Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of the Intensity Function Obtained as the product of a Periodic Function with the Quadratic trend of a Non Homogenous Poisson Process

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK

KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON –

HOMOGEN

CASMAN

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non – Homogen adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Januari 2012 CASMAN

ABSTRACT

CASMAN. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of the Intensity Function Obtained as the product of a Periodic Function with the Quadratic trend of a Non Homogenous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI

In this thesis, estimation of periodic component of the intensity function obtained as the product of a periodic function with the quadratic trend of a non homogeneous Poisson process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity of form a periodic function multiplied by the quadratic trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. It has been constructed estimator of periodic component of the intensity function of form periodic function multiplied by the quadratic trend of a non homogenous Poisson Process. Statistical properties of this estimator are also formulated. Finally, asymptotic normality of the estimator is also given.

Keywords: periodic process, quadratic trend, kernel function, asymptotic normality.

RINGKASAN

CASMAN. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non - Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Proses stokastik merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dapat digunakan untuk memprediksi atau menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan sehari-hari. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, ilmu pegobatan dan seismologi (Helmers et al. 2003).

Fungsi intensitas suatu proses Poisson Periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua yaitu fungsi intensitas lokal dan intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.

Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas adalah pendekatan fungsi kernel. Hal ini karena bentuk fungsi intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat didekati dengan fungsi penduga kernel (Hardle, 1993). Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s.

Alur dari penelitian ini adalah sebagai berikut: pertama dirumuskan penduga. Selanjutnya menghitung aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, ragam dan MSE penduga yang diperoleh dan yang terakhir menentukan sebaran asimtotik penduga dengan kernel seragam.

Dari hasil pengkajian diperoleh hasil sebagai berikut: (i) Penduga tipe kernel untuk λ_c pada titik s∈

[ )

0,τ adalah :

( )

(

)

(

) ( )

, , 2 ₀

1

1

.

n c n K

k n n

x s k

s K N dx

n h s k h

τ τ λ τ ∞ = − +   = _{ } +  

∑

_∫



dengan n adalah panjang interval pengamatan, K adalah suatu kernel, dan

n

h adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu h_n ↓ 0 untuk n→ ∞.

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan λ_{c n K, ,}

( )

s adalah

E

(

( )

)

, ,

ˆ

c n K s

λ = 2 1 2

( )

( )

2

1

( ) ( )

2

c

c n n

s

s λ h x K x dx o h

λ

−

′′

+

_∫

+

untuk n→ ∞.

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam λ_{c n K, ,}

( )

s adalah

(

( )

)

( )

( )

2

1 ₂

, , 2 ₁ 2

1 6

c c n K

n n

s

Var s K x dx

n h n h

π λ λ ο −   = _{+  }  

∫



untuk n→ ∞.

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi MSE adalah

( )

(

ˆc n K, ,

)

MSE λ s

( )

(

₁

)

2 2

( )

₁

_{( )}

_{( )}

2 4 2 4

2 2 1 1 1 1 ( ) . 4 6 c

c n n

n n

s

s x K x dx h K x dx o h

n h n h

π λ λ ο − −   ′′ = + + _{ }+  

∫

∫

untuk n→ ∞.

(v). Penduga dengan tipe kernel seragam dari λc pada titik dirumuskan sebagai berikut:

( )

(

[

] [ ]

)

, 2 0 , 0, 1 ˆ _.

( ) 2

n n

c n

k n

N s k h s k h n

s

n s k h

τ τ τ λ τ ∞ = + − + + ∩ = +

∑

(vi). Kenormalan asimtotik bagi penduga dengan kernel seragam adalah (1) Jika 2 5

0

n

n h → , maka 2

(

( )

( )

)

(

2

)

, ,

ˆ d _0,

n c n K c

n h λ s −λ s →Normal σ

untuk n→ ∞dengan

( )

2 2

12

c s

π λ

(2) Jika 2 5 ₁

n

n h → maka 2

(

( )

( )

)

(

2

)

, ,

ˆ d _,

n c n K c

n h λ s −λ s →Normal µ σ

untuk n→ ∞, dengan 1

( )

6 c s

µ= λ′′ dan

( )

2 2

12

c s

π λ

σ = .

Kata kunci : Proses Poisson Periodik, tren kuadratik, fungsi kernel, sebaran normal.

Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2012 Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK

KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON –

HOMOGEN

CASMAN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non – Homogen Nama : Casman

NIM : G551090291

Program Studi : Matematika Terapan

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB

Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr.Ir Dahrul Syah, M.Sc.Agr

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik.

Penelitian ini diberi judul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non – Homogen. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc dan Ir,Retno Budiarti, M.S selaku pembimbing serta Dr.Ir.HadiSumarno,M.S selaku penguji yang banyak memberikan saran.

Demikian pula, penulis mengucapkan terimakasih kepada Kementerian Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada ibu dan kakak – kakakku , rekan – rekan seperjuangan di S2 angkatan 2009 , Keluarga besar MTs N Jatibarang, Indramayu dan keluarga besar MA Fatahillah Lohbener, Indramayu serta berbagai pihak yang tak dapat penulis sebutkan satu per satu, penulis mengucapkan banyak terima kasih, dan semoga Allah SWT melimpahkan keberkahan serta kemanfaatan atas keberhasilan ini. Amien.

Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna, walaupun demikian penulis tetap berharap semoga karya ilmiah ini dapat memberikan kontribusi pada bidang matematika dan bidang – bidang lainnya.

Bogor, Januari 2012 Casman

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jatibarang,Indramayu pada tanggal 19 Agustus 1980 dari Bapak Taram dan Ibu Naswen. Penulis merupakan anak keenam dari enam bersaudara.

Tahun 1998 penulis lulus dari MA Fatahillah Lohbener Indramayu. Pada Tahun 1999 penulis melanjutkan kuliah di Universitas Wiralodra Indramayu, mengambil program studi Pendidikan Matematika dan lulus pada tahun 2003. Tahun 2005 mendapat SK CPNS sebagai guru di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Jatibarang, Indramayu.

Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Kementerian Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI

Halaman

I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan Penelitian ... 2

II TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1. Proses Poisson Periodik ... 3

2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 7

III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA 10 3.1. Perumusan Penduga………... 10

3.2. Sifat-Sifat Statistik Penduga ... 12

IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM 19 4.1 Penduga dengan Kernel Seragam ... 19

4.2 Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam………. 21

VI. KESIMPULAN …... 30

DAFTAR PUSTAKA ... 32

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Proses stokastik merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dapat digunakan untuk memprediksi atau menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan sehari - hari. Proses stokastik merupakan suatu model yang berkaitan dengan aturan - aturan peluang. Sebagai contoh kita akan memprediksi dengan membuat suatu model yang dapat digunakan untuk memprediksi kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, ilmu pegobatan dan seismologi (Helmers et al. 2003).

Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian ini kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui,

yaitu τ.

Jika laju proses meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang

dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik kali tren kuadratik, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

Pada penelitian yang dilakukan fungsi intensitasnya bukan fungsi periodik ditambah tren tetapi fungsi periodik dikalikan dengan tren. Motivasinya karena banyak fenomena yang tidak cocok dimodelkan dengan proses Poisson yang fungsi intensitasnya fungsi periodik ditambah tren. Sebagai contoh pemodelan proses kedatangan nasabah pada suatu pusat servis, kalau pusat servis tutup maka fungsi intensitasnya nol, kalau penduduknya lama kelamaan bertambah secara signifikan maka fungsi intensitasnya lama kelamaan semakin besar. Oleh karena itu yang cocok digunakan adalah fungsi periodik kali suatu tren. Pada penelitian ini dibahas kasus khusus, yaitu suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya berbentuk fungsi periodik dikalikan tren kuadratik.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :

i. Menentukan aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga. ii. Menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga.

iii. Menentukan aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga. iv. Menentukan sebaran asimtotik dari penduga kernel seragam .

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik)

Proses stokastik X = {X(t), t∈T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross, 2007)

Dengan demikian, X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering diinterpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya.

Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)

Suatu proses stokastik X ={X(t), t ∈ T}disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval.

(Ross, 2007) Definisi 2.3 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t) , t ∈ T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn , peubah acak X(t1) –

X(t0), X(t2) – X(t1), X(t3) – X(t2) , ... , X(tn) – X(tn–1

(Ross, 2007)

) , adalah saling bebas.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas.

Definisi 2.4 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t) , t ∈ T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross, 2007)

Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0,∞).

Definisi 2.5 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik {N(t), t > 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai beriku:

(1). N(t) ≥ 0 untuk setiap t∈ [0,∞). (2). Nilai N(t) adalah integer.

(3). Jika s < t maka N(s) ≤N(t), s, t∈ [0,∞).

(4). Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t].

Definisi 2.6 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ ,λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(1). N(0) = 0

(2). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas.

(3). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi

(

(

)

( )

)

( )

; 0,1, 2.... !

k t

e t

P N t s N s k k

k λ _λ

−

+ − = = =

(Ross, 2007)

Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa:

E(N(t)) = λt

yang juga menjelaskan mengapa λ disebut laju dari proses Poisson tersebut.

Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen)

Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t.

(Ross, 2007) Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen)

Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju λ pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu λ(t).

Definisi 2.9 (Fungsi intensitas)

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t ≥ 0} yaitu λ(t), disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.

(Ross, 2007) Definisi 2.10 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s∈Ρ adalah λ(s), yaitu nilai fungsi λ di s.

(Cressie, 1993) Definisi 2.11 (Fungsi intensitas global)

Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:

lim

(

[ ]

0,

)

n

EN n

n θ

→∞

=

jika limit di atas ada.

(Cressie, 1993) Definisi 2.12 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi λ disebut periodik jika: λ(s + kτ) = λ(s)

untuk semua s∈฀ dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas λtersebut.

Definisi 2.13 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Ross, 2007) Definisi 2.14 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh

( )

( )

_.

B

B s ds

µ =

_∫

λ < ∞

_{(Dudley,1989)}

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas suatu proses Poisson Periodik merupakan laju dari Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua yaitu fungsi intensitas lokal dan intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata – rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.

Untuk menduga fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non parametrik (Diggle, 1985). Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat didekati dengan fungsi penduga kernel (Hardle, 1993).

Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan h_n↓0 dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh 1

(

[

,

]

)

.

Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan 1N

(

[ ]

0,n

)

.

n

Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al. (2003, 2005) telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut.

Pada Mangku (2006) telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. Kemudian penduga sebaran asimtotik pada turunan pertama dan kedua proses Poisson periodik dibahas pada Arifin (2008) dan sifat-sifat statistika orde kedua penduga proses Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas pada Marliana (2008).

Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear ( Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya ( Helmers et al.2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005).

Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat – sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan kernel seragam telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008).

Sedangkan sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida (2008), sebaran asimtotik penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat telah dikaji pada Rachmawati (2010) dan kekonsistenan penduga fungsi distribusi dan kepekatan waktu tunggu pada proses Poisson siklik dengan tren linear telah dikaji pada Mangku (2010).

BAB III

PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT – SIFAT STATISTIKNYA

3.1 Perumusan Penduga

Misalkan N adalah proses Poisson non homogen pada interval [0,∞) dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas komponen periodik atau komponen siklik kali tren kuadratik. Dengan kata lain untuk sembarang titik s∈

[ )

0,∞ kita dapat menuliskan fungsi intensitasλsebagai berikut

( )

(

*

( )

)

2

c

s s as

λ = λ (3.1)

( )

(

*

( )

)

2

c

s s a s

λ = λ (3.2) λ

( )

s =

(

λ_c

( )

s

)

s2 (3.3) dengan λ*_c

( )

s adalah fungsi periodik dengan periode τ dan a adalah kemiringan dari tren kuadratik serta λ_c

( )

s =aλ*

( )

s . Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari λ_ckecuali bahwa λ_c adalah periodik dengan persamaan :

λ_c

(

s+kτ

)

=λ_c

( )

s (3.4) untuk semua s∈฀ dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Diasumsikan bahwa τ adalah diketahui.

Misalkan untuk suatu ω∈Ω, kita hanya memiliki sebuah realisasi

( )

N ω dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang

(

Ω ℑ, ,P

)

dengan fungsi intensitas seperti (3.1) yang diamati pada interval terbatas

[ ]

0,n ⊂

[ )

0,∞ . Karena 2

s diketahui maka untuk menduga fungsi intensitas λ

( )

s seperti pada (3.3) cukup diduga komponen periodiknya yaitu λ_c

( )

s . Karena λ_c adalah fungsi periodik dengan periode τ , maka masalah menduga λ_cpada titik s

dengan s∈

[ )

0,∞ dapat direduksi menjadi masalah menduga λ_cpada titik s dengan s∈

[ )

0,τ .

Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari λ yaitu berlaku :

(

) ( )

0 1 lim 0 2 h

h _h s x s dx

h λ λ

↓

∫

₋ + − = . (3.5)

Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari λadalah fungsi λkontinu di s. Misalkan K:฀ →

[ )

0,∞ merupakan fungsi bernilai real, yang disebut kernel, yang memenuhi sifat – sifat berikut: (K1) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2) K terbatas, dan (K3) K memiliki daerah definisi pada [-1,1] (Helmers et al. 2007). Misalkan juga hn

merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu :

0

n

h ↓ (3.6) jika n→ ∞

Dengan notasi di atas, dapat dirumuskan penduga bagi λ_cpada titik s∈

[ )

0,τ sebagai berikut:

( )

(

)

(

_{) ( )}

, , 2 ₀

0

1

.

n c n K

k n n

x s k

s K N dx

n h s k h

τ τ λ τ ∞ = − +   = _{ } +  

∑

∫

 (3.7) Ide dibalik pembentukan penduga tipe kernel di atas dapat digambarkan sebagai berikut. Dengan menggunakan (3.3) dan (3.4), kita peroleh :

(

)

( )

( )

(

)

(

)

2 2 ( ) c c

s s k

s s k

s s k

λ λ τ

λ λ τ

τ

+

= + = =

+ . (3.8) Misalkan Nn: = #

{

k s: +kτ∈

[ ]

0,n

}

dimana # menyatakan banyaknya anggota.

(

)

{

[ ]

}

0

1

( ) 0,

c c

k n

s s k I s k n

N

λ ∞ λ τ τ

=

=

∑

+ + ∈

=

(

)

(

)

2

{

[ ]

}

0 1 0, k n s k

I s k n

N s k

λ τ τ τ ∞ = + + ∈ +

∑

(

)

2

( )

(

[ ]

)

0

1 1 1

0, 2

n n

s k h s k h k

n n

x I x n dx

N _{s k} h

τ τ λ τ ∞ _{+ +} + − = ≈ ∈ +

∑

_∫

=

(

)

2

(

[

] [ ]

)

0

1 1

, 0,

2 n n

k

n _n

EN s k h s k h n

N _{h s k}τ τ τ

∞ = + − + + ∩ +

∑

(

)

2

(

[

] [ ]

)

0

1 1

, 0,

2 n n

k

n n

N s k h s k h n

N _{h s k}τ τ τ

∞ = ≈ + − + + ∩ +

∑

(

)

[

] [ ]

(

)

2 0 1 , 0,

2 n n

k _n

N s k h s k h n

n h s k

τ _{τ τ}

τ

∞

=

≈ + − + + ∩

+

∑

(3.9) dimana I menyatakan fungsi indikator. Agar pendekatan

( )

≈ pertama pada (3.9) berlaku, diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi λ_c dan asumsi (3.6) terpenuhi. Dengan demikian dari (3.9) dapat disimpulkan

( )

(

)

(

[

] [ ]

)

. 2

0

1

ˆ _{, 0,}

2

c n n n

k _n

s N s k h s k h n

n h s k

τ

λ τ τ

τ

∞

=

= + − + + ∩

+

∑

(3.10)

adalah penduga untuk λ_c

( )

s . Penduga λˆ_{c n,}

( )

s dapat ditulis kembali sebagai berikut:

( )

(

)

[ ]

(

[

]

)

( )

, 2 ₀ 1,1

0

1 1

ˆ _{, .}

2

n

c n n n

k _n

s I s k h s k h N d x

n h s k

τ

λ τ τ

τ ∞ − = = + − + + +

∑

∫

(3.11)

Dengan mengganti fungsi 1 _{[ 1,1]}

( )

.

2Ι− pada (3.11) dengan kernel umum K , maka kita dapatkan penduga pada (3.7).

3.1Sifat – Sifat Statistik Penduga

Teorema 3.1 ( Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat (K1),(K2),(K3), h_n ↓0,

c

λ memiliki turunan keduaλ_c′′ berhingga pada s dan 2

n

nh → ∞ maka

( )

(

)

₂ 1 ₂

( )

( )

₂

, , ₁

( )

ˆ _{( )}

2

c

c n K c n n

s

E λ s λ s λ h x K x dx o h

−

′′

= +

_∫

+ (3.12) untuk n→ ∞

Bukti Teorema 1:

E

(

λˆ_{c n K, ,}

( )

s

)

=E

(

)

2 ₀

(

) ( )

0

1 n

k n n

x s k

K N dx

n h s k h

τ τ τ ∞ =  _{ − + }   _{ }   _{+  }  

∑

∫

 =

(

)

2 ₀

(

)

( )

0

1 n

k n n

x s k

K EN dx

n h s k h

τ τ τ ∞ = − +     + _{ }

∑

_∫

. (3.13)

Persamaan (3.13) dapat ditulis menjadi

(

)

(

)

₍

_{[ ]}

₎

_{( )}

2 0 1

( ) 0,

R

k n n

x s k

K x I x n dx

n h s k h

τ τ _λ τ ∞ =  − +  ∈   +  

∑

∫

. (3.14)

Persamaan (3.14) dapat ditulis =

(

)

2

(

)

(

[ ]

)

0

1

0,

R

k n n

x

K x s k x s k n d x

n h s k h

τ _{λ τ τ}

τ

∞

=

 

+ + Ι + + ∈

  +  

∑

_∫

=

(

)

(

)(

)

(

[ ]

)

2 2 0 1 0, . c R

k n n

x

K x s x s k x s k n d x

n h s k h

τ _{λ τ τ}

τ

∞

=

 

+ + + Ι + + ∈

 

+ _{ }

∑

_∫

(3.15) Dengan mengganti variabel, maka persamaan (3.15) dapat ditulis menjadi

( ) (

) (

)

(

)

(

[ ]

)

2 2 0 0, n

c n n

R

k _n

xh s k

K x xh s xh s k n dx

n _{h s k}

τ

τ _{λ τ}

τ

∞

=

+ +

+ Ι + + ∈

+

∑

∫

(3.16)

Karena λ_c mempunyai turunan kedua pada s, mengakibatkan λ_cterbatas di sekitar s. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu :

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2! n

c n c c n c n

x h

xh s s s xh s h

λ + =λ +λ′ +λ′′ +ο

(3.17) dan fakta bahwa

(

)

