Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of an Intensity Function as a Product of a Periodic Function with a Linear Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process.

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES

POISSON NON-HOMOGEN

LIA YULIAWATI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen adalah karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal dari atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Mei 2011

Lia Yuliawati

ABSTRACT

LIA YULIAWATI. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of an Intensity Function as a Product of a Periodic Function with a Linear Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this thesis, estimation for periodic component of an intensity function as a product of a periodic function with a linear trend of a non-homogeneous Poisson process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case, where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity in the form of a periodic function multiplied by a linear trend, observed in an interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. An estimator has been constructed for the periodic component of the intensity function as a product of a periodic function with a linear trend of a Poisson process. Statistical properties of this estimator are also formulated. Finally, asymptotic normality of the estimator is also given.

RINGKASAN

LIA YULIAWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan

SISWANDI.

Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan dapat dijelaskan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, salah satunya proses kedatangan pengguna (intensitas) line telepon pada suatu interval waktu tertentu. Jika laju dari intensitas penggunaan telepon pada suatu interval waktu meningkat berdasarkan suatu tren maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren. Pada tulisan ini dibahas suatu kasus khusus fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear.

Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan suatu proses stokastik, fungsi intensitas dari proses umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik

, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai

Dimana adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) dan a adalah kemiringan dari tren linear. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Karena bernilai taknegatif, proses Poisson yang dikaji bukan pada , melainkan pada interval . Dengan alasan yang sama pada pembahasan ini dibahas hanya untuk kasus

a> 0.

Karena adalah fungsi periodik dengan periode maka tanpa menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut

dimana . Sehingga untuk setiap titik dan semua dengan adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh

Misalkan untuk suatu , hanya ada sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang ( , ,P) dengan fungsi intensitas seperti pada (2) yang diamati pada interval terbatas .

Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah menduga pada titik s dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan

Penduga tipe kernel bagi pada titik adalah:

! " # $ % &' ( _# ) *' +

, -.+

dengan n adalah panjang interval pengamatan, K adalah suatu kernel, # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu # / untuk

0 Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan syarat fungsi intensitas terintegralkan lokal, mempunyai turunan kedua 11 yang bernilai terhingga di s,

K adalah suatu kernel, # / , #2 0 , # 34 20 , untuk 0 , diperoleh bahwa _! menyebar normal asimtotik. Jika 2# 5 34 67 782 0 maka

2_{# 34} 67 9_:;

! ( <

=

0 >?@AB3 C2

untuk 0 dengan C2 2 D %₆₇7 2 E *E Jika 2# 5 34 67 782 0 maka

2_{# 34} 67 9_:

! (

=

0 >?@AB3 F C2

untuk 0 , dengan F GHI J

2 D E2% E *E 7

67 dan C2 2 D %2 E *E

7 67

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES

POISSON NON-HOMOGEN

LIA YULIAWATI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen

Nama : Lia Yuliawati NIM : G551090401

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc. Drs. Siswandi, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-Nya sehingga tesis yang berjudul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, ayah, suami, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.

Semoga karya tulis ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 3 Juli 1987 dari ayah Wasmana Hendrayana,S.Pd.SD. dan ibu Wanah, S.Pd.SD. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.

Tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tanjungsari Sumedang dan pada tahun yang sama pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB, lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Program Pascasarjana IPB dan menamatkannya pada tahun 2011.

Penulis bekerja sebagai pengajar di Program Diploma IPB sejak tahun 2008. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Proses Stokastik pada tahun ajaran 2010/2011.

DAFTAR ISI

Halaman

1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 2

2 TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1 Proses Poisson Periodik ... 3

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 5

3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK ... 8

3.1 Perumusan Penduga ... 8

3.2 Sifat-sifat Statistik KL_{M N O} P ... 10

4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK ... 15

4.1 Sebaran Asimtotik KL_{M N O} P ... 15

5 KESIMPULAN ... 29

DAFTAR PUSTAKA ... 30

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan (bank, kantor pos, supermarket, tempat rekreasi dan sebagainya).

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, diantaranya dalam bidang komunikasi, meteorologi dan asuransi.

Sebagai contoh dalam bidang komunikasi, untuk menentukan tarif maupun berbagai kebijakan pelayanan lainnya bagi suatu perusahaan komunikasi, dapat ditentukan dengan mengetahui banyaknya pengguna (intensitas) line telepon pada setiap waktu. Intensitas telepon yang digunakan oleh pelanggan pada suatu interval waktu tertentu dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik. Jika laju dari intensitas penggunaan telepon pada suatu interval waktu meningkat berdasarkan suatu tren maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren. Pada tulisan ini dibahas suatu kasus khusus fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear.

Pada umumnya, fungsi intensitas dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan suatu proses stokastik adalah tidak diketahui, sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

1. Mempelajari perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear dengan menggunakan fungsi kernel umum.

2. Mengkaji pendekatan asimtotik dari bias penduga. 3. Mengkaji pendekatan asimtotik dari ragam penduga. 4. Menentukan sebaran asimtotik dari penduga.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik)

Proses stokastik Q RQ S S TU adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang stateS.

(Ross 1996) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, Q S adalah suatu peubah acak. Setiap t pada himpunan indeks T juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan Q S sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Suatu proses stokastik Q disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah, sedangkan Q disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika Tadalah suatu interval.

Definisi 2.2 ( Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu RQ S S TUdisebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua S₊ V S₇ V S₂ V W V S , peubah acak Q S₇ (

Q S+ Q S2 ( Q S7 X Q S ( Q S 67 adalah bebas.

(Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu Q disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu RQ S S TUdisebut memiliki inkremen stasioner jika Q S ( Q S memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu Qdisebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara

sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

Definisi 2.4 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik R S S Y U disebut proses pencacahan jika S menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Suatu proses pencacahan S harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) S Y untuk semua S

(ii) Nilai S adalah integer.

(iii) Jika V S maka Z S , S

(iv) Untuk V S maka S ( , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang S

(Ross 1996)

Definisi 2.5 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan R S S Y U disebut proses Poisson dengan laju ,

[ , jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i)

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan S.

Jadi untuk semua S [

\ S ( ]6G^ _{_} S - X

(Ross 1996) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, S , maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini, S disebut fungsi intensitas dari proses tersebut.

Definisi 2.6 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

untuk semua dan . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.

Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan# adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol,# / , 0 dan

S adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada S , maka fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan 7

2`a ( # #

Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam selang . Secara metematis penduga bagi fungsi intensitas global pada dapat dinyatakan dengan 7 .

Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode nonparametric untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor

estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode (diketahui) (Helmers dan Mangku 2000). Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global b pada proses Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).

Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).

Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers, et al. (2003) dan sifat-sifat statistiknya telah dikaji pada Helmers, et al. (2005). Adapun untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian tentang perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian asymptotic normality dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).

Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers, et al., 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005).

Perumusan penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear beserta sifat-sifat statistiknya telah dikaji pada Mangku (2011).

BAB 3

REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN

PERIODIK

3.1 Perumusan Penduga

Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval

dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik , fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai

dimana adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) dan a adalah kemiringan dari tren linear. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Dalam pembahasan ini dikaji proses Poisson pada interval , bukan pada , karena bernilai taknegatif. Dengan alasan yang sama pada pembahasan ini dibatasi untuk kasus a > 0.

Karena adalah fungsi periodik dengan periode maka tanpa menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut

dimana . Sehingga untuk setiap titik dan semua dengan adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh

Misalkan untuk suatu , hanya ada sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang ( , ,P) dengan fungsi intensitas seperti pada (3.2) yang diamati pada interval terbatas .

Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari yaitu

3cA

`0+ #$ d ' ( d*'

`

6` e

(lihat Definisi A.26 pada lampiran) dan s juga diasumsikan sebagai titik Lebesgue dari .

Misalkan %f 0 adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut:

(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) K terbatas.

(K.3) K memiliki daerah definisi pada (

Misalkan pula # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

# / g

untuk 0 . Dengan notasi di atas, dapat didefinisikan penduga bagi pada titik sebagai berikut:

! " # $ % &' ( _# ) *' h +

, -.+

Ide dibalik penyusunan penduga tipe kernel _! untuk dapat dijelaskan seperti berikut: Dari (3.2) masalah pendugaan untuk sebuah titik dapat direduksi menjadi masalah pendugaan untuk titik . Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson N, kita memiliki informasi mengenai nilai (tidak diketahui) pada interval . Untuk itu asumsi (3.3)

memegang peranan sangat penting untuk proses penyusunan penduga. Misalkan

iR f U j k

dimana # menyatakan banyaknya elemen. Oleh karena itu kita peroleh

" lR U

, -.+

" lR U

, -.+

m

Karena diasumsikan # konvergen ke nol dan s merupakan titik Lebesgue dari juga , maka ruas kanan persamaan di atas menjadi

j " _# $Jn-on`a '

Jn-o6`a

lR' U

, -.+

*'

" # p ( # # q

, -.+

j _{" #} ( # # q

, -.+

j " # ( # # q

, -.+

r

dimana I menyatakan fungsi indikator. Oleh karena itu, dari (3.9) dapat ditulis

" # ( # # q

, -.+

yang merupakan suatu penduga untuk . Penduga dapat ditulis sebagai

" # $ l67 7 ( # # *' +

, -.+

Dengan mengganti fungsi 7

2l67 7 pada (3.11) dengan fungsi kernel umum K,

maka diperoleh penduga pada (3.6).

3.2 Sifat-sifat Statistik KL_{M N O} P

Teorema 3.1 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga)

Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2), terintegralkan lokal dan mempunyai turunan kedua 11 yang bernilai terhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan # memenuhi asumsi g dan

#2 _{0 , maka}

ssss ! I #2 $$$$ E2 7

67 % E *E t # 2

untuk 0 .

Bukti:

Dari persamaan (3.6)diperoleh

ssss ! _# """" $$ % &&&&$$ ' ( _# ))))u *' +

, -.+

# " $ % & ' (

# ) ' v' *'

w ,

-.+

Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' ( *x *' Sehingga

ssss !

# " $ % y x # z

w

x vx *x

, -.+

e

Karena fungsi intensitas memenuhi (3.2), maka diperoleh

ssss !

# " $ % y x # z

w

x x vx

, -.+

*x # $ % y

x # z x

w

" x vx *x

, -.+

g

Dapat diperhatikan bahwa

" x vx

, -.+

{ h

untuk 0 , sehingga

ssss ! _# $$$$ % yyyy_#xzzzz x w

&&&& { ))))*x

# $ % y x # z x

w

*x { y z k

untuk 0 . Dengan penggantian peubah, misalkan: E |

`a *E

}|

`a, maka

ruas kanan (3.17) menjadi

# $ % E E#

w

*E# { y z $ % E E#

w

*E { y z

m

untuk 0 .

Dengan menggunakan formula Young untuk deret Taylor diperoleh

E# ~ E# I E2#_{_}2 t #2 _r

untuk 0 . Dengan mensubstitusikan (3.19) pada suku pertama ruas kanan persamaan (3.18) diperoleh

$ % E & ~ E# I E2#_{_}2 t #2 ₎ w

*E $ % E *E

w

$ % E ~ E# *E

w

$ % E I E2#_{_ *E}2

w

t #2

$ % E *E

7 67

1 _{# $ E% E *E} 7

67

I #2

_ $ E2% E *E

7 67

t #2

untuk 0 , karena asumsi (K.3).

Karena K adalah simetrik maka D E% E *E₆₇7 . Karena K memenuhi (K.1) maka D % E *E₆₇7 . Akhirnya ruas kanan dapat ditulis

I #2

_ $ E2% E *E

7 67

t #2

untuk 0 . Dengan asumsi #2 0 , suku kedua pada ruas kanan (3.18)

adalah t #2 Sehingga persamaan di atas menjadi

•••• ! I # 2

_ $$$$ E2% E *E

7 67

t #2

untuk 0 . Dengan demikian Teorema 3.1 terbukti.

Teorema 3.2 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga)

Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan # memenuhi asumsi (3.5), maka

€B@ ; ! <

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7 67

t y34_2# z

untuk 0 , asalkan s adalah titik Lebesgue dari .

Bukti:

Ragam dari _! dapat diperoleh sebagai

€B@ ; ! <

2

2_#2 €B@ •" $ % &

' ( # ) *' + , -.+ ‚ e

Karena # / , untuk nilai n yang besar dan ƒ „, interval ( #

# dan „ ( # „ # tidak overlap sehingga untuk semua

ƒ „ Akibatnya peubah acak % ;…6 Jn-o

`a < *' dan % ;

…6 Jn†o

`a < *' adalah

bebas. Sehingga ruas kanan ( e) dapat dihitung sebagai berikut

2

2_#2 " 2$ %2&

' (

# ) €B@ *'

+ ,

-.+ 2

2_#2 " 2$ %2&

' (

# ) ssss *'

+ ,

-.+ 2

2_#2 " 2$ %2&

' (

# ) K ‡ v' *'

w ,

-.+

g

Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' ( *x *' Sehingga ( g) dapat ditulis

2

2_#2 " 2$ %2y

x # z

w x vx *x

, -.+ 2

2_#2 $ %2y

x

# z x

w "

x

2 vx *x

, -.+

h

Perhatikan bahwa

" x ₂ vx 34 {

, -.+

k

untuk 0 . Karena K memenuhi (K.3) dan dengan mensubstitusikan ( k) pada ( h), maka diperoleh

€B@ ; ! <

2

2_#2 $ %2y

x

# z x

7

67 34 { *x

2₃₄

2_#2 $ %2y

x

# z x

7

67 *x { y 2# z m

Karena s adalah titik Lebesgue dan dengan penggantian peubah, misalkan:

E _`| a *E

}|

`a, akhirnya diperoleh

€B@ ; ! <

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7 67

untuk 0 . Dengan demikian Teorema 3.2 terbukti.

Teorema 3.3 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga)

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal, dan mempunyai turunan kedua 11 yang terbatas di titik s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # memenuhi asumsi (3.5)

dan #2 0 , maka

ˆ‰s ; ! <

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7

67 e

Š I $ E2_{% E *E} 7

67

‹

2

#Π_{t y}34

2_# z t #Œ

untuk 0 .

Bukti:

Perhatikan bahwa

•Žp ; ! < • • ; ! < y‘’ ; ! <z 2

(lihat Definisi A.22 pada lampiran). Dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.2 maka diperoleh

•Žp ; ! <

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7 67

t y 34_2# z • I #2 _{$ E}7 2

67 % E *E t #

2 _‚

2

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7 67

& I #2 _{$ E}7 2

67 % E *E) 2

t y 34_2# z t #Œ

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7

67 e & I

$ E7 2

67 % E *E) 2

#Π_{t y} 34

2_# z t #Œ

BAB 4

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN

PERIODIK

4.1 Sebaran Asimtotik KL_{M N O} P

Teorema 4.1 (Sebaran Normal Asimtotik _! )

Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3),# / , #2 0 ,# 34 2 0 , :`a

“” 0 untuk 0 dan memiliki turunan kedua yang

terbatas di s.

(i) Jika ; :`a•

“” < 782

0 maka

& _{34 )}2# 9 :

; ! ( < =

0 >?@AB3 C2 _e

untuk 0 dengan C2 2 D %₆₇7 2 E *E (ii) Jika ; :`a•

“” < 782

0 maka

& _{34 )}2#

782

! (

=

0 >?@AB3 F C2 _e

untuk 0 , dengan F GHI J

2 D E2% E *E 7

67 dan

C2 2 _{D %}7 2 _{E *E} 67

Bukti:

Teorema 4.1 akan dibuktikan setelah bukti Lema 4.1 dan Lema 4.2.

Misalkan untuk sembarang bilangan bulat tak negatif k,

Q- $ % &' ( _# )

+ *' e

Karena # / jika 0 , maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah acak Q_† dan Q_-, dengan ƒ „, adalah saling bebas. Sehingga _! pada (3.6) dapat ditulis sebagai jumlah peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta, yaitu

! _# " Q -, -.+

e e

Lema 4.1

Misalkan Q_- seperti (4.3). Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # / untuk 0 , maka untuk setiap k dengan

,

sQ- # { #2 e g

dan

€B@Q- # $ %2 E E# *E 7

67

{ #2

e h

untuk 0

Bukti:

Dari persamaan (4.3),

sQ- s • $ % &' ( _# )

+ *' ‚

$ % &' ( _# )

+ s *'

$ % &' ( _# )

+ ' *'

$ % &' ( _# )

w ' ' *' e k

Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' ( *x *' Sehingga ruas kanan e k dapat ditulis

$ % y_#xz

w x x *x

Karena fungsi intensitas memenuhi (3.2), persamaan di atas menjadi

$ % y_#xz

w x x x *x

$ x % y_#xz

$ % y_#xz

w x x *x

$ x % y_#xz

w x * x x $ % y

x # z

w x

x *x e m

Dengan penggantian peubah pada suku pertama e m , misal: E |

`a *E }| `a

maka suku pertama ruas kanan e m menjadi

#2

$ E % E

w E# E# *E

Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka suku kedua ruas kanan e m menjadi

#2

$ E % E

w { # E# *E

#2

$ E % E

w E# *E

{ #–

$ E % E

w

E# *E

Karena K memenuhi (K.1) dan # / untuk 0 , persamaan di atas menjadi

#2 _{t #}–_{

t #2

e r

untuk 0 .

Dengan menggunakan deret Taylor dan penggantian peubah pada suku kedua

e m , misal: E |

`a *E

}|

`a maka persamaan di atas menjadi

# $ % E { # E# *E

w

# { #2 _{$ % E E# *E} w

Karena K memenuhi (K.1), persamaan di atas menjadi

# { #2 _e

untuk 0 . Dengan mensubstitusikan e r dan e ke ruas kanan e m diperoleh

sQ- t # 2

# { #2

# { #2 _e

untuk 0 .

Ragam peubah acak Q_- dapat diperoleh sebagai berikut

€B@Q- €B@ • $ % &' ( _# )

+ *' ‚

2$ %2&

' (

# )

+ €B@ *' e

Karena N adalah peubah acak Poisson, maka €B@ ssss sehingga e menjadi

2$ %2&

' (

# )

+ ssss *'

2$ %2&

' (

# )

+ ' *'

2$ %2&

' (

# )

w ' ' *'

Dengan penggantian peubah, misal: x ' ( *x *' diperoleh

2$ %2y

x # z

w x x *x

Karena fungsi intensitas memenuhi (3.2) maka

2$ %2y

x

# z x x x *x

w

2$ x %2y

x

# z x x *x

w

2$ %2y

x # z

w x x *x

2$ x %2y

x

# z x x *x

w

$ %2_yx

# z x x *x

w

Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan e . Dengan penggantian peubah, misal: |

`a *E }|

`a, suku pertama pada ruas kanan e

dapat ditulis sebagai

#2

2$ E %2 E E# E# *E w

Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka persamaan di atas menjadi

#2

2$ E %2 E { # E# *E w

#2 _{{ #}–

2 $ E%2 E E# *E

w e e

Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan persamaan

e . Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dan dengan penggantian peubah, misal: E |

`a *E }|

`a, suku kedua ruas kanan persamaan e dapat

ditulis sebagai

#

$ %2 _{E { # E# *E}

w

# { #2

$ %2 _{E E# *E}

w e g

Dengan demikian diperoleh nilai dari ruas kanan persamaan

e yang merupakan nilai dari €B@Q_- yaitu

€B@Q- #

2 _{{ #}–

2 $ E%2 E E# *E

w

# { #2

$ %2 _{E E# *E} w

#

$ %2 _{E E# *E} w

{ #2

Karena K memenuhi (K.3) maka

€B@Q- # $ %2 E E# *E 7

67

{ #2

e h

Lema 4.2

Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # / , # 34 2 0 ,

:_`a

“” 0 untuk 0 dan memiliki turunan kedua yang terbatas di s maka

& _{34 )}2# 9 :

; ! ( p ! < =

0 >?@AB3 C2 _{e k}

untuk 0 dengan C2 2 D %₆₇7 2 E *E Bukti:

Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (4.17) dapat ditulis

& _{34 )}2# 9 :

—€B@ !

˜

™ ! ( s !

—€B@ ! _š

› _{e m}

Untuk membuktikan (4.17) cukup dibuktikan

! ( s !

—€B@ !

=

0 >?@AB3 e r

dan

& _{34 )}2#

782

—€B@ ! 0 œ 2 $ %2 E *E 7

67

e

Untuk membuktikan e r dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema A.12 (lihat lampiran). Misalkan Q_- seperti (4.3) dan ‘ Œ •,_-.+€B@Q_- 2. Karena _! dapat dituliskan sebagai jumlah peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta (lihat (4.4)), maka berdasarkan Lema A.12, untuk membuktikan (4.19) cukup diperlihatkan bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif k,

s Q- { , €B@ Q- { dan

" s Q-( sQ- Π,

-.+

t ‘ Œ e

Berdasarkan Lema 4.1 diperoleh bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif k,

s Q- { dan €B@ Q- { untuk 0 . Sehingga tinggal membuktikan

‘ Œ •" & # $ %7 2 _{E E# *E} 67

{ #2

)

, -.+

‚

2

• # $ %7 2 _{E *E} 67 "

, -.+

E# ž

ž{ #2 _" , -.+

‚

2

• # $ %7 2 _{E *E 34 {}

67 { #

2 _{34 { ‚}

2

• # 34 $ %7 2 _{E *E}

67 { #

2_{34 ‚}

2

& # 34 $ %7 2 _{E *E}

67 )

2

{ #– ₃₄ 2 2 _#2 ₃₄ 2_{&$ %}7 2 _{E *E}

67 )

2

{ #– ₃₄ 2

{ #2 ₃₄ 2

e

untuk 0 .

Selanjutnya dengan pemisalan Q_- seperti pada e diperoleh

" s Q-( sQ- Π,

-.+

" s & $ % &' ( _# )

+ *' ž

, -.+

( žp • $ % &' ( _# )

+ *' ‚‹

Œ

" s Š $ % &' ( _# )

+ *'

, -.+

( s •$ % &' ( _# )

+ *' ‚‹

" s Ÿ Š$ % &' ( _# )

+ *'

, -.+

( s •$ % &' ( _# )

+ *' ‚‹

Œ

" _Œs Š$ % &' ( _# )

+ *'

, -.+

( s •$ % &' ( _# )

+ *' ‚‹

Œ

e

Karena D % ;…6 Jn-o

`a <

+ *' adalah peubah acak Poisson dan berdasarkan Lema

A.6 (lihat lampiran), maka ruas kanan e _menjadi

" _ŒŸs •$ % &' ( _# )

+ *' ‚ Šp •$ % &

' ( # ) + *' ‚‹ 2 , -.+

" _ŒŠ$ % &' ( _# )

+ s *'

, -.+

•$ % &' ( _# )

+ s *' ‚

2

‚

" _Œ

, -.+

$ % &' ( _# )

+ s *'

" _Œ

, -.+

•$ % &' ( _# )

+ s *' ‚

2

" _Œ

, -.+

$ % &' ( _# )

+ s *'

" _Œ

, -.+

$ %2_&' (

# )

+ s *'

" _Œ

, -.+

$ % &' ( _# )

w ' ' *'

" _Œ

, -.+

$ %2_&' (

# )

w '

2 _{' ' *'}

" _Œ

, -.+

$ % &' ( _# )

w ' ' *'

" _Œ

, -.+

$ %2_&' (

# )

w ' ' *'

" _Œ

, -.+

$ %2_&' (

# )

w

2 _{' ' *'}

e e

Dengan penggantian peubah, misal: E …6 Jn-o

`a *E

}…

`a , dan dengan

menggunakan deret Taylor maka suku pertama ruas kanan persamaan e e dapat ditulis sebagai

" # _Œ

, -.+

$ % E

w E# E# E# *E

# $ % E

w { # "

E#

Π,

-.+

E# *E

# { #2 _{$ % E}

w { *E

{ # { #2 _{$ % E}

w *E

e g

Karena K memenuhi K.1 dan K.3, maka ruas kanan e g menjadi

{ # { #2 _{$ % E}7

67 *E

{ # { #2 _{e h}

untuk 0 .

Dengan penggantian peubah, misal: …6 Jn-o

`a *E

}…

`a, pada suku kedua

" # _Œ

, -.+

$ %2 _E

w E# E# *E

" # _Œ

, -.+

$ %2 _E

w E# E# E# *E

e k

Dengan menggunakan deret Taylor maka e k dapat ditulis sebagai

" # _Œ

, -.+

$ %2 _E

w { # E# E# *E

# $ %2 _E

w { # "

E#

Π,

-.+

E# *E

# $ %2 _E

w { # { *E

{ # { #2 _{$ %}2 _E

w *E

{ # $ %2 _E

w *E { #

2 _{$ %}2 _E

w *E

e m

Karena K memenuhi K.3, maka ruas kanan e m menjadi

{ # $ %7 2 _E

67 *E { #

2 _{$ %}7 2 _E

67 *E e r

untuk 0 .

Selanjutnya, dengan penggantian peubah, misal: E …6 Jn-o

`a *E

}… `a, dan

dengan menggunakan deret Taylor pada suku ketiga ruas kanan persamaan e e diperoleh

" # _Œ

, -.+

$ %2 _E w

2 _{E# E# *E}

" # _Œ

, -.+

$ %2 _E w

2 _{E# E#} 2 _{E# *E}

# $ %2 _E w

2 _{{ # "} E# 2 Π,

-.+

# $ %2 _E w

2 _{{ # •}¡2

h 2 t ‚ *E

¡2_# 2

h 2 $ %2 E

w *E { #

2 _{$ %}2 _E

w *E

e

Karena K memenuhi K.3, maka ruas kanan e menjadi

¡2_# 2

h 2 $ %2 E 7

67 *E { #

2 _{$ %}7 2 _E

67 *E e

untuk 0 .

Dengan mensubstitusikan e h dan e r pada e maka diperoleh

" s Q-( sQ- Π,

-.+

{ # { #2 _{{ # $ %}7 2 _E

67 *E { #

2 _{$ %}7 2 _E

67 *E

¡2_# 2

h 2 $ %2 E 7

67 *E { #

2 _{$ %}7 2 _E

67 *E

¡2_# 2

h 2 $ %2 E 7

67 *E { # { # 2

{ # e

untuk 0 .

Dengan membandingkan ruas kanan e dan ruas kanan e , serta menggunakan asumsi bahwa # 34 2 0 jika 0 , maka diperoleh

" s Q-( sQ- Π,

-.+

t ‘ Œ

untuk 0 , sehingga e r terbukti.

Selanjutnya dibuktikan e . Dari persamaan h diperoleh

& _{34 )}2#

782

—€B@ !

& _{34 )}2#

782

œ 2 ₂ 34

# $ %2 E *E

7 67

¢& _{34 ) Ÿ}2# 2 _2# 34 $ %2 _{E *E} 7

67

t y34_2# z

œ 2 _{$ %}2 _{E *E} 7

67

t

untuk 0 . Misalkan £ 2 D %₆₇7 2 E *E t dan ¤ £ ¥£ , dengan menggunakan deret Taylor diperoleh

¤ £ ¤ Š 2 _{$ %}2 _{E *E} 7

67

‹

¤~ Š 2 _{$ %}2 _{E *E} 7

67

‹ t ¤I Š 2 _{$ %}2 _{E *E}

7 67

‹ t 2 _{_ W}

œ 2 _{$ %}2 _{E *E} 7

67

t

— 2 _{D %}7 2 _{E *E} 67

( t

2

e— – –_{;D %}7 2 _{E *E}

67 <

– W

œ 2 _{$ %}2 _{E *E} 7

67

t

untuk 0 . Sehingga diperoleh

& _{34 )}2#

782

— _! 0 œ 2 _{$ %}2 _{E *E} 7

67

e

Bukti Teorema 4.1:

Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (4.1) dan (4.2) sebagai berikut:

& _{34 )}2#

782

; ! ( <

& _{34 )}2#

782

; ! ( s ! < & 2_#

34 )

782

;s ! ( <

Dari Lema 4.2 diperoleh

& _{34 )}2#

782

; ! ( s ! < =

0 >?@AB3 C2 _{e e}

untuk 0 dengan C2 2 D %₆₇7 2 E *E Sehingga untuk membuktikan Teorema 4.1 cukup dibuktikan

jika ; :`a•

“” < 782

0 maka

& _{34 )}2#

782

;s ! ( < 0 e g

untuk 0 , dan jika ; :`a•

“” < 782

0 maka

& _{34 )}2#

782

;s ! ( < 0 I $ E2% E *E 7

67 e h

untuk 0 .

Untuk membuktikan e g dan e h dapat digunakan Teorema 3.2, sehingga diperoleh

& _{34 )}2#

782

;s ! ( <

& _{34 )}2#

782

• I # 2$ E7 2

67 % E *E t #

2 _‚

& _{34 )}2#

782

# 2• I $ E7 2

67 % E *E t ‚

& 2_{34 )}# 5 9 :

• I $ E7 2

Jika ; :`a•

“” < 782

0 untuk 0 , ruas kanan persamaan e k menjadi

t • I $ E7 2

67 % E *E t ‚ t

untuk 0 sehingga e terbukti. Jika; :`a•

“” < 782

0 untuk 0 , ruas kanan persamaan e k menjadi

t • I $ E7 2

67 % E *E t ‚

I

$ E7 2

67 % E *E t

BAB 5

KESIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga komponen periodik dari fungsi intensitas yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren fungsi linear dari suatu proses Poisson non-homogen.

Berdasarkan penduga yang telah dipelajari, yaitu

! " # $ % &' ( _# ) *' +

, -.+

dengan n adalah panjang interval pengamatan, K adalah suatu kernel, dan # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu # / untuk 0 , dapat disimpulkan bahwa:

(i) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan _! adalah

ssss ! I #2 $$$$ E2 7

67 % E *E t # 2

untuk 0

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam _! adalah

€B@ ; ! <

2 ₃₄

2_# $ %2 E *E

7 67

t y34_2# z

untuk 0

(iii) Jika 2# 5 34 67 782 0 maka

2_{# 34} 67 9_:;

! ( <

=

0 >?@AB3 C2

untuk 0 dengan C2 2 D %₆₇7 2 E *E Jika 2# 5 34 67 782 0 maka

2_{# 34} 67 9_:

! ( 0 >?@AB3 F C= 2

untuk 0 , dengan

F GHI J

2 D E2% E *E 7

67 dan C2 2 D %2 E *E

7 67

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, New York. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth &

Brooks/Cole, Pasific Grove, California.

Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. Prentice Hall. New York.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Helmers R. 1995. On Estimating the Intensity of Oil Polution in the North Sea.

CWI Note BS-N9501.

Helmers R, Zitikis R. 1999. On Estimation of Poisson Intensity Function. Ann. Inst. Stat. Math, 51(2) 265-280.

Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM-GMU Intenational Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-29, 1999, p. 9-21. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson

Process in the Precense of Linear Trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61 (3), 559-628.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2005. Statistical Properties of a Kernel-type Estimator of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 92, 1-23.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2007. A Non-parametric Estimator for the Doubly Periodic Poisson Intensity Function. Statistical Methodology, 4, 481-492.

Hogg RV, Craig AT, McKaen JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey.

Mangku IW. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. CWI Report PNA-R9914.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process

(Ph.D.Thesis). University of Amsterdam, Amsterdam.

Mangku IW. 2005. A Note on Estimation of the Global Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 4, No: 2.

Mangku IW. 2006a. Weak and Strong Convergence of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 1.

Mangku IW. 2006b. Asymptotic Normality of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 2.

Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogenous Poisson process. Accepted by Far East Journal of Mathematical Sciences.

Purcell EJ, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John

Wiley & Sons. New York.

Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Wheeden RL, Zygmund A. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. Marcell Dekker. New York.

Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan . Suatu kejadian ¦ adalah himpunan bagian dari rung contoh.

(Ross 1996)

Definisi A.2 (Medan -§)

Suatu himpunan ¨ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari disebut dengan medan -C jika memenuhi syarat sebagai berikut:

(i) © ¨.

(ii) Jika ¦ ¨ maka ¦ ¨.

(iii) Jika ¦₇ ¦₂ X ¨maka ª,_«.7¦_« ¨.

(Grimmet dan Stirzaker 1992) Medan-Cterkecil yang mengandung semua selang berbentuk • • disebut medan Borel, dinotasikan (¨ dan anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.

Definisi A.3 (Ukuran peluang)

Ukuran peluang P pada ¨ adalah fungsi P : ¨ 0 yang memenuhi:

(i) ¬ © ¬

(ii) Jika ¦₇ ¦₂ X adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari¨, yaitu ¦_« q ¦_† © untuk setiap i, j dengan ’ ƒ „ maka ¬ ª ¦,_{«.7 «}

•,«.7¬ ¦«

(Grimmet and Stirzaker 1992) Tripel ( ¨ ¬) disebut sebagai ruang peluang.

Definisi A.4 (Kejadian saling bebas)

Kejadian ¦ dan ‘ dikatakan saling bebas jika ¬ ¦ q ‘ ¬ ¦ q ¬ ‘ . Secara umum, himpunan kejadian R¦_« ’ -Udikatakan saling bebas jika ¬ ® ¦_{« ¯ «}

° ¬ ¦« ¯ « untuk setiap himpunan bagian ± dari -.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.5 (Peubah acak)

Peubah acak Q adalah fungsi Qf 0 dengan R ² Q Z 'U ¨ untuk setiap '

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Definisi A.6 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah ³_´f 0 , yang didefinisikan oleh ³_´ ' ¬ Q Z '

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Definisi A.7 (Peubah acak diskret)

Peubah acak Q dikatakan diskret jika semua himpunan nilai R'₇ '₂ X U merupakan himpunan tercacah.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Untuk peubah acak diskret Q fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi A.8 (Fungsi kerapatan peluang)

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret Q adalah fungsi µ_´f 0 dengan µ_´ ' ¬ Q '

Definisi A.9 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak Q disebut peubah acak Poisson dengan parameter [ , jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh

µ´ ¬ Q ]6G G ¶

-_, untuk X

(Ghahramani 2005)

Kekonvergenan

Definisi A.10 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)

Barisan R U disebut mempunyai limit · dan dituliskan 3cA _0, · atau

0 · jika 0 , apabila untuk setiap¸ [ terdapat sebuah bilangan • sedemikian sehingga jika [ • makad ( ·d V ¸ Jika 3cA _0, · ada, dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan divergen.

(Stewart 1999)

Lema A.1 (Deret-p)

Deret •, _.7 7_¹ (disebut juga deret-p) konvergen jika µ [ , dan divergen jika

µ Z

Bukti: Lihat Stewart (1999).

Definisi A.11 ( Konvergen dalam peluang)

Misalkan RQ₇ Q₂ X QU adalah peubah acak dalam ruang peluang ¨ ¬ Barisan peubah acak Q konvergen dalam peluang ke Q, dinotasikan Q 0 Q, jika untuk setiap ¸ [ ¬ dQ ( Qd [ ¸ 0 untuk 0

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi A.12 (Nilai harapan)

Misalkan Q adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang µ_´ '

s Q " '

…

¬ Q ' " '

…

µ´ '

jika jumlah diatas konvergen mutlak.

(Hogg et al.2005)

Lema A.2

Jika RQ₇ Q₂ X Q U adalah peubah acak dan º₇ º₂ X º adalah konstanta sembarang, maka

s •" º«Q« «.7

‚ " º«s Q« «.7

Bukti: Lihat Ghahramani (2005).

Definisi A.13 (Ragam)

Misalkan Q adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang µ_´ ' dan nilai harapan s Q , ragam dari Q dinotasikan dengan €B@ Q atau C_´2, adalah

C´2 s Q ( s Q 2 " Q ( s Q 2 …

µ´ '

(Hogg et al.2005)

Lema A.3

Jika Qadalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku

€B@ Q » 2_{€B@ Q}

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Dari definisi dapat dituliskan bahwa

€B@ Q »

s ; Q » ( s Q » 2< s ; Q » ( s Q » 2< s y; Q ( s Q <2z

s ; 2 _{Q ( s Q} 2_< 2_{s Q ( s Q} 2

2_{€B@ Q}

Dengan demikian Lema A.3 terbukti.

Definisi A.14 (Covarian)

Misalkan Q dan ¼ adalah peubah acak, covarian dari Q dan ¼ didefinisikan sebagai

½?¾ Q ¼ s¿ Q ( s Q ¼ ( s ¼ À

(Ghahramani 2005)

Lema A.4

Misalkan Q dan ¼adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah konstanta sembarang, maka

• • Q » 2_{€B@ Q »}2_{€B@ ¼ »½?¾ Q ¼}

Jika Qdan ¼adalah peubah acak yang saling bebas, maka

• • Q » 2_{€B@ Q »}2_{€B@ ¼}

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Dari definisi dapat dituliskan bahwa

• • Q »¼

s ; Q »¼ ( s Q »¼ 2< s y; Q »¼ ( s Q »s ¼ <2z s y; Q ( s Q » ¼ ( s ¼ <2z

s y 2 _{Q ( s Q} 2 _»2 _{¼ ( s ¼ » Q ( s Q ¼ ( s ¼ z} 2_{€B@ Q »}2_{€B@ ¼ »½?¾ Q ¼}

Dengan demikian Lema A.4 terbukti.

Definisi A.15 (Momen ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau Á_- dari peubah acak

Q adalahÁ_- s Q

Definisi A.16 (Momen pusat ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau C_- dari peubah acak Q adalah C_- s Q ( Á_-

-(Hogg et al.2005) Nilai harapan peubah acak Q merupakan momen pertama dari Q. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka Q dengan nilai harapannya disebut ragam dari Q. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak Q.

Definisi A.17 (Fungsi pembangkit peluang)

Fungsi pembangkit peluang dari suatu peubah acak X adalah Â_´ s ´ untuk suatu sehingga nilai harapan di atas ada.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Lema A.5

Jika Q memiliki fungsi pembangkit peluang Â_´ , maka (i) Â1_´ s Q

(ii) Secara umum dapat ditulis

s Q Q ( Q ( X Q ( Â_´ -Bukti:Lihat Grimmet and Stirzaker (1992).

Lema A.6

Jika Q adalah peubah acak Poisson dengan parameter F, maka

(i) s Q F Ã

(ii) s Q2 F F2 Ã

(iii)s Q– F F2 F– Ã

(iv)s QŒ F kF2 hF– FŒ à e

(v) s Q ( F Œ F F2. à g

Bukti:

´ s ´ " -F

-_

, -.+

]6Ä _]Ä J67 _{Ã h}

Berdasarkan Lema A.5 dan persamaan à h diperoleh

s Q F Ã k

Sehingga persamaan à terbukti. Dari persamaan à h dan à k diperoleh

s Q Q ( F2 _{Å s Q}2 _{s Q F}2 _{F F}2 _{Ã m}

sehingga persamaan à terbukti. Dari persamaan à h , à k , dan à m diperoleh

s Q Q ( Q ( F– _{Å s Q}– _F– _{s Q}2 _{( s Q}

Å s Q– _F– _{F F}2 _{( F}

Å s Q– _{F F}2 _F– _{Ã r}

sehingga persamaan à terbukti. Dengan menggunakan persamaan à h ,

à k , à m , dan à r diperoleh

s Q Q ( Q ( Q ( FŒ

Å s QŒ _FŒ _{hs Q}– _{( s Q}2 _{hs Q}

Å s QŒ _FŒ _{h F}– _F2 _{F ( F F}2 _hF

Å s QŒ _{F kF}2 _hF– _FŒ _Ã

sehingga persamaan à e terbukti. Dengan menggunakan persamaan à h ,

à k , à m , à r dan à diperoleh

s Q ( F Œ _{s Q}Œ_{( eQ}–_{F hQ}2_F2 _{( eQF}– _FŒ

Å s Q ( F Œ _{s Q}Œ _{( eFs Q}– _hF2_{s Q}2 _{( eF}–_{s Q F}Œ

Å s Q ( F Œ _{F kF}2 _hF– _FŒ _{( eF F F}2 _F– _hF2 _{F F}2

(eF–_{F F}Œ

Å s Q ( F Œ _{F kF}2 _hF– _FŒ _{( eF}2 _{( F}–_{( eF}Œ _hF– _hFŒ

(eFŒ _FŒ

Å s Q ( F Œ _{F F}2

Penduga

Definisi A.18 (Statistik)

Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg et al.2005)

Definisi A.19 (Penduga)

Misalkan Q₇ Q₂ X Q adalah contoh acak. Suatu statistik

Æ Æ Q7 Q2 X Q Æ Q yang digunakan untuk menduga fungsi parameter

Ç b , dikatakan sebagai penduga bagi Ç b , dilambangkan oleh Ç bL . Nilai amatan Æ Q₇ Q₂ X Q dari Æ dengan nilai amatan Q₇ '₇ Q₂ '₂ X Q

' , disebut sebagai dugaan bagi Ç b

(Hogg et al.2005)

Definisi A.20 (Penduga tak bias)

Æ Q disebut penduga tak bias bagi Ç b , bila s¿Æ Q À Ç b Bila s¿Æ Q À (

Ç b » b , maka » b disebut bias bagi penduga. Bila 3cA _0,s¿Æ Q À

Ç b , maka Æ Q disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi Ç b

(Hogg et al.2005)

Definisi A.21 (Penduga konsisten)

Suatu statistik Æ Q₇ Q₂ X Q yang konvergen dalam peluang ke parameter

Ç b , yaitu disebut penduga konsisten bagi Ç b

(Hogg et al.2005)

Definisi A.22 (Mean Square Error)

Mean Square Error (MSE) dari penduga bL untuk parameter b adalah fungsi dari

b yang didefinisikan olehs_È bL ( b 2. Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara penduga bL dan parameter b. Dari sini diperoleh

sÈ bL ( b 2 €B@ bL sÈ bL ( b 2 €B@ bL ;‘’ bL < 2

Definisi A.23 (O(1) dan o(1))

(i) Suatu barisan bilangan nyata R U disebut terbatas dan ditulis { untuk 0 , jika ada bilangan terhingga ¦ dan ‘ sehingga ¦ V V ‘ untuk semua bilangan asli n.

(ii) Suatu barisan R» U yang konvergen ke nol untuk 0 , dapat ditulis

» t untuk 0

(Purcell and Varberg 1998)

Definisi A.24 (Fungsi indikator)

Fungsi indikator dari himpunan ¦, sering ditulisv_É ' , didefinisikan sebagai fungsi

vÉ ' Ê ËcÌB ' ¦_{ËcÌB ' Í ¦}ž

(Cassela and Berger 1990)

Lema A.7 (Ketaksamaan Markov)

Jika Q adalah peubah acak, maka untuk suatu S [ , ¬ dQd Y S Z Î d´d

^

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Misalkan ¦ dQd Y S , maka dQd Y Sv_É, dengan v_É adalah fungsi indikator dari

¦. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh

s dQd Y s SvÉ

Ss vÉ S¬ dQd Y S

Ï ¬ dQd Y S Zs dQd_S

Dengan demikian Lema A.7 terbukti.

Lema A.8 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika Q adalah peubah acak dengan nilai harapan F dan ragam C2, maka untuk setiap S [ , ¬ dQ ( Fd Y S ZÐ:

^:

Bukti:

Karena Q ( F 2 Y S2, dengan ketaksamaan Markov diperoleh

¬ Q ( F 2 _{Y S}2 _Z s Q ( F 2

S2

C2

S2

Oleh karena Q ( F 2 Y S2 adalah ekuivalen dQ ( Fd Y S, dengan demikian Lema A.8 terbukti.

Lema A.9 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz)

Jika Q dan ¼ adalah peubah acak, maka berlaku s Q¼ Z Ñs Q2 s ¼2

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Untuk semua bilangan real , Q ( ¼ 2 Y

Oleh karena untuk semua nilai dari , Q2 ( Q¼ 2¼ Y

Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka

s Q2_{( Q¼} 2_{¼ Y}

Hal ini berimplikasi bahwa

s Q2 _{( s Q¼} 2_{s ¼ Y}

Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka didapatkan

2_{s ¼ ( s Q¼ s Q}2 _Y

Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis

e s Q¼ 2_{( es Q}2 _{s Q}2 _Z

s Q¼ 2 _{Z s Q}2 _{s Q}2

s Q¼ Z Ñs Q2 _{s ¼}2

Dengan demikian Lema A.9 terbukti.

Lema A.10 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

Ç x Ç ' "Ç - _{_}'

-.7

x ( ' - _{t dx ( 'd}

Untuk x 0 '

Lema A.11 (Teorema deret Taylor)

Misal f suatu fungsi maka deret Taylor dari f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) adalah

¤ ' "¤ _{_}

, .+

' (

¤ ¤1 _{_ ' (} ¤I _{_ ' (} 2 _W

(Stewart 1999)

Definisi A.25 (Terintegralkan Lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas ‘ diperoleh F ‘ D_Ò * V

(Dudley 1989)

Definisi A.26 (Titik Lebesgue)

Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika

3cA

`0+ # $d ' ( d*'

` 6`

(Wheeden and Zygmund 1977)

Lema A.12 (Teorema Limit Pusat (CLT))

Misalkan RQ_«U adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan RF_«U dan ragamnya bernilai berhingga RC_«2U Jika ‘ 2

•«.7C«2 dan untuk suatu Ó [ , •«.7pdQ«( F«dÔ t ‘ Ô , 0 , maka

7_{• Q}

«

«.7 menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan 7•«.7F« dan ragam 7

:‘ 2,dinotasikan

" Q« «.7

=

0 ¦ • " F«

«.7 2

‘ 2‚ Bukti: Lihat Serfling (1980).

ABSTRACT

LIA YULIAWATI. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of an Intensity Function as a Product of a Periodic Function with a Linear Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this thesis, estimation for periodic component of an intensity function as a product of a periodic function with a linear trend of a non-homogeneous Poisson process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case, where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity in the form of a periodic function multiplied by a linear trend, observed in an interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. An estimator has been constructed for the periodic component of the intensity function as a product of a periodic function with a linear trend of a Poisson process. Statistical properties of this estimator are also formulated. Finally, asymptotic normality of the estimator is also given.

RINGKASAN

LIA YULIAWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan

SISWANDI.

Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan dapat dijelaskan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, salah satunya proses kedatangan pengguna (intensitas) line telepon pada suatu interval waktu tertentu. Jika laju dari intensitas penggunaan telepon pada suatu interval waktu meningkat berdasarkan suatu tren maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren. Pada tulisan ini dibahas suatu kasus khusus fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear.

Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan suatu proses stokastik, fungsi intensitas dari proses umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik

, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai

Dimana adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) dan a adalah kemiringan dari tren linear. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Karena bernilai taknegatif, proses Poisson yang dikaji bukan pada , melainkan pada interval . Dengan alasan yang sama pada pembahasan ini dibahas hanya untuk kasus

a> 0.

Karena adalah fungsi periodik dengan periode maka tanpa menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut

dimana . Sehingga untuk setiap titik dan semua dengan adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh

Misalkan untuk suatu , hanya ada sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang ( , ,P) dengan fungsi intensitas seperti pada (2) yang diamati pada interval terbatas .

Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah menduga pada titik s dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan

Penduga tipe kernel bagi pada titik adalah:

! " # $ % &' ( _# ) *' +

, -.+

dengan n adalah panjang interval pengamatan, K adalah suatu kernel, # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu # / untuk

0 Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan syarat fungsi intensitas terintegralkan lokal, mempunyai turunan kedua 11 yang bernilai terhingga di s,

K adalah suatu kernel, # / , #2 0 , # 34 20 , untuk 0 , diperoleh bahwa _! menyebar normal asimtotik. Jika 2# 5 34 67 782 0 maka

2_{# 34} 67 9_:;

! ( <

=

0 >?@AB3 C2

untuk 0 dengan C2 2 D %₆₇7 2 E *E Jika 2# 5 34 67 782 0 maka

2_{# 34} 67 9_:

! (

=

0 >?@AB3 F C2

untuk 0 , dengan F GHI J

2 D E2% E *E 7

67 dan C2 2 D %2 E *E

7 67

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan (bank, kantor pos, supermarket, tempat rekreasi dan sebagainya).

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, diantaranya dalam bidang komunikasi, meteorologi dan asuransi.

Sebagai contoh dalam bidang komunikasi, untuk menentukan tarif maupun berbagai kebijakan pelayanan lainnya bagi suatu perusahaan komunikasi, dapat ditentukan dengan mengetahui banyaknya pengguna (intensitas) line telepon pada setiap waktu. Intensitas telepon yang digunakan oleh pelanggan pada suatu interval waktu tertentu dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik. Jika laju dari intensitas penggunaan telepon pada suatu interval waktu meningkat berdasarkan suatu tren maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren. Pada tulisan ini dibahas suatu kasus khusus fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear.

Pada umumnya, fungsi intensitas dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan suatu proses stokastik adalah tidak diketahui, sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

1. Mempelajari perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear dengan menggunakan fungsi kernel umum.

2. Mengkaji pendekatan asimtotik dari bias penduga. 3. Mengkaji pendekatan asimtotik dari ragam penduga. 4. Menentukan sebaran asimtotik dari penduga.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik)

Proses stokastik Q RQ S S TU adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang stateS.

(Ross 1996) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, Q S adalah suatu peubah acak. Setiap t pada himpunan indeks T juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan Q S sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Suatu proses stokastik Q disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah, sedangkan Q disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika Tadalah suatu interval.

Definisi 2.2 ( Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu RQ S S TUdisebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua S₊ V S₇ V S₂ V W V S , peubah acak Q S₇ (

Q S+ Q S2 ( Q S7 X Q S ( Q S 67 adalah bebas.

(Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu Q disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu RQ S S TUdisebut memiliki inkremen stasioner jika Q S ( Q S memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu Qdisebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara

sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

Definisi 2.4 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik R S S Y U disebut proses pencacahan jika S menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Suatu proses pencacahan S harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) S Y untuk semua S

(ii) Nilai S adalah integer.

(iii) Jika V S maka Z S , S

(iv) Untuk V S maka S ( , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang S

(Ross 1996)

Definisi 2.5 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan R S S Y U disebut proses Poisson dengan laju ,

[ , jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i)

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan S.

Jadi untuk semua S [

\ S ( ]6G^ _{_} S - X

(Ross 1996) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, S , maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini, S disebut fungsi intensitas dari proses tersebut.

Definisi A.16 (Momen pusat ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau C_- dari peubah acak Q adalah C- s Q ( Á-

-(Hogg et al.2005) Nilai harapan peubah acak Q merupakan momen pertama dari Q. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka Q dengan nilai harapannya disebut ragam dari Q. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak Q.

Definisi A.17 (Fungsi pembangkit peluang)

Fungsi pembangkit peluang dari suatu peubah acak X adalah Â_´ s ´ untuk suatu sehingga nilai harapan di atas ada.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Lema A.5

Jika Q memiliki fungsi pembangkit peluang ´ , maka (i) Â1_´ s Q

(ii) Secara umum dapat ditulis

s Q Q ( Q ( X Q ( Â_´

-Bukti:Lihat Grimmet and Stirzaker (1992).

Lema A.6

Jika Q adalah peubah acak Poisson dengan parameter F, maka

(i) s Q F Ã

(ii) s Q2 F F2 Ã

(iii)s Q– F F2 F– Ã

(iv)s QŒ F kF2 hF– FŒ à e

(v) s Q ( F Œ F F2. à g

Bukti:

´ s ´ _" -F -_ , -.+

]6Ä _]Ä J67 _{Ã h}

Berdasarkan Lema A.5 dan persamaan à h diperoleh

s Q F Ã k

Sehingga persamaan à terbukti. Dari persamaan à h dan à k diperoleh

s Q Q ( F2 _{Å s Q}2 _{s Q F}2 _{F F}2 _{Ã m}

sehingga persamaan à terbukti. Dari persamaan à h , à k , dan à m diperoleh

s Q Q ( Q ( F– _{Å s Q}– _F– _{s Q}2 _{( s Q}

Å s Q– _F– _{F F}2 _{( F}

Å s Q– _{F F}2 _F– _{Ã r}

sehingga persamaan à terbukti. Dengan menggunakan persamaan à h , à k , à m , dan à r diperoleh

s Q Q ( Q ( Q ( FŒ

Å s QŒ _FŒ _{hs Q}– _{( s Q}2 _{hs Q}

Å s QŒ _FŒ _{h F}– _F2 _{F ( F F}2 _hF

Å s QŒ _{F kF}2 _hF– _FŒ _Ã

sehingga persamaan à e terbukti. Dengan menggunakan persamaan à h , à k , à m , à r dan à diperoleh

s Q ( F Œ _{s Q}Œ_{( eQ}–_{F hQ}2_F2 _{( eQF}– _FŒ

Å s Q ( F Œ _{s Q}Œ _{( eFs Q}– _hF2_{s Q}2 _{( eF}–_{s Q F}Œ

Å s Q ( F Œ _{F kF}2 _hF– _FŒ _{( eF F F}2 _F– _hF2 _{F F}2

(eF–_{F F}Œ

Å s Q ( F Œ _{F kF}2 _hF– _FŒ _{( eF}2 _{( F}–_{( eF}Œ _hF– _hFŒ

(eFŒ _FŒ

Å s Q ( F Œ _{F F}2

Penduga

Definisi A.18 (Statistik)

Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg et al.2005) Definisi A.19 (Penduga)

Misalkan Q₇ Q₂ X Q adalah contoh acak. Suatu statistik

Æ Æ Q7 Q2 X Q Æ Q yang digunakan untuk menduga fungsi parameter

Ç b , dikatakan sebagai penduga bagi Ç b , dilambangkan oleh Ç bL . Nilai amatan Æ Q₇ Q₂ X Q dari Æ dengan nilai amatan Q₇ '₇ Q₂ '₂ X Q ' , disebut sebagai dugaan bagi Ç b

(Hogg et al.2005)

Definisi A.20 (Penduga tak bias)

Æ Q disebut penduga tak bias bagi Ç b , bila s¿Æ Q À Ç b Bila s¿Æ Q À ( Ç b » b , maka » b disebut bias bagi penduga. Bila 3cA 0,s¿Æ Q À Ç b , maka Æ Q disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi Ç b

(Hogg et al.2005)

Definisi A.21 (Penduga konsisten)

Suatu statistik Æ Q7 Q2 X Q yang konvergen dalam peluang ke parameter Ç b , yaitu disebut penduga konsisten bagi Ç b

(Hogg et al.2005) Definisi A.22 (Mean Square Error)

Mean Square Error (MSE) dari penduga bL untuk parameter b adalah fungsi dari b yang didefinisikan olehs_È bL ( b 2. Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara penduga bL dan parameter b. Dari sini diperoleh

sÈ bL ( b 2 €B@ bL sÈ bL ( b 2 €B@ bL ;‘’ bL <

2

Definisi A.23 (O(1) dan o(1))

(i) Suatu barisan bilangan nyata R U disebut terbatas dan ditulis { untuk 0 , jika ada bilangan terhingga ¦ dan ‘ sehingga ¦ V V ‘ untuk semua bilangan asli n.

(ii) Suatu barisan R» U yang konvergen ke nol untuk 0 , dapat ditulis » t untuk 0

(Purcell and Varberg 1998)

Definisi A.24 (Fungsi indikator)

Fungsi indikator dari himpunan ¦, sering ditulisv_É ' , didefinisikan sebagai fungsi

vÉ ' Ê ËcÌB ' ¦_{ËcÌB ' Í ¦}ž

(Cassela and Berger 1990)

Lema A.7 (Ketaksamaan Markov)

Jika Q adalah peubah acak, maka untuk suatu S [ , ¬ dQd Y S Z Î d´d ^

(Ghahramani 2005) Bukti:

Misalkan ¦ dQd Y S , maka dQd Y Sv_É, dengan v_É adalah fungsi indikator dari ¦. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh

s dQd Y s SvÉ

Ss vÉ S¬ dQd Y S

Ï ¬ dQd Y S Zs dQd_S

Dengan demikian Lema A.7 terbukti.

Lema A.8 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika Q adalah peubah acak dengan nilai harapan F dan ragam C2, maka untuk setiap S [ , ¬ dQ ( Fd Y S ZÐ:

^:

Bukti:

Karena Q ( F 2 Y S2, dengan ketaksamaan Markov diperoleh

¬ Q ( F 2 _{Y S}2 _Z s Q ( F 2

S2

C2 S2

Oleh karena Q ( F 2 Y S2 adalah ekuivalen dQ ( Fd Y S, dengan demikian Lema A.8 terbukti.

Lema A.9 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz)

Jika Q dan ¼ adalah peubah acak, maka berlaku s Q¼ Z Ñs Q2 s ¼2

(Ghahramani 2005) Bukti:

Untuk semua bilangan real , Q ( ¼ 2 Y

Oleh karena untuk semua nilai dari , Q2 ( Q¼ 2¼ Y

Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka

s Q2_{( Q¼} 2_{¼ Y}

Hal ini berimplikasi bahwa

s Q2 _{( s Q¼} 2_{s ¼ Y}

Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka didapatkan

2_{s ¼ ( s Q¼ s Q}2 _Y

Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis

e s Q¼ 2_{( es Q}2 _{s Q}2 _Z

s Q¼ 2 _{Z s Q}2 _{s Q}2

s Q¼ Z Ñs Q2 _{s ¼}2

Dengan demikian Lema A.9 terbukti.

Lema A.10 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

Ç x Ç ' "Ç - _{_}'

-.7

x ( ' - _{t dx ( 'd}

Untuk x 0 '

Lema A.11 (Teorema deret Taylor)

Misal f suatu fungsi maka deret Taylor dari f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) adalah

¤ ' "¤ _{_}

, .+

' (

¤ ¤1 _{_ ' (} ¤I _{_ ' (} 2 _W

(Stewart 1999)

Definisi A.25 (Terintegralkan Lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas ‘ diperoleh F ‘ D_Ò * V

(Dudley 1989)

Definisi A.26 (Titik Lebesgue)

Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika 3cA

`0+ # $d ' ( d*'

` 6`

(Wheeden and Zygmund 1977)

Lema A.12 (Teorema Limit Pusat (CLT))

Misalkan RQ_«U adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan RF_«U dan ragamnya bernilai berhingga RC_«2U Jika ‘ 2 •«.7C«2 dan untuk suatu Ó [ , •«.7pdQ«( F«dÔ t ‘ Ô , 0 , maka 7_{• Q}

«

«.7 menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan 7•«.7F« dan ragam 7

:‘ 2,dinotasikan

" Q« «.7

=

0 ¦ • " F«

«.7 2

‘ 2‚