
[̂ ]
( [ ̂ ])
17
( )
( )
( )
untuk
Lema 7
→
. Bu t eng p ■
Misalkan fungsi intensitas
maka
untuk →
Bukti:
Ragam ̂
( )
[̂
]
[ ∑
]
∑
memiliki inkremen bebas. Kemudian, karena
merupakan peubah acak Poisson, maka
[̂
]
∑
∑
[ ∑
[̂
→
( )
]
dapat dihitung seperti berikut:
karena proses
untuk
( )
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂
.
( )
. Bu t eng p ■
]
]
( )
( )
Berdasarkan Lema 3 dan Lema 7, diperoleh akibat berikut.
18
Akibat 2
Misalkan fungsi intensitas
maka
untuk → .
Bukti:
Momen kedua dari ̂
[ ̂
untuk
→
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[ ̂
]
(
)
( )
dapat ditentukan seperti berikut:
[̂
]
(
. Bu t eng p ■
( [̂
]
( )
( )
( )
)
])
(
( )
( )
)
( )
Ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan disajikan dalam teorema
berikut.
Teorema 4 (Laju kekonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
( )
]
jika
konvergen ke nol dengan laju
untuk → . Artinya, ragam ̂
→ .
Bukti:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat
diperoleh dari rumusan berikut:
[̂
[ ̂
]
]
( [̂
])
(32)
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (32) telah diperoleh pada Teorema 1,
sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut:
[ ̂
]
∑
[ ̂
[ ̂
|
|
]
]
19
[ ̂
[ ̂
∑
|
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
,
̂
|
̂
,
[ ̂
|
[
[
Pertama, dihitung
(
∑
̂
]
(
]
̂
Berdasarkan Lema 3 dan Akibat 2, diperoleh
̂
]
(
untuk
→
. Kedua, dihitung
]
∑
̂
(
, sedangkan
∑
]
[̂
[
, ̂
)
̂
̂
[
]
, untuk
(
sehingga untuk
]
)
∑
)
̂
[ ̂
]
( )
)
)
(
( )
( )
]
)
( )
( )
20
(
∑
)
[
(
(
(∑
)
(∑
)
∑
∑ [
]
∑∑
∑ [
]
∑∑
(
Jadi, diperoleh untuk
untuk
(
→
[ ̂
[ ̂
[
]
(
]
[ ]
)
)
)
)
,
|
]
. Oleh karena itu,
]
∑∑
∑(
(
∑
∑
)
(
)
( )) (
(
)
)
( ))
21
∑
(
untuk
→
(
→
Terakhir,
)
( )
∑
( )
∑
. Pada bukti Teorema 3 telah diperoleh
∑
dan
untuk
)
∑
(33)
∑
(34)
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
∑
(
∑
)
(35)
( )
(36)
untuk → . Bukti persamaan (36) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan
persamaan (33) – (36), diperoleh
[ ̂
(
]
(
(
)
[
)
)
( )
( )
(
]
)
(
)
(
)
( )
22
(
( )
)
(
)
( )
[̂ ]
[̂ ]
(
)
(
)
(
( )
( )
( )
)
( )
( )
(
untuk
untuk
→
→
(
( )
[̂ ]
(
)
)
(
( )
(
(
( )
)
)
( )
)
(
( )
(
)
( )
(
)
)
(
( )
(
( )
( )
)
)
)
( )
( )
( )
. Akhirnya, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
[̂
]
(
. Bu t eng p ■
( )
)
( )
( )
Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4, diperoleh MSE dari penduga fungsi
nilai harapan seperti berikut.
23
Akibat 3 (Laju kekonvergenan MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
untuk → . Artinya, MSE ̂
→ .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 3 dan 4,
[̂
]
[̂
]
konvergen ke nol dengan laju
[̂
]
( )
( )
untuk
→
. Bu t eng p ■
( )
(
( )
[̂
jika
])
( )
( )
Ilustrasi Penyusunan Penduga dengan Data Bangkitan
Ilustrasi ditujukan untuk mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang
interval waktu pengamatan yang terbatas. Penduga disusun dengan menggunakan
data bangkitan. Pembangkitan data dan penyusunan penduga dilakukan dengan
bantuan perangkat lunak R. Program R untuk proses ini terdapat pada Lampiran 3.
Dalam ilustrasi ini, realisasi dibangkitkan dari proses Poisson periodik
dengan rumusan fungsi intensitas
(
)
Setelah didapatkan realisasi tersebut, dibangkitkan pula nilai-nilai dari peubah
acak yang bersesuaian dengan setiap titik data. Nilai-nilai dari peubah acak
tersebut dibangkitkan dengan menggunakan sebaran eksponensial dengan nilai
harapan
2.
Proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas demikian memiliki periode
4. Adapun fungsi intensitas globalnya adalah
∫
∫
[
[(
]
)
(
)]
24
(
)
Selain itu, diperoleh juga
∫
∫
[
]
(
⌊ ⌋)
⌊ ⌋
⌊ ⌋
)
(
Oleh karena itu, fungsi nilai harapan yang diduga memiliki rumusan sebagai
berikut:
( ⌊ ⌋
(
(
⌊ ⌋)
⌊ ⌋)
⌊ ⌋
)
Fungsi nilai harapan ini diduga dengan menggunakan rumusan penduga
pada persamaan (10). Ada tiga pengamatan yang dilakukan yang panjang interval
waktu pengamatannya masing-masing adalah 10, 20, dan 40 periode. Pengamatan
pertama dilakukan pada interval waktu [0, 40], pengamatan kedua dilakukan pada
interval waktu [0, 80], sedangkan pengamatan ketiga dilakukan pada interval
waktu [0, 160]. Berdasarkan data pada masing-masing pengamatan tersebut,
disusun penduga bagi fungsi nilai harapan pada interval waktu [0, 10].
Hasil pengamatan disajikan pada Gambar 2 – 4. Penduga bagi fungsi nilai
harapan dengan menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 40] belum baik
seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Hal ini dikarenakan penduga masih jauh
dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya. Begitu pula untuk pengamatan
kedua, walaupun hasil pendugaannya sudah lebih baik dari hasil pendugaan pada
pengamatan pertama, penduga bagi fungsi nilai harapan dengan menggunakan
pengamatan pada interval waktu [0, 80] masih belum cukup baik seperti
ditunjukkan pada Gambar 3. Hal ini dikarenakan penduga belum cukup dekat
dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya. Berbeda dengan kedua pengamatan
sebelumnya, penduga bagi fungsi nilai harapan pada pengamatan ketiga sudah
cukup baik seperti ditunjukkan pada Gambar 4. Penduga bagi fungsi nilai harapan
pada interval waktu [0, 10] yang diperoleh sangat dekat dengan fungsi nilai
harapan yang sebenarnya. Nilai penduga hampir sama dengan nilai dari fungsi
nilai harapan yang sebenarnya.
25
Gambar 2 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 40]
Gambar 3 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 80]
26
Gambar 4 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 160]
Berdasarkan hasil ilustrasi ini, semakin panjang interval waktu pengamatan,
perbedaan nilai antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya
semakin kecil, artinya penduga semakin mendekati fungsi nilai harapan yang
sebenarnya. Selain itu, dari hasil ilustrasi ini pula diketahui bahwa perilaku
penduga sudah cukup baik ketika interval waktu pengamatannya sepanjang 40
periode yang merupakan interval waktu pengamatan yang terbatas.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk adalah
̂
dengan
̂
̂
̂
∑
̂
̂
27
dan
̂
∑
dengan ̂
saat
. Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan
rumusan ini merupakan penduga yang konsisten, baik konsisten lemah, maupun
konsisten kuat. Bias, ragam, dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai harapan
konvergen ke nol dengan laju
jika → . Dari ilustrasi yang dilakukan
dengan menggunakan data bangkitan, perilaku penduga belum cukup baik ketika
interval waktu pengamatannya sepanjang 20 periode, tetapi sudah cukup baik
ketika interval waktu pengamatannya sepanjang 40 periode.
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their
Applications in Insurance and Finance. Boston (US): VSP International
Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in
statistical physics. Physica 41:575-587.
C p ńs M Kopp E
7 Measure, Integral and Probability. Ed ke-2. New
York (US): Springer.
DasGupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning:
Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Helmers R, Mangku IW. 2012. Predicting a cyclic Poisson process. Ann. Inst.
Statist. Math. 64:1261-1279.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal. 84(1):19-39.
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of
injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9.
Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the
intensity of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East
J. Theor. Stat. 33(1):81-91.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process [disertasi].
Amsterdam (NL): University of Amsterdam.
Öze G İn C 2008. The probability function of the compound Poisson process
and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to
biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.
467(2127):897-910.
Reiss RD. 1993. A Course on Point Processes. New York (US): Springer-Verlag.
28
Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process. Far East J. Math. Sci., siap
terbit.
Sokol A, Nielsen AR. 2010. Advanced Probability. Copenhagen (DK): University
of Copenhagen.
29
Lampiran 1 Bukti beberapa persamaan
Bukti persamaan (3): Berdasarkan persamaan (2),
∑
Dengan sifat nilai harapan,
∑
[
∑
Selanjutnya, ditentukan terlebih dahulu
∑
yaitu,
∑
|
]
|
|
[∑
∑
]
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d., maka
∑
.
∑
sehingga
Akhirnya, diperoleh
∑
|
[
]
Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak
dengan proses
,
Bu t eng p ■
30
Bukti persamaan (8): Berdasarkan persamaan (4) dan (5),
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
∫
)
Karena merupakan fungsi periodik dengan periode
bilangan real
, berlaku
∫
∫
sehingga
∫
⏟
∫
∫
, maka untuk setiap
∫
∫
∫
Terakhir, berdasarkan persamaan (6), diperoleh
Bu t eng p ■
Bukti persamaan (36): Dari pembuktian Lema 5, diketahui bahwa
untuk
untuk
→
→
→
. Dari Lema 1, dapat diperoleh
. Oleh karena itu, untuk medapatkan persamaan (36) seperti berikut:
∑
cukup dibuktikan bahwa
∑
(
( )
)
31
untuk
→
→
, jika
∑
→
untuk
(
)
. Pertama, perhatikan bahwa
(
)
sehingga
dan
∑(
∑
∑
∑
∑
Selanjutnya,
∑
∑
Misalkan
∑
, maka
∑
)
∑
(
(
∑
)
)
32
untuk
→
maka
. Kemudian, karena
,
)
(
,
,
∑
Perhatikan juga bahwa
∑
,
sehingga
∑
∑
Misalkan
∑
, maka
∑
∑
(
)
∑
(
untuk
untuk
→
→
. Jadi,
(
∑
. Bu t eng p ■
)
)
(
(
)
)
(
)
33
Lampiran 2 Beberapa lema dan teorema teknis
Lema L.1
Misalkan adalah peubah acak Poisson dengan
, berlaku
(
|
|
)
, maka untuk setiap
{
Bukti dapat dilihat pada Reiss (1993).
}
Lema L.2
→
Misalkan
dan
→ , maka
→
n
→
n
→
Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2005).
Lema L.3
Misalkan
→
dan
→
, maka
→
Bukti dapat dilihat pada Sokol dan Nielsen (2010).
Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli)
Misalkan
adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika
∑
maka
Jika
(⋂ ⋃
)
→
adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
∑
maka
(⋂ ⋃
)
→
Bukti dapat dilihat pada DasGupta (2011).
34
Teorema L.2 (Hukum lemah bilangan besar)
Misalkan
, maka
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada C p ńs
∑
→
n Kopp (
dan ragam
7)
Teorema L.3 (Hukum kuat bilangan besar)
Misalkan Misalkan
, maka
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
∑
→
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).
35
Lampiran 3 Program R untuk ilustrasi
realisasi
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
RUHIYAT
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2013
Ruhiyat
NIM G551110101
RINGKASAN
RUHIYAT. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan I GUSTI PUTU
PURNABA.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai
fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses
Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah
dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di
bidang asuransi dan keuangan, fisika, demografi, geologi, serta biologi.
Pengembangan model proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan
memperumum proses Poisson yang digunakan. Salah satunya adalah dengan
menggunakan proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses
Poisson periodik majemuk.
Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) merumuskan penduga bagi
fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk; (2) menganalisis
kekonsistenan penduga; (3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared error
(MSE) penduga; dan (4) mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang
interval waktu pengamatan yang terbatas.
Misalkan
adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi
intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
memiliki periode (diketahui)
Fungsi intensitas
tidak diasumsikan
memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik, yakni
untuk setiap
dan
. Misalkan
periodik majemuk yang bersesuaian dengan proses
∑
adalah proses Poisson
dengan
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga bebas
terhadap proses
. Fungsi nilai harapan dari
adalah
dengan
⌊ ⌋
dan
∫
Misalkan untuk suatu
, suatu realisasi tunggal
dari proses
yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
diamati pada
suatu interval terbatas
. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
yang diamati, misalkan titik data ke- ,
1, 2, ,
,
peubah acak yang bersesuaian juga diamati.
Penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
̂
dengan
dan
̂
̂
̂
̂
̂
∑
∑
̂
dengan ̂
saat
.
Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah dan kuat, yaitu
dan
untuk →
adalah
dan
̂
→
̂
→
. Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut
[̂
]
( )
[̂
]
( )
[̂
]
( )
untuk → . Perilaku penduga belum cukup baik ketika interval waktu
pengamatannya sepanjang 20 periode, tetapi sudah cukup baik ketika interval
waktu pengamatannya sepanjang 40 periode yang merupakan interval yang
terbatas.
Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, pendugaan konsisten,
proses Poisson majemuk
SUMMARY
RUHIYAT. Estimating the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson
Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and I GUSTI PUTU PURNABA.
A stochastic process has an important role in modeling various real
phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson
process. Many phenomena in different fields that have been modeled as a
compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and
finance, physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson
process model can be extended by generalizing the corresponding Poisson
process. One of them is using cyclic Poisson process, so that the model becomes a
compound cyclic Poisson process.
This research has four objectives as follows: (1) to formulate an estimator of
the mean function of a compound cyclic Poisson process; (2) to analyze the
consistency of the estimator; (3) to analyze the bias, variance, and mean squared
error (MSE) of the estimator; and (4) to observe the behavior of the estimator in
the case that the length of the observation time interval is bounded.
Let
be a cyclic Poisson process with (unknown) locally
integrable intensity function . We consider the case when the intensity function
has a (known) period
. We do not assume any (parametric) form of except
that it is periodic, that is, the equality
holds for all
and
. Let
process that corresponds to the process
be a compound cyclic Poisson
where
∑
with
is a sequence of independent and identically distributed random
variables having mean
and variance
, which is also independent of
the process
. The mean function of
is given by
where
⌊ ⌋
and
∫
Suppose that, for some
, a single realization
of the process
defined on a probability space
is observed, though only
within a bounded interval
. Furthermore, suppose that for each data point in
the observed realization
, say -th data point,
1, 2, ,
,
its corresponding random variable is also observed.
The estimator of the mean function is given by
̂
where
and
̂
̂
̂
̂
̂
∑
∑
̂
with the understanding that ̂
when
.
The estimator of the mean function is both a weak and a strong consistent
estimator, that is
and
̂
→
̂
→
as → . The rate of convergence of the bias, variance, and MSE of the
estimator are respectively
[̂
and
]
( )
[̂
]
( )
[̂
]
( )
as → . The behavior of the estimator is not good enough when the length of
the time interval of observations is 20 period, but it is good enough when the
length of the time interval of observations is 40 period, which is a bounded
interval.
Keywords: compound Poisson process, consistent estimation, cyclic intensity
function, mean function
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2013
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
RUHIYAT
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Penguji pada Ujian Tesis: Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Judul Tesis : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk
Nama
: Ruhiyat
NIM
: G551110101
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Ketua
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 25 April 2013
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penelitian yang dilaksanakan
sejak bulan Januari 2013 sampai April 2013 ini berjudul Pendugaan Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Dr
Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing, atas semua ilmu, saran,
kesabaran, dan motivasinya. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir Hadi
Sumarno, MS selaku penguji yang telah memberi saran. Di samping itu,
penghargaan penulis sampaikan kepada keluarga besar Departemen Matematika
FMIPA IPB yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Ungkapan
terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas doa,
dukungan, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, April 2013
Ruhiyat
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kerangka Pikir Penelitian
Tujuan Penelitian
1
1
1
3
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
3
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN
Perumusan Penduga
Kekonsistenan Penduga
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
Ilustrasi Penyusunan Penduga dengan Data Bangkitan
5
5
6
14
23
SIMPULAN
26
DAFTAR PUSTAKA
27
LAMPIRAN
29
RIWAYAT HIDUP
36
DAFTAR GAMBAR
1 Kerangka pikir penelitian
2 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 40]
3 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 80]
4 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 160]
2
25
25
26
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti beberapa persamaan
2 Beberapa lema dan teorema teknis
3 Program R untuk ilustrasi
29
33
35
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses
stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam
fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson
majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson
majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga
perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh
pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan
proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses
Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi
(Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan
menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian
memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu
dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh
karena itu, Proses Poisson majemuk kurang sesuai untuk memodelkan
permasalahan tersebut. Untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat
dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh
terhadap peluang terjadinya suatu kejadian, sehingga proses Poisson yang
digunakan adalah proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini
merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson
periodik. Sesuai dengan namanya, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik
berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik ini cocok dalam menggambarkan
fenomena yang terjadi secara periodik, seperti proses kedatangan pelanggan ke
suatu pusat pelayanan dengan periode satu hari.
Kerangka Pikir Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan alur seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat diasumsikan bahwa fungsi
intensitas dari proses Poissonnya konstan menjadikan model proses Poisson
majemuk perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti
proses Poisson homogen menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya
menjadi proses Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson
periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang
dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut.
Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena peubah acak Poisson
periodik majemuk merupakan fungsi dari waktu. Oleh karena itu, nilai harapan ini
disebut sebagai fungsi nilai harapan.
2
Keterbatasan Model
Proses Poisson
Majemuk
Pengembangan Model
Proses Poisson
Majemuk
Keperiodikan Fungsi
Intensitas
Model Proses Poisson
Periodik Majemuk
Fungsi Nilai Harapan
pada Proses Poisson
Periodik Majemuk
Penjabaran Fungsi
Nilai Harapan
Pendugaan Fungsi
Nilai Harapan
Perumusan Penduga
Kekonsistenan
Penduga
Kekonsistenan
Lemah
Bias, Ragam, dan
Mean Squared Error
(MSE)
Kekonsistenan
Kuat
Gambar 1 Kerangka pikir penelitian
Ilustrasi
3
Pada penelitian ini, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik
diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui,
fungsi nilai harapan dapat dengan mudah ditentukan. Dengan asumsi ini,
diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan
merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan. Suatu penduga merupakan
penduga yang tidak baik apabila tidak dapat mendekati nilai yang diduganya
ketika banyaknya sampel yang digunakan membesar. Oleh karena itu, penduga
yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya. Kekonsistenan yang dianalisis
ada dua, yaitu kekonsistenan lemah dan kekonsistenan kuat. Berbeda dengan
analisis kekonsistenan pada umumnya, analisis kekonsistenan pada penelitian ini
dilakukan ketika interval waktu pengamatan memanjang. Nantinya, harus
dibuktikan bahwa semakin panjang interval waktu pengamatan yang digunakan,
semakin banyak pula sampel yang digunakan. Selain itu, untuk melihat perbedaan
antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya dilakukan analisis
terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga. Kemudian,
pada penerapannya perlu diketahui seberapa panjang interval waktu pengamatan
yang harus digunakan agar diperoleh penduga yang baik. Oleh karena itu,
diperlukan pengamatan terhadap perilaku penduga untuk kasus panjang interval
waktu pengamatan yang terbatas. Pengamatan ini dapat dilakukan dengan
menggunakan data bangkitan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1) merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk,
2) menganalisis kekonsistenan penduga,
3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga, dan
4) mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang interval waktu pengamatan
yang terbatas.
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui)
. Fungsi
intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa
fungsi periodik, yakni memenuhi
(1)
untuk setiap
dan
, dengan menyatakan himpunan bilangan asli.
Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Helmers et al. (2003). Proses
dengan fungsi intensitas yang demikian disebut dengan proses
Poisson periodik.
4
Selanjutnya, misalkan
adalah suatu proses dengan
(2)
∑
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed (i.i.d.) dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap proses
. Proses
disebut dengan proses
Poisson periodik majemuk. Model dalam persamaan (2) adalah perumuman dari
proses Poisson majemuk yang mengasumsikan bahwa
adalah suatu
proses Poisson homogen.
Fungsi nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
, diberikan oleh
(3)
dengan
∫
(4)
Bukti persamaan (3) dapat dilihat pada Lampiran 1. Misalkan
⌊ ⌋
di mana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
maka untuk setiap bilangan real
⌊ ⌋
, dapat dinyatakan sebagai
(5)
dengan
. Misalkan
∫
yaitu fungsi intensitas global dari proses
(6)
, dan diasumsikan bahwa
(7)
maka untuk setiap
yang diberikan,
(8)
Bukti persamaan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1. Akhirnya, berdasarkan
persamaan (3) dan (8), fungsi nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
(9)
Fungsi nilai harapan inilah yang diduga dalam tulisan ini.
5
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (9) dilakukan dengan
menggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas
, untuk suatu
, yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
.
Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
yang diamati,
misalkan titik data ke- ,
1, 2, ,
, peubah acak yang bersesuaian
juga diamati.
Perumusan Penduga
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (9) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan fungsi intensitas global ,
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi
pendugaan
pada interval waktu
, dan pendugaan . Penduga bagi fungsi intensitas
global telah dikaji pada Mangku (2001) dan rumusannya adalah sebagai berikut:
̂
Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
waktu
. Pendugaan fungsi intensitas global juga dilakukan pada Helmers
dan Mangku (2012) serta Mangku (2010) untuk tujuan yang berbeda. Penduga
bagi
dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑
Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada setiap
interval waktu
,
, yang termasuk dalam interval pengamatan
. Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang sama dengan
panjang interval waktu banyaknya kejadian yang diduga, yaitu
, kecuali
mungkin untuk satu interval. Selain itu, masing-masing interval waktu tersebut
memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya kejadian
yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan akibat dari
sifat keperiodikan fungsi intensitas . Helmers dan Mangku (2012) serta Mangku
(2010) juga melakukan pendugaan
untuk tujuan yang berbeda. Penduga
bagi dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑
dengan ̂
saat
. Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
. Dengan menggunakan ketiga rumusan penduga tersebut, penduga bagi
fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
6
̂
̂
dengan ̂
saat
̂
.
̂
(10)
Kekonsistenan Penduga
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi nilai harapan.
Lema 1
Misalkan fungsi intensitas
maka
untuk →
bagi .
Bukti:
Misalkan
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂ ]
∫
( )
. Dengan kata lain, ̂ merupakan penduga yang tak bias asimtotik
, maka [ ̂ ] dapat ditulis menjadi
[̂ ]
∫
∫
∫
Pertama, perhatikan bahwa
∫
∫
∫
∫
Karena merupakan fungsi periodik dengan periode
bilangan real
, berlaku
∫
sehingga
∫
(11)
(
∫
)
, maka untuk setiap
∫
(
∫
⏟
∫
∫
)
7
∫
∫
Kemudian, karena (
untuk
→
)
untuk
untuk
→
(
)
( )
, sehingga bagian pertama pada persamaan (11) adalah
untuk → . Kedua, karena
→ , maka
untuk
untuk setiap , maka
( )
( )
terintegralkan lokal dan
, untuk
∫
, sehingga bagian kedua pada persamaan (11) adalah
∫
→
. Jadi,
→
. Bu t eng p ■
( )
[̂ ]
( )
Dalam tulisan ini, untuk setiap peubah acak
dan
dalam suatu ruang
peluang
,
→ menyatakan bahwa
konvergen lengkap ke , untuk
→ . Peubah acak
disebut konvergen lengkap ke , jika untuk setiap
,
∑
|
|
8
Lema 2
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
dan
̂ →
(12)
̂ →
(13)
untuk → .
Bukti:
Karena berlakunya (13) mengakibatkan berlakunya (12), maka cukup dibuktikan
(13) saja. Untuk membuktikan (13), harus diperiksa bahwa untuk setiap
,
∑ (| ̂
|
)
(14)
Perhatikan bahwa berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
(| ̂
|
Berdasarkan Lema 1, untuk
yang cukup besar,
(| ̂
)
(| ̂
(| ̂
[̂ ]
[ ̂ ]|
[̂ ]
| [̂ ]
yang cukup besar, | [ ̂ ]
|
|̂
)
[ ̂ ]|
|
|
|
)
)
, sehingga untuk
(15)
Oleh karena itu, berdasarkan uji banding, untuk membuktikan (14), cukup
dibuktikan bahwa
∑
|̂
[ ̂ ]|
(16)
Dengan menerapkan Lema L.1, peluang pada ruas kanan pertidaksamaan (15)
dapat dibatasi seperti berikut:
|̂
|
|
(
|
[ ̂ ]|
|
|
|
)
9
[̂ ]
Berdasarkan Lema 1, [ ̂ ]
cukup besar,
|̂
, untuk
[ ̂ ]|
→
, sehingga untuk
yang
[̂ ]
. Selanjutnya, berdasarkan uji
Untuk penyederhanaan, misalkan
banding kembali, untuk membuktikan (16), cukup dibuktikan bahwa
∑
Perhatikan bahwa
(17)
∫
sehingga berdasarkan uji integral, diperoleh (17). Bu t eng p ■
Lema 3
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂
]
( )
untuk → . Dengan kata lain, ̂
merupakan penduga yang tak bias
asimtotik bagi
.
Bukti:
Nilai harapan ̂
dapat dihitung seperti berikut:
[̂
]
[ ∑
∑
]
10
∑ ∫
Misalkan
untuk
Karena
, maka
. Berarti,
untuk
. Oleh karena itu, setelah perubahan variabel,
[̂
]
∑∫
merupakan fungsi periodik dengan periode , maka
[̂
]
∑∫
∫
Perhatikan bahwa
untuk
→
. Jadi,
∑
∑
[̂
]
∫
∫
untuk
Lema 4
→
( )
. Bu t eng p ■
Misalkan fungsi intensitas
maka
dan
dan
( )
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
̂
→
(18)
̂
→
(19)
untuk → .
Bukti:
Sama seperti pada bukti Lema 2, karena berlakunya (19) mengakibatkan
berlakunya (18), maka cukup dibuktikan (19) saja. Untuk membuktikan (19),
harus ditunjukkan bahwa untuk setiap
,
11
∑ (| ̂
|
)
(20)
Perhatikan bahwa berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
(| ̂
|
(| ̂
(| ̂
)
[̂
[̂
]
]|
[̂
| [̂
Berdasarkan Lema 3, untuk
yang cukup besar, | [ ̂
sehingga untuk yang cukup besar,
(| ̂
|
|̂
)
[̂
]|
]
]
]
|
|
|
)
)
,
(21)
Oleh karena itu, berdasarkan uji banding, untuk membuktikan (20), cukup
dibuktikan bahwa
Misalkan
∑
|̂
[̂
]|
∑
(22)
Jelas bahwa
merupakan peubah acak Poisson karena proses
memiliki inkremen bebas. Dengan menerapkan Lema L.1, peluang pada ruas
kanan pada pertidaksamaan (21) dapat dibatasi seperti berikut:
|̂
[̂
|
|
|
(
|
]|
|
|
[̂
)
]
12
Berdasarkan Lema 3, [ ̂
yang cukup besar,
|̂
]
[̂
, untuk
]|
→
[̂
, sehingga untuk
]
Dengan argumen yang sama pada bukti Lema 2,
∑
Oleh karena itu, berdasarkan uji banding, diperoleh (22). Bu t eng p ■
Lema 5
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kondisi (7) dipenuhi, maka dengan peluang 1,
→
untuk → .
Bukti:
Berdasarkan Lema 1 dan kondisi (7),
∫
(23)
→
untuk → . Kemudian, berdasarkan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli),
diperoleh (23). Bu t eng p ■
Kekonsistenan penduga fungsi nilai harapan disajikan dalam kedua teorema
berikut. Hasil ini dapat juga dilihat pada Ruhiyat et al. (2013).
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
(24)
̂ →
(25)
untuk → . Jadi, ̂
merupakan penduga yang konsisten lemah bagi
.
Bukti:
Perhatikan kembali persamaan (10). Dengan menerapkan Lema L.2, untuk
membuktikan (24), cukup diperiksa bahwa
dan
̂
→
(26)
13
(27)
̂ →
untuk → . Dengan Lema 2 diperoleh (25), dengan Lema 4 diperoleh (26),
serta dengan Lema 5 dan Teorema L.2 (hukum lemah bilangan besar) diperoleh
(27). Bu t eng p ■
Teorema 2 (Kekonsistenan kuat)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
(28)
̂ →
(29)
→
(30)
̂ →
(31)
untuk → . Jadi, ̂
merupakan penduga yang konsisten kuat bagi
.
Bukti:
Analog dengan bukti Teorema 1, untuk membuktikan (28), dengan menerapkan
Lema L.3, cukup ditunjukkan bahwa
̂
dan
untuk
,
→
. Berdasarkan Lema 2, ̂ → , untuk
∑ (| ̂
|
→
, yaitu untuk setiap
)
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
→
(| ̂
|
)
yang merupakan (29). Dengan argumen yang sama, berdasarkan Lema 4,
̂
→
, untuk → , yaitu untuk setiap
,
∑ (| ̂
|
)
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
→
(| ̂
|
)
yang merupakan (30). Terakhir, berdasarkan Lema 5 dan Teorema L.3 (hukum
kuat bilangan besar) diperoleh (31). Bu t eng p ■
14
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
Berikut ini merupakan hasil analisis terhadap bias, ragam, dan mean
squared error (MSE) dari penduga bagi fungsi nilai harapan.
Teorema 3 (Laju kekonvergenan bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
[̂
]
]
( )
untuk → . Artinya, bias ̂
konvergen ke nol dengan laju
jika
→ .
Bukti:
Nilai harapan dari penduga fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai
harapan bersyarat berikut:
[̂
]
[̂
∑ [̂
[̂
|
|
∑ [̂
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
,
̂
sehingga untuk
]
|
]
, untuk
̂
,
[
]
|
(
[̂
]
|
[̂
]
∑
[
( )
( )
( )
, sedangkan
∑
)
]
̂
, ̂
]
∑
]
(∑
(∑
)
)
15
( )
untuk
[̂
→
. Oleh karena itu,
]
∑
( )
∑
∑
[̂ ]
untuk
untuk
→
→
( )
. Jadi,
( )
∑
( )
(
( )
(
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
. Bu t eng p ■
)
( ) (
( )
[̂
∑
]
[̂
( )
]
( )
)
(
)
)
(
)
16
Perhitungan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan memerlukan
beberapa hasil berikut.
Lema 6
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂ ]
( )
untuk → .
Bukti:
Ragam ̂ dapat dihitung seperti berikut:
[̂ ]
Karena
merupakan peubah acak Poisson, maka
[̂ ]
[̂ ]
untuk
→
( )
( )
. Bu t eng p ■
Berdasarkan Lema 1 dan Lema 6, diperoleh akibat berikut.
Akibat 1
Misalkan fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂ ]
( )
untuk → .
Bukti:
Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:
[̂ ]
[̂ ]
( [ ̂ ])
17
( )
( )
( )
untuk
Lema 7
→
. Bu t eng p ■
Misalkan fungsi intensitas
maka
untuk →
Bukti:
Ragam ̂
( )
[̂
]
[ ∑
]
∑
memiliki inkremen bebas. Kemudian, karena
merupakan peubah acak Poisson, maka
[̂
]
∑
∑
[ ∑
[̂
→
( )
]
dapat dihitung seperti berikut:
karena proses
untuk
( )
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[̂
.
( )
. Bu t eng p ■
]
]
( )
( )
Berdasarkan Lema 3 dan Lema 7, diperoleh akibat berikut.
18
Akibat 2
Misalkan fungsi intensitas
maka
untuk → .
Bukti:
Momen kedua dari ̂
[ ̂
untuk
→
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
[ ̂
]
(
)
( )
dapat ditentukan seperti berikut:
[̂
]
(
. Bu t eng p ■
( [̂
]
( )
( )
( )
)
])
(
( )
( )
)
( )
Ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan disajikan dalam teorema
berikut.
Teorema 4 (Laju kekonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
( )
]
jika
konvergen ke nol dengan laju
untuk → . Artinya, ragam ̂
→ .
Bukti:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat
diperoleh dari rumusan berikut:
[̂
[ ̂
]
]
( [̂
])
(32)
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (32) telah diperoleh pada Teorema 1,
sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut:
[ ̂
]
∑
[ ̂
[ ̂
|
|
]
]
19
[ ̂
[ ̂
∑
|
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
,
̂
|
̂
,
[ ̂
|
[
[
Pertama, dihitung
(
∑
̂
]
(
]
̂
Berdasarkan Lema 3 dan Akibat 2, diperoleh
̂
]
(
untuk
→
. Kedua, dihitung
]
∑
̂
(
, sedangkan
∑
]
[̂
[
, ̂
)
̂
̂
[
]
, untuk
(
sehingga untuk
]
)
∑
)
̂
[ ̂
]
( )
)
)
(
( )
( )
]
)
( )
( )
20
(
∑
)
[
(
(
(∑
)
(∑
)
∑
∑ [
]
∑∑
∑ [
]
∑∑
(
Jadi, diperoleh untuk
untuk
(
→
[ ̂
[ ̂
[
]
(
]
[ ]
)
)
)
)
,
|
]
. Oleh karena itu,
]
∑∑
∑(
(
∑
∑
)
(
)
( )) (
(
)
)
( ))
21
∑
(
untuk
→
(
→
Terakhir,
)
( )
∑
( )
∑
. Pada bukti Teorema 3 telah diperoleh
∑
dan
untuk
)
∑
(33)
∑
(34)
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
∑
(
∑
)
(35)
( )
(36)
untuk → . Bukti persamaan (36) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan
persamaan (33) – (36), diperoleh
[ ̂
(
]
(
(
)
[
)
)
( )
( )
(
]
)
(
)
(
)
( )
22
(
( )
)
(
)
( )
[̂ ]
[̂ ]
(
)
(
)
(
( )
( )
( )
)
( )
( )
(
untuk
untuk
→
→
(
( )
[̂ ]
(
)
)
(
( )
(
(
( )
)
)
( )
)
(
( )
(
)
( )
(
)
)
(
( )
(
( )
( )
)
)
)
( )
( )
( )
. Akhirnya, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
[̂
]
(
. Bu t eng p ■
( )
)
( )
( )
Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4, diperoleh MSE dari penduga fungsi
nilai harapan seperti berikut.
23
Akibat 3 (Laju kekonvergenan MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
untuk → . Artinya, MSE ̂
→ .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 3 dan 4,
[̂
]
[̂
]
konvergen ke nol dengan laju
[̂
]
( )
( )
untuk
→
. Bu t eng p ■
( )
(
( )
[̂
jika
])
( )
( )
Ilustrasi Penyusunan Penduga dengan Data Bangkitan
Ilustrasi ditujukan untuk mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang
interval waktu pengamatan yang terbatas. Penduga disusun dengan menggunakan
data bangkitan. Pembangkitan data dan penyusunan penduga dilakukan dengan
bantuan perangkat lunak R. Program R untuk proses ini terdapat pada Lampiran 3.
Dalam ilustrasi ini, realisasi dibangkitkan dari proses Poisson periodik
dengan rumusan fungsi intensitas
(
)
Setelah didapatkan realisasi tersebut, dibangkitkan pula nilai-nilai dari peubah
acak yang bersesuaian dengan setiap titik data. Nilai-nilai dari peubah acak
tersebut dibangkitkan dengan menggunakan sebaran eksponensial dengan nilai
harapan
2.
Proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas demikian memiliki periode
4. Adapun fungsi intensitas globalnya adalah
∫
∫
[
[(
]
)
(
)]
24
(
)
Selain itu, diperoleh juga
∫
∫
[
]
(
⌊ ⌋)
⌊ ⌋
⌊ ⌋
)
(
Oleh karena itu, fungsi nilai harapan yang diduga memiliki rumusan sebagai
berikut:
( ⌊ ⌋
(
(
⌊ ⌋)
⌊ ⌋)
⌊ ⌋
)
Fungsi nilai harapan ini diduga dengan menggunakan rumusan penduga
pada persamaan (10). Ada tiga pengamatan yang dilakukan yang panjang interval
waktu pengamatannya masing-masing adalah 10, 20, dan 40 periode. Pengamatan
pertama dilakukan pada interval waktu [0, 40], pengamatan kedua dilakukan pada
interval waktu [0, 80], sedangkan pengamatan ketiga dilakukan pada interval
waktu [0, 160]. Berdasarkan data pada masing-masing pengamatan tersebut,
disusun penduga bagi fungsi nilai harapan pada interval waktu [0, 10].
Hasil pengamatan disajikan pada Gambar 2 – 4. Penduga bagi fungsi nilai
harapan dengan menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 40] belum baik
seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Hal ini dikarenakan penduga masih jauh
dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya. Begitu pula untuk pengamatan
kedua, walaupun hasil pendugaannya sudah lebih baik dari hasil pendugaan pada
pengamatan pertama, penduga bagi fungsi nilai harapan dengan menggunakan
pengamatan pada interval waktu [0, 80] masih belum cukup baik seperti
ditunjukkan pada Gambar 3. Hal ini dikarenakan penduga belum cukup dekat
dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya. Berbeda dengan kedua pengamatan
sebelumnya, penduga bagi fungsi nilai harapan pada pengamatan ketiga sudah
cukup baik seperti ditunjukkan pada Gambar 4. Penduga bagi fungsi nilai harapan
pada interval waktu [0, 10] yang diperoleh sangat dekat dengan fungsi nilai
harapan yang sebenarnya. Nilai penduga hampir sama dengan nilai dari fungsi
nilai harapan yang sebenarnya.
25
Gambar 2 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 40]
Gambar 3 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 80]
26
Gambar 4 Grafik fungsi nilai harapan (—) beserta penduganya (–o–)
menggunakan pengamatan pada interval waktu [0, 160]
Berdasarkan hasil ilustrasi ini, semakin panjang interval waktu pengamatan,
perbedaan nilai antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya
semakin kecil, artinya penduga semakin mendekati fungsi nilai harapan yang
sebenarnya. Selain itu, dari hasil ilustrasi ini pula diketahui bahwa perilaku
penduga sudah cukup baik ketika interval waktu pengamatannya sepanjang 40
periode yang merupakan interval waktu pengamatan yang terbatas.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk adalah
̂
dengan
̂
̂
̂
∑
̂
̂
27
dan
̂
∑
dengan ̂
saat
. Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan
rumusan ini merupakan penduga yang konsisten, baik konsisten lemah, maupun
konsisten kuat. Bias, ragam, dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai harapan
konvergen ke nol dengan laju
jika → . Dari ilustrasi yang dilakukan
dengan menggunakan data bangkitan, perilaku penduga belum cukup baik ketika
interval waktu pengamatannya sepanjang 20 periode, tetapi sudah cukup baik
ketika interval waktu pengamatannya sepanjang 40 periode.
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their
Applications in Insurance and Finance. Boston (US): VSP International
Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in
statistical physics. Physica 41:575-587.
C p ńs M Kopp E
7 Measure, Integral and Probability. Ed ke-2. New
York (US): Springer.
DasGupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning:
Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Helmers R, Mangku IW. 2012. Predicting a cyclic Poisson process. Ann. Inst.
Statist. Math. 64:1261-1279.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal. 84(1):19-39.
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of
injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9.
Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the
intensity of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East
J. Theor. Stat. 33(1):81-91.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process [disertasi].
Amsterdam (NL): University of Amsterdam.
Öze G İn C 2008. The probability function of the compound Poisson process
and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to
biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.
467(2127):897-910.
Reiss RD. 1993. A Course on Point Processes. New York (US): Springer-Verlag.
28
Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process. Far East J. Math. Sci., siap
terbit.
Sokol A, Nielsen AR. 2010. Advanced Probability. Copenhagen (DK): University
of Copenhagen.
29
Lampiran 1 Bukti beberapa persamaan
Bukti persamaan (3): Berdasarkan persamaan (2),
∑
Dengan sifat nilai harapan,
∑
[
∑
Selanjutnya, ditentukan terlebih dahulu
∑
yaitu,
∑
|
]
|
|
[∑
∑
]
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d., maka
∑
.
∑
sehingga
Akhirnya, diperoleh
∑
|
[
]
Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak
dengan proses
,
Bu t eng p ■
30
Bukti persamaan (8): Berdasarkan persamaan (4) dan (5),
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
∫
)
Karena merupakan fungsi periodik dengan periode
bilangan real
, berlaku
∫
∫
sehingga
∫
⏟
∫
∫
, maka untuk setiap
∫
∫
∫
Terakhir, berdasarkan persamaan (6), diperoleh
Bu t eng p ■
Bukti persamaan (36): Dari pembuktian Lema 5, diketahui bahwa
untuk
untuk
→
→
→
. Dari Lema 1, dapat diperoleh
. Oleh karena itu, untuk medapatkan persamaan (36) seperti berikut:
∑
cukup dibuktikan bahwa
∑
(
( )
)
31
untuk
→
→
, jika
∑
→
untuk
(
)
. Pertama, perhatikan bahwa
(
)
sehingga
dan
∑(
∑
∑
∑
∑
Selanjutnya,
∑
∑
Misalkan
∑
, maka
∑
)
∑
(
(
∑
)
)
32
untuk
→
maka
. Kemudian, karena
,
)
(
,
,
∑
Perhatikan juga bahwa
∑
,
sehingga
∑
∑
Misalkan
∑
, maka
∑
∑
(
)
∑
(
untuk
untuk
→
→
. Jadi,
(
∑
. Bu t eng p ■
)
)
(
(
)
)
(
)
33
Lampiran 2 Beberapa lema dan teorema teknis
Lema L.1
Misalkan adalah peubah acak Poisson dengan
, berlaku
(
|
|
)
, maka untuk setiap
{
Bukti dapat dilihat pada Reiss (1993).
}
Lema L.2
→
Misalkan
dan
→ , maka
→
n
→
n
→
Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2005).
Lema L.3
Misalkan
→
dan
→
, maka
→
Bukti dapat dilihat pada Sokol dan Nielsen (2010).
Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli)
Misalkan
adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika
∑
maka
Jika
(⋂ ⋃
)
→
adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
∑
maka
(⋂ ⋃
)
→
Bukti dapat dilihat pada DasGupta (2011).
34
Teorema L.2 (Hukum lemah bilangan besar)
Misalkan
, maka
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada C p ńs
∑
→
n Kopp (
dan ragam
7)
Teorema L.3 (Hukum kuat bilangan besar)
Misalkan Misalkan
, maka
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
∑
→
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).
35
Lampiran 3 Program R untuk ilustrasi
realisasi