(

)

(

[ ]

)

( )

2 2 0

0, 1 ,

n

n k

xh s k n

xh s k n

s k τ τ τ τ ∞ = + +

Ι + + ∈ = + Ο +

∑

(3.18)

untuk n→ ∞ berlaku seragam untuk semua x∈ −

[

h h_n, _n

]

maka persamaan (3.16) menjadi

( )

2 2

1 ₂

1 ( ) ( ) ( ) ( ) _2! ( ) 1

n

c c n c n

x h n

K x s s xh s h O

n

τ _{λ λ λ ο}

τ −  _{ } ′ ′′ = _ + + + _ + _    

∫

1 1 1

2 2 2

1 1 1

( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2! c

c c n n n

s

s K x dx s h xK x dx h x K x dx h O n

λ

λ λ ο

− − − ′′   ′ = + + + _{+  }  

∫

∫

∫

(3.19) Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada[-1,1], maka 1

( )

1K x dx 1

− =

∫

. Karena kernel K adalah simetrik, maka

( )

1

1xK x dx 0

− =

∫

dan berdasarkan asumsi 2

n

nh → ∞, maka suku ke lima dari ruas kanan persamaan (3.19), yaitu O 1

n

   

  sama dengan

( )

2

n

o h , untuk n→ ∞. Sehingga persamaan (3.19) dapat ditulis menjadi

E

(

λˆ_{c n K, ,}

( )

s

)

= 2 1 2

( )

( )

2 1

( ) ( )

2

c

c n n

s

s λ h x K x dx o h

λ

−

′′

+

_∫

+ untuk n→ ∞. Jadi Teorema 3.1 terbukti.

Teorema 3.2 ( Aproksimasi asimtotik bagi ragam )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), h_n ↓0, untuk n→ ∞, maka

(

( )

)

( )

( )

2

1 ₂

, , 2 ₁ 2

1 6

c c n K

n n

s

Var s K x dx

n h n h

π λ λ ο −   = _{+  }  

∫

 (3.20)

untuk n→ ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ_c. Bukti Teorema 3.2 :

Untuk nilai n yang besar dan k≠ j,interval

[

s+kτ−h s_n, +kτ +h_n

]

dan

[

s+ jτ−h s_n, + jτ +h_n

]

tidak overlap sehingga untuk semua

,

k≠ j

(

) ( )

n x s k

K N dx

h τ

 − + 

 

  dan

(

_{) ( )}

n x s j

K N dx

h τ

 − + 

 

  adalah bebas.

Sehingga Var

(

λ_{c n K, ,}

( )

s

)

dapat ditentukan sebagai berikut: Var

(

λ_{c n K, ,}

( )

s

)

=

2 2

n

τ Var

(

)

2 ₀

(

) ( )

0

1 n

k n n

x s k

K N dx

h

h s k

τ τ ∞ =  _{ − + }   _{ }   _{+  }  

∑

∫



=

(

)

(

)

(

)

(

( )

)

2 2 2

2 2 _{2 0}

0 1 . n k n n

x s k

K Var N dx

n h _{s k} h

τ τ τ ∞ = − +       +

∑

∫

(3.21)

Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var (N) = E(N) sehingga (3.21) menjadi

(

)

(

)

(

( )

)

2

2 4

2 2 ₀

0 1 . n k n n

x s k

K E N dx

n h s k h

τ τ τ ∞ = − +     + _{ }

∑

∫

=

(

)

(

)

(

) ( )

2 2 2

2 2 _{2 0}

0 1 . n k n n

x s k

K x dx

n h _{s k} h

τ τ _λ τ ∞ = − +       +

∑

∫

(3.22)

Dengan penggantian variabel, serta menggunakan persamaan (3.3) dan (3.4), maka persamaan (3.22) dapat ditulis

(

)

(

)

(

[

)

)

2 2 4 2 2 0 1 0, k

n R n

x

K x s k I x s k n d x

n h _{s k} h

τ _{λ τ τ}

τ ∞ =   + + + + ∈   + _{ }

∑

∫

(

)

(

(

)

)

(

)

(

[

)

)

2 2 2 4 2 2 0 1 0, c k

n R n

x

K x s x s k I x s k n d x

n h _{s k} h

τ _{λ τ τ}

τ ∞ =   = _{ } + + + + + ∈ + _{ }

∑

∫

=

(

) (

)

(

)

(

[

)

)

2 2 2 4 2 2 0 0, . c k

n R n

x s k

x

K x s I x s k n d x

n h h s k

τ

τ _{λ τ}

τ ∞ = + +   + + + ∈   +  

∑

∫

(3.23)

Dapat diperhatikan bahwa

(

)

(

)

(

[

)

)

2

4 0,

k

x s k

I x s k n dx

s k τ τ τ ∞ =−∞ + + + + ∈ +

∑

= 2 2 6 π

τ + o(1) (3.24) untuk n→ ∞berlaku seragam untuk semua x∈ −

[

h h_n, _n

]

. Dengan menyubstitusikan persamaan (3.24) ke (3.23) diperoleh

Var

(

λ_{c n K, ,}

( )

s

)

=

(

)

( )

2 2

2

2 2 2 1

6

c

n R n

x

K x s dx o

n h h

τ _λ π

τ     + +        

∫

(3.25) untuk n→ ∞.

( ) (

)

( )

( ) (

)

2 2 2 2 2 2 1 1 1 .

6 n n R c n 6 n n R c n

K x xh s dx o K x xh s dx

n h h n h h

π   _λ π   _λ

+ + +

   

 

∫

 

∫

(3.26) Selanjutnya, dari suku pertama (3.26) kita mempunyai

(

)

1 2 n n h c n h n

xh s dx h

∫

− λ +

= 1

(

(

)

( )

( )

)

2

n n h

c n c c

h n

xh s s s dx

h

∫

− λ + −λ +λ

= 1

(

(

)

( )

)

1

( )

2 2

n n

n n

h h

c n c c

h h

n n

xh s s dx s dx

h

∫

− λ + −λ + h

∫

− λ . (3.27)

Untuk menunjukkan bahwa suku pertama (3.27) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar , yaitu

(

)

( )

1 2 n n h

c n c

h n

xh s s dx

h

∫

− λ + −λ . (3.28)

Dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi λ_c, maka kuatitas (3.28) konvergen ke nol jika n→ ∞, atau dapat juga ditulis o

( )

1 . Sedangkan suku kedua persamaan (3.27) adalah

( )

1 2 n n h c h n s dx

h

∫

− λ =λc(s).

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka

(

)

1 2 n n h c n h n

xh s dx

h

∫

− λ + =λc(s) +o

( )

1 .

untuk n→ ∞.

Dengan demikian (3.26) dapat ditulis menjadi

( )

(

( )

( )

)

( )

(

( )

( )

)

2 2

1 ₂ 1 ₂

2 ₁ s 1 2 ₁ s 1

6n h_n K x dx c o o 6n h_n K x dx c o

π _λ π _λ

− −   + + _{ } +  

∫

∫

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2

1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

2 ₁ 2 ₁ 2 ₁ 2

s s 1

1

6 6

c c

n n n n

K x dx o K x dx o K x dx o

n h n h n h n h

π λ π λ

− − −     + + _{ } + _{ }    

∫

∫

∫

untuk n→ ∞. Akhirnya didapatkan

(

( )

)

( )

( )

2

1 ₂

, , 2 ₁ 2

1 6

c c n K

n n

s

Var s K x dx

n h n h

π λ λ ο −   = _{+  }  

∫

 (3.29)

untuk n→ ∞. Jadi Teorema 3.2 terbukti.

Akibat 3.1 ( Aproksimasi asimtotik bagi MSE )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), hn ↓0, nhn2 → ∞dan

c

λ memiliki turunan kedua λ_c′′berhingga pada s maka

(

, ,

( )

)

ˆ

c n K

MSE λ s

(

( )

)

( ) ( )

( )

2 2

1 1

2 4 2 4

2 2 1 1 1 1 ( ) , 4 6 c

c n n

n n

s

s x K x dx h K x dx o h

n h n h

π λ λ ο − −   ′′ = + + _{ }+  

∫

∫

untukn→ ∞. (3.30)

Bukti Akibat 3.1 :

MSE

(

λˆc n K, ,

( )

s

)

=

(

Bias

(

λˆc n K, ,

( )

s

)

)

2+Var

(

λˆc n K, ,

( )

s

)

(3.31)

dengan Bias

(

λˆc n K, ,

( )

s

)

= E

(

λˆc n K, ,

( )

s

)

−λc

( )

s .

Dengan menggunakan Teorema 3.1 dan 3.2 kita peroleh

(

( )

)

2 1 2

( )

( )

2

, , ₁

( ) ˆ

2

c

c n K n n

s

Bias λ s λ h x K x dx o h

− ′′ =

∫

+ dan

(

( )

)

( )

( )

2 1 2

, , 2 ₁ 2

1 , 6

c c n K

n n

s

Var s K x dx

n h n h

π λ λ ο −   = _{+  }  

∫



untukn→ ∞_.

Sehingga persamaan (3.31) dapat ditulis menjadi: ( )

( )

( ) ( )

2 2

1 1

2 2 2 2

2 2

1 1

( ) 1

2 6 c c n n n n s s

h x K x dx o h K x dx

n h n h

π λ λ _ο − − ′′     =_ + _ + +    

∫

∫

(

( )

)

( ) ( )

( )

2

2

1 1

2 4 2 4

2 2

1 1

1 1

( ) ,

4 6

c

c n n

n n

s

s x K x dx h K x dx o h

n h n h

π λ

λ ο

− −

 

′′

= + + _{ }+

 

∫

∫

(3.32)

untukn→ ∞

BAB IV

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA

DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM

4.1 Penduga dengan Kernel Seragam

Pada bab ini digunakan penduga dengan kernel seragam. Hal ini karena saya belum berhasil memperoleh sebaran asimtotik dari penduga dengan kernel umum. Untuk itu bab ini menggunakan kernel seragam.

Penduga bagi λ_c

( )

s pada s∈

[ )

0,τ menggunakan kernel seragam dapat didefinisikan sebagai berikut (lihat 3.10)

( )

(

[

] [ ]

)

, 2

0

, 0,

1 ˆ

( ) 2

n n

c n

k n

N s k h s k h n

s

n s k h

τ τ

τ λ

τ

∞

=

+ − + + ∩ =

+

∑

(4.1) dengan N

(

[ ]

0,n

)

menyatakan banyaknya kejadian pada interval

[ ]

0,n dan h_n adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

0

n

h ↓ _(4.2) untuk n→ ∞. Pada penduga di atas, h_n disebut bandwidth.

Untuk menyusun penduga diperlukan data N

(

[ ]

0,n

)

, yaitu data realisasi proses Poisson pada interval

[ ]

0,n , dengan n bilangan real dan n harus relatif

besar dibandingkan periode τ. Fungsi intensitas λ

( )

s dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s atau pada interval

[

s h s− _n, +h_n

]

. Oleh karena itu, penduga bagi λ

( )

s , dinotasikan dengan λˆ

( )

s , diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s. Secara matematis dapat ditulis menjadi

ˆ

( )

(

[

,

]

)

2

n n

n

N s h s h

s

h

λ = − + . (4.3)

Berdasarkan sifat keperiodikan λ_c pada persamaan (3.4), maka didapatkan

penduga komponen periodik fungsi intensitas λ di sekitar s+kτ, yaitu λˆ_c

( )

s yang menyatakan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s+kτ dibagi

(

s+kτ

)

2 . Secara matematis dapat ditulis menjadi

( )

(

[

]

)

(

)

2

, ˆ

2

n n

c

n

N s k h s k h

s

s k h

τ τ

λ

τ

+ − + + =

+ . (4.4)

Data yang diamati pada interval

[ ]

0,n . Dinotasikan n_τ n

τ

≈ menyatakan banyaknya bilangan bulat k sehingga s k+ τ∈

[ ]

0,n . Sehingga didapatkan suatu penduga bagi λ_c untuk s k+ τ∈

[ ]

0,n , yaitu

( )

(

)

[

]

( )

(

)

2 0

, 0,

1 1

ˆ _.

2

n n

c

k n

N s k h s k h n

s

n_{τ s k} h

τ τ

λ

τ

∞

=

+ − + + ∩ =

+

∑

(4.5)

Dengan mengganti n_τ dengan n

τ , maka diperoleh penduga komponen periodik λ_c

( )

s , yaitu

( )

(

[

] [ ]

)

, 2

0

, 0,

1 ˆ

( ) 2

n n

c n

k n

N s k h s k h n

s

n s k h

τ τ

τ λ

τ

∞

=

+ − + + ∩ =

+

∑

seperti pada persamaan (4.1).

Berdasarkan Teorema 3.1 diperoleh nilai harapan untuk penduga dengan kernel seragam sebagai berikut:

( )

(

)

( )

''

( )

2

( )

2 ,

6

c

c n c n n

s

s s λ h o h

λ =λ + +

E

(4.6) untukn→ ∞.

Berdasarkan Teorema 3.2, nilai ragam penduga dengan kernel seragam adalah

( )

(

)

2

( )

, 2 2

1

ˆ _,

12

c c n

n n

s

Var s o

n h n h

π λ

λ = _{+ } _

  (4.7) untukn→ ∞.

4.2 Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam Teorema 4.1 (Sebaran asimtotik penduga λˆ_{c n, ,}

( )

s )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal, serta

2

0,

n n

h ↓ nh → ∞dan λcmemiliki turunan kedua λ ′′c berhingga pada titik s.

(i)Jika 2 5

0

n

n h → , maka 2

(

ˆ, ,

( )

( )

)

(

0, 2

)

d

n c n K c

n h λ s −λ s →Normal σ (4.8)

untuk n→ ∞dengan

( )

2 2

12

c s

π λ

σ = .

(ii)Jika 2 5 ₁

n

n h → maka 2

(

ˆ_{, ,}

( )

( )

)

d

(

, 2

)

n c n K c

n h λ s −λ s →Normal µ σ (4.9)

untuk n→ ∞, dengan 1

( )

6 c s

µ = λ′′ dan

( )

2 2

12

c s

π λ

σ = .

Bukti :

Ruas kiri (4.8) dan (4.9) dapat ditulis sebagai berikut:

(

( )

( )

)

2 ,

ˆ

n c n c

n h λ s −λ s

= 2

(

( )

( )

)

2

(

( )

( )

)

, , ,

ˆ ˆ ˆ

n c n c n n c n c

n h λ s −Eλ s + n h Eλ s −λ s . (4.10) Sehingga untuk membuktikan Teorema 4.1, cukup dibuktikan

( )

( )

(

)

(

)

2 2

, ,

ˆ ˆ d _0,

n c n c n

n h λ s −Eλ s →Normal σ

(4.11) untuk n→ ∞ dan jika 2 5 ₀

n

n h → maka

(

( )

( )

)

2

, ,

ˆ ₀

n c n K c

n h Eλ s −λ s → (4.12) untuk n→ ∞ dan jika 2 5 ₁

n

n h → maka

( )

( )

(

)

2

, ,

1

ˆ _,

6

n c n K c c

n h Eλ s −λ s → λ′′ (4.13) untuk n→ ∞.

Berdasarkan Lema 4.1 kita peroleh (4.12) dan (4.13), dan berdasarkan Lema 4.2 kita peroleh (4.11). Jadi Teorema 4.1 terbukti.

Lema 4.1

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.1) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula h_n ↓0 dan nh_n2 → ∞ untuk n→ ∞.

(i) Jika 2 5

0

n

n h → maka

( )

( )

(

)

2 ,

ˆ ₀

n c n c n h Eλ s −λ s →

(4.14) untuk n→ ∞.

(ii) Jika 2 5

1

n

n h → maka

( ) ( )

(

)

( )

2 ,

1 ˆ

6

n c n c c

n h Eλ s −λ s → λ′′ s

(4.15)

untuk n→ ∞.

Bukti :

Untuk membuktikan Lema 4.1 dapat digunakan persamaan (4.6) sehingga diperoleh

( )

( )

(

)

2 ,

ˆ

n c n c n h Eλ s −λ s

= 2 ( ) 2

( )

2

6 c

n n n

s

n h λ h ο h

 ′′ 

 + 

 

 

= 2 2 ( ) ( )

1 6

c n n

s n h h λ ο

 ′′ 

 + 

 

 

= 2 5 ( ) ( )

1 6

c n

s

n h λ ο

 ′′ 

 + 

 

 

. (4.16)

Karena 2 5

0

n

n h → dan ( ) ( )1 ( )1 6 c s O λ ο  ′′   + =    

maka diperoleh bagian (i) dari Lema 4.1.

Jika 2 5

1

n

n h → untuk n→ ∞ _{maka diperoleh bagian (ii) dari Lema 4.1. Dengan} demikian Lema 4.1 terbukti.

Lema 4.2

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.1) dan terintegralkan lokal.

0

n

h ↓ dan n h2 _n → ∞ untuk n→ ∞ maka

( )

( )

(

)

(

)

2 2

, ,

ˆ ˆ d _0,

n c n c n

n h λ s −Eλ s →Normal σ

(4.17) untuk n→ ∞, _dengan

( )

2 2 _. 12 c s π λ σ = Bukti :

Perhatikan bahwa ruas kiri pernyataan Lema 4.2 dapat ditulis sebagai

( ) ( ) ( ) ( ) , , 2 , , ˆ ˆ ˆ ˆ

c n c n n c n

c n

s E s

n h Var s

Var s λ λ λ λ  ₋       

. (4.18)

( ) 2 ( ) 2 , , ˆ 12 c n c n K

s

n h Varλ s → π λ

(4.19) dan

( )

( )

( )

( )

, , , ˆ ˆ 0,1 ˆ

c n c n d

c n

s E s

Normal E s λ λ λ  ₋   _{ →}  

  (4.20)

untuk n→ ∞

Pertama dibuktikan pernyataan (4.19).

Dengan menyubstitusikan (4.7) ke ruas kiri (4.19) diperoleh

( )

2

, ,

ˆ

n c n K

n h Varλ s

=

( )

2 2 2 2 1 12 c n n n s

n h o

n h n h

π λ  

+     =

( )

( )

2 2 2 2 1 12 c n n n s

n h o

n h n h

π λ  

+     =

( )

( )

2 1 12 c s π λ ο

+ (4.21)

untuk n→ ∞.

Misalkan

( )

( )

2

1 12

c s

u=π λ +ο dan f u

( )

= u, dengan menggunakan deret Taylor diperoleh

( )

2

( )

2

( )

2

( )

12 12 12

c c

c s s

f u = f _π λ s _+ f′_π λ _u−π λ _

    

( )

( )

2 2 2 1 ...

12 12 2!

c s c s

f′′π λ u π λ 

+ _{ } − _ +    =

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 1 1 1 ... 12 2 4 12 12 c c c s s s ο ο π λ

π λ π λ

+ − + =

( )

( )

2

1 12

c _s

untukn→ ∞. _{Maka diperoleh (4.19).}

Berdasarkan Lema 4.3 diperoleh (4.20). Dengan demikian Lema 4.2 terbukti.

Lema 4.3

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.1) dan terintegralkan lokal,

0,

n

h ↓ dan s adalah titik Lebesgue maka

( )

( )

( )

( )

, ,

,

ˆ ˆ

0,1 ˆ

c n c n d

c n

s E s

Normal

E s

λ λ

λ

 ₋ 

 _{ →}

 

 

(4.22)

untuk n→ ∞.

Bukti :

Misalkan

[

]

(

)

2 0

, 1

( ) 2

n

n n

n

k n

N s k h s k h

X

s k h

τ τ τ

τ

=

+ − + + =

+

∑

(4.23) danµ_n =E X( _n), dengan n_τ menyatakan banyaknya bilangan k sehingga

[ ]

0, . s+kτ∈ n

Karena h_n↓0 jika n→ ∞, maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah acak N

(

[

s+ jτ−h sn, + jτ +hn

]

)

dan N

(

[

s+kτ −h sn, +kτ +hn

]

)

, dengan k≠ j,

adalah saling bebas. Perhatikan bahwa jumlah peubah acak Poisson yang saling bebas juga merupakan peubah acak Poisson. Sehingga λˆ_{c n,}

( )

s dapat ditulis

( )

( )

,

ˆ

c n s Xn

n τ

λ =

yang merupakan peubah acak Poisson dikalikan suatu konstanta. Sehingga, berdasarkan Lema 4.4 untuk membuktikan (4.22) cukup ditunjukkan

µ_n → ∞

(4.24)

untuk n→ ∞

Untuk sembarang nilai n diperoleh nilai harapan peubah acak X_n adalah

₂

(

[

]

)

0

, 1

( ) 2

n

n n

n

k n

N s k h s k h

E

s k h

τ τ τ

µ τ =  + − + +  = _ _ + 

∑



₂

(

[

]

)

0

, 1

( ) 2

n

n n

k n

N s k h s k h

E dx

s k h

τ τ τ

τ = + − + + = +

∑

₂

(

[

]

)

0

, 1

( ) 2

n

n n

k n

EN s k h s k h

dx

s k h

τ τ τ

τ = + − + + = +

∑

(4.25) Kemudian komponen EN

(

[

s+kτ−h sn, +kτ +hn

]

)

pada persamaan (4.25)

dapat diuraikan menjadi

[

]

(

,

)

( )

(

[ ]

0,

)

.

n

n

s k h

n n

s k h

N s k h s k h x I x n d x

τ

τ

τ τ + + λ

+ −

+ − + + =

_∫

∈

E

(4.26) Dengan melakukan penggantian peubah y= − +x

(

s kτ

)

, persamaan (4.26) dapat ditulis menjadi

[

]

(

,

)

(

)

(

[ ]

0,

)

.

n

n

h

n n

h

N s kτ h s kτ h λ y s kτ I y s kτ n d y

−

+ − + + =

_∫

+ + + + ∈

E

Dengan menggunakan persamaan (3.3) , maka persamaan (4.26) dapat ditulis menjadi

[

]

(

_n, _n

)

N s+kτ −h s+kτ+h E

(

)(

)

2

(

[ ]

)

0, . n n h c h

y s k y s k I y s k n d y

λ τ τ τ

−

=

_∫

+ + + + + + ∈

(4.27)

[

]

(

)

(

)(

)

2

(

[ ]

)

, 0, . n n n n h c h

N s k h s k h

y s y s k I y s k n d y

τ τ

λ τ τ

−

+ − + +

=

∫

+ + + + + ∈

E

(4.28) Kemudian kembalikan persamaan (4.28) ke persamaan (4.25) sehingga menjadi

(

)(

)

2

(

[ ]

)

2 0

1 1

0, .

2 ( )

n n h n c k n h

y s y s k I y s k n d y

h s k

µ λ τ τ

τ

∞

= ₋

= + + + + + ∈

+

∑

∫

(4.29)

Persamaan (4.29) bisa ditulis menjadi

Perhatikan bahwa

(

)

2

₍

_{[ ]}

₎

_{( )}

2 0

0, 1

( )

k

y s k n

I y s k n O

s k τ τ τ τ ∞ = + + + + ∈ = + +

∑

(4.31) untuk n→ ∞. Jadi persamaan (4.30) dapat ditulis menjadi

(

)

( )

( )

(

)

1 1 1 1 2 2 n n n n h h

n c c

n h n h

n n

y s O dy O y s dy

h h

µ λ λ

τ τ

− −

  _{   }

=_{ } + _ + _ =_ + _ +

   

 

∫

∫

(4.32)

Dilakukan operasi perkalian pada ruas kanan persamaan (4.32) sehingga didapat

(

)

( )

1 1 2 n n h n c n h n

y s dy O

h

µ λ

τ ₋

=

∫

+ +

(4.33) Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (4.33) dapat ditulis menjadi

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

1 2 1 1 . 2 2 n n n n n n h

c c c

n h

h h

c c c

n h n h

n

y s s s dy

h n

y s s dy s dy

h n h

λ λ λ

τ

τ

λ λ λ

τ − − − = + + − = + − +

∫

∫

∫

(4.34)

(

)

(

2

)

2

(

[ ]

)

0

1

0, . (4.30)

2 ( )

n n h n c k n h

y s k

y s I y s k n d y

h s k

τ

µ λ τ

τ ∞ = − + + = + + + ∈ +

∑

∫

Perhatikan suku pertama dari persamaan (4.34). Karena s adalah titik Lebesgue

c

λ digunakan nilai yang lebih besar, yaitu

(

)

( )

1 2 n n h c c n h n

y s s dy

h λ λ

τ ₋

=

_∫

+ −

( )

1 n_ο

τ

=

( )

n ο

= (4.35) untuk n→ ∞.

Sedangkan suku kedua persamaan (4.34) adalah

( )

( )

1 . 2 n n h c c n h n n

s dy s

h λ λ

τ ₋ τ

=

∫

= (4.36) Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka

(

)

( )

(

)

( )

( ) ( )

1 1 2 2 n n n n h h

c c c

n h n h

c

n n

y s s dy s dy

h h

n

s o n

λ λ λ

τ τ λ τ − − + − + = +

∫

∫

untuk n→ ∞.

Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama ruas kanan persamaan (4.33) adalah

(

)

( ) ( )

1 2 n n h c c n h n n

y s dy s o n

h λ λ

τ ₋

∫

+ =τ +

untuk n→ ∞.

Akhirnya diperoleh dari ruas kanan persamaan (4.33), adalah

( ) ( )

( )

1

n c

n

s o n

µ λ τ

= + + Ο

( ) ( )

c

n

s o n

λ τ

untuk n→ ∞.

Dengan demikian Lema 4.3 terbukti.

Lema 4.4

Misalkan X_{n adalah barisan peubah acak Poisson dengan} EX_n =µ_n. Jikaµ_n → ∞ untuk n→ ∞, maka n n d

( )

0,1

n X

N

µ µ

− _→

untuk n→ ∞.

BAB V KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Untuk menduga fungsi intensitas lokal dari suatu komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik pada proses Poisson non – homogen dilakukan pendugaan di titik

cukup diduga nilai pada . Penduga tipe kernel dari fungsi intensitas pada titik dirumuskan sebagai berikut:

( )

(

)

(

_{) ( )}

, , 2 ₀

0

1

.

n c n K

k n n

x s k

s K N dx

n h s k h

τ τ

λ

τ

∞

=

− +

 

= _{ }

+  

∑

∫



untuk n→ ∞.

2. Selanjutnya dilakukan pengkajian mengenai sifat-sifat statistik dan kenormalan asimtotik, yang hasilnya sebagai berikut:

a). Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan adalah :

(

, ,

( )

)

ˆ

c n K

E λ s 2 1 2

( )

( )

2

1

( ) ( )

2

c

c n n

s

s λ h x K x dx o h

λ

−

′′

= +

∫

+

untuk n→ ∞.

b). Aproksimasi asimtotik bagi ragam adalah

( )

(

)

2

( )

1

( )

2

, , 2 ₁ 2

1 6

c c n K

n n

s

Var s K x dx

n h n h

π λ

λ ο

−

 

= _{+  }

 

∫



untuk n→ ∞.

Stewart, J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

Wheeden, R L and Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc.

Yuliawati L. 2008. Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 ( Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan

(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Defenisi A.2 (Kejadian)

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh.

(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.3 (Kejadian lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Ø).

(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.4 (Medan- )

Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian ruang contoh yang memenuhi syarat syarat berikut : 1. Ø .

2. Jika maka

3. Jika maka

(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Jadi, suatu himpunan disebut Medan- (field) jika ∅ adalah anggota , tertutup terhadap operasi union tak hingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen.

Definisi A.5 (Ukuran peluang)

Suatu ukuran peluang P pada (Ω, ) adalah suatu fungsi P: →[0,1] yang memenuhi syarat syarat berikut:

1. P(∅) = 0 dan P(Ω) = 1

Ai ∩ Aj

P( ∪

= ∅ untuk setiap pasangan i, j dengan i≠ j, maka : 1

i ∞

= Ai

1 ( )_i

i P A ∞ =

∑

) = 1 ( )_i

i P A ∞ =

∑

_{(Grimmett dan Stirzaker, 2001)} Definisi A.6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:

Secara umum himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika :

untuk setiap himpunan bagian J dari I.

(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Penduga

Definisi A.7 ( Statistika )

Statistika adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

( Hogg et al_{, 2005)} Definisi A.8 ( Penduga )

Misalkan X1, X2,….., Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2,….., Xn) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ), dilambangkan oleh g(θ). Bilamana X1= x1, X2= x2,…., Xn= xn, makan nilai U(X1, X2,….., Xn

( Hogg et al_{, 2005)} ) disebut sebagai dugaan ( estimate) bagi g(θ)

Definisi A.9 ( Penduga Tak Bias )

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g(θ), yaitu E[U(X1, X2,….., Xn

(ii) Jika

)] = g(θ), disebut penduga tak bias bagi parameter g(θ). Selainnya, pemduga di atas dikatakan berbias.

lim n→ ∞

E[U(X1, X2,….., Xn)] = g(θ) untuk n→∞, maka U(X1, X2,….., Xn

( Hogg et al_{, 2005)} ) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi g(θ)

Definisi A.10 ( Penduga konsisten )

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(θ), disebut penduga konsisten bagi g(θ)

( Hogg et al_{, 2005)} Definisi A.11 ( MSE _{suatu penduga )}

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g(θ) didefinisikan sebagai :

MSE(U) = E (U - g(θ)) Dapat ditunjukkan bahwa

2

MSE(U) = Var (U) + ( Bias (U) ) dengan Bias (U) = EU - g(θ)

2

MSE(U) = E(U - g(θ))

= E(U – EU + EU - g(θ))

2

= E(U - EU)

2 2

+ 2E(U – EU)(EU - g(θ)) + (EU - g(θ)) = E(U - EU)

2 2

+ ( EU - g(θ)) = Var (U) + ( Bias (U))

2

2

Nilai Harapan, Ragam dan Momen

Definisi A.12 (Nilai harapan)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang

( )

X

p x . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah

( )

X

( )

x

E X xp x

∀

=

∑

jika jumlah di atas konvergen mutlak.

(Hogg et al_{, 2005)} Definisi A.13 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p_X

( )

x dan nilai harapan E(X). Ragam dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau σx2, adalah

( )

(

)

(

2

)

(

( )

)

2

( )

2

x X

x

E X E X X E X xp x

σ

∀

= − =

∑

−

Definisi A.14 (Momen ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak X adalah

(Hogg et al_{, 2005)} Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X.

Definisi A.15 (Momen pusat ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah

(Hogg et al_{, 2005)} Nilai harapan dari kuadrat pebedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau varians dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X.

Definisi A.16 (Fungsi indikator)

Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi , yang diberikan oleh:

_{(Grimmett dan Stirzaker, 2001)} Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :

Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi A.17 ( (.) dan o_(.))

Simbol–simbol (.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.

(ii) Notasi u(x) = o(v(x)), , menyatakan bahwa , untuk

(Serfling, 1980)

Definisi 18 (Titik Lebesgue)

Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika berlaku

(Wheeden and Zygmund, 1977)

Lema A.1 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik x. Maka

untuk .

(Serfling, 1980)

Bukti: Lihat Serfling 1980.

Lema A.2 (Teorema Deret Taylor)

Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan