Asymptotic Distribution of Estimator for the Intensity Function of a Doubly Periodic Poisson Process

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA FUNGSI INTENSITAS

PROSES POISSON PERIODIK DENGAN

PERIODE GANDA

IDDAYATI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Periode Ganda adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, November 2011

Iddayati

ABSTRACT

IDDAYATI. Asymptotic Distribution of Estimator for the Intensity Function of a Doubly Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this manuscript, estimation of the intensity function of a doubly periodic Poisson process is discussed. It is assumed that only a single realization of the Poisson process is observed in a bounded window [0,n]. It is also assumed that the period of the intensity function is known. The rate of consistency and asymptotic normality of the estimator are formulated. Finally, a confidence interval for the local intensity function is also formulated.

RINGKASAN

Dalam kehidupan sehari-hari banyak fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu. Pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s dilakukan dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s.

Fungsi intensitas yang diduga memenuhi struktur sebagai berikut : 1

(( 1) )

L l c l

s l s l , s [0, ).T _{Proses Poisson dengan fungsi}

Intensitas seperti di atas diamati pada interval [0, ].n Selain itu diasumsikan periode T l diketahui sedangkan _c( )s tidak diketahui .

Pada penelitian ini diasumsikan bahwa amplitudo dari fungsi intensitas tersebut adalah diketahui. Penduga tipe kernel bagi komponen periodik _cpada

0,

s adalah sebagai berikut

c n K, , s

dengan konstanta _i diketahui untuk setiap i 1, 2,3,...,L, s_i s i 1 ,K

adalah suatu kernel, dan h_n adalah barisan bilangan positif yang konvergen ke nol, yaitu h_n 0 untuk n _.

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut :

1. Jika min 2 ,1 1

2 2 maka , ,

ˆ _{( )}

c n K c

n s s konvergen dalam peluang ke nol untuk n .

2. Kenormalan asimtotik bagi ˆ_{c n K, ,} ( )s : Jika 5

1

n nh

maka

_{c n K, ,}

n c

nh s s 2

,

normal untuk n , dengan 1

2 1 '' 2 c s

z K z dz dan

1

2 2

1 1

1 L 1 c

i i

s K z dz

3. Kenormalan asimtotik (Studentization) bagi ˆ_{c n K, ,} ( )s adalah



 , , 1

2 , ,

1 1

0,1 ,

1 1

n d

c n K L

c n K

i i

nh

s Normal

s K z dz

L

s

jika n _.

4. Sebagai aplikasi dari kenormalan (Studentization) bagi ˆc n K_{, ,} ( )s dapat diperoleh suatu selang kepercayaan bagi _c( )s yang dapat memberikan informasi sejauh mana ketepatan dari pendugaan fungsi tersebut pada suatu titik. Selang kepercayaan yang diperoleh adalah sebagai berikut:



 1 ₂

, ,

1 1

, , 1

1 1

2 ,

1

L c n K

i i

c n K n

n

s K z dz

L I

nh s



 1 ₂

, ,

1

1 1

, ,

1 1

1 2

L c n K

i n

n i c K

s K z

h

dz L

s

n ,

dimana menyatakan fungsi distribusi normal baku dan

1 1

c s In o ,

untuk n _.

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa

mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan

karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian

Bogor

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA FUNGSI INTENSITAS

PROSES POISSON PERIODIK DENGAN

PERIODE GANDA

IDDAYATI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Periode Ganda

Nama : Iddayati NIM : G551090261

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc. Drs. Siswandi, M.Si.

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc. Agr.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2010 ini adalah Sebaran Asimtotik Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Periode Ganda.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc dan Drs. Siswandi, M.Si masing-masing selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno selaku penguji luar Komisi yang telah banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis disampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada teman-teman, serta semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Ungkapan terima kasih juga terutama disampaikan kepada orang tua dan seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, November 2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Pekanbaru pada tanggal 28 Februari 1983 dari ayah Zulfitri dan ibu Mardiani. Penulis merupakan putri kedua dari empat bersaudara.

Tahun 2001 penulis lulus dari MAN 1 Pekanbaru, dan pada Tahun 2005 lulus pada pendidikan sarjana pertama jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. Tahun 2006 penulis menjadi staf pengajar di MA Muhammadiyah Pekanbaru. Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI

1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang……… 1

1.2 Tujuan Penelitian……… 2

2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik………... 3

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik……… 6

3. REVIEW SIFAT – SIFAT STATISTIK PENDUGA TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA 3.1 Perumusan Penduga……….. 9

3.2 Sifat-sifat Statistikc n K, , (s)………... 12

4. SEBARAN ASIMTOTIK 4.1 Laju Kekonsistenan Penduga………. 19

4.2 Sebaran Asimtotik dari c n K, , s .………. ₂₁

4.3 Kenormalan Asimtotik (Studentization) dari c n K, , s .….. 24

4.4 Selang Kepercayaan bagi _c s ……….. 25

5. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan……… 29

5.2 Saran………. 30

DAFTAR PUSTAKA………. 31

BAB I

PENDAHULUAN

1.3 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Pada proses stokastik kita tidak bisa mengetahui secara pasti mengenai perilaku kejadian pada waktu yang akan datang. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting karena banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan menggunakan proses stokastik. Contoh penggunaan proses stokastik antara lain : memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan, memodelkan proses antrian nasabah di suatu bank, model waktu tunggu sejak memberikan perintah komputer hingga di eksekusi dan lain sebagainya.

Proses stokastik dapat diklasifikasikan ke dalam dua klasifikasi, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut.

Sebagai contoh, fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Dalam contoh lain untuk menghitung besarnya klaim peserta asuransi akibat terjadinya bencana alam seperti banjir, angin topan maka dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode tunggal. Tetapi jika bencana alam tersebut mempunyai kecenderungan terjadi berulang setiap tahun dalam jangka waktu tertentu dengan intensitas yang berbeda, maka model yang lebih tepat adalah proses Poisson periodik dengan periode ganda (Helmers et al 2007).

Penerapan pemodelan stokastik dari suatu fenomena fungsi intensitas dari proses umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut.

Pada penelitian terdahulu, telah diteliti tentang penduga nonparametrik bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda (Helmers et

al (2007), Martalena (2009)). Pada penelitian ini dikaji tentang sebaran asimtotik penduga fungsi intensitas tersebut.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah

(1) Mempelajari perumusan penduga dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda menggunakan fungsi kernel umum.

(2) Mereview pendekatan asimtotik dari bias dan ragam penduga (3) Mengkaji pendekatan asimtotik dari bias dan ragam penduga. (4) Menentukan sebaran asimtotik penduga.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik

Definisi 2.1 (Proses stokastik)

Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S.

(Ross 2007) Dapat dinilai X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering kita interpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya.

Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)

Suatu proses stokastik {X(t), t T} disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 2.3 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T} disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn , peubah acak

X(t1) –X(t0), X(t2) –X(t1), X(t3) –X(t2), ... , X(tn) –X(tn–1), adalah saling bebas. (Ross 2007)

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas.

Definisi 2.4 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) –X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 2007) Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X adalah akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada antara sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, ).

Definisi 2.5 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik {N(t), t > 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai beriku:

(1). N(t) 0 untuk setiap t [0, ). (2). Nilai N(t) adalah integer.

(3). Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0, ).

(4). Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s,t].

(Ross 2007)

Definisi 2.6 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan { N(t), t 0 } disebut proses Poisson dengan laju , > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(1). N(0) = 0

(3). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi

Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa:

E(N(t)) = t

yang menjelaskan mengapa disebut sebagai laju dari proses Poisson tersebut.

Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen)

Proses Poisson homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t.

(Ross, 2007)

Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen)

Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu (t).

(Ross, 2007)

Definisi 2.9 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika:

(s + k ) = (s), untuk semua s  dan k , dengan  adalah

himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut.

(Browder, 1996)

Fungsi Intensitas

Definisi 2.10 (Fungsi intensitas)

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0} yaitu disebut sebagai fungsi intensitas proses Poisson pada t.

Definisi 2.11 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s  adalah (s), yaitu nilai fungsi di s.

Definisi 2.12 (Fungsi intensitas global)

Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:

jika limit di atas ada. (Mangku, 2001)

Definisi 2.13 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku, 2001)

Definisi 2.14 (Proses Poisson periode ganda)

Proses Poisson periode ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda.

(Helmers et al. 2007)

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Ada dua jenis laju proses Poisson atau yang lebih dikenal dengan fungsi intensitas suatu proses Poisson yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu misalkan di titik s.

Pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan hn adalah barisan bilangan real positif dengan sifat hn 0, untuk dan N([0,t]) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0,t]. Intensitas lokal di sekitar s dapat dihampiri dengan

Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada kasus dengan periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui.

Namun demikian, Helmers et al (2003) telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Selanjutnya Helmers dan Mangku (2009) mengembangkan pemodelan untuk fenomena proses Poisson periodik dengan menambahkan tren linear, serta proses Poisson dengan periode ganda pada fungsi intensitasnya

Helmers et al (2007). Pada Mangku (2006) telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan mengasumsikan bahwa periodenya diketahui. Pendugaan nonparametik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dibahas pada Martalena (2009).

BAB III

REVIEW SIFAT- SIFAT STATISTIK PENDUGAAN TIPE

KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA

3.1 Perumusan Penduga

Misalkan adalah proses Poisson yang diamati pada interval [0,n] dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal serta merupakan fungsi periodik dengan periode T. Dengan demikian fungsi intensitas ini memenuhi persamaan , dengan dan  dengan  adalah himpunan bilangan bulat. Misalkan pula untuk setiap ,

dapat ditulis sebagai berikut: 1

2

;jika 0 jika

j

; 2

; ika 1

c

c

L c

s s

s s

s

s L s T



1

(( 1) )

L l c l

s l s l (3.1)

dengan

I = ,

dan adalah fungsi periodik dengan periode dan ,

L. L adalah konstanta positif yang diketahui.

Pada bahasan ini di asumsikan diketahui,untuk semua l 1, 2,3,...,L. Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengasumsikan . Sebab

Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah periodik dengan periode yaitu persamaan

(3.2) berlaku untuk setiap .

Misalkan untuk suatu kita hanya memiliki sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang ( ) dengan fungsi intensitas seperti (3.1) yang diamati pada interval terbatas [0, n]

. Kita asumsikan bahwa s merupakan titik Lebesque dari jadi berlaku :

. (3.3)

Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari adalah fungsi kontinu di s. Karena s adalah fungsi periodik dengan periode T = L (diketahui) maka untuk menduga s pada dapat direduksi menjadi masalah menduga

pada .

Misalkan merupakan fungsi bernilai real, yang disebut fungsi

kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut : (K.1) merupakan fungsi kepekatan peluang (K.2) terbatas

(K.3) memiliki daerah definisi [-1,1] ( Helmers et.al 2003, 2005).

Misalkan hn adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu

hn 0 (3.4)

jika

Dengan notasi di atas, kita dapat memformulasikan penduga untuk _c pada titik sebagai berikut :



1 0

, ,

1 1

,

i

n L

i i

i i j n n

c n K

x s j L

K N dx

n h h

s

Sedangkan penduga fungsi intensitasnya adalah 1 2 , , , , , , ,

; jika 0

; jika 2

; ji

ˆ _{( )}

ˆ

ka ( ) ˆ _{( )}

ˆ _{( ) ( 1)}

c n K

c n K n K

c L n K

s s s s s s s L T  1

, , ) (( 1) ).

ˆ ₍

L c n l l

K s l s l

Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel c n K, , s dari _c dapat dijelaskan sebagai berikut :

Dari (3.1) dan (3.2) untuk setiap titik s dan maka

Nilai fungsi di sekitar titik s dapat ditaksir dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [

], serta dengan menggunakan (3.4) dan (3.6) dapat ditulis

_{c n, s}

Dengan mengganti dengan padanan

stokastiknya , persamaan (3.7) dapat

ditulis :  1 , ([ , ]) 1 2 i L

i i n i i n

i i j n

c n

N s j L s L

s h j h

n h

[ 1,1]

1 0

1 1 1

I ([ , ]) ( )

2

i

n L

i i n i i n

i i j n

s j L h s j L h N dx

n h 1 1 0 1 1 i n L i i

i i j n n

x s j L

K N dx

n h h

dengan = . (3.8)

3.2 Sifat-sifat Statistik c n K, , s

Teorema 3.1 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan ; serta memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka

 " 21 2 2

, ,

1

E ,

2 c

c n n

c n K

s

s h z K z dz

s o h

untuk .

Bukti :

Dari persamaan (3.5) maka

Dengan mengganti variabel, misalkan , sehingga persamaan (3.10) dapat ditulis menjadi

Dengan melihat bahwa

akibatnya diperoleh

Karena _c memiliki turunan kedua pada s maka _c kontinu pada s, mengakibatkan _cmemiliki nilai yang terbatas disekitar s. dengan formula Young kita peroleh

2 2

' "

, 3.14

1! 2!

i i

i i n

s s

y s s y y o h

2 2

' "

,

1! 2!

i c i c

i c n

s s

s y y o h untuk . (3.15)

Substitusikan (3.15) ke (3.13) sehingga diperoleh

2 2

1

' "

1 1

.

1! 2!

1 L 1

i c i i c i

i c n

i i n n

s s

y

o K s y y o h d

L n h _ h y

(3.16)

Dengan mengganti variabel yaitu misal: ,

n n

y dy

z dz

h h , maka (3.16) dapat ditulis

2 2 2

' " 1

1! 2!

c c

c n n n

s s

K z s zh z h o h dz o

n



2 2 2

" 1

' ,

2 c

c c n n n

s

s K z dz s h z K z dz h z K z dz o h o n

  

3.17

untuk n .

Karena K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1) dan (K.3) maka (3.17) dapat ditulis 1 2 2 1 2 " 1 2 c

c n n

s

s h z K z dz o h o

n 2 2 1 2 2 2 1 " , 2 c n

c n n

n

s h

s h z K z dz o h o

nh

untuk . Karena

nh

n2

,

maka ruas kanan persamaan di atas dapat

ditulis menjadi

1

1

2 2 2

" 2 c

c n n

s

s h z K z dz o h untuk . (3.18)

Dengan demikian kita peroleh persamaan (3.9). jadi Teorema 3.1 terbukti.

Teorema 3.2 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai ragam penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan ; , maka

_{c n K, , s}

untuk Bukti  1 0 , , 1 1

( ) . 3.20

i

n L

i

c n i

j

i n n

K

i

x s j L

Var Var K N dx

n h h

s

Untuk n yang cukup besar, karena untuk , maka interval [

] dan [ ], untuk

tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga untuk semua ,

i i n

x

s

j L

K

h

dan

i i n

x

s

j L

K

h

 2 2 2

1 0

, , _{2 2}

1

( ) . 3.21

i n L i i j i n n K i c n

x s j L

Var K Var N dx

n h h

s

Karena N adalah proses Poisson, maka Var(N) = E(N) sehingga ruas kanan persamaan (3.21) dapat ditulis

2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 1 (3 2 E .2 ) i i n L i i j i

n i n

n L

i i j

i

n i n

x s j L

K N dx

n h h

x s j L

K x dx

n h h

Dengan mengganti variabel, misalkan y = x – (si + jiL ), dy = dx maka (3.22) dapat ditulis 2 2 2 2 2 1

1

0,

.

i i n L i i j i n i

y

y

s

K

y

s

j L

n dy

n h

_

h



2

2

2 2

2

2

2 2 2

1 2 1 1 1 0,

0, . (3.23)

i i L i n i L i i i n i i

j n i i

i i j

n K

n h

y s j L n dy K

n h

y s j L n d

y

y s s

h y s h y  





Dengan (3.12), maka (3.23) dapat dituliskan menjadi

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 (1) ( 1 1 (3.24

1) )

i i n L i n i L i n i i n y n

y s s O dy

h L

y n

s O d

K n h

K

n h h L y





Karena adalah titik Lebesque dari dan kernel K terbatas maka 2 1 (1), 2 n n h i i

n h n

y

K y s s dy o

h h

untuk sehingga ruas kanan (3.24) adalah 2 2 1 2 1 (1) 1 1 (3.25) , L i

n i n

n h

n

O o o

L nh

Selanjutnya kita perhatikan suku kedua (3.24). Dengan mengganti variabel dan karena fungsi kernel K memenuhi (K.3) maka suku kedua (3.24) dapat dituliskan menjadi 1 2 ₁ 2 2 2 1 2 2 1 1 2 ₁ 1 ( ) 1 1 ( ) (1) 1 i L i n i L i

n i n

i

K z n h

K z

nh L n

n s

h

O dz

L

s dz O

2 2 1 1 2 ₁ 1 1

( ) 1

L i i n i i n

s K z d

nh L z O n h

2 1 1 1 2 1 1

( ) 1 , 3.26

c

L

i

n i n

s

dz K z

nh L O n h

untuk

Dengan mensubtitusikan (3.25) dan (3.26) ke (3.24), maka diperoleh 1 1 1 2 , , 1 2 1 2 1 1 1 ˆ ( ( )) ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 , 3.27 L c n K

i

n i n

L i n i c n c n s

o dz O

nh s

d

Var s K z

nh L n h

K z

nh L z o nh

untuk .

Sehingga Teorema (3.2) terbukti.

Corollary 3.1 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan ; maka memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka

 1

, ,

1

2 1

'' 4 4

1 2 1 2 1 1 ( ) ( 1 1 , 3.28 4 ) L i c

c n K

n i n n n c K z s

MSE s dz

s dz o

nh L

z K z h h

nh o

untuk .

Bukti :

Berdasarkan definisi MSE maka

  2 

, , , , , , , 3.29

c n K c n K c n K

MSE s Bias s Var s

dengan

_{c n K, ,}

Dengan menggunakan Teorema 3.1 dan Teorema 3.2 maka diperoleh

 _{, ,} " 21 2 2

1

2 c n K

c

n n

s

h z K

Bias s z dz o h

dan  2 1 1 , , 1 1 1

( ) c ( ) 1 .

L i c n n i K n

Var K z

nh L nh

s

s dz o

Sehingga diperoleh

 " 21 2 2

2 1 2 , , 1 1 1 2 1 1

( ) 1

c n n L i n n K i c c n

MSE s z

s

dz s

h z K dz o h

o K z

nh L nh

2 1 1 " 1 4 1 2 4 2 1 1 1 ( ) 1 , 1 4 L i n i

c n n

n c s d K z nh L s z z

z K dz h o o h

nh

untuk . Dengan demikian kita peroleh persamaan (3.28). Jadi “Corollary” 3.1 terbukti.

BAB IV

SEBARAN ASIMTOTIK

4.1 Laju Kekonsistenan Penduga

Teorema 4.1 (Laju kekonsistenan ˆ_{c n K, ,} ( )s )

Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel

K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), h_n n untuk 0 1 maka untuk semua min 2 ,1 1

2 2 berlaku , ,

ˆ

( _{c n K}( ) _c( )) p 0

n s s , (4.1)

untuk n . Dengan kata lain ˆ_{c n K, ,} ( )s merupakanpenduga konsisten bagi ( )

c s dengan laju 1

n . Bukti :

Untuk membuktikan Teorema 4.1 diperlukan Teorema 3.1 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan) dan Teorema 3.2 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam).

Untuk membuktikan (4.1), akan diperlihatkan bahwa untuk 0,

, ,

ˆ _{( ) ( ) 0,}

c n K c

n s s (4.2)

untuk n .

Sebelumnya, kita uraikan dahulu n ˆc n K, , ( )s c( )s dari (4.2), yaitu

, , , , , , , ,

ˆ _{( ) ( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ_{( )}

c n K c c n K c n K c n K c

n s s n s s s s .

(4.3) Berdasarkan ketaksamaan segitiga, yaitu

, , , , , , , ,

ˆ _{( ) ( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( ) ( ) ,}

c n K s c s c n K s c n K s c n K s c s (4.4)

maka ruas kanan persamaan (4.3) menjadi

, , , , , ,

ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( ) ( )}

c n K c n K c n K c

, , , , , ,

ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( ) ( )}

c n K c n K c n K c

n s s n s s . (4.5)

Berdasarkan Teorema 3.1, yaitu 1

2 2 2

, , ₁

( ) ˆ

( ( )) ( ) 2 c

c n K c n n

s

s s h x K x dx o h , (4.6)

untuk n .

Untuk hn n dan 0 maka ruas kanan persamaan (4.6) menjadi 2

( ) ( )

c s O n , jika n . (4.7)

Dari (4.7), diperoleh 2 , ,

ˆ _{( ) ( ) ( )}

c n K s c s O n . (4.8)

jika n . Berdasarkan persamaan (4.8), diperoleh 2

, ,

ˆ _{( ) ( ) ( )}

c n K c

n s s n O n

2 (1)

n O , untuk n . (4.9)

Berdasarkan (4.9) dan untuk 2 , diperoleh , ,

ˆ _{( ) ( ) 0}

c n K c

n s s ,

untuk n .

Maka untuk 0, ada N agar untuk n N,

, ,

ˆ _{( ) ( )}

2

c n K c

n s s . (4.10)

Berdasarkan (4.1), diperoleh bahwa ruas kanan persamaan (4.3) menjadi

, , , , , , , ,

ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )}

2 2

c n K c n K c n K c n K

n s s n s s . (4.11)

Sehingga dari persamaan (4.2) dan (4.11) diperoleh bahwa

, , , , , ,

ˆ _{( ) ( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )}

2

c n K c c n K c n K

n s s n s s .

Jadi untuk membuktikan (4.1) cukup ditunjukkan , , , ,

ˆ _{( )} ˆ _{( ) 0}

2

c n K c n K

n s s , jika n .

Dengan ketaksamaan Chebyshev, dapat diperoleh 2 , ,

, , , , 2

ˆ

4 ( ( ))

ˆ _{( )} ˆ _{( )}

2

c n K

c n K c n K

Var s n

s s

Dari Teorema 3.2 dapat ditulis 2

, , 2 ˆ

( _{c n K}( ))

Var s n

2

1 ₂ 1 1 1 L 1 c

i

n i

s n

K z dz

nh L

2 1 ₂

1 1 1 L 1 c

i i n

n

s K z dz

L nh 2 1 ₂ 1 1 1 1 . L c i i n

s K z dz

L nn

Yang dapat disederhanakan menjadi 1 2 2 1

1 1 1 L 1 c

i i

s K z dz n

L karena 1 1

2 2 maka

2 , , 2 ˆ ( ( )) 0 c n K

Var s n

sehingga

, , , ,

ˆ _{( )} ˆ _{( ) 0}

2 c n K s c n K s

n . Dengan demikian Teorema 4.1 terbukti.

4.2 Sebaran Asimtotik dari c n K, , s

Teorema 4.2 (Normalitas Asimtotik untuk c n K, , s )

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal. Misalkan kernel K simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) ; dan , untuk n .

(i) Jika nh_n5 1, untuk n , maka _{c n K, ,}

n c

nh s s normal , 2 (4.12)

untuk n , dengan

1 2 1 '' 2 c s

z K z dz dan 1 2 1 2 1 1 1 ( ) L i i

c s K z dz

L .

(ii) Jika nh_n5 0, untuk n , maka c n K_{, ,}

n c

nh s s normal 0, 2 . (4.13)

Bukti :

Ruas kiri pernyataan (4.12) dan pernyataan (4.13) dapat ditulis menjadi _{c n K, ,} _{c n K, ,} _{c n K, , .}

n n c

Karena itu, untuk membuktikan teorema ini cukup ditunjukkan _{c n K, ,} _{c n K, ,}

n

nh s s normal 0, 2 (4.15)

untuk n ,

jika nh_n5 1, maka

 '' 1 2

, ,

1 1

, 2

c n K n

nh s s s z K z dz (4.16)

untuk n ; dan jika nh_n5 0, maka c n K_{, , 0,}

n c

nh s s (4.17)

untuk n _.

Ruas kiri pernyataan (4.15) dapat ditulis

    , , , , , , , , .

c n K c n K

c n K n

c n K

s s

nh Var s

Var s

(4.18)

Maka untuk membuktikan (4.15), cukup periksa

 



, , , ,

, ,

c n K c n K

c n K

s s

Var s

2 0,

normal , (4.19)

dan 

1 2 , ,

1 1

1 L 1 c n K

n c

i i

nh Var s s K z dz

L (4.20)

jika n .

Untuk membuktikan (4.19) kita perhatikan bentuk berikut. Misalkan i 0,1,...

, 0 1 . i n i i i j i n

x s j L

Y K N dx

h

Karena h_n 0 jika n , maka untuk n yang cukup besar, interval ,

i i n i i n

s j L h s j L h dan s_i k L_i h s_n, _i k L_i h_n tidak berpotongan untuk semua j_i k_i. Ini berimplikasi, untuk semua j_i k_i, peubah acak _,

i

i j

Y dan ,i

i k

Y saling bebas. Lebih lanjut lagi _, , 0,1,...

i

i j i

Y j adalah barisan peubah acak yang i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

, 0 1 i n i i i j i n

x s j L

Y K x dx

h dan ragam 2 , 2 0 1 i n i i j i n

x s j L

Var Y K x dx

h yang berhingga.

Karena itu, bisa kita tulis penduga c n K, , s sebagai

 _{, ,} , 0 0 i i L

c n K _{i j}

i j n

s Y

nh ,

yang merupakan jumlah peubah acak yang i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya dengan teorema limit pusat kita peroleh (4.19).

Untuk membuktikan (4.20), kita ingat bahwa ruas kiri pernyataan (4.20) dapat ditulis menjadi

_{c n K, , .}

n

nh Var s (4.21)

Berdasarkan Teorema 3.2 kita dapatkan kuantitas (4.21) sama dengan 1 1 2 1 1 1 ) 1 ( L i i

c K z

L

s dz o = 1

1 2 1 1 1 ) 1 ( L i i

c K z

L

s dz o

jika n . Sehingga kita dapatkan (4.20).

Selanjutnya dibuktikan (4.16) dan (4.17). dari Teorema 3.1 c n K, ,

n

nh s s

1

'' 2 5 5

1 1

2 s z K z dz nhn o nhn (4.22)

jika n .

Dari asumsi nh_n5 1, untuk n , kita peroleh (4.16). Juga dari asumsi 5

0 n

nh , untuk n , kita peroleh (4.17). Dengan demikian Teorema 4.2 terbukti.

4.3 Kenormalan Asimtotik (Studentization) dari c n K, , s

Teorema 4.3 (Kenormalan Asimtotik (Studentization) bagi c n K, , s

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ; , nh_n5 1 dan memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka berlaku



 , , 1

,

1 2 1

,

1 1

( )

0,1 ,

n d

c n L

i i

K

c n K

nh

s Normal

s dz

s K z

L

(4.23)

jika n _.

Bukti :

Untuk membuktikan (4.23), cukup ditunjukkan bahwa

 _{, ,}

1,

c n K _p

c

s

s jika n (4.24)

Untuk membuktikan (4.24), cukup dibuktikan

 _{, ,}

1

c n K _p

c s

s , atau sama dengan membuktikan

 _{, ,} p

c n K s _c s , jika n _(4.25)

Dalam membuktikan (4.25), telah dibuktikan pada teorema 3.1

Untuk membuktikan (4.25), berdasarkan definisi maka akan diperlihatkan untuk setiap ε> 0 berlaku

 _{, ,}

P ( c n K s _c s 0, untuk n . 4.26 Ruas kiri (4.26) dapat dinyatakan sebagai berikut :

 _{, ,}

(

P c n K s _c s

 , ,  , ,  , ,

=P ( c n K s E c n K s E c n K s _c s . 4.27

Dengan ketaksamaan segitiga maka, persamaan (4.27) menjadi

  

  

, , , , , ,

, , , , , ,

( (

P E E

P E E . 4.28

c n K c n K c n K _c c n K c n K c n K _c

s s s s

Berdasarkan Lema 3.1 yaitu Ec n K, , s , jika maka ada N sehingga

 , ,

E

2

c n K s _c s untuk semua n > N. 4.29 Dengan mensubstitusikan (4.29) ke ruas kanan (4.28) maka (4.28) menjadi

 _{, ,}

P E .

2

c n K s _c s

Kemudian dengan menggunakan ketaksamaan Chebysev (Lema L.4 dalam lampiran), maka

  , ,

, , ₂

4

P E .

2

c n K c n K _c

var s

s s

Berdasarkan Lema 3.2 yaitu c n K, , s , untuk , maka

_{, ,}

2

4

0.

c n K

Var s

Sehingga (4.25) terbukti.

4.4 Selang Kepercayaan bagi _c s

Berdasarkan Teorema 4.3, yaitu kenormalan asimtotik (studentization) dari penduga untuk _c s , sebagai aplikasi dari (4.22) dapat dirumuskan suatu selang kepercayaan dengan koefisien kepercayaan 1- α bagi _c s , seperti berikut :

Corollary 4.1 (Selang kepercayaan bagi _c s )

Untuk semua tingkat kepercayaan α dengan 0 < α < 1, berdasarkan selang kepercayaan normal untuk _c s melalui pendekatan peluang 1 –α diberikan oleh   1 , , 1 , , 2 1 1 1 1 ( ) 1 2 , c n L i n n n i K c K s dz I K z L s nh   2 1 1 1 , , 1 , , 1 1 ( ) 1 2 L i c n K

c n K i

n

s z d

h z L s K n ,(4.30)

1 1

c s In o , (4.31)

untuk n _{, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi c.}

Dari selang kepercayaan yang telah diperoleh maka diperiksa kekonvergenan peluangnya menuju 1 –α, sebagai berikut :

. _c s

Teorema 4 4 Kekonvergenan peluang selang kepercayaan bagi

Misalkan c n K, , s _{adalah pendug}a tipe kernel bagi λ yang didefi_{nisikan seperti} pada (3.5) , maka berlaku

1 ,

c s In jika n (4.32)

Bukti :

Bagian ruas kiri pada (4.27), adalah sebagai berikut : Misalkan Z adalah peubah acak normal baku, maka

c s In

  2 1 1 , , 1

, , 1

1 1

( ) 1

2

L c n K

c

i

n K i

n K z L s nh s dz s   2 1 1 ,

, , 1

, 1 1 1 ( ) 1 , 2 L i c n K

i c n K

n

s K z

L n s h dz (4.33)   1 , , , 1 1 1 , 2 1 1 ( ) 1 2 c n L i n K c i n K K s dz s z L s nh  2 1 1 1 1 , , 1 1 ( ) 1 , 2

c n K

L i i n K z L n s dz h

  2 1 1 1 , , 1 , , 1 1 ( ) 1 2 L i c n K

c n K i

n

s K z d

s n s L z h  1 , 1 2 1 1 , 1 1 ( ) 1 , 2 c L i n n i

K K z

L d nh s z   1 , , , 1 1 1 , 2 1 1 ( ) 1 2 c n L i n K c i n K K s dz s z L s nh  2 1 1 1 1 , , 1 1 ( ) 1 , 2

c n K

L i i n K z L n s dz h   , , 1 , 1 1 1 2 1 , 1 1

2 _{1 1} 2

( ) c n K

c n K n L i i nh s K s

s z dz

L

. (4.34)

Berdasarkan Teorema 4.3, maka

  , , 1 , 1 2 1 , 1 1 ( ) 0,1 , n d c n L i i K

c n K

nh s Normal s dz s K z L

jika n _{. Sehingga ruas kanan dari (4.34) konvergen ke}

1 ,

2 2

Z Z

Z

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 KESIMPULAN

Untuk menduga fungsi intensitas lokal berbentuk,

1

(( 1) )

L l c l

s l s l , s [0, )T dari suatu proses yang diamati pada interval [0, ]n cukup diduga nilai _c( )s pada s [0, ). Selain itu diasumsikan periode T l diketahui sedangkan c( )s tidak diketahui .

