Consistency of Estimators for the Distribution Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend.
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
DONI FERNANDO PUTRA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASINYA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kekonsistenan Penduga dari
Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson
Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya sendiri dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada
perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka dibagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2012
Doni Fernando Putra
NRP G551090441
ABSTRACT
DONI FERNANDO PUTRA. Consistency of Estimators for the Distribution
Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with
Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO
BUDIARTI.
This thesis is concerned with estimation of distribution and density
functions of waiting time of a periodic Poisson process with power function trend.
The intensity function is assumed to consist of two components, namely, a
periodic component and a power function trend component. It is also assumed that
the Poisson process is observed in interval
. Let
denotes the waiting time
of -th event since the beginning of observation of the Poisson process discussed.
Estimators of the distribution function and the density function of
have been
constructed and their consistency as the length of observation interval of the
process goes to infinity have been proved. Finally some numerical results are also
presented.
Keywords : periodic Poisson process, power function trend, distribution and
density function of waiting time.
RINGKASAN
DONI FERNANDO PUTRA. Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan
Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren
Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO
BUDIARTI.
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan
dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,
banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan
banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk
setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses
stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk
menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di
periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan
fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat
digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan
pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain
sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena
serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi
pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah
proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini
dapat dirumuskan sebagai berikut
diasumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi koefisien
tidak diketahui, dengan
adalah komponen tren dengan
dan fungsi
pada titik
adalah suatu fungsi periodik, dan
. Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus
.
Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu
tunggu bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang
datang pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin,
hal ini mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil
tindakan, dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya
peristiwa serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada
tulisan ini dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu
dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren
fungsi pangkat.
Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan
penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :
dengan
dan
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
dimana
yaitu
,
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu
untuk
,
adalah barisan
.
Dari hasil pengkajian yang dilakukan, disimpulkan bahwa :
a) Jika fungsi intensitas
untuk setiap bilangan nyata
diperoleh
untuk
dan terintegralkan lokal, maka
dan untuk setiap bilangan bulat positif
b) Jika fungsi intensitas
dan terintegralkan lokal, serta
maka untuk setiap bilangan nyata
bulat positif
, diperoleh
untuk
asalkan
dan untuk setiap bilangan
merupakan titik Lebesgue dari
.
c) Berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa kualitas penduga dari fungsi
sebaran waktu tunggu pertama lebih baik dari waktu tunggu kedua untuk
ukuran
yang sama, artinya diperlukan nilai
yang lebih besar untuk waktu
tunggu kedua dibandingkan waktu tunggu pertama. Diperoleh pola penduga
yang lebih dekat ke pola sebarannya untuk pangkat 0,25 dibandingkan
pangkat 0,75.
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
DONI FERNANDO PUTRA
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS
Judul Tesis
: Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan
Tren Fungsi Pangkat
Nama
: Doni Fernando Putra
NRP
: G551090441
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
Ketua
Ir. Retno Budiarti, MS
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
Dr.Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
Tanggal Lulus :
Tanggal Ujian : 31 Januari 2012
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat”. Tesis ini
disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
program studi Matematika Terapan.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc sebagai ketua komisi pembimbing dan
Ir. Retno Budiarti, MS selaku anggota komisi pembimbing yang telah
memberikan bimbingan dan arahan dalam penyusunan tesis ini serta Dr. Ir.
Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran.
2. Ibunda tercinta, Surisdiyanti Sukandar atas doa, cinta dan dukungannya.
3. Saudara-saudara dan sahabat-sahabatku, atas doa dan dukungan semangatnya.
4. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
membantu dalam penyusunan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan tesis ini.
Oleh karena itu kritik, saran, dan masukan sangat penulis harapkan demi
penyempurnaan dan perbaikan tulisan ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
untuk semua pembaca. Amin.
Bogor, Januari 2012
Doni Fernando Putra
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Curup (Bengkulu) pada tanggal 1 Juli 1988 dari
Ayah Ibnu Hajar dan ibu Surisdiyanti Sukandar. Penulis merupakan putra pertama
dari 3 bersaudara.
Tahun 2005 Penulis lulus dari SMA Negeri 4 Curup dan pada tahun yang
sama lulus seleksi masuk Universitas Sriwijaya, Palembang, melalui jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru. Penulis diterima pada jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Persamaan Diferensial Parsial pada tahun ajaran 2008/2009. Pada tahun 2008
penulis memenangi Lomba Karya Tulis Ilmiah (Bidang IPA) tingkat Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam sebagai juara I dan pada tahun yang
sama terpilih sebagai mahasiswa berprestasi Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sriwijaya.
DAFTAR ISI
Halaman
BAB I
PENDAHULUAN …………………………………………………..…. 1
1.1 Latar Belakang ……………………………………..……..……... 1
1.2 Tujuan Penelitian ………………..……………..………..…..…... 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA …………………………………………..….... 3
2.1 Proses Poisson Periodik …………...…………………...…….….. 3
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ….….…..... 5
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson
Periodik dengan Tren Linear ……………………………...…....... 7
BAB III REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL
DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT ………....………………...….. 9
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson
dengan Tren Fungsi Pangkat ……………………………….…..... 9
3.1.1 Pendugaan ………………………………………..…....10
….………………………………......... 14
3.1.2 Pendugaan
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson
dengan Tren Fungsi Pangkat …………………………………… 19
BAB IV KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN
DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI
PANGKAT ……………………………………………………............ 29
4.1 Perumusan Penduga ……………………………………………. 29
4.2 Beberapa Lema Teknis ………………………………..………... 32
4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu
dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat ……. 49
4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi
Pangkat ……………………………………………………......... 54
4.5 Hasil Simulasi .……………………………………………......... 56
BAB V KESIMPULAN ………………………………………………..……... 61
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………..…....… 63
LAMPIRAN …………………………………………………………..……..…. 65
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25 …..…………………………. 56
2.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……………………………. 56
3.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25..………………………..…. 57
4.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……...………………………. 57
5.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……..……………………... 57
6.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25…..……..…………………. 57
7.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75…...…………………………. 58
8.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 58
9.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75…....………………………. 58
10. Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……...………………………. 58
11. Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 59
12. Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 59
DAFTAR LAMPIRAN
1.
Halaman
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ………….…………………………. 67
2.
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ……………………………………….... 68
3.
Kekonvergenan ……………………………………………………………..69
4.
Nilai Harapan, Ragam dan Momen ………………………………………...70
5.
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ……………………………………….72
6.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.25 ……………74
7.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.25 …...…………75
8.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75 ……………77
9.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.75 …...…………78
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan
dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,
banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan
banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk
setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses
stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk
menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di
periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan
fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat
digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan
pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain
sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena
serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi
pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah
proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini
dapat dirumuskan sebagai berikut
diasumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi koefisien
tidak diketahui, dengan
adalah komponen tren dengan
.
dan fungsi
pada titik
adalah suatu fungsi periodik, dan
. Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus
2
Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu tunggu
bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang datang
pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin, hal ini
mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil tindakan
dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya peristiwa
serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada tulisan ini
dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu dan fungsi
kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :
1.
Merumuskan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan
kekonsistenannya.
2.
Merumuskan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan
kekonsistenannya.
3.
Melakukan simulasi komputer untuk mempelajari perilaku penduga fungsi
sebaran bagi waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua untuk
ukuran sampel terbatas, serta mempelajari pola dugaan fungsi sebaran waktu
tunggu untuk pangkat 0,25 dan pangkat 0,75.
3
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik
Definisi 2.1 (Proses stokastik)
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
ke suatu ruang state .
(Ross, 1996)
Jika
merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik
disebut proses
disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan
stokastik dengan waktu kontinu jika
merupakan suatu interval.
Definisi 2.2 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
inkremen
bebas
jika
untuk
semua
disebut memiliki
,
peubah
acak
adalah bebas.
(Ross, 1996)
Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut
memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.
Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
inkremen stasioner jika
disebut memiliki
memiliki sebaran yang sama untuk
semua nilai .
(Ross, 1996)
Definisi 2.4 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
4
Suatu proses pencacahan
untuk semua
(i)
(ii)
harus memenuhi syarat-syarat berikut :
Nilai
(iii) Jika
(iv) Untuk
adalah integer.
maka
maka
terjadi pada interval
sama dengan banyaknya kejadian yang
.
(Ross, 1996)
Definisi 2.5 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju
,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut :
(i)
(ii)
Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan
,
.
Jadi untuk semua
(Ross, 1996)
Definisi 2.6 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi
untuk semua
disebut periodik jika :
dan
atas disebut periode dari fungsi
Konstanta terkecil
yang memenuhi persamaan di
tersebut.
(Browder, 1996)
Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik.
(Mangku, 2001)
5
2.2 Pendugaan Fungsi Intenitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Fungsi intensitas terbagi atas dua, yaitu fungsi intensitas lokal
dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses
Poisson dititik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata
laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari
suatu proses Poisson di titik
adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari
banyaknya kejadian di sekitar titik . Secara matematis, misalkan
dan
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
fungsi intensitas lokal di titik
dapat didekati dengan
maka
.
Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global
dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya
kejadian dalam interval
global pada
. Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas
dapat dinyatakan dengan
.
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik
untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya
adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest
neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode
(diketahui) (Helmers dan
Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan
metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari
penduga yang telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain, yaitu dengan
meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses
Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga laju proses Poisson
homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global
pada
Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju
tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah
6
dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson
dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya,
yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode
yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses
dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe
kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode
tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang
diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian
dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a)
dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku
2006b).
Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang
dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009),
maupun menggunakan periode ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al.
2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada
Mangku (2005).
Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang
menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan
kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan
menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat
statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam
telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari
komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), serta sifat-sifat statistik
penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji
pada Farida (2008), dan pendugaan fungsi intensitas dengan dua kasus, yaitu tren
fungsi pangkat dengan kemiringan dari tren yang diketahui dan tidak diketahui,
selain itu telah dikaji kekonvergenan sebaran asimtotik bagi fungsi periodik untuk
dua kasus tersebut pada Rachmawati (2010).
7
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Diasumsikan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson nonhomogen yang
diamati pada interval terbatas adalah terintegralkan lokal. Dirumuskan fungsi
sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu, serta penduga dari fungsi-fungsi
tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positif diperoleh bahwa penduga fungsi
sebaran waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi sebaran waktu
tunggunya, dan diperoleh juga bahwa penduga fungsi kepekatan waktu tunggu
konvergen dalam peluang terhadap fungsi kepekatan waktu tunggunya, asalkan
interval yang diamati merupakan titik Lebesgue dari fungsi intensitas, seperti yang
telah dikaji pada Mangku (2010).
8
9
BAB 3
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN
GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
Misalkan
adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
dengan fungsi intensitas
yang tidak diketahui. Fungsi
diasumsikan
terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik
(siklik) dengan periode (diketahui)
dan suatu komponen tren yang berupa
, fungsi intensitas
fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik
dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan
adalah fungsi periodik dengan periode ,
tren dimana
dan
menyatakan kemiringan
(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik
, dengan
kecuali
dan seluruh
adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren
Fungsi Pangkat
Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan untuk suatu
terdapat sebuah realisasi
ruang peluang
dari proses Poisson
periode
yang terdefinisi pada suatu
dengan fungsi intensitas seperti pada
pada interval terbatas
. Karena
, maka masalah menduga
direduksi menjadi masalah menduga
, hanya
yang diamati
adalah fungsi periodik dengan
pada titik
dengan
pada titik
dengan
dapat
.
10
Diasumsikan fungsi intensitas global bagi
pada
yaitu
merupakan nilai rata-rata dari
.
adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol,
Misalkan
yaitu
dan misalkan pula
untuk
adalah suatu fungsi bernilai real,
disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut :
(K.1)
merupakan fungsi kepekatan peluang.
(K.2)
terbatas.
(K.3)
memiliki daerah definisi pada
.
3.1.1 Pendugaan
Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh
penduga untuk
seperti berikut :
untuk
.
Untuk mendapatkan penduga
Karena
memenuhi
, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
Perhatikan suku pertama
intensitas global dari
, cukup diperlihatkan bahwa
, dengan menggunakan asumsi
maka
adalah fungsi
. Sedangkan suku kedua dari
11
adalah
. Langkah berikutnya, mengganti
dengan padanan stokastiknya yaitu
Jika kedua ruas dikalikan dengan
maka diperoleh
diperoleh
sehingga
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
dan
, sehingga
. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
maka diperoleh penduga dari , yaitu
seperti pada
.
Lema 3.1
Misalkan fungsi intensitas
untuk
, dengan
seperti
dan terintegralkan lokal, maka
Dengan kata lain,
penduga yang konsisten bagi , dengan Mean Square Error-nya adalah
untuk
.
Bukti :
Berdasarkan
dapat dihitung sebagai berikut :
merupakan
12
untuk
. Ruas kanan
Karena fungsi intensitas
adalah
seperti
, maka
untuk
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
dan
.
. Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai
Sehingga
untuk
Dengan mensubstitusikan
Ragam dari
Karena
ke
seperti pada
.
diperoleh dengan cara serupa, yaitu :
adalah proses Poisson, maka
atas dapat ditulis
, diperoleh
sehingga persamaan di
13
Karena fungsi intensitas
seperti
, maka
untuk
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
, dan
. Sehingga
untuk
pada
Dengan mensubstitusikan
, maka diperoleh
seperti
.
pada
Didefinisikan
berikut :
dimana
.
Berikutnya, substitusikan
dan
pada
, maka diperoleh
untuk
Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil
pada
maka diperoleh
seperti pada
Telah dibuktikan
Teorema 3.1 (Kekonsistenan
Penduga
dan
.
, sehingga Lema 3.1 terbukti.
)
merupakan penduga konsisten bagi , yaitu
14
untuk
.
Bukti :
Untuk membuktikan
, berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa
. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
untuk
, berarti
Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh
, ada
sehingga
. Jadi untuk membuktikan
Sehingga
bahwa
, digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga
diperoleh
Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh
untuk
sehingga diperoleh
. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.1 terbukti.
3.1.2 Pendugaan
Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi
penduga dari
pada titik
sebagai berikut :
,
dengan
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu
serta
adalah penduga bagi
seperti
adalah barisan
untuk
.
Lema 3.2
Jika fungsi intensitas
seperti
dan terintegralkan lokal, serta kernel
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan
untuk
, maka
,
15
untuk
, asalkan
adalah titik Lebesgue dari
kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan
untuk
. Jika kernel
, untuk
.
Bukti :
Berdasarkan
Dari
maka
,
dapat dihitung sebagai berikut :
dapat dimisalkan
dapat dinyatakan sebagai
Suku pertama pada ruas kanan
diperoleh sebagai berikut
untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010).
Selanjutnya, suku kedua dari ruas kanan
adalah
memenuhi
, maka
16
Dengan menggunakan
pada persamaan di atas, maka diperoleh
. Dengan mensubstitusikan
untuk
diperoleh persamaan seperti
Ragam dari
pada
, maka
.
diperoleh dengan menggunakan
Dengan memisalkan seperti
menjadi
dan
sehingga
maka persamaan di atas dapat ditulis
17
untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas
kanan
dapat ditentukan sebagai berikut
Dengan menggunakan
untuk
. Dari
pada persamaan di atas, maka diperoleh
dan
, dengan menggunakan ketaksamaan
Chauchy Schwarz, dapat diperoleh suku ketiga ruas kanan persamaan
yaitu
18
. Karena
untuk
dan
untuk
maka
untuk
sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
untuk
. Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil
pada
maka diperoleh
seperti pada
Teorema 3.2 (Kekonsistenan
Jika fungsi intensitas
.
)
seperti
dan terintegralkan lokal, serta kernel
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3),
untuk
dan
dan
, asalkan adalah titik Lebesgue dari
maka
.
Bukti :
Untuk setiap
berlaku
jika
.
Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis
sebagai berikut :
Berdasarkan
, diperoleh
kemudian untuk setiap
, ada
sehingga
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh bahwa
19
dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh
Menggunakan hasil pada
untuk
, maka
dapat dituliskan sebagai berikut
. Melihat hubungan antara persamaan di atas dan
jika
terbukti bahwa
, maka
.
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.2 terbukti.
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren
Fungsi Pangkat
Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada
interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada
pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan
menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval
matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada
dengan
. Secara
dapat dinyatakan
.
Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi fungsi
pada
tidak ketahui, didefinisikan penduga untuk
sebagai berikut
dengan
yaitu
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
dan
seperti
Teorema 3.3 (Kekonsistenan
Jika fungsi intensitas
.
)
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka
, untuk
,
20
Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5.
Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari
Jika fungsi intensitas
untuk
memenuhi
)
dan terintegralkan lokal, maka
.
Bukti :
Pertama, akan dibuktikan
sebagai nilai harapan dari
Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan
yaitu
, yaitu
dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi
Jika fungsi intensitas
memenuhi
di atas dituliskan sebagai berikut
dan terintegralkan lokal, maka persamaan
21
Berdasarkan
, suku pertama ruas kanan
menjadi
Diketahui bahwa
(Lihat Titchmarsh 1960).
jika
Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan
pada
diperoleh
jika
Kemudian perhatikan suku kedua pada ruas kanan
berikut
, maka
22
berikut,
Perhatikan salah satu komponen
jika
Dengan mensubstitusikan
pada
jika
, diperoleh
23
dan
Selanjutnya, dengan menggabungkan
, maka diperoleh
seperti berikut :
ruas kanan pada
jika
Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan
Dengan menggunakan
untuk
yaitu
maka kuantitas di atas menjadi
.
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
dan
ke
, maka diperoleh
seperti pada
.
Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti.
Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari
Jika fungsi intensitas
untuk
untuk
dan
memenuhi
)
dan terintegralkan lokal, maka
24
untuk
jika
Bukti :
Akan dibuktikan
dan
j,k = 1,2,…, maka
tumpang
tindih
. Catatan, untuk setiap
dan
overlap).
(tidak
tidak saling
dan
Sehingga
adalah bebas, untuk
Telah didefinisikan penduga bagi
dimana
.
yaitu
pada
sehingga
dapat dihitung sebagai
dengan memisalkan
Perhatikan suku pertama ruas kanan dari
yang diperlukan,
dan
Untuk kasus
jika
jika
dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu
.
diperoleh
.
Untuk kasus
.
Berdasarkan kuantitas
diperoleh
25
Untuk kasus
jika
diperoleh
.
(Lihat Yuliawati, 2008).
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan
sehingga
dapat
diperoleh sebagai berikut
pada persamaan di
Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan
atas, diperoleh persamaan berikut
.
untuk
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada
suku ketiga ruas kanan
diperoleh
sebagai berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam
tiga kasus, yaitu
Untuk kasus
dan
dan untuk
.
sehingga
26
untuk
Dengan kata lain, diperoleh
untuk
, sehingga
,
untuk
, sehingga
,
.
untuk
untuk
Dengan kata lain, diperoleh
untuk
.
Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh
, untuk
.
Dengan cara yang sama dilakukan untuk kedua kasus berikutnya, yaitu
untuk kasus
dan kasus
, untuk
. Diperoleh
, akibatnya
sehingga
, untuk
dan
dan
,
.
Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas
ke
sehingga diperoleh
yang dibedakan menjadi tiga kasus
berikut, yaitu
Untuk kasus
untuk
Untuk kasus
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
27
untuk
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
Untuk kasus
untuk
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.5 terbukti.
Bukti Teorema 3.3 :
Berdasarkan
diperoleh
atau dapat ditulis sebagai
jika
Sedangkan dari
dan
diperoleh
atau dapat ditulis juga sebagai
jika
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
yaitu bahwa untuk setiap
adalah penduga konsisten bagi ,
berlaku
jika
Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
.
28
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka
, ada
Berdasarkan
untuk setiap
menjadi
sehingga
.
Dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
Kemudian dengan melihat hubungan antara
dan
diperoleh
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan
menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh
Perhatikan, dengan menggunakan
hubungan bahwa
pada
jika
dapat ditunjukkan
.
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.3 terbukti.
29
BAB 4
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
4.1 Perumusan Penduga
Misalkan
fungsi intensitas
adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
yang tidak diketahui. Fungsi
dengan
diasumsikan terintegralkan lokal
dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan
periode (diketahui)
dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat.
, fungsi intensitas
Dengan kata lain untuk sebarang titik
dapat
dituliskan sebagai berikut :
adalah fungsi periodik dengan periode ,
dengan
tren dimana
dan
menyatakan kemiringan
(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik
, dengan
dari proses Poisson
, kita hanya memiliki sebuah realisasi
yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
fungsi intensitas seperti pada
dengan
yang diamati pada interval terbatas
. Untuk setiap bilangan nyata
berikut
dan seluruh
adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut
Misalkan untuk suatu
positif
kecuali
dan untuk suatu bilangan bulat
, diperoleh fungsi sebaran dari waktu tunggu
30
dimana
Karena
memenuhi
maka
diperoleh
Misalkan
dimana untuk setiap bilangan nyata
, maka
menunjukkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan . Maka
untuk setiap
didapatkan
dengan
. Dimisalkan
merupakan intensitas global dari
. Maka untuk setiap
dapat ditulis sebagai berikut
Untuk setiap bilangan nyata
dan untuk setiap bilangan bulat positif
diperoleh fungsi kepekatan dari waktu tunggu
, berikut
,
31
Berdasarkan
dan
, diperoleh penduga fungsi sebaran dan fungsi
kepekatan waktu tunggu secara berturut-turut dengan menggunakan data amatan
, yaitu suatu proses Poisson yang diamati pada
diberikan
sebagai berikut
dengan
dengan penduga
dengan
yaitu
untuk
seperti pada
sebagai berikut :
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,
, penduga
dan
seperti pada
dan penduga
sebagai berikut :
seperti pada
sebagai berikut :
32
adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol,
dimana
untuk
yaitu
. Berikutnya, diformulasikan penduga
sebagai
berikut :
dengan
.
4.2 Beberapa Lema Teknis
Berikut ini disajikan beberapa lema teknis. Prinsip-prinsip yang diperoleh
melalui keempat lema berikut ini digunakan sebagai salah satu alat untuk
membuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu.
Lema 4.1
Misalkan
dan
adalah barisan-barisan peubah acak, serta
adalah konstanta bilangan nyata. Jika
dan
untuk
dan
, maka
untuk
Bukti :
Misalkan
dan misalkan
dan
untuk
diberikan, maka
Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh
, dengan menggunakan Definisi L.12
33
sehingga
Dengan kata lain, terbukti bahwa
untuk
Lema 4.2
Misalkan
dan
adalah barisan-barisan peubah acak, serta
adalah konstanta bilangan nyata. Jika
dan
untuk
dan
, maka
untuk
Bukti :
Misalkan
dan misalkan
dan
untuk
, dengan menggunakan Definisi L.12
diberikan, maka
Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh
sehingga
Dengan kata lain, terbukti bahwa
untuk
34
Lema 4.3
Misalkan
dan
adalah barisan-barisan peubah acak, serta
adalah konstanta bilangan nyata. Jika
, untuk
dan
untuk
dan
, maka
.
Bukti :
Diasumsikan bahwa
dan
Berdasarkan
, dengan menggunakan
diberikan, maka
Definisi L.12 dan misalkan
Perhatikan ruas kanan dari
untuk
.
diperoleh
, sehingga
artinya
Berikutnya, berdasarkan
diperoleh
, sehingga
artinya
Berikutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
, sehingga diperoleh hubungan berikut :
ke
35
Kemudian, untuk
, diperoleh
, diperoleh
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada
artinya terbukti bahwa
sebagai berikut :
, untuk
sebagai berikut
.
Lema 4.4
Misalkan
adalah barisan-barisan peubah acak, dan
bilangan nyata. Jika
dan
adalah konstanta
adalah fungsi kontinu, maka
,
.
untuk
Bukti :
Diasumsikan
, artinya untuk
Akan dibuktikan bahwa
Perhatikan, karena
, untuk
. Artinya,
adalah fungsi kontinu, diberikan
, ada
,
sehingga
Berdasarkan
Jadi terbukti bahwa
, diperoleh
, untuk
sebagai berikut :
.
, sehingga
36
Corollary 4.1
Jika fungsi intensitas
setiap bilangan nyata
untuk
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka untuk
, diperoleh
.
Bukti :
Perhatikan bahwa,
dapat pula dinyatakan seperti berikut
Dengan kata lain, akan dibuktikan bahwa
dari
merupakan penduga konsisten
.
Berdasarkan
untuk
dan
, diperoleh hubungan berikut :
.
Berikutnya, untuk membuktikan
, dapat ditunjukkan dengan
membuktikan Lema 4.5, serta menggunakan prinsip Lema 4.1, Teorema 3.1 dan
Teorema 3.3 sebagai berikut :
Lema 4.5
Jika fungsi intensitas
memenuhi
setiap bilangan nyata
untuk
dan terintegralkan lokal, maka untuk
, diperoleh
.
Bukti :
Melalui Lema 4.5, akan dibuktikan bahwa
konsisten dari
, untuk
.
Langkah pertama, dengan menggunakan
sebagai berikut
merupakan penduga
, diperoleh nilai harapannya
37
Untuk persamaan pertama dari ruas kanan
kita dapat mengganti batas
integral sebagai berikut
Karena fungsi intensitas
memenuhi
dan terintegralkan lokal, sehingga
persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut
Perhatikan komponen pertama
dengan menggunakan
dengan menggunakan
pada persamaan di atas, diperoleh
diperoleh
38
untuk
.
Berikutnya, perhatikan komponen kedua
berikut
39
Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan persamaan di atas dan
pada
untuk
diperoleh
.
, kemudian
Perhatikan kembali persamaan kedua dari ruas kanan
dengan menggunakan
untuk
diperoleh
sebagai berikut
.
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan
dan
pada
maka diperoleh
untuk
Langkah berikutnya, dengan memisalkan
sebagai berikut
diperoleh
40
dengan
Perhatikan,
Karena
merupakan proses Poisson, maka
sehingga persamaan
di atas ditulis menjadi
Karena fungsi intensitas
memenuhi
persamaan di atas dituliskan sebagai berikut
dan terintegralkan lokal, jadi
41
Berdasarkan
, diperoleh komponen pertama
sebagai berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, sehingga
dalam tiga kasus berikut :
Untuk kasus
jika
Untuk
.
dapat dibedakan
42
jika
.
Untuk
jika
.
Berikutnya, untuk komponen kedua
diperoleh
Perhatikan salah satu komponen ruas kanan pada
, dengan menggunakan
ekspansi Taylor, diperoleh bahwa
Karena
untuk
dapat ditulis menjadi
, maka perilaku
sama dengan
. Persamaan di atas
43
Berdasarkan
, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
44
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
hubungan berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka
dalam tiga kasus berikut :
Untuk kasus
jika
.
Untuk kasus
dapat dibedakan
45
jika
.
Untuk kasus
jika
.
Berdasarkan hasil yang didapatkan dari langkah-langkah sebelumnya,
diperoleh ruas kanan
Untuk kasus
jika
.
Untuk kasus
jika
.
sebagai berikut :
46
Untuk kasus
jika
.
sebagai
Kemudian, kita lanjutkan untuk memperoleh nilai ragam dari
berikut,
Berdasarkan
jika
persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
.
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka
diperoleh
sebagai berikut
berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dibedakan dalam tiga kasus, yaitu :
Untuk
Pertama, kasus
berakibat
, karena
dan
.
dan
,
sehingga
47
Kedua, kasus
Untuk
, karena
berakibat
dan
dan
,
sehingga
.
Ketiga, kasus
Untuk
, karena
berakibat
dan
dan
,
sehingga
.
Berdasarkan
dan
, diperoleh
jika
Selanjutnya,
dengan
menggabungkan
dan
ke
yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu :
Untuk kasus
jika
.
Untuk kasus
hasil
yang
diperoleh
.
diperoleh
dari
48
jika
.
Untuk kasus
jika
.
Langkah berikutnya, untuk membuktikan Lema 4.5, dengan menggunakan
diperoleh
Berdasarkan
dan
diperoleh
adalah penduga konsisten
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
bagi
, yaitu bahwa untuk setiap
berlaku
jika
.
Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, maka
Selanjutnya, berdasarkan
untuk setiap
menjadi
, maka ada
sehingga
.
Kemudian, dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
49
Berikutnya, dengan melihat hubungan antara
dan
diperoleh
Berdasarkan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh
Perhatikan, dengan melihat hubungan
jika
dan
diperoleh bahwa
. Artinya, Lema 4.5 terbukti.
Perhatikan, dengan menggunakan Lema 4.5, Teorema 3.1, Teorema 3.3
dan prinsip Lema 4.1 untuk membuktikan Corollary 4.1, sehingga diperoleh
untuk
jika
. Terbukti bahwa
merupakan penduga konsisten dari
,
.
4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu dari Proses
Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat
Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi
sebaran waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.
Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu
masalah utama dalam penelitian ini.
Teorema 4.1
Jika fungsi intensitas
setiap bilangan nyata
untuk
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka untuk
dan untuk setiap bilangan bulat positif
diperoleh
50
Bukti :
Berdasarkan
dan
, maka diperoleh
51
Perhatikan, salah satu komponen pertama ruas kanan dari
Kemudian, dengan menggunakan deret Taylor pada ruas kanan
berikut :
, diperoleh
52
Berdasarkan Corollary 4.1, diperoleh
, untuk
.
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4, diperoleh
untuk
,
karena merupakan fungsi kontinu.
Kemudian, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 dan melihat hubungan yang
ditunjukkan pada langkah di atas, diperoleh
untuk
.
Berikutnya, perhatikan salah satu komponen kedua ruas kanan dari
berikut :
Berdasarkan langkah yang diperoleh melalui Induksi Matematika pada
untuk semua
, ditunjukkan bahwa
.
Langkah pertama, basis induksi :
Untuk
, diperoleh
53
(berdasarkan Corollary 4.1).
Langkah kedua, hipotesis induksi :
.
Diasumsikan benar bahwa
Langkah ketiga, langkah induksi :
Akan ditunjukkan bahwa
Perhatikan,
dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah pertama dan langkah
kedua, maka persamaan di atas menjadi
Karena langkah pertama sampai langkah ketiga diperlihatkan benar, sehingga
terbukti bahwa untuk semua
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan
pada
, diperoleh
hubungan berikut :
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada
dan
, maka diperoleh
54
Berdasarkan hubungan yang diperoleh dari
dan
ditunjukkan
, dengan kata lain Teorema 4.1 terbukti.
bahwa
4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari
Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat
Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi
kepekatan waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.
Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu
masalah utama dalam penelitian ini.
Teorema 4.2
Jika fungsi intensitas
memenuhi
maka untuk setiap bilangan nyata
untuk
asalkan
dan terintegralkan lokal, serta
dan bilangan bulat positif
merupakan titik Lebesgue dari
.
Bukti :
untuk
, dapat pula dinyatakan sebagai
untuk
.
, diperoleh
55
Berdasarkan
dan
pada persamaan di atas, diperoleh
Telah ditunjukkan dari langkah sebelumnya, bahwa
untuk
dan
Berdasarkan
untuk
langkah-langkah
yang
.
diperoleh
sebelumnya,
dapat
ditunjukkan sebagai berikut
Menurut Teorema 3.2, diperoleh bahwa
untuk
.
Menurut Teorema 3.1, diperoleh bahwa
untuk
.
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4 terhadap Corollary 4.1,
diperoleh hasil seperti berikut :
, untuk
, maka
, untuk
, karena
merupakan fungsi kontinu.
Berdasarkan hasil yang diperoleh seperti pada
hubungan
untuk
, dimana diperoleh
, dibuktikan bahwa
(proses pembuktian dapat ditunjukkan dengan menggunakan
induksi matematika, seperti pembuktian sebelumnya).
Berikutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.1, diperoleh bahwa
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 terhadap hasil yang
diperoleh dari langkah-langkah di atas, maka
untuk
. Teorema 4.2 terbukti.
56
4.5 Hasil Simulasi
Di sini diperlihatkan cara menentukan penduga untuk fungsi sebaran
waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua dengan menggunakan data
bangkitan dengan fungsi intensitas
dan
Data dibangkitkan pada interval
dan
untuk
dengan
,
. Kemudian dengan menggunakan pemrograman
dapat
diperoleh gambar grafik fungsi sebaran dan penduganya untuk waktu tunggu
, dan kejadian kedua ketika
kejadian pertama yaitu ketika
, sebagai
berikut :
1.0
0.8
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
1.0
Untuk
0
2
4
6
8
10
0
2
z
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
Gambar 1
, ketika
dan grid 0.05.
4
6
8
10
z
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
Gambar 2
, ketika
dan grid 0.05.
1.0
0.8
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
1.0
57
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
z
Gambar 3
, ketika
dan grid 0.05.
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
0.8
1.0
Gambar 4
, ketika
dan grid 0.05.
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
10
z
1.0
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
8
0
2
4
6
8
10
0
2
z
dan
Grafik
pada (0,10), dengan
Gambar 5
, ketika
dan grid 0.05.
4
6
8
10
z
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
Gambar 6
, ketika
dan grid 0.05.
58
0.8
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
FungsiSebaran
1.0
1.0
Untuk
0
2
4
6
8
0
10
2
4
Gambar 7
, ketika
dan grid 0.05.
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
10
Gambar 8
, ketika
dan grid 0.05.
0.8
FungsiSebaran
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
1.0
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
8
1.0
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
6
z
z
0
2
4
6
8
z
Gambar 9
Grafik
dan
, ketika
pada (0,10), dengan
dan grid 0.05.
10
0
2
4
6
8
z
Gambar 10
Grafik
dan
, ketika
pada (0,10), dengan
dan grid 0.05.
10
1.0
0.8
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
1.0
59
0
2
4
6
8
10
0
2
z
4
6
8
10
z
Gambar 11
Grafik
dan
, ketika
dan grid 0.05.
pada (0,10), dengan
Gambar 12
Grafik
dan
, ketika
pada (0,10), dengan
dan grid 0.05.
Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa suatu penduga bagi fungsi
sebaran kejadian pertama dan kejadian kedua akan mendekati sebaran yang
sebenarnya jika semakin besar panjang interval pengamatan
dengan Teorema 4.1, yaitu
Untuk pangkat
akan konvergen ke
. Hal ini sesuai
jika
.
diperoleh pola dugaan yang lebih dekat terhadap pola
fungsi sebarannya dibandingkan pangkat
.
60
61
BAB 5
KESIMPULAN
Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi sebaran dan
fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi
pangkat. Diformulasikan fungsi intensitas dengan komponen tren fungsi pangkat
sebagai berikut :
diasumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi koefisien
dan fungsi
pada titik
tidak diketahui.
Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan
penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :
dengan
dan
62
dimana
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
yaitu
,
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu
untuk
,
ad
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
DONI FERNANDO PUTRA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASINYA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kekonsistenan Penduga dari
Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson
Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya sendiri dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada
perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka dibagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2012
Doni Fernando Putra
NRP G551090441
ABSTRACT
DONI FERNANDO PUTRA. Consistency of Estimators for the Distribution
Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with
Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO
BUDIARTI.
This thesis is concerned with estimation of distribution and density
functions of waiting time of a periodic Poisson process with power function trend.
The intensity function is assumed to consist of two components, namely, a
periodic component and a power function trend component. It is also assumed that
the Poisson process is observed in interval
. Let
denotes the waiting time
of -th event since the beginning of observation of the Poisson process discussed.
Estimators of the distribution function and the density function of
have been
constructed and their consistency as the length of observation interval of the
process goes to infinity have been proved. Finally some numerical results are also
presented.
Keywords : periodic Poisson process, power function trend, distribution and
density function of waiting time.
RINGKASAN
DONI FERNANDO PUTRA. Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan
Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren
Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO
BUDIARTI.
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan
dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,
banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan
banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk
setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses
stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk
menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di
periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan
fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat
digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan
pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain
sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena
serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi
pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah
proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini
dapat dirumuskan sebagai berikut
diasumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi koefisien
tidak diketahui, dengan
adalah komponen tren dengan
dan fungsi
pada titik
adalah suatu fungsi periodik, dan
. Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus
.
Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu
tunggu bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang
datang pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin,
hal ini mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil
tindakan, dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya
peristiwa serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada
tulisan ini dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu
dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren
fungsi pangkat.
Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan
penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :
dengan
dan
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
dimana
yaitu
,
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu
untuk
,
adalah barisan
.
Dari hasil pengkajian yang dilakukan, disimpulkan bahwa :
a) Jika fungsi intensitas
untuk setiap bilangan nyata
diperoleh
untuk
dan terintegralkan lokal, maka
dan untuk setiap bilangan bulat positif
b) Jika fungsi intensitas
dan terintegralkan lokal, serta
maka untuk setiap bilangan nyata
bulat positif
, diperoleh
untuk
asalkan
dan untuk setiap bilangan
merupakan titik Lebesgue dari
.
c) Berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa kualitas penduga dari fungsi
sebaran waktu tunggu pertama lebih baik dari waktu tunggu kedua untuk
ukuran
yang sama, artinya diperlukan nilai
yang lebih besar untuk waktu
tunggu kedua dibandingkan waktu tunggu pertama. Diperoleh pola penduga
yang lebih dekat ke pola sebarannya untuk pangkat 0,25 dibandingkan
pangkat 0,75.
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
DONI FERNANDO PUTRA
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS
Judul Tesis
: Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan
Tren Fungsi Pangkat
Nama
: Doni Fernando Putra
NRP
: G551090441
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
Ketua
Ir. Retno Budiarti, MS
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
Dr.Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
Tanggal Lulus :
Tanggal Ujian : 31 Januari 2012
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat”. Tesis ini
disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
program studi Matematika Terapan.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc sebagai ketua komisi pembimbing dan
Ir. Retno Budiarti, MS selaku anggota komisi pembimbing yang telah
memberikan bimbingan dan arahan dalam penyusunan tesis ini serta Dr. Ir.
Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran.
2. Ibunda tercinta, Surisdiyanti Sukandar atas doa, cinta dan dukungannya.
3. Saudara-saudara dan sahabat-sahabatku, atas doa dan dukungan semangatnya.
4. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
membantu dalam penyusunan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan tesis ini.
Oleh karena itu kritik, saran, dan masukan sangat penulis harapkan demi
penyempurnaan dan perbaikan tulisan ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
untuk semua pembaca. Amin.
Bogor, Januari 2012
Doni Fernando Putra
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Curup (Bengkulu) pada tanggal 1 Juli 1988 dari
Ayah Ibnu Hajar dan ibu Surisdiyanti Sukandar. Penulis merupakan putra pertama
dari 3 bersaudara.
Tahun 2005 Penulis lulus dari SMA Negeri 4 Curup dan pada tahun yang
sama lulus seleksi masuk Universitas Sriwijaya, Palembang, melalui jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru. Penulis diterima pada jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Persamaan Diferensial Parsial pada tahun ajaran 2008/2009. Pada tahun 2008
penulis memenangi Lomba Karya Tulis Ilmiah (Bidang IPA) tingkat Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam sebagai juara I dan pada tahun yang
sama terpilih sebagai mahasiswa berprestasi Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sriwijaya.
DAFTAR ISI
Halaman
BAB I
PENDAHULUAN …………………………………………………..…. 1
1.1 Latar Belakang ……………………………………..……..……... 1
1.2 Tujuan Penelitian ………………..……………..………..…..…... 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA …………………………………………..….... 3
2.1 Proses Poisson Periodik …………...…………………...…….….. 3
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ….….…..... 5
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson
Periodik dengan Tren Linear ……………………………...…....... 7
BAB III REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL
DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT ………....………………...….. 9
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson
dengan Tren Fungsi Pangkat ……………………………….…..... 9
3.1.1 Pendugaan ………………………………………..…....10
….………………………………......... 14
3.1.2 Pendugaan
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson
dengan Tren Fungsi Pangkat …………………………………… 19
BAB IV KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN
DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI
PANGKAT ……………………………………………………............ 29
4.1 Perumusan Penduga ……………………………………………. 29
4.2 Beberapa Lema Teknis ………………………………..………... 32
4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu
dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat ……. 49
4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi
Pangkat ……………………………………………………......... 54
4.5 Hasil Simulasi .……………………………………………......... 56
BAB V KESIMPULAN ………………………………………………..……... 61
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………..…....… 63
LAMPIRAN …………………………………………………………..……..…. 65
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25 …..…………………………. 56
2.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……………………………. 56
3.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25..………………………..…. 57
4.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……...………………………. 57
5.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……..……………………... 57
6.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.25…..……..…………………. 57
7.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75…...…………………………. 58
8.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 58
9.
Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75…....………………………. 58
10. Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……...………………………. 58
11. Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 59
12. Grafik
dengan
dan
, ketika
pada (0,10),
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 59
DAFTAR LAMPIRAN
1.
Halaman
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ………….…………………………. 67
2.
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ……………………………………….... 68
3.
Kekonvergenan ……………………………………………………………..69
4.
Nilai Harapan, Ragam dan Momen ………………………………………...70
5.
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ……………………………………….72
6.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.25 ……………74
7.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.25 …...…………75
8.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75 ……………77
9.
Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.75 …...…………78
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan
dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,
banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan
banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk
setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses
stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk
menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di
periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan
fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat
digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan
pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain
sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena
serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi
pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah
proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini
dapat dirumuskan sebagai berikut
diasumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi koefisien
tidak diketahui, dengan
adalah komponen tren dengan
.
dan fungsi
pada titik
adalah suatu fungsi periodik, dan
. Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus
2
Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu tunggu
bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang datang
pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin, hal ini
mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil tindakan
dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya peristiwa
serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada tulisan ini
dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu dan fungsi
kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :
1.
Merumuskan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan
kekonsistenannya.
2.
Merumuskan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan
kekonsistenannya.
3.
Melakukan simulasi komputer untuk mempelajari perilaku penduga fungsi
sebaran bagi waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua untuk
ukuran sampel terbatas, serta mempelajari pola dugaan fungsi sebaran waktu
tunggu untuk pangkat 0,25 dan pangkat 0,75.
3
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik
Definisi 2.1 (Proses stokastik)
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
ke suatu ruang state .
(Ross, 1996)
Jika
merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik
disebut proses
disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan
stokastik dengan waktu kontinu jika
merupakan suatu interval.
Definisi 2.2 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
inkremen
bebas
jika
untuk
semua
disebut memiliki
,
peubah
acak
adalah bebas.
(Ross, 1996)
Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut
memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.
Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
inkremen stasioner jika
disebut memiliki
memiliki sebaran yang sama untuk
semua nilai .
(Ross, 1996)
Definisi 2.4 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
4
Suatu proses pencacahan
untuk semua
(i)
(ii)
harus memenuhi syarat-syarat berikut :
Nilai
(iii) Jika
(iv) Untuk
adalah integer.
maka
maka
terjadi pada interval
sama dengan banyaknya kejadian yang
.
(Ross, 1996)
Definisi 2.5 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju
,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut :
(i)
(ii)
Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan
,
.
Jadi untuk semua
(Ross, 1996)
Definisi 2.6 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi
untuk semua
disebut periodik jika :
dan
atas disebut periode dari fungsi
Konstanta terkecil
yang memenuhi persamaan di
tersebut.
(Browder, 1996)
Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik.
(Mangku, 2001)
5
2.2 Pendugaan Fungsi Intenitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Fungsi intensitas terbagi atas dua, yaitu fungsi intensitas lokal
dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses
Poisson dititik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata
laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari
suatu proses Poisson di titik
adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari
banyaknya kejadian di sekitar titik . Secara matematis, misalkan
dan
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
fungsi intensitas lokal di titik
dapat didekati dengan
maka
.
Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global
dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya
kejadian dalam interval
global pada
. Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas
dapat dinyatakan dengan
.
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik
untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya
adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest
neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode
(diketahui) (Helmers dan
Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan
metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari
penduga yang telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain, yaitu dengan
meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses
Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga laju proses Poisson
homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global
pada
Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju
tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah
6
dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson
dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya,
yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode
yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses
dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe
kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode
tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang
diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian
dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a)
dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku
2006b).
Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang
dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009),
maupun menggunakan periode ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al.
2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada
Mangku (2005).
Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang
menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan
kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan
menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat
statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam
telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari
komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), serta sifat-sifat statistik
penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji
pada Farida (2008), dan pendugaan fungsi intensitas dengan dua kasus, yaitu tren
fungsi pangkat dengan kemiringan dari tren yang diketahui dan tidak diketahui,
selain itu telah dikaji kekonvergenan sebaran asimtotik bagi fungsi periodik untuk
dua kasus tersebut pada Rachmawati (2010).
7
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Diasumsikan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson nonhomogen yang
diamati pada interval terbatas adalah terintegralkan lokal. Dirumuskan fungsi
sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu, serta penduga dari fungsi-fungsi
tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positif diperoleh bahwa penduga fungsi
sebaran waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi sebaran waktu
tunggunya, dan diperoleh juga bahwa penduga fungsi kepekatan waktu tunggu
konvergen dalam peluang terhadap fungsi kepekatan waktu tunggunya, asalkan
interval yang diamati merupakan titik Lebesgue dari fungsi intensitas, seperti yang
telah dikaji pada Mangku (2010).
8
9
BAB 3
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN
GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
Misalkan
adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
dengan fungsi intensitas
yang tidak diketahui. Fungsi
diasumsikan
terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik
(siklik) dengan periode (diketahui)
dan suatu komponen tren yang berupa
, fungsi intensitas
fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik
dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan
adalah fungsi periodik dengan periode ,
tren dimana
dan
menyatakan kemiringan
(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik
, dengan
kecuali
dan seluruh
adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren
Fungsi Pangkat
Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan untuk suatu
terdapat sebuah realisasi
ruang peluang
dari proses Poisson
periode
yang terdefinisi pada suatu
dengan fungsi intensitas seperti pada
pada interval terbatas
. Karena
, maka masalah menduga
direduksi menjadi masalah menduga
, hanya
yang diamati
adalah fungsi periodik dengan
pada titik
dengan
pada titik
dengan
dapat
.
10
Diasumsikan fungsi intensitas global bagi
pada
yaitu
merupakan nilai rata-rata dari
.
adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol,
Misalkan
yaitu
dan misalkan pula
untuk
adalah suatu fungsi bernilai real,
disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut :
(K.1)
merupakan fungsi kepekatan peluang.
(K.2)
terbatas.
(K.3)
memiliki daerah definisi pada
.
3.1.1 Pendugaan
Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh
penduga untuk
seperti berikut :
untuk
.
Untuk mendapatkan penduga
Karena
memenuhi
, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
Perhatikan suku pertama
intensitas global dari
, cukup diperlihatkan bahwa
, dengan menggunakan asumsi
maka
adalah fungsi
. Sedangkan suku kedua dari
11
adalah
. Langkah berikutnya, mengganti
dengan padanan stokastiknya yaitu
Jika kedua ruas dikalikan dengan
maka diperoleh
diperoleh
sehingga
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
dan
, sehingga
. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
maka diperoleh penduga dari , yaitu
seperti pada
.
Lema 3.1
Misalkan fungsi intensitas
untuk
, dengan
seperti
dan terintegralkan lokal, maka
Dengan kata lain,
penduga yang konsisten bagi , dengan Mean Square Error-nya adalah
untuk
.
Bukti :
Berdasarkan
dapat dihitung sebagai berikut :
merupakan
12
untuk
. Ruas kanan
Karena fungsi intensitas
adalah
seperti
, maka
untuk
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
dan
.
. Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai
Sehingga
untuk
Dengan mensubstitusikan
Ragam dari
Karena
ke
seperti pada
.
diperoleh dengan cara serupa, yaitu :
adalah proses Poisson, maka
atas dapat ditulis
, diperoleh
sehingga persamaan di
13
Karena fungsi intensitas
seperti
, maka
untuk
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
, dan
. Sehingga
untuk
pada
Dengan mensubstitusikan
, maka diperoleh
seperti
.
pada
Didefinisikan
berikut :
dimana
.
Berikutnya, substitusikan
dan
pada
, maka diperoleh
untuk
Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil
pada
maka diperoleh
seperti pada
Telah dibuktikan
Teorema 3.1 (Kekonsistenan
Penduga
dan
.
, sehingga Lema 3.1 terbukti.
)
merupakan penduga konsisten bagi , yaitu
14
untuk
.
Bukti :
Untuk membuktikan
, berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa
. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
untuk
, berarti
Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh
, ada
sehingga
. Jadi untuk membuktikan
Sehingga
bahwa
, digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga
diperoleh
Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh
untuk
sehingga diperoleh
. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.1 terbukti.
3.1.2 Pendugaan
Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi
penduga dari
pada titik
sebagai berikut :
,
dengan
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu
serta
adalah penduga bagi
seperti
adalah barisan
untuk
.
Lema 3.2
Jika fungsi intensitas
seperti
dan terintegralkan lokal, serta kernel
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan
untuk
, maka
,
15
untuk
, asalkan
adalah titik Lebesgue dari
kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan
untuk
. Jika kernel
, untuk
.
Bukti :
Berdasarkan
Dari
maka
,
dapat dihitung sebagai berikut :
dapat dimisalkan
dapat dinyatakan sebagai
Suku pertama pada ruas kanan
diperoleh sebagai berikut
untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010).
Selanjutnya, suku kedua dari ruas kanan
adalah
memenuhi
, maka
16
Dengan menggunakan
pada persamaan di atas, maka diperoleh
. Dengan mensubstitusikan
untuk
diperoleh persamaan seperti
Ragam dari
pada
, maka
.
diperoleh dengan menggunakan
Dengan memisalkan seperti
menjadi
dan
sehingga
maka persamaan di atas dapat ditulis
17
untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas
kanan
dapat ditentukan sebagai berikut
Dengan menggunakan
untuk
. Dari
pada persamaan di atas, maka diperoleh
dan
, dengan menggunakan ketaksamaan
Chauchy Schwarz, dapat diperoleh suku ketiga ruas kanan persamaan
yaitu
18
. Karena
untuk
dan
untuk
maka
untuk
sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
untuk
. Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil
pada
maka diperoleh
seperti pada
Teorema 3.2 (Kekonsistenan
Jika fungsi intensitas
.
)
seperti
dan terintegralkan lokal, serta kernel
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3),
untuk
dan
dan
, asalkan adalah titik Lebesgue dari
maka
.
Bukti :
Untuk setiap
berlaku
jika
.
Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis
sebagai berikut :
Berdasarkan
, diperoleh
kemudian untuk setiap
, ada
sehingga
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh bahwa
19
dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh
Menggunakan hasil pada
untuk
, maka
dapat dituliskan sebagai berikut
. Melihat hubungan antara persamaan di atas dan
jika
terbukti bahwa
, maka
.
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.2 terbukti.
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren
Fungsi Pangkat
Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada
interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada
pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan
menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval
matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada
dengan
. Secara
dapat dinyatakan
.
Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi fungsi
pada
tidak ketahui, didefinisikan penduga untuk
sebagai berikut
dengan
yaitu
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
dan
seperti
Teorema 3.3 (Kekonsistenan
Jika fungsi intensitas
.
)
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka
, untuk
,
20
Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5.
Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari
Jika fungsi intensitas
untuk
memenuhi
)
dan terintegralkan lokal, maka
.
Bukti :
Pertama, akan dibuktikan
sebagai nilai harapan dari
Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan
yaitu
, yaitu
dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi
Jika fungsi intensitas
memenuhi
di atas dituliskan sebagai berikut
dan terintegralkan lokal, maka persamaan
21
Berdasarkan
, suku pertama ruas kanan
menjadi
Diketahui bahwa
(Lihat Titchmarsh 1960).
jika
Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan
pada
diperoleh
jika
Kemudian perhatikan suku kedua pada ruas kanan
berikut
, maka
22
berikut,
Perhatikan salah satu komponen
jika
Dengan mensubstitusikan
pada
jika
, diperoleh
23
dan
Selanjutnya, dengan menggabungkan
, maka diperoleh
seperti berikut :
ruas kanan pada
jika
Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan
Dengan menggunakan
untuk
yaitu
maka kuantitas di atas menjadi
.
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
dan
ke
, maka diperoleh
seperti pada
.
Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti.
Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari
Jika fungsi intensitas
untuk
untuk
dan
memenuhi
)
dan terintegralkan lokal, maka
24
untuk
jika
Bukti :
Akan dibuktikan
dan
j,k = 1,2,…, maka
tumpang
tindih
. Catatan, untuk setiap
dan
overlap).
(tidak
tidak saling
dan
Sehingga
adalah bebas, untuk
Telah didefinisikan penduga bagi
dimana
.
yaitu
pada
sehingga
dapat dihitung sebagai
dengan memisalkan
Perhatikan suku pertama ruas kanan dari
yang diperlukan,
dan
Untuk kasus
jika
jika
dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu
.
diperoleh
.
Untuk kasus
.
Berdasarkan kuantitas
diperoleh
25
Untuk kasus
jika
diperoleh
.
(Lihat Yuliawati, 2008).
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan
sehingga
dapat
diperoleh sebagai berikut
pada persamaan di
Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan
atas, diperoleh persamaan berikut
.
untuk
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada
suku ketiga ruas kanan
diperoleh
sebagai berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam
tiga kasus, yaitu
Untuk kasus
dan
dan untuk
.
sehingga
26
untuk
Dengan kata lain, diperoleh
untuk
, sehingga
,
untuk
, sehingga
,
.
untuk
untuk
Dengan kata lain, diperoleh
untuk
.
Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh
, untuk
.
Dengan cara yang sama dilakukan untuk kedua kasus berikutnya, yaitu
untuk kasus
dan kasus
, untuk
. Diperoleh
, akibatnya
sehingga
, untuk
dan
dan
,
.
Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas
ke
sehingga diperoleh
yang dibedakan menjadi tiga kasus
berikut, yaitu
Untuk kasus
untuk
Untuk kasus
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
27
untuk
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
Untuk kasus
untuk
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.5 terbukti.
Bukti Teorema 3.3 :
Berdasarkan
diperoleh
atau dapat ditulis sebagai
jika
Sedangkan dari
dan
diperoleh
atau dapat ditulis juga sebagai
jika
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
yaitu bahwa untuk setiap
adalah penduga konsisten bagi ,
berlaku
jika
Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
.
28
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka
, ada
Berdasarkan
untuk setiap
menjadi
sehingga
.
Dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
Kemudian dengan melihat hubungan antara
dan
diperoleh
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan
menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh
Perhatikan, dengan menggunakan
hubungan bahwa
pada
jika
dapat ditunjukkan
.
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.3 terbukti.
29
BAB 4
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
4.1 Perumusan Penduga
Misalkan
fungsi intensitas
adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
yang tidak diketahui. Fungsi
dengan
diasumsikan terintegralkan lokal
dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan
periode (diketahui)
dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat.
, fungsi intensitas
Dengan kata lain untuk sebarang titik
dapat
dituliskan sebagai berikut :
adalah fungsi periodik dengan periode ,
dengan
tren dimana
dