Consistent Estimation of the Distribution and the Density Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend.

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI
KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON
PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

i

ABSTRAK
TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I
WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Pada tulisan ini dibahas kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang
waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Diasumsikan bahwa periode dari
komponen periodik diketahui tetapi kemiringan dari tren linear dan komponen periodik dari fungsi

intensitasnya tidak diketahui. Masalah utama yang dikaji adalah kekonsistenan penduga fungsi
sebaran dan kekonsistenan penduga fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan tren linear. Selain itu, dikaji juga kekonsistenan penduga dari kemiringan tren
linear serta kekonsistenan penduga dari komponen periodik fungsi intensitasnya.

ii

ABSTRACT
TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Consistent Estimation of the Distribution and the Density
Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I
WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.
This manuscript is concerned with consistent estimation of the distribution and the density
function of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. It is assumed that the period
of the cyclic component is known, but the slope of the linear trend as well as the cyclic component
of the intensity function is unknown. The main discussion in this manuscript is the consistency of
estimator of the distribution and the density function of waiting time of the process being
discussed. In addition, consistent estimation of the slope of the linear trend and the cyclic
component of the intensity function are also discussed.

iii


KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI
KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON
PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

iv


Judul Skripsi : Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan
Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren
Linear.
Nama
: Tita Robiah Al Adawiyah
NRP
: G54070030

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 19620305 198703 1 001

Ir. Retno Budiarti, M.S.
NIP. 19610729 198903 2 001


Mengetahui,
Ketua Departemen

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus : ………………………………

v

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya
ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Kekonsistenan Penduga Fungsi
Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren
Linear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen
pembimbing I dan Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis
ucapkan kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji yang telah banyak memberi
saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa,

dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima
kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor,
khususnya di Departemen Matematika.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2011

Tita Robiah Al Adawiyah

vi

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Subang pada tanggal 21 Maret 1990 dari ayah Tarsid Sadikin dan ibu
Eli Haryati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara
Tahun 2001 penulis lulus dari SDN 1 Pabuaran. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 1
Pabuaran. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Ciasem dan pada tahun yang sama lulus
seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih mayor
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus

Mahasiswa Matematika) sebagai anggota Biro Kesekretariatan pada periode 2009-2010, Serum G
(Serambi Ruhiyah Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) sebagai anggota Divisi
PSDM pada periode 2009-2010, serta anggota Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) Subang
pada periode 2008-2009. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan yaitu panitia
Math Expo 2008, panitia Pesta Sains 2009, panitia Lomba Karya Cipta Mahasiswa Nasional
(LKCM) 2009 dan panitia Masa Perkenalan Departemen (MPD) 2009 dan 2010.

vii

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................................................viii
PENDAHULUAN............................................................................................................................. 1
Latar Belakang .......................................................................................................................... 1
Tujuan ....................................................................................................................................... 1
LANDASAN TEORI ........................................................................................................................ 1
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ...................................................................................... 1
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ............................................................................................. 2
Kekonvergenan ......................................................................................................................... 2
Momen, Nilai Harapan dan Ragam .......................................................................................... 2

Penduga dan Sifat-sifatnya ....................................................................................................... 3
Proses Stokastik dan Proses Poisson ........................................................................................ 4
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ......................................................................................... 5
HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................................................................... 7
Perumusan Penduga .................................................................................................................. 7
Kekonsistenan dari
.............................................................................................................. 9
Kekonsistenan dari ,
....................................................................................................... 9
Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang
. ..................... 16
SIMPULAN .................................................................................................................................... 18
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 19
LAMPIRAN .................................................................................................................................... 20

viii

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 (Pembuktian Lema 2)................................................................................................... 21

Lampiran 2 (Pembuktian Lema 3)................................................................................................... 22
Lampiran 3 (Pembuktian Lema 4)................................................................................................... 23
Lampiran 4 (Pembuktian Lema 5)................................................................................................... 24
Lampiran 5 (Pembuktian Lema 6)................................................................................................... 25
Lampiran 6 (Pembuktian Lema 7)................................................................................................... 26
Lampiran 7 (Pembuktian Lema 8)................................................................................................... 27

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak
permasalahan yang dapat dimodelkan dengan
proses stokastik. Proses stokastik dapat
dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik
dengan waktu diskret dan proses stokastik
dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu
kontinu adalah proses Poisson periodik.
Contoh proses yang dapat dijelaskan dengan

proses Poisson periodik adalah proses
kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis.
Namun, jika banyaknya pelanggan yang
datang mempunyai kecenderungan meningkat
secara linear terhadap waktu, maka model
yang cocok adalah proses Poisson periodik
dengan tren linear.
Pada proses kedatangan pelanggan
tersebut, waktu tunggu dari seorang pelanggan
adalah jarak waktu sejak pusat servis tersebut
dibuka sampai pelanggan tersebut datang.
Karena waktu tunggu ini merupakan suatu
peubah acak kontinu, maka ia memiliki fungsi
sebaran dan fungsi kepekatan peluang.
Umumnya kedua fungsi ini tidak diketahui
sehingga diperlukan suatu penduga bagi kedua
fungsi tersebut.

Pada tulisan ini dikaji kekonsistenan
penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan

peluang waktu tunggu proses Poisson periodik
dengan
tren
linear.
Ini
merupakan
rekonstruksi dari paper Mangku (2010).
Untuk menyusun suatu penduga yang
konsisten, diperlukan data yang banyaknya
menuju tak hingga jika panjang interval
pengamatan menuju tak hingga. Agar data
pengamatan di berbagai bagian interval
pengamatan yang berbeda bisa digunakan
untuk menduga fungsi sebaran dan fungsi
kepekatan peluang, maka diperlukan asumsi
keperiodikan dari fungsi intensitas proses
yang dikaji. Pada kajian ini dianggap periode
dari fungsi intensitas diketahui yaitu .
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah

1. Mengonstruksi
kembali
penyusunan
penduga fungsi sebaran dan fungsi
kepekatan peluang waktu tunggu proses
Poisson periodik dengan tren linear.
2. Mengonstruksi
kembali
pembuktian
kekonsistenan penduga fungsi sebaran
waktu tunggu dan penduga fungsi
kepekatan
peluang
waktu
tunggu.

LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang
dalam kondisi yang sama yang hasilnya tidak
bisa diprediksi secara tepat tetapi dapat
diketahui semua kemungkinan hasil yang
muncul disebut percobaan acak.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak,
dinotasikan dengan .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari
ruang contoh .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 3 (Kejadian lepas)
Kejadian
dan
disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4 (Medan- )
Suatu himpunan
yang anggotanya adalah
himpunan bagian dari disebut medan- jika
memenuhi kondisi berikut
1.
;
;
2. Jika , , …
maka ∞
3. Jika
maka
.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 5 (Ukuran peluang)
Ukuran peluang Ρ pada ,
Ρ:
0,1" yang memenuhi
1. Ρ
# 0, Ρ
# 1,

adalah fungsi

2
2. Jika , , … adalah himpunan lepas yang
merupakan anggota dari , yaitu
$ %# ,
untuk setiap i, j dengan & ' (, maka
+.
# ∑∞ *Ρ
Ρ ∞
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Pasangan , , Ρ disebut ruang peluang.

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)
Kejadian dan dikatakan saling bebas jika
Ρ $
#P P
.
Secara umum, himpunan kejadian { ; & Ι}
dikatakan saling bebas jika
P*. / += ∏ / P
,
untuk setiap himpunan bagian berhingga 1
dari Ι.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 7 (Peubah acak)
Peubah acak 2 adalah fungsi 2: 4 5
dengan 67
: 2 7 8 9:
untuk setiap
9 5.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Peubah acak dinotasikan dengan huruf
kapital, seperti 2 , ; dan < . Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil,
seperti 9, = dan >.

Definisi 8 (Fungsi sebaran)
Fungsi sebaran peubah acak 2 adalah
?@ : 5 4 0,1", yang didefinisikan oleh
?@ 9 # P 2 8 9 .
Fungsi ?@ disebut fungsi sebaran dari peubah
acak 2.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 9 (Peubah acak diskret)
Peubah acak 2 dikatakan diskret jika semua
himpunan nilai 69 , 9 , … : dari 2 merupakan
himpunan tercacah.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 10 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret 2 adalah fungsi A@ : 5 4 0, 1", yaitu
A@ 9 # Ρ 2 # 9 .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 11 ( Peubah acak kontinu)
Peubah acak 2 dikatakan kontinu jika ada
fungsi B@ sehingga fungsi sebaran ?@ dapat
dinyatakan sebagai

F

?@ 9 # C B@ D ED,
G∞

9 5, dengan B@ H 5 4 0, ∞ adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi B@ disebut fungsi
kepekatan peluang bagi peubah acak 2.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Kekonvergenan
Definisi 12 (Konvergen dalam peluang)
Misalkan 2 , 2 , … , 2 adalah peubah acak
pada suatu ruang peluang
, , Ρ . Suatu
barisan peubah acak 2 , 2 , …, dikatakan
konvergen dalam peluang ke peubah acak 2,
J

ditulis 2I 4 2, untuk K 4 ∞, jika untuk setiap
L M 0,
lim Ρ |2I R 2| S L # 0.
I4∞

[Casella dan Berger, 1990]

Lema 1 (Sifat kekonvergenan dalam
peluang)
Misalkan 2I konvergen dalam peluang ke 2
dan ;I konvergen dalam peluang ke ; maka
2I ;I konvergen dalam peluang ke 2;,
J

dinotasikan dengan2I ;I 4 2;.
[Hogg et al., 2005]
Bukti: Lihat Hogg et al. 2005.
Momen, Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 13 (Momen)
1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan
fungsi massa peluang A@ , momen ke- T
dari 2 didefinisikan sebagai
Ε 2 U " # ∑ 9 U A@ 9 ,
jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah
di atas divergen, maka momen ke-T dari
peubah acak 2 adalah tidak ada.
2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan
fungsi kepekatan peluang B@ , momen ke-T
dari 2 didefinisikan sebagai
W∞
Ε 2 U " # VG∞ 9 U B@ 9 E9 ,
jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka momen keT dari peubah acak 2 adalah tidak ada.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Definisi 14 (Nilai harapan)
1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan
fungsi massa peluang A@ , maka nilai
harapan dari 2 didefinisikan sebagai
Ε 2" # X 9 A@ 9 ,

3

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah
di atas divergen, maka nilai harapan dari 2
adalah tidak ada.
2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan
fungsi kepekatan peluang B@ , maka nilai
harapan dari 2 didefinisikan sebagai
Y

Ε 2" # C 9B@ 9 E9 ,
GY

jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka nilai
harapan dari 2 adalah tidak ada.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Definisi 15 (Ragam)
Jika 2 adalah peubah acak, maka ragam dari
2 didefinisikan sebagai
Z[\ 2 # Ε X R Ε X" ".
[Taylor dan Karlin, 1984]
Definisi 16 (Covarian)
Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan
misalkan pula ^@ dan ^_ masing-masing
menyatakan nilai harapan 2 dan; . Covarian
dari 2 dan ; didefinisikan sebagai
`ab 2, ; # c 2 R ^@ ; R ^_ ".
[Casella dan Berger, 1990]
Lema 2
Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan
misalkan pula d dan E adalah dua buah
konstanta sebarang, maka
Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ;
e 2dE`ab 2, ; .
Jika 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas,
maka
Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; .
[Casella dan Berger, 1990]
Bukti: Lihat Lampiran 1
Lema 3
Jika 2 adalah peubah acak dengan ragam yang
berhingga, maka untuk sebarang konstanta d
dan E, berlaku
Z[\ d2 e E # d Z[\ 9 .
[Casella dan Berger, 1990]
Bukti: Lihat Lampiran 2.
Definisi 17 (Fungsi indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi
indikator dari A adalah suatu fungsi gh H 4
60,1:, yang diberikan oleh
1, (&j[ 7
l
gh 7 # i
0, (&j[ 7 k .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Nilai harapan dari fungsi indikator di atas
dapat dinyatakan sebagai berikut
c gh # Ρ .

Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 18 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau
lebih peubah acak, yang tidak bergantung
pada satu atau beberapa parameter yang
nilainya tidak diketahui.
[Hogg et al., 2005]
Definisi 19 (Penduga)
Misalkan 2 , 2 , … , 2I adalah contoh acak.
Suatu
statistik
2 , 2 , … , 2I
yang
digunakan untuk menduga suatu parameter,
katakanlah m n , disebut sebagai penduga
(estimator) bagi m n . Begitu 2 , 2 , … , 2I
diamati, katakanlah bernilai 2 # 9 , 2 #
9 , … , 2I # 9I , maka nilai
9 , 9 , … , 9I
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi m n .
[Hogg et al., 2005]
Definisi 20 (Penduga tak-bias)
1. Suatu penduga yang nilai harapannya
sama dengan parameter m n yang diduga,
yaitu c
2 , 2 , … , 2I " # m n , disebut
penduga tak bias bagi parameter tersebut.
Jika tidak, penduga tersebut disebut
berbias.
2. Bila
lim c
2 , 2 , … , 2I " # m n
I4∞

maka
2 , 2 , … , 2I disebut sebagai
penduga tak bias asimtotik bagi m n .
[Hogg et al., 2005]

Definisi 21 (Penduga konsisten)
Suatu
penduga
2 , 2 , … , 2I
yang
konvergen dalam peluang ke parameter m n ,
yaitu
o

2 , 2 , … , 2I 4 m n ,
untuk K 4 ∞, disebut penduga konsisten bagi
m n .
[Hogg et al., 2005]
Definisi 22 (pq dan rq )
1. Barisan dari peubah acak 62I : yang
berpadanan dengan fungsi sebaran 6?I :
dikatakan terbatas dalam peluang, ditulis
2I # so 1 , untuk K 4 ∞ , jika untuk
setiap L M 0, uvw dan xw sehingga
?I vw R ?I Rvw M 1 R L, yK M xw .
Mudah terlihat bahwa
z

2I 4 2 { 2I # so 1 .

4

2. Secara umum, untuk dua barisan dari
peubah acak 6|I : dan 6ZI : , notasi
|I # so ZI menyatakan bahwa barisan
|
} I~Z • adalah so 1 , untuk K 4 ∞.
I
3. 2I # ao 1 , jika untuk setiap L M 0 ,
berlaku
lim P |2I | M L # 0.
I4∞

4. Secara umum, untuk dua barisan dari
peubah acak 6|I : dan 6ZI : , maka |I #
|
ao ZI jika
} I~Z • adalah ao 1 ,
I
untuk K 4 ∞.
5. Jika |I # ao ZI
berimplikasi |I #
so ZI , untuk K 4 ∞.
[Serfling, 1980]
Definisi 23 (MSE suatu penduga)
Mean squared error (MSE) dari penduga •
untuk parameter n adalah fungsi dari n yang
didefinisikan oleh Eƒ • R n . Dengan kata
lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari
selisih antara penduga • dan parameter n .
Dari sini diperoleh
Eƒ • R n

# Z[\ • e *Eƒ • R n +

# Z[\ • e * &[„ nI + .
[Casella dan Berger, 1990]

Proses Stokastik dan Proses Poisson
Definisi 24 (Proses stokastik)
Proses stokastik … # 62 † , † ‡: adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
ke suatu
ruang state (state space) ˆ.
[Ross, 1996]

Jadi, untuk setiap † pada himpunan indeks
‡ , 2 † adalah suatu peubah acak. Indeks †
sering diinterpretasikan sebagai waktu dan
2 † disebut sebagai state (keadaan) dari
proses pada waktu †. Ruang state ˆ mungkin
berupa
1. ˆ # ‰
(himpunan
bilangan
bulat
(integer)), atau himpunan bagiannya.
2. ˆ # 5 (himpunan bilangan nyata (real)),
atau himpunan bagiannya.
Suatu proses stokastik 2 disebut proses
stokastik dengan waktu diskret (discrete time
stochastic process) jika himpunan indeks ‡
adalah himpunan tercacah (countable set),
sedangkan 2 disebut proses stokastik dengan
waktu kontinu (continuous time stochastic
process) jika ‡ adalah suatu interval.

Definisi 25 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik 62 † , † S 0: disebut
proses pencacahan (counting process) jika
2 † menyatakan banyaknya kejadian yang
telah terjadi sampai waktu †.
[Ross, 1996]
Kadangkala proses pencacahan 62 † ,
† S 0: ditulis 2 0, †" , yang menyatakan
banyaknya kejadian yang terjadi pada selang
waktu 0, †".
Suatu
proses
pencacahan
disebut
memiliki inkremen bebas jika banyaknya
kejadian yang terjadi pada sembarang dua
selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak
overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu
proses pencacahan disebut memiliki inkremen
stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian
yang terjadi pada sembarang selang waktu
hanya bergantung dari panjang selang
tersebut.
Salah satu proses pencacahan yang
penting adalah proses Poisson, yang juga
merupakan salah satu contoh penting dari
proses stokastik dengan waktu kontinu.

Definisi 26 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan 62 † , † S 0:
disebut proses Poisson dengan laju , M 0,
jika dipenuhi tiga syarat berikut
1. 2 0 # 0.
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang
interval waktu dengan panjang †, memiliki
sebaran Poisson dengan nilai harapan †.
Jadi, untuk semua †, „ S 0,
Ρ 2 †e„ R2 „ #j #
k # 0, 1, …

Š ‹Œ• Ž• •
‘!

,

[Ross, 1996]

Proses Poisson dengan laju
yang
merupakan konstanta untuk semua waktu †
disebut
proses
Poisson
homogen
(homogeneous Poisson process). Jika laju
bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari
waktu †, † , maka disebut proses Poisson
tak-homogen
(inhomogeneous
Poisson
process). Untuk kasus ini, † disebut fungsi
intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi
intensitas
† harus memenuhi syarat
† S 0, untuk semua †.
Misalkan 2 adalah proses Poisson dan
adalah suatu selang bilangan nyata. Jika 2
adalah proses Poisson homogen, maka
" # | |,
c2

5
dengan | | adalah panjang
, serta 2
menyatakan banyaknya kejadian dari proses
Poisson pada selang .
Jika 2 adalah proses Poisson non
homogen dengan fungsi intensitas † , maka
^

#”2

"#C


† E†.

Dengan kata lain, jika 2 adalah proses
Poisson tak-homogen maka 2 memiliki sifat
— G– • ,
1. Ρ 2
#j #
‘!
j # 0, 1, … untuk setiap selang dengan
^
˜ ∞.
2. Untuk setiap bilangan bulat positif T S 2
dan
, , … , U adalah selang-selang
yang disjoint dengan * % + ˜ ∞, ( #
,…,2 U
,2
1, 2, … , T, 2
merupakan peubah acak yang saling bebas.
– • •

Peubah acak yang merupakan jumlah dari
dua atau lebih peubah acak Poisson yang
saling bebas mempunyai sebaran Poisson
juga. Hal ini dapat ditunjukkan oleh lema
berikut.
Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak
Poisson)
Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak saling
bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan
parameter berturut-turut D dan b. Maka 2 e ;
memiliki
sebaran
Poisson
dengan
parameterD e b.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Bukti: lihat Lampiran 3.
Definisi 27 (Terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas
disebut terintegralkan
lokal jika untuk sembarang himpunan Borel
terbatas ™ kita memiliki
^ ™ # V™

„ E„ ˜ ∞.
[Dudley, 1989]

Definisi 28 (Titik Lebesgue)
Titik „ disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi
jika berlaku
š

1
C| „ e 9 R
š4› 2œ
lim



„ | E9 # 0.

[Wheeden dan Zygmund, 1977]

Definisi 29 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen 2 dengan fungsi intensitas pada
titik „ 5 adalah „ , yaitu nilai fungsi di
„.
[Cressie, 1993]

Definisi 30 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika
„ej # „ ,
untuk setiap „ 5 dan j ‰ . Konstanta
terkecil yang memenuhi persamaan diatas
disebut periode dari fungsi tersebut.
[Browder, 1996]
Definisi 31 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson
tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah
fungsi periodik.
[Mangku, 2001]
Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 32 (p • dan r • )
1. Suatu barisan bilangan nyata 6[I : disebut
terbatas dan ditulis [I # s 1 , untuk
K 4 ∞, jika ada bilangan terhingga dan
sehingga
˜ [I ˜ , untuk semua
bilangan asli K.
2. Suatu barisan 6žI : konvergen ke nol untuk
K 4 ∞ , kadangkala ditulis žI # a 1 ,
untuk K 4 ∞.
[Purcell dan Verberg, 1998]
Definisi 33 (Momen kedua terbatas)
Peubah acak 2 dikatakan mempunyai momen
kedua terbatas jika dipenuhi c 2 terbatas.
[Helms, 1996]
Lema 5 (Ketaksamaan Markov)
Jika 2 adalah peubah acak dengan c 2
terbatas, maka untuk setiap † M 0 berlaku
Ÿ |@|
.
Ρ |2| S † 8

[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 4.
Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika 2 adalah peubah acak dengan nilai
harapan ^ dan ragam terbatas , maka
untuk setiap

Ρ |2 R ^| S
M 0.

8

,

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 5.
Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan
momen kedua terbatas, maka
c62;: 8 c 2" c ;" ,
dan akan “bernilai sama dengan” jika dan
hanya jika ¡ 2 # 0 # 1 atau ¡ ; # [2 #
1 untuk suatu konstanta [.
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 6.

6

Lema 8 (Ketaksamaan segitiga)
Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan
momen kedua terbatas, maka
|2 e ;| 8 |2| e |;|.
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 7.
Lema 9 (Teorema Fubini)
Jika B S 0 atau V |B| E^ ˜ ∞ maka

V@ V_ B 9, = ^ E= ^ E9 # V@¢_ B E^ #

V_ V@ B 9, = ^ E9 ^ E= .
Bukti: Lihat Durret, 1996.

[Durret, 1996]

Lema 10 (Formula Young dari Teorema
Taylor)
Misalkan m memiliki turunan ke- K yang
berhingga pada suatu titik 9, maka
I
m‘ 9
m = #m 9 eX
=R9 ‘
j!


e a |= R 9|I ,
untuk = 4 9.

Bukti: Lihat Serfling, 1980.

[Serfling, 1980]

7

HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Penduga

Misalkan x adalah proses Poisson non
homogen pada interval 0, ∞ dengan fungsi
intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini
diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri
atas 2
komponen,
yaitu
komponen
periodikatau komponen siklik £ dengan
periode M 0 dan sebuah tren linear yang
tidak diketahui pula. Dengan demikian, untuk
sebarang titik „
0, ∞ , fungsi intensitas
dapat ditulis sebagai berikut
(1)
„ # £ „ e [„,
dengan £ „ adalah fungsi periodik dengan
periode dan [ adalah kemiringan dari tren
linear. Karena £ adalah periodik, maka
persamaan
(2)
# £ „ ,
£ „ej
berlaku untuk setiap „
0, ∞ dan j ‰
dengan ‰ adalah himpunan bilangan bulat.
Karena £ periodik dengan periode , maka
untuk menduga £ pada „
0, ∞ cukup
diduga nilai £ pada „
0, .
Pada pembahasan ini, dikaji proses
Poisson pada interval 0, ∞ , bukannya pada
5 karena harus memenuhi persamaan (1)
dan tidak boleh negatif. Karena alasan serupa,
kajian hanya dibatasi untuk [ M 0.
Misalkan untuk suatu 7 Ω , terdapat
sebuah realisasi tunggal x 7 dari proses
Poisson x yang terdefinisi dalam ruang
peluang Ω, , Ρ dengan fungsi intensitas
pada persamaan (1) dan diamati pada interval
0, K".
Pada karya ilmiah ini dipelajari
penyusunan penduga konsisten bagi fungsi
sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu
tunggu ‡U untuk kejadian ke-T dari proses
Poisson x sejak awal pengamatan (waktu 0 ,
dengan menggunakan realisasi tunggal x 7
dari proses Poisson x yang diamati pada
interval 0, K" .
Untuk mendapatkan fungsi sebaran dari
‡U , dapat diperhatikan bahwa untuk setiap
> M 0 dan T M 0, kita mempunyai Ρ ‡U 8
> # Ρ x 0, >" S T yang menghasilkan
fungsi sebaran
?¦§ > # Ρ ‡U 8 > # Ρ x 0, >" S T
# 1 R Ρ x 0, >" ˜ T
# 1 R *Ρ x 0, >" # 0 e
Ρ x 0, >" # 1 e ¨ e
Ρ x 0, >" # T R 1 +

?¦§ > # 1 R — G© ª «1 e Λ > e ¨ e

dengan Λ > #

© ª §‹UG
ª
V›

!

®

„ E„.

(3)

Misalkan >¯ # > R ° ² , untuk setiap
±
bilangan real 9 , dengan 9" menunjukkan
integer terbesar yang kurang dari atau sama
dengan 9 . Maka untuk setiap > M 0 , kita
ª
mempunyai > # ° ² e >¯ dengan 0 ˜ >¯ ˜
±
±

. Misalkan n # V›

ª

„ E„ sehingga

(4)

Fungsi kepekatan peluang dari ‡U yaitu

(5)

£

Λ > # n ° ² e Λ£ >¯ e [>
ª
±

dengan Λ£ >¯ #
B¦§ > #

£

ª³
V›

£

„ E„.

> e [> — G© ª

*© ª +

§‹-

UG !

.

Pada pembahasan ini, diformulasikan
penduga fungsi sebaran ?¦§ > dan penduga
fungsi kepekatan peluang B¦§ > . Untuk
penyusunan penduga di atas diperlukan juga
penduga bagi [ , penduga bagi n , penduga
bagi Λ´ >¯ dan penduga bagi £ „ .

Penduga bagi ?¦§ diberikan oleh
µ
µ· > e ¨ e
?¦§,I > # 1 R — G©¶ ª «1 e Λ
µ ¶ ª §‹©
UG

!

®

dengan
µ´,· z¹ e [ºI > .
µ· > # °ª² nI e Λ
Λ
±

(7)

Penduga bagi [ diberikan oleh
[ºI #

» ›,I"


.

Penduga bagi B¦§ > diberikan oleh
µ
B½¦§,I > # * ½ £,I > e [ºI >+— G©¶

ª

(8)

. 0, K" R [ºI Á e
±

I

Ã
Ä

·« ®

Å.

¾‹-

µ¶ ª ®
«©

Penduga bagi n diberikan oleh
Y
1
1
nI #
X x j ,j e "
ln K/
j


(6)

UG

!

.

(9)

(10)

8
Penduga bagi Λ´ >¯ diberikan oleh
1
µ´,· >¯ #
Λ
ln K/
Y
1
X x j , j e >¯ ". 0, K"
j

I

C [„ E„ #




K>¯

e
Å.
R[ºI Á
ln K/
2

(11)

Penduga bagi £ „ pada titik „
0, ∞
diberikan oleh
1
½ £,I „ #
ln K/
Y
1 x „ e j R œI , „ e j e œI ". 0, K"
X
2œI
j

K
Ç
R[ºI Æ„ e
ln K/
(12)
dimana œI adalah barisan bilangan real positif
yang konvergen menuju 0,
œI È 0,
(13)
untuk K
∞.
Sekarang diuraikan ide tentang pembentukan
penduga bagi [ . Untuk menjelaskan hal ini
digunakan Lema berikut.

Lema 11
Jika fungsi intensitas £ adalah periodik
(dengan periode ) dan terintegralkan lokal,
I
maka
∞ ,
V› £ „ E„ 4 n untuk K
I

dengan n # V›
±

±

„ E„.

£

[Damiri, 2003]

I

cx 0, K" # C


I

#C

I

#C


„ E„
£
£

„ e [„ E„
I

„ E„ e C [„ E„.


Perhatikan suku pertama dari ruas kanan
persamaan diatas. Berdasarkan Lema 11,
maka
I

C


„ E É nK.

Dengan mengganti cx 0, K"
dengan
padanan stokastiknya yaitu x 0, K" maka
Ê
diperoleh x 0, K" É nK e K . Kedua ruas
dibagi dengan K , sehingga
n [
2x 0, K"
2
x 0, K"
É e Ë
R nÉ[
K 2
K
K
K

Jika K 4 ∞,maka n 4 0.Akhirnya diperoleh
I
bahwa
2x 0, K"
.
[ºI #
K

Sekarang,
diuraikan
ide
tentang
pembentukan penduga ½ £,I „ dari £ „ .
Karena hanya ada satu realisasi dari proses
Poisson x yang tersedia, kita harus
menggabungkan informasi tentang nilai „
yang belum diketahui dari tempat yang
berbeda pada interval 0, K". Misalkan
Y
1
ÌI # X I „ e j
0, K" .
j


Untuk sebarang titik „ dan j ‰ , maka
menurut persamaan (2), kita dapatkan
£ „ # £ „ej
Y
1
1
X £ „ej
£ „ #
ÌI
j


I „ej
0, K"
Y
1
1
X * „ej R[ „ej +
#
j
ÌI


I „ej
0, K"
Y
1
1
X * „ e j +I „ e j
#
j
ÌI

Bukti: Lihat Damiri (2003).
Perhatikan bahwa

[
K .
2

Suku kedua dari persamaan diatas, yaitu

R



1
[„ e [j
X
ÌI
j
Y

I „ej



Kita tahu bahwa ∑Y
I „ej


0, K"

0, K" .

(14)

0, K" É

I
±

dan ÌI Î ln « ® untuk K
∞ . Maka
±
persamaan (14) dapat ditulis sebagai berikut
I

1 1
X
É
I
j
2œI
ln « ®
1

±

Y



I 9e„ej

R[ Є e

K

ÏW‘±WšÃ

ln « ®
I
±

C

ÏW‘±GšÃ

0, K" E9

Ñ

9

9

#

1

Y

X

ln « ® ‘
I
±

. 0, K"

1 Ex „ e j R œI , „ e j e œI "
2œI
j
K

R [ Є e

ln « ®
I
±

Ñ.

(15)

Kita tahu bahwa Ex „ e j R œI , „ e j e
œI ". 0, K" É x „ e j R œI , „ e j e
œI ". 0, K"
yang merupakan padanan
stokastiknya, sehingga persamaan (15)
menjadi
Y
1 x „ e j R œ I , „ e j e œI "
1
X
É
I
j
2œI
ln « ®
±



. 0, K"

K

R [ Є e

ln « ®
I
±

Ñ.

(16)

Persamaan (16) adalah penduga dari £ „ ,
dengan periode dan kemiringan [ dari tren
linear diasumsikan diketahui. Jika [ tidak
diketahui, kita ganti [ dengan [ºI sehingga
diperoleh penduga dari £ „ yang diberikan
pada persamaan (12).
Kekonsistenan dari

Lema 12
Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1)
dan terintegralkan lokal. Maka
E [ºI # [ e

ƒ

I

e s « ¼®,
I

(17)

Z[\ [ºI # ¼ e s « Ò®,
(18)
I
I
untuk K 4 ∞. Akibatnya, [ºI adalah penduga
konsisten bagi [ , dan Mean-squared error
(MSE)nya adalah
Ê

dan

vˆc [ºI #
untuk n 4 ∞.

Óƒ ¼ W Ê


e s « Ò®
I

(19)

Bukti:
Berdasarkan (8), E [ºI dapat dihitung sebagai
berikut
E [ºI

I

2
2
# Ex 0, K" # C
K
K
#

I

2
C
K


I

2
# ÔC
K


£

£



„ e [„ E„
I

„ E„

„ E„ e C [„ E„Õ


2
[
°nK e K e s 1 ²
K
2
1
2n
e [ e s Æ Ç,
#
K
K
untuk n 4 ∞. Ragam dari [ºI diperoleh
dengan cara
4
Z[\ [ºI # Ó Z[\x 0, K"
K
4
# Ó Ex 0, K"
K
2 2
# × Ex 0, K" Ø
K K
2
#
E [ºI "
K
2 2n
1
# × e [ e s Æ ÇØ
K K
K
1
2[
e s Æ Ù Ç,
#
K
K
untuk n 4 ∞.
#

vˆc [ºI # Z[\ [ºI e * &[„ [ºI +

* &[„ [ºI + # E [ºI R [
2n
1
# Æ e [ e s Æ Ç R [Ç
K
K
2n
1
# Á e s Æ ÇÅ
K
K
4n
1
#
e s Æ Ù Ç,
K
K
untuk n 4 ∞.

(20)

Berdasarkan persamaan (18) dan (20), maka
1
4n e 2[
e s Æ Ù Ç,
vˆc [ºI #
K
K
untuk n 4 ∞.
Kekonsistenan dari

,

)
Lema 13 (Kekonsistenan ,
Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1)
dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (13)
dipenuhi dan œI ln K 4 ∞, maka
J
½ £,I „ 4 £ „
(21)
untuk n 4 ∞, asalkan „ adalah titik Lebesgue
dari £ . Dengan kata lain, ½ £,I „ penduga
konsisten bagi £ „ .
Untuk membuktikan kekonsistenan
½ £,I „ diperlukan Lema berikut.

dari

10

Lema 14
Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1)
dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (13)
dipenuhi dan œI ln K 4 ∞, maka
(22)
E ½ £,I „ 4 £ „ ,
dan
(23)
Z[\ « ½ £,I „ ® 4 0,
untuk n 4 ∞, asalkan „ adalah titik Lebesgue
dari £ .
Bukti:
Untuk membuktikan persamaan (22), akan
dibuktikan bahwa
(24)
limI4Y E ½ £,I „ # £ „ .
Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di
ruas kiri (24) dapat dinyatakan sebagai berikut
E ½ £,I „
Y
1
1 Ex „ e j R œI , „ e j e œI "
#
X
I
j
2œI
ln « ®


±

. 0, K"

R E[ºI Є e

K

ln « ®
I
±

Ñ.

(25)

Suku pertama dari (25)
Y
1
1 Ex „ e j R œI , „ e j e œI "
#
X
I
j
2œI
ln « ®


±

. 0, K"

1
#
2œI ln K/

I 9e„ej

šÃ

1
X C
j
Y



GšÃ

0, K" E9
šÃ

9e„ej

±

a 9e„ej
šÃ

I 9e„ej
Ã

1
C *λ´ x e s +
#
2œI
GšÃ

1
Ð I X I 9e„ej
k
ln « ®
1

±

Y

Þ

[
e
2œI ln K/

I 9e„ej

šÃ



GšÃ

0, K" E9.

· I/±

®,

untuk n 4 ∞, dan
šÃ

(27)

1
C *λ´ x e s +E9
2œI
GšÃ

šÃ

1
#
C «*λ´ x e s R λ´ s + e λ´ s ® E9
2œI

#

GšÃ
šÃ

1
Ð C *λ´ x e s R λ´ s +E9
2œI
GšÃ

šÃ

e C λ´ s E9 Ñ.
GšÃ

Karena „ adalah titik Lebesgue dari
šÃ

£,

1
C *λ´ x e s R λ´ s +E9 # a 1
2œI
GšÃ
šÃ

1
1
C λ´ s E9 #
λ s
2œI
2œI ´
GšÃ

maka

šÃ

C E9

GšÃ

1
#
λ s 2œI
2œI ´
# λ´ s .

· I/±

0, K" E9

0, K" Ñ E9

1
X C 9e„ej
j
Y

Þ

# 1es«

(28)

Dari (27) dan (28), kita peroleh suku pertama
dari (26) yaitu
® λ´ s e a 1
# «1 e s

1
X C λ´ x e s e
#
I
2œI ln « ® ‘ j Gš
1

Y

Suku pertama dari (26) dapat diuraikan
sebagai berikut
Y
1
1
X I 9e„ej
0, K"
ln K/
k

(26)

# λ´ s e a 1
untuk n 4 ∞.

(29)

Suku kedua dari (26), dapat diuraikan sebagai
berikut
šÃ

1
X C 9e„ej
j

[
2œI ln K/

Y



I 9e„ej
šÃ

GšÃ

0, K" E9

[
C 9e„ej
#
2œI
GšÃ

#

1
ln K/

šÃ

1
X I 9e„ej
k
Y

Þ

1
[
C 9 Æ1 e s
ln K/
2œI
GšÃ

0, K" E9

Ç E9

11
šÃ

1
[„

C E9 Ñ Æ1 e s
ln K/
2œI



Ç

GšÃ
šÃ

[
1
Ç C
I
2œI
ln « ®

±

Ã

Y

XI 9 e „ e j

E ½ £,I „ # *λ´ s e a 1 + e
á[ Á„ e

Æ[ e

(30)

Suku pertama dari (30) akan diperoleh sama
dengan nol.
Suku kedua dari (30) adalah sama dengan
[„ e s «

· I/±

®.

Perhatikan suku ketiga ruas kanan persamaan
(30). Nilai ∑Y
I 9e„ej
0, K" dapat
Þ
ditulis menjadi
Y
n
n
R1 8 XI 9 e„ ej
0, K" 8 e 1
τ
τ
Þ

Y

Ë XI 9 e„ ej
Þ

8

maka diperoleh
ʱ

Ã
·« ®
Ä

0, K"

n
1
Æ1 e s Ç
τ
K

« es 1 ®#
·
à

ÊI

Ã
·« ®
Ä

esÁ

Ã
·« ®
Ä

[
2œI ln K/

X



I 9e„ej

Å.

# 0 e [„ e s Á

# Á[„ e

ÊI

Ã
Ä

·« ®

šÃ

1
C 9e„ej
j
GšÃ

0, K" E9

Ã
·« ®
Ä

Åe

ÅesÁ

untuk K 4 ∞.

ÊI

Ã
·« ®
Ä

Ã
Ä

·« ®

Å

esÁ

untuk K 4 ∞.

ÊI

Ã
Ä

·« ®

Ã
·« ®
Ä

esÁ

#

1

Y

X

ln « ® ‘
±
. 0, K"
I

e s « ¼®Ç Á„ e
I

Åâ R
I

Ã
Ä

·« ®

Å

1 x „ e j R œ I , „ e j e œI "
j
2œI

R[ºI Æ„ e

K
Ç
ln K/

K
Ç.
ln K/

Sehingga
e Z[\
Z[\ « ½ £,I „ ® # Z[\
R 2`ab , .
Z[\

(34)

Suku pertama dari persamaan (34) adalah
1

Y

X

1
Z[\
j

4œI «ln « ®® ‘
±
x „ e j R œI , „ e j e œI ". 0, K"

Å

(33)

Misalkan
#
Y
1 x „ e j R œ I , „ e j e œI "
1
X
I
2œI
ln « ® ‘ j
±
. 0, K"

#

I

(35)

Karena x adalah peubah acak Poisson, maka
Z[\ x # Ex. Sehingga persamaan (35)
menjadi

Sehingga ruas kanan persamaan (26) menjadi
# *λ´ s e a 1 + e á[„ e

Ã
Ä

·« ®

Bukti persamaan (23). Kita tahu bahwa
½ £,I „

# [ºI Æ„ e

Dengan menggabungkan hasil ketiga suku
dari (30), maka suku kedua persamaan (26)
menjadi
Y

Ã
Ä

(32)
# λ´ s e a 1 ,
untuk K 4 ∞. Jadi, persamaan (22) terbukti.

0, K" E9.

Þ

ƒ

I

ÅesÁ

I

·« ®

Ã
Ä

·« ®

Åâ

(31)

Dengan mensubstitusikan persamaan (17) dan
(31) ke persamaan (25) maka diperoleh

Z[\

#
#

#

1

4œI «ln « ®®
I
±

Y

X



1
j

Ex „ e j R œI , „ e j e œI ". 0, K"
1

4œI «ln « ®®
±

4œI «ln « ®®
I
±

I 9e„ej

šÃ

1
X
C
j

I

I 9e„ej
1

Y



Y

X



GšÃ

0, K" E9
šÃ

1
C
j

GšÃ

£

0, K" E9

9e„ej

9e„ e[ 9e„

12
e

[

4œK 2 «ln « ®®
K

šÃ

Y

2

1
C I 9e„ej
j

X



# sÁ

untuk K 4 ∞.

0, K" E9.

GšÃ

(36)

Suku pertama ruas kanan persamaan (36)
dapat diuraikan menjadi
1

šÃ

1
C
#
K
2œI ln « ® Gš 2œI
Ð

1

Y

X

ln « ® ‘
K

[

Ã

£

9 e „ E9

1
I 9e„ej
j
šÃ

C 9 e „ E9

4œI ln « ® Gš
Ð

1

I

±
Y

X

ln « ® ‘

Y

K

Ã

1
I 9e„ej
j

1
I 9e„ej
j

Perhatikan bahwa
X

Y

1
X I 9e„ej
I
j
ln « ®
1

±



#

(37)

1

0, K" # s Ð I Ñ.
ln « ®
±

Berdasarkan persamaan (28) pada Lema 14,
kita tahu bahwa
šÃ

C

GšÃ

1
*λ x e s +E9 # λ´ s e a 1 .
2œI ´

Sehingga
menjadi
#

Ã
šÃ ·« ®
Ä

# aÁ

suku pertama

Ã
šÃ«Â·« ®®
Ä

untuk K 4 ∞.

Å,

Ã
·« ®
Ä

Å

Ê

Ã
Ӛà ·« ®
Ä
¼

# sÁ

Ã
Ä

0 e 2„œI s Á
¼

šÃ «Â·« ®®

untuk K 4 ∞.

Å,

Ã
·« ®
Ä

(40)

±

1
X I 9e„ej
j
ln « ® ‘
1

I
±

Y

[

šÃ

C ã1 e s Ð

4œI ln « ® Gš
ʱ

I

Ã
Ä

šÃ ·« ®
ʱ

Ã
Ä

šÃ ·« ®

±

Ã

á1 e s Á
esÁ

untuk K 4 ∞.

Ã
Ä

·« ®
Ã
Ä

Åâ

šÃ «Â·« ®®

¼

1

0, K" E9

ln « ®
I
±

Ñä E9

Å,

(41)

Dengan menggabungkan persamaan (40) dan
(41), kita peroleh suku pertama dari
persamaan (34) adalah
#

ʱ

esÁ

Ã
Ä

šÃ ·« ®

untuk K 4 ∞.

Ã
Ä

šÃ «Â·« ®®

Selanjutnya, kita
persamaan (34)
Z[\ á[ºI Á„ e
# Á„ e

I

I

Ã
Ä

Å,

hitung

Ã
Ä

·« ®

·« ®

¼

(42)

suku

kedua

Åâ

Å Z[\ [ºI .

Dengan mensubstitusikan persamaan (18),
persamaan di atas menjadi
(38)

Suku kedua persamaan (37) dapat dituliskan
menjadi
#

#

persamaan (37)

λ´ s e a 1 s Á
¼

C

GšÃ

merupakan deret-A dengan A # 2, sehingga


šÃ

#

0, K" Ñ.

Å

Suku kedua persamaan (36) dapat ditulis
sebagai berikut
[
#
I
4œI ln « ®

0, K" Ñ e

0, K" # s 1

¼

Ã
Ä

šÃ «Â·« ®®

Å

# Á„ e

#

Ê

Ã
Ä

I

Ã
Ä

·« ®
¼

«Â·« ®®

Å Æ

esÁ

untuk K 4 ∞.

Ê



e s « Ò®Ç
Ã
Ä

I«Â·« ®®

Å

I

(43)

Dari persamaan (42), (43) dan ketaksamaan
Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku
ketiga persamaan (34) tidak lebih dari
(39)

Dengan menggabungkan persamaan (38) dan
(39), kita peroleh suku pertama persamaan (36)
adalah



ʱ

Ê

šÃ ·« ® æ«Â·«Ã®®
Ã
Ä

# sÐ

Ä

Ã
Ä

¼

ÑsÁ

åšÃ ·« ®

Ã
Ä

·« ®

Å

13

# sá

Ã

šÃ - ¼ «Â·« ®®

Ã
šÃ ·« ®
Ä

# sÁ

šÃ ·« ®

Ã
Ä

untuk K 4 ∞.

â


šÃ - ¼
Ã
Ä

«Â·« ®®

Åa 1

šÃ ·« ®
Ã
Ä

Ä

Åá

# sÁ

# sÁ

Ò⁄¼

-⁄¼

Berdasarkan persamaan (23) pada Lema 14,
maka persamaan (50) terbukti. Jadi, Lema 13
terbukti.

â

Å,

(44)

Dengan menggabungkan persamaan (42), (43)
dan (44), kita peroleh
Z[\ « ½ £,I „ ® #

ʱ

Ã
Ä

šÃ ·« ®

esÁ

Ã
Ä

Å

šÃ ·« ®

(45)
untuk K 4 ∞ . Karena œI ln K 4 ∞ untuk
K 4 ∞, kita peroleh Z[\ « ½ £,I „ ® 4 0 untuk
K 4 ∞ pada persamaan (22). Jadi, Lema 14
terbukti.

Bukti Lema 13
Untuk
membuktikan
persamaan
(21),
berdasarkan Definisi 12 akan diperlihatkan
bahwa untuk yL M 0,
lim P*è ½ £,I „ R £ „ è M L+ # 0.
I4Y

(46)
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, kita
peroleh
è ½ £,I „ R £ „ è 8 è ½ £,I „ R E ½ £,I „ è e
(47)
èE ½ £,I „ R £ „ è
Berdasarkan persamaan (22) pada Lema 14
kita peroleh
(48)
lim èE ½ £,I „ R £ „ è # 0
I4Y

sehingga untuk yL M 0, ada x agar
w
èE ½ £,I „ R £ „ è ˜
untuk yK S x.

µê,Ã Ï ®
Ó éʯ«Ž

Dengan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh
w

µê,Ã Ï ®
Ó éʯ«Ž



.

Jadi, tinggal membuktikan bahwa


4 0.

Bukti:
Untuk membuktikan Lema 15, kita hanya
perlu membuktikan persamaan (52) karena
persamaan (51) merupakan bentuk khusus dari
persamaan (52) jika z¹ #
. Untuk
membuktikan persamaan (52), kita perlu
membuktikan
µ£,I >¯ 4 Λ´ z¹
(53)

dan
µ£,I >¯ ® 4 0
Z[\ «EΛ
(54)
untuk K 4 ∞.

Untuk membuktikan persamaan (53) akan
dibuktikan bahwa
µ£,I >¯ # Λ´ z¹ .
(55)
limI4Y EΛ

Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di
ruas kiri (55) dapat dinyatakan sebagai berikut
Y
1
1
µ£,I >¯ #
X Ex j , j e >¯ "

I
j
ln « ®

(50)



±

. 0, K" R Ð

(49)

Berdasarkan (48), diperoleh
P*è ½ £,I „ R £ „ è M L+
L
8 P «è ½ £,I „ R E ½ £,I „ è M ®.
2
Jadi, untuk membuktikan (45) tinggal
ditunjukkan
L
lim P «è ½ £,I „ R E ½ £,I „ è M ® # 0.
I4Y
2
P «è ½ £,I „ R E ½ £,I „ è M ® 8

Lema 15
Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1)
dan terintegralkan lokal. Maka
J
nI 4 n,
(51)
dan untuk setiap 0 ˜ >¯ ˜ ,
J
µ£,I >¯ 4 Λ´ z¹ ,
(52)
Λ
untuk K 4 ∞ . Dengan kata lain, nI dan
µ£,I >¯ adalah penduga konsisten bagi ndan
Λ
Λ ´ z¹ .


K>¯
e
Ñ E[ºI .
I
2
ln « ®
±

(56)

Suku pertama dari (56)
Y
1
1
X Ex j , j e >¯ ". 0, K"
#
I
j
ln « ®
±



±


Y

‘±Wª³

1
X C
#
I
j
ln « ®
1

#

#

1

Y

‘±
ª³

9 I 9

1
X C* £ 9 e j
ln « ® ‘ j ›
±
I 9ej
0, K" E9
I

1

ª³

C

ln « ® ›
I
±

£

e[ 9ej +

1
9 X I 9ej
j
Y



0, K" E9

0, K" E9

14

e

e

[

ª³

1
C 9X I 9ej
I
j
ln « ®
[

±

Y



ª³ Y

C XI 9 ej
I
ln « ® › ‘
±

0, K" E9

0, K" E9 .

(57)

Suku pertama dari ruas kanan (57) dapat
diuraikan sebagai berikut
Y
1
1
0, K"
X I 9ej
I
j
ln « ®


±

# 1es«

®

· I/±

untuk n 4 ∞, dan
ª³

C

(59)

Dari (58) dan (59), kita peroleh suku pertama
ruas kanan (57) yaitu
# *Λ£ >¯ + Á1 e s «

# Λ£ >¯ e s Á
untuk n 4 ∞.

Ã
Ä

·« ®

· I/±

Å

®Å

ª³

(60)

1
C 9X I 9ej
I
j
ln « ®
±


ª³

Y



# C [9 E9


1
X I 9ej
ln « ® ‘ j
1

# >¯ e s «
Ê

untuk n 4 ∞.

Y

I
±

# >¯ Á1 e s «
Ê

0, K" E9

· I/±

· I/±

®

®Å

0, K"

(61)

Suku ketiga ruas kanan (57) dapat diuraikan
sebagai berikut
Y
K
XI 9 ej
0, K" # e s 1


untuk n 4 ∞, dan
[

ª³

(62)

[ >¯

C E9 #
.
I
I
ln « ® ›
ln « ®
±

±

·« ®
Ä

ÊIª³
Ã
Ä

·« ®

±

es«

®

· I/±

untuk n 4 ∞.

(64)

Berdasarkan (60), (61) dan (64), ruas kanan
persamaan (57) menjadi
# Λ£ >¯ e >¯ e
Ê

untuk n 4 ∞.

ÊIª³
Ã
Ä

·« ®

esÁ

Ã
Ä

·« ®

Å

(65)

Dengan mensubstitusikan (17), maka suku
kedua dari (56) menjadi
ª³¼

e



Iª³
Ã
Ä

·« ®

e

ª³¼

# >¯ e
Ê

Å E[ºI
Iª³
Ã
Ä

·« ®

ÊIª³
Ã
Ä

·« ®

untuk n 4 ∞.

Å Æ[ e
esÁ

ƒ

I

Ã
Ä

e s « ¼®Ç

·« ®

I

Å

(66)

Dari (65) dan (66) diperoleh persamaan (56)
yaitu

Suku kedua ruas kanan (57) dapat diuraikan
sebagai berikut
[

#

Á

9 E9 # Λ£ >¯ .

£



(58)

Dari (62) dan (63), kita peroleh suku ketiga
pada ruas kanan persamaan (57) yaitu
I
汻
# ó « e s 1 ®

(63)

# áΛ£ >¯ e >¯ e
Ê

R á >¯ e
Ê

ÊIª³
Ã
Ä

·« ®

# Λ£ >¯ e s Á

Ã
Ä

ÊIª³
Ã
Ä

·« ®

esÁ

esÁ

·« ®

Å

Ã
Ä

·« ®

Ã
Ä

·« ®

Åâ

Åâ

untuk n 4 ∞. Jadi, persamaan (53) terbukti.

Untuk membuktikan persamaan (54), kita tahu
bahwa
Y
1
1
µ
X x j , j e >¯ "
Λ£,I >¯ #
I
j
ln « ®
±



. 0, K" R [ºI Ð


K>¯
e
Ñ.
I
2
ln « ®
±

Misalkan
Y
1
1
X x j , j e >¯ ". 0, K" ,
#
I
ln « ® ‘ j
±

# [ºI Á

ª³¼

e

Iª³
Ã
Ä

·« ®

Å,

(67)

15

Sehingga
µ £,I >¯ ® # Z[\
Z[\ «Λ
R 2`ab

e Z[\
, .

(68)

#

1

Y

1
X x j , j e >¯ ". 0, K" ä
I
j
ln « ®

1



±

Y

X

«ln « ®®
I



±

#

#

#

1
Z[\ x j , j e >¯ ". 0, K" .
j

I



±

1
X
C
j

«ln « ®®
I



±

1
X C*
j

«ln « ®®
I



±

I 9ej
1

«ln « ®®
I
±

I 9ej
Y

C 9X
e

[

j
>\

Y

1



j e>\

Y

1

0



d

0, K" E9

ª³

C

9I9

£

Y

9 X


I
±

1
j

0, K" E9 e

1
I 9ej
j

«ln « ®®

0, K" E9

9ej

ª³ Y

e[ 9ej +



«ln « ®®
I
±

0, K" E9 .
(69)

Suku pertama dari ruas kanan (69) dapat
diuraikan sebagai berikut
Y
1
X
9ej
0, K" # s 1
j


untuk n 4 ∞, dan
1

«ln « ®®
I
±

«ln « ®®

ª³

C


£

9 E9 #

(70)

1

«ln « ®®
I
±

I
±

(72)

#

ª³





ª³

I
±

s 1

«ln « ®®

# sÁ





[>2\
I
±

Y

C 9 E9 X

«ln « ®®

#

1
I 9ej
j

Y

C 9X

[

Ã
Ä

¼

«Â·« ®®

untuk K 4 ∞.

Λ£ >¯

[

1
I 9ej
j

0, K"

Å

ª³

(73)

1
C E9 X I 9 e j
j
Y

I

Ã
Ä

¼

«Â·« ®®

untuk K 4 ∞.

Å

0, K"

(74)

Berdasarkan (72), (73) dan (74), suku pertama
pada ruas kanan (68) yaitu
Z[\

# sÁ

untuk K 4 ∞.

Ã
Ä

«Â·« ®®

¼

Å

(75)

Dengan mensubstitusikan (18), maka suku
kedua pada ruas kanan (68) yaitu
Z[\


#
(71)

0, K" E9

Suku ketiga pada ruas kanan (69) dapat
diuraikan sebagai berikut

# sÁ

0, K" E9



Å

«ln « ®® ›

±
[ >¯
#
2 s 1
K
«ln « ®®

[

1
C X I 9ej
j

¼

Ã
Ä

«Â·« ®®

[

1
X Ex j , j e >¯ ". 0, K"
j

«ln « ®®



# sÁ

Y

1

ª³

Ä

Suku kedua pada ruas kanan (69) dapat
diuraikan sebagai berikut

Karena x adalah peubah acak Poisson, maka
Z[\ x # Ex , sehingga persamaan diatas
menjadi

#

«Â·« ®®

untuk K 4 ∞.

Suku pertama dari ruas kanan (68) adalah
Z[\ ã

Dari (70) dan (71), diperoleh suku pertama
pada ruas kanan (69) yaitu
Λ >¯ s 1
#
à ¼ £

ª³¼

e

ʪ³

Ã
Ä

I ·« ®



ª³¼

Iª³
Ã
Ä

·« ®

ÅÆ

esÁ

untuk K 4 ∞.

e

Iª³
Ã
Ä

·« ®

Ê



Å Z[\ [ºI

e s « Ò®Ç
Ã
Ä

Å

I¼ ·« ®

I

(76)

16

Dengan
ketaksamaan
Cauchy-Schwarz,
diperoleh bahwa suku ketiga pada ruas kanan
(68) tidak lebih dari
# sÁ

# sÁ

Ã
Ä

·« ®

ÅsÐ

Ã
Ä

I ·« ®

Å

Ñ

Ã
Ä

åI ·« ®

(77)

untuk K 4 ∞.

Dengan menggabungkan persamaan (75), (76)
dan (77), kita peroleh
µ d,K >\ ® #
Z[\ «Λ

2[>\

K

K ln« ®

esÁ

Å

Ã
I ·« ®
Ä

(78)

untuk K 4 ∞ , sehingga persamaan (54)
terbukti.
Akibat 1
Misalkan fungsi intensitas λ diberikan di (1)
dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z M 0,
maka
J
µI > R Λ > 4 0
Λ
(79)
untuk K 4 ∞.
Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran
.
dan Fungsi Kepekatan Peluang

Teorema 1 (Kekonsistenan Penduga Fungsi
Sebaran
)
Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1)
dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z M 0
dan T M 0, maka
J

?¦§,I > R ?¦§ > 4 0
untuk n 4 ∞.
Bukti:
Berdasarkan persamaan
didapatkan
?¦§,I > R ?¦§ >
# Á1 R — G©¶
µ

µ ¶ ª §‹©
UG

¨e

!

®Å R Á1 R —

UG !

®Å

G© ª

# — G© ª «1 e Λ > e ¨ e
µ

ª

© ª

UG !

¨e «

dan

(6)

© ª §‹-

µ

ª

® R — G©µ¶

µ ¶ ª §‹©
UG !

R

®

UG !
µ ¶ ª §‹©
UG

!

®

µ· > R Λ > ® e
Á«Λ

© ª §‹UG !

®Å.

µ· > ® e ¨ e
# — G© ª á1 R Á1 e «Λ > R Λ
«

© ª §‹-

«

µ ¶ ª §‹©

UG !

(81)

R

µ ¶ ª §‹©
UG

!

®Åâ

µ· > R Λ > ® e ¨ e
# — G© ª Á«Λ
UG

!

# — G© ª aJ 1
# aJ 1
untuk K 4 ∞.

R

© ª §‹UG

!

®Å

(83)

Dari (82) dan (83), diperoleh suku pertama
pada ruas kanan persamaan (81) yaitu
# aJ 1 s 1
(84)
# aJ 1
untuk K 4 ∞.

Suku kedua pada ruas kanan (81) dapat
diuraikan sebagai berikut
µ
— G©¶ ª 8 1,
(85)
dan
µ · > R Λ > ® e ¨ e « ©¶
Á«Λ
UG !

+ «1 e Λ > e ¨ e
ª

Dengan menggunakan deret Taylor dan
Akibat 1, maka
µ
*— G© ª R — G©¶ ª +
µ
# — G© ª *1 R — G©¶ ª W© ª +

© ª §‹-

«1 e Λ > e

µ· > e ¨ e
«1 e Λ

# *— G© ª R — G©¶
§‹-

(3)

µ· > e ¨ e
«1 e Λ

ª

© ª §‹-

R— G©¶

(80)

Suku pertama pada ruas kanan (81) dapat
diuraikan sebagai berikut
UG
*Λ > +
1eΛ > e¨e
8 —© ª # s 1 .
TR1 !
(82)
untuk T S 1 dan K 4 ∞.

®Å # ∑UG
ì ›

µ¶ ª ®
«©
ì!

ë

µ

ª §‹-

UG

R

!

ì!

Untuk setiap 1 8 í 8 T R 1, maka
µ¶ ª ®
«©
ì!

ë

R

ë

*© ª +
ì!

µ · > R Λ > è Æ«Λ
µ· > ®
8 èΛ
ì!

ë

*© ª +

ìG

e

.

R

µ· > ® Λ > e ¨ e *Λ > +ìG ®
«Λ
1
µ > RΛ > è
8 èΛ
í! ·
ìG
µ· > ® , *Λ > +ìG îÇ
Æí max i«Λ

8

ìG

!

ìG

µ· > R Λ > è
èΛ

µ· > ®
Æ«Λ

ìG

e *Λ > +

ìG

Ç

17

ë‹-

µ· > R Λ > è ∑UG
8 èΛ
ì ›
µ· > R Λ >
èΛ

µ¶ ª ®
«©

ìG !

ë‹-

*© ª +
è ∑UG
ì ›
ìG !

.

e

(86)

µ· > R Λ > # aJ 1
Menurut Akibat 1, Λ
sehingga persamaan (86) menjadi
µ
8 aJ 1 — ©¶ ª e aJ 1 — © ª
(87)
# aJ 1
untuk K 4 ∞.

Dari (85) dan (87), diperoleh suku kedua pada
ruas kanan persamaan (81) yaitu

8 1 «aJ 1 ®
# aJ 1
untuk K 4 ∞.

(88)

Berdasarkan persamaan (84) dan (88), maka
ruas kanan persamaan (81) adalah aJ 1 ,
sehingga Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 (Kekonsistenan Penduga Fungsi
Kepekatan Peluang
)
Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1)
dan terintegralkan lokal. Jika œI È 0 ,
œI ln K 4 ∞ , maka untuk setiap > M 0 dan
T M 0, kita peroleh
ï
(89)
B½¦ ,I > R B¦ > 4 0
untuk n 4 ∞ asalkan > adalah titik Lebesgue
dari .
§

§

Bukti:
Berdasarkan persamaan (5) dan (9) didapatkan
B½¦§,I > R B¦§ >
# Ð* ½ £,I > e [ºI >+— G©¶
µ

Á

£

> e [> — G© ª

# «* ½ £,I > e [ºI >+— G©¶
[> — G© ª ®
[ºI >+— G©¶
µ

ª

¾‹-

*© ª +

UG !

Á

µ

µ¶ ª ®
«©

ª

UG !

R

¾‹-

UG !

¾‹-

*© ª +

£

Å

!

R

*© ª +
UG

ÑR

> e

e * ½ £,I > e

¾‹-

µ¶ ª ®
«©
UG

ª

¾‹-

!

Å

(90)

Suku pertama pa