Pada penelitian ini diasumsikan bahwa amplitudo dari fungsi intensitas tersebut adalah diketahui. Penduga tipe kernel bagi komponen periodik _cpada

0,

s adalah sebagai berikut

_{c n K, , s}

dengan kontanta _i diketahui untuk setiap i 1, 2,3,...,L, s_i s i 1 ,K adalah suatu kernel, dan h_n adalah barisan bilangan positif yang konvergen ke nol, yaitu hn 0 untuk n .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan suatu syarat tertentu, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Jika min 2 ,1 1

2 2 maka , ,

ˆ _{( )}

c n K c

n s s konvergen dalam peluang ke nol untuk n _.

2. Kenormalan asimtotik bagi ˆ_{c n K, ,} ( )s adalah : Jika 5

1 n

nh

maka

c n K_{, ,}

n c

nh s s 2

, normal untuk n , dengan

1 2 1 '' 2 c s

z K z dz dan 1

2 2

1 1

1 L 1 c

i i

s K z dz

3. Kenormalan Asimtotik (Studentization) adalah   , , 1 2 , , 1 1 0,1 , 1 1 n d

c n K L

c n K

i i

nh

s Normal

s K z dz

L

s

jika n _.

4. Sebagai aplikasi dari kenormalan (Studentization) bagi ˆc n K_{, ,} ( )s dapat diperoleh suatu selang kepercayaan bagi c( )s adalah sebagai berikut

  1 2 , , 1 1

, , 1

1 1

2 ,

1

L c n K

i i

c n K n

n

s K z dz

L I nh s   1 2 , , 1 1 1 , , 1 1 1 2 L c n K

i n

n i c K

s K z

h

dz L

s

n ,

dimana menyatakan fungsi distribusi normal baku dan

1 1

c s In o ,

untuk n _{, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ, dan periode} diketahui.

5.1 SARAN

Penelitian yang telah dilakukan baru membahas tentang menentukan sebaran asimtotik dari penduga proses Poisson periodik dengan periode ganda untuk kasus amplitudo diketahui, sehingga perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk amplitudo tidak diketahui

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York : Springer. Dudley R.M 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth &

Brooks.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. 3rd Edition. New York : Prentice hall.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Second Edition. Oxford : Clarendon Press

Helmers R. 1995. On estimating the intensity of oil polution in the North Sea.

CWI Not BS-N9501.

Helmers R, Mangku I W, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal., 84, 19-39.

Helmers R, Mangku I W, Zitikis R. 2005. Statistical properties of a kernel-type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. J.

Multivariate Anal., 92, 1-23.

Helmers R, Mangku I W, Zitikis R. 2007. A nonparametric estimator for the doubly periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology 4 : 481-492.

Helmers R, Mangku I W. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Inst. Of Statistical

Mathematics. 61 (3), 599-628.

Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT. 2005 Introduction to Mathematical Statistics.

Ed ke-6. New Jersey : Prentice Hall, Upper Saddle River.

Mangku I W. 2001 Estimating The Intensity of a Cyclic Poisson Process.

University of Amsterdam, Amsterdam.

Mangku I W. 2006. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its

Applications, 5, No.2, 13-22.

Martalena D. 2009. Pendugaan Nonparametrik bagi Fungsi Intensitas Proses

Poisson Periodik dengan Periode Ganda. Institut Pertanian Bogor. Bogor.

Purcell EJ, Vanberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Ed ke-5 terjemahan. Jakarta : Penerbit Erlangga

Ross S. 2007 . Introduction to Probability Models. 9-th Ed. Florida : Academic Press Inc. Orlando.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York : John Wiley & Sons.

Beberapa Definisi

Ruang Contoh Kejadian dan Peluang

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian)

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan . Himpunan bagian dari ruang contoh disebut kejadian.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi L.2 (Kejadian lepas )

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong ( ).

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi L.3 (Medan- )

Medan- adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari yang memenuhi syarat-syarat berikut :

(1)

(2) Jika A maka Ac .

(3) Jika A1, A2, …, maka .

Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ( disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi L.4 (Ukuran peluang)

Ukuran peluang P pada ruang ukuran ( ) adalah fungsi P : yang memenuhi :

(1)

(2) Jika A1,A2, … adalah himpunan anggota yang saling lepas yaitu untuk setiap i, j dengan maka :

.

Tripel ( ) disebut dengan ruang peluang.

Definisi L.5 (Kejadian saling bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : . Secara umum, himpunan kejadian { } dikatakan saling bebas, jika :

untuk setiap himpunan bagian J dari I.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi L.6 (Peubah acak)

Peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa { } untuk setiap .

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi L.7 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah yang didefinisikan oleh

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi L.8 (Peubah acak diskret)

Peubah acak X disebut diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai {x1, x2,…} dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

(Grimmett and Stirzaker 2001) Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespodensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi L.9 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh : p(x) = P (X = x).

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi L.10 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh : , untuk k= 0, 1, 2, …

Nilai Harapan, Momen dan Ragam

Definisi L.11 (Nilai harapan, momen dan ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x). Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah

E(X)=

Momem ke-k dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak

X adalah

Misalkan momen ke-1 dari x adalah E(X) = . Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah

Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X. Ragam (variance) dari X, dinotasikan dengan Var (X) atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu :

2

p(x). Ragam merupakan momen ke-2 dari peubah acak X.

(Hogg et al. 2005)

Kekonvergenan

Definisi L.12 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)

Barisan ( n) dikatakan mempunyai limit L dan kita tuliskan atau n L jika apabila setiap terdapat bilangan M sedemikian rupa

sehingga jika n > M maka ada, kita katakan

barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen. (Stewart 1999) Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak.

Definisi L.13 (Kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan X, X1, X2, … adalah peubah acak dalam ruang peluang ( ). Kita katakan bahwa barisan peubah acak Xn konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan

.

Definisi L.14 (Konvergen dalam rataan ke –r)

Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak X, dengan r ≥ 1, ditulis r

n

X X untuk n , jika X_n r untuk semua n

dan X_n X r 0 untuk n .

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi L.15 (Konvergen hampir pasti)

Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X, ditulis as

n

X X , untuk n , jika untuk setiap ε > 0,

lim _n 1 .

n X X Dengan kata lain konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang satu.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi L.16 (Konvergen dalam sebaran)

Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis Xn d X, jika P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) untuk n , untuk semua titik x dimana fungsi sebaran FX(x) adalah kontinu.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi L.17 (Statistik)

Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang tidak diketahui.

Definisi L.18 (Penduga)

Misalkan X1,X2,…Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2, …,Xn)yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga

(estimator) bagi g( ) , dilambangkan dengan n ( )

Bilamana nilai X1=x1 , X2=x2 ,…Xn=xn , maka nilai U(X1, X2, …,Xn) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( )

(Hogg etal. 2005)

Definisi L.19 (Penduga tak bias)

(1) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter , yaitu = disebut penduga tak bias bagi parameter . Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

(2) Jika = maka )disebut

penduga tak bias asimtotik

(Hogg etal. 2005)

Definisi L.20 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter , disebut penduga konsisten bagi

(Hogg etal. 2005)

Definisi L.21 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter

didefinisikan sebagai berikut :

MSE(U)= E(U – g( ))2 = (Bias (U))2 + Var (U),

dengan Bias(U) = EU -

(Hogg etal. 2005) Definisi L.22 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas  adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh

Definisi L.23 (Titik Lebesgue)

Titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika .

(Dudley 1989)

Definisi L.24 (O(.) dan o(.))

Symbol „big-oh’ dan „litle-o‟ ini merupakan cara membandingkan besarnya dua

fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. (1) Notasi u(x) = O(v(x)), x L menyatakan bahwa

terbatas untuk x L.

(2) Notasi u(x) = o(v(x)), x L menyatakan bahwa untuk x L.

(Serfling 1980) Dengan menggunakan definisi di atas kita peroleh hal berikut

(1) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis

untuk semua bilangan asli n.

(2) Suatu barisan bnyang konvergen ke 0, untuk dapat ditulis bn = o(1). (Purcel dan Varberg 1998)

Lema teknis

Lema L.1

Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku

(Ghahramani 2005)

Bukti

Dari Definisi 11 kita bisa menuliskan bahwa 2

2 2

=

Jadi lema L.1 terbukti.

Lema L.2 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

untuk .

(Serfling 1980)

Lema L.3 (Ketaksamaan Markov)

Jika adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan , maka

Sehingga

Lema L.4 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam terbatas σ2 maka 2

2 (X t)

t untuk setiap t≥ 0.

(Ghahramani, 2005).

Bukti :

Karena X 2 0, dengan ketaksamaan Markov

2 ₂

2 2

2 2

( )

(X ) t X

t t .

Oleh karena X 2 t2 adalah eqivalen X t, maka Lema L.4 terbukti.

Lema L.5 (Deret-p)

Deret 1

1 p

n n

(disebut juga deret-p) konvergen jika p > 1, dan divergen jika p≤ 1. Bukti : lihat Steawart, 1999.

Lema L.6 (Teorema Limit Pusat (CLT))

Misalkan X X₁, ₂,...adalah barisan peubah acak yang i.i.d (independent and

identically distributed) dengan nilai harapan dan ragam 2. Maka distribusi

dari

1 2 ...

0,1 , d

n n

X X X n

Z Normal

n

jika n , atau dengan kata lain

1 2 ...

lim lim n

n

n n

X X X n

Z x x

n

2

2 1

. 2

x _y

e dy

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Untuk membuktikan Teorema Limit Pusat diperlukan Teorema Kekontinuan Levy, sebagai berikut :

Lema 7 (Teorema Kekontinuan Levy)

Misalkan X X₁, ₂,...adalah barisan peubah acak dengan masing-masing fungsi distribusi F F₁, ₂,...dan fungsi pembangkit momen

1, 2,... .

X X

M M Misalkan adalah peubah acak dengan fungsi distribusi F dan fungsi pembangkit momen M_X t . Jika semua nilai t,

n

X

M t konvergen ke M_X t , maka titik-titik dari F yang kontinu, F_nkonvergen ke F.

Bukti Teorema Limit Pusat:

Misalkan Y_n X_n , maka Y_n 0 dan Var Y_n 2, akan dibuktikan 1 2 ... n _,

n

X X X n

Z

n untuk n 1 konvergen ke distribusi Z.

Jika Y Y₁, ₂,...berdistribusi identik maka Y Y₁, ₂,... mempunyai pembangkit momen yang sama, yaitu M. Dari kebebasan peubah acak Y Y₁, ₂,...,Y_n diperoleh

1 2 ... exp

n

n Z

Y Y Y

M t t

n

1 2 ... n

Y Y Y

t M

n

1 2 ... n

Y Y Y

t t t

M M M

n n n

. n t M

n (L.1)

Dari Teorema Kekontinuan Levy, cukup dibuktikan bahwa

n

Z

M t konvergen ke 2

exp 2

t

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari Z. Ekuivalen dengan menunjukkan bahwa

2 lim ln

2

n

Z n

t

M t (L.2)

Misalkan h t n

maka

2 2 2 t n

h sehingga dari persamaan (L.1) dihasilkan

2 2

2 2 2 2

ln

lnM_Zn t nlnM h t lnM h t M h ,

h h maka

2

2 0

ln

lim ln lim .

2

n

Z

n h

M h t

M t

h (L.3)

Karena M 0 1 dan ₂ 0

ln lim

h

M h

h nilai tidak tetap, maka untuk menentukan

nilainya dapat digunakan aturan L‟Hopital dua kali, sehingga diperoleh

2

0 0 0

ln ' '

lim lim lim

2 2

h h h

M h M h M h M h

h h hM h

2

0

" " 0

lim ,

2 2 ' 2 0 2

h

M h M

M h hM h M

Dengan 2

" 0

M dan Y_i 0, maka dari (L.3) diperoleh bahwa 2 2 2

lim ln .

2 2 2

n

Z n

t t

M t yaitu persamaan (L.2).

ABSTRACT

IDDAYATI. Asymptotic Distribution of Estimator for the Intensity Function of a Doubly Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this manuscript, estimation of the intensity function of a doubly periodic Poisson process is discussed. It is assumed that only a single realization of the Poisson process is observed in a bounded window [0,n]. It is also assumed that the period of the intensity function is known. The rate of consistency and asymptotic normality of the estimator are formulated. Finally, a confidence interval for the local intensity function is also formulated.

BAB I

PENDAHULUAN

1.3 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Pada proses stokastik kita tidak bisa mengetahui secara pasti mengenai perilaku kejadian pada waktu yang akan datang. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting karena banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan menggunakan proses stokastik. Contoh penggunaan proses stokastik antara lain : memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan, memodelkan proses antrian nasabah di suatu bank, model waktu tunggu sejak memberikan perintah komputer hingga di eksekusi dan lain sebagainya.

Proses stokastik dapat diklasifikasikan ke dalam dua klasifikasi, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut.

Sebagai contoh, fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Dalam contoh lain untuk menghitung besarnya klaim peserta asuransi akibat terjadinya bencana alam seperti banjir, angin topan maka dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode tunggal. Tetapi jika bencana alam tersebut mempunyai kecenderungan terjadi berulang setiap tahun dalam jangka waktu tertentu dengan intensitas yang berbeda, maka model yang lebih tepat adalah proses Poisson periodik dengan periode ganda (Helmers et al 2007).

Penerapan pemodelan stokastik dari suatu fenomena fungsi intensitas dari proses umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut.

Pada penelitian terdahulu, telah diteliti tentang penduga nonparametrik bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda (Helmers et

al (2007), Martalena (2009)). Pada penelitian ini dikaji tentang sebaran asimtotik penduga fungsi intensitas tersebut.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah

(1) Mempelajari perumusan penduga dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda menggunakan fungsi kernel umum.

(2) Mereview pendekatan asimtotik dari bias dan ragam penduga (3) Mengkaji pendekatan asimtotik dari bias dan ragam penduga. (4) Menentukan sebaran asimtotik penduga.

Definisi L.18 (Penduga)

Misalkan X1,X2,…Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2, …,Xn)yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ) , dilambangkan dengan n ( )

Bilamana nilai X1=x1 , X2=x2 ,…Xn=xn , maka nilai U(X1, X2, …,Xn) disebut

sebagai dugaan (estimate) bagi g( )

(Hogg et al. 2005) Definisi L.19 (Penduga tak bias)

(1) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter , yaitu = disebut penduga tak bias bagi parameter . Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

(2) Jika = maka )disebut

penduga tak bias asimtotik

(Hogg et al. 2005) Definisi L.20 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter , disebut penduga konsisten bagi

(Hogg et al. 2005)

Definisi L.21 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai berikut :

MSE(U)= E(U – g( ))2 = (Bias (U))2 + Var (U), dengan Bias(U) = EU -

(Hogg et al. 2005) Definisi L.22 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas  adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh

Definisi L.23 (Titik Lebesgue)

Titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika .

(Dudley 1989)

Definisi L.24 (O(.) dan o(.))

Symbol „big-oh’ dan „litle-o‟ ini merupakan cara membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.

(1) Notasi u(x) = O(v(x)), x L menyatakan bahwa terbatas untuk x L.

(2) Notasi u(x) = o(v(x)), x L menyatakan bahwa untuk x L.

(Serfling 1980) Dengan menggunakan definisi di atas kita peroleh hal berikut

(1) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis

untuk semua bilangan asli n.

(2) Suatu barisan bn yang konvergen ke 0, untuk dapat ditulis bn = o(1).

(Purcel dan Varberg 1998) Lema teknis

Lema L.1

Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku

(Ghahramani 2005) Bukti

Dari Definisi 11 kita bisa menuliskan bahwa

2

2 2

=

Jadi lema L.1 terbukti.

Lema L.2 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

untuk .

(Serfling 1980) Lema L.3 (Ketaksamaan Markov)

Jika adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,

(Ghahramani 2005) Bukti:

Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan , maka

Sehingga

Lema L.4 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam terbatas σ2 maka 2

2 (X t)

t untuk setiap t ≥ 0.

(Ghahramani, 2005). Bukti :

Karena X 2 0, dengan ketaksamaan Markov

2 ₂

2 2

2 2

( )

(X ) t X

t t .

Oleh karena X 2 t2 adalah eqivalen X t, maka Lema L.4 terbukti. Lema L.5 (Deret-p)

Deret 1

1

p

n n

(disebut juga deret-p) konvergen jika p > 1, dan divergen jika p ≤ 1. Bukti : lihat Steawart, 1999.

Lema L.6 (Teorema Limit Pusat (CLT))

Misalkan X X₁, ₂,...adalah barisan peubah acak yang i.i.d (independent and identically distributed) dengan nilai harapan dan ragam 2. Maka distribusi dari

1 2 ...

0,1 ,

d n

n

X X X n

Z Normal

n

jika n , atau dengan kata lain

1 2 ...

lim lim n

n

n n

X X X n

Z x x

n 2

2 1

. 2

x _y

e dy

(Ghahramani 2005) Bukti:

Untuk membuktikan Teorema Limit Pusat diperlukan Teorema Kekontinuan Levy, sebagai berikut :

Lema 7 (Teorema Kekontinuan Levy)

Misalkan X X₁, ₂,...adalah barisan peubah acak dengan masing-masing fungsi distribusi F F₁, ₂,...dan fungsi pembangkit momen

1, 2,... .

X X

M M Misalkan adalah peubah acak dengan fungsi distribusi F dan fungsi pembangkit momen M_X t . Jika semua nilai t,

n

X

M t konvergen ke M_X t , maka titik-titik dari F yang kontinu, F_nkonvergen ke F.

Bukti Teorema Limit Pusat:

Misalkan Y_n X_n , maka Y_n 0 dan Var Y_n 2, akan dibuktikan

1 2 ... n _,

n

X X X n

Z

n untuk n 1 konvergen ke distribusi Z.

Jika Y Y₁, ₂,...berdistribusi identik maka Y Y₁, ₂,... mempunyai pembangkit momen yang sama, yaitu M. Dari kebebasan peubah acak Y Y₁, ₂,...,Y_n diperoleh

1 2 ...

exp n

n Z

Y Y Y

M t t

n

1 2 ... n

Y Y Y

t M

n

1 2 ... n

Y Y Y

t t t

M M M

n n n

.

n t M

n (L.1)

Dari Teorema Kekontinuan Levy, cukup dibuktikan bahwa n

Z

M t konvergen ke 2

exp 2 t

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari Z. Ekuivalen dengan

2 lim ln 2 n Z n t

M t (L.2)

Misalkan h t n maka 2 2 2 t n

h sehingga dari persamaan (L.1) dihasilkan

2 2

2 2 2 2

ln

lnM_Zn t nlnM h t lnM h t M h ,

h h maka

2

2 0

ln

lim ln lim .

2 n Z n h M h t M t h (L.3)

Karena M 0 1 dan ₂ 0

ln lim

h

M h

h nilai tidak tetap, maka untuk menentukan nilainya dapat digunakan aturan L‟Hopital dua kali, sehingga diperoleh

2

0 0 0

ln ' '

lim lim lim

2 2

h h h

M h M h M h M h

h h hM h

2

0

" " 0

lim ,

2 2 ' 2 0 2

h

M h M

M h hM h M

Dengan 2

" 0

M dan Y_i 0, maka dari (L.3) diperoleh bahwa

2 2 2

lim ln .

2 2 2

n

Z n

t t

M t yaitu persamaan (L.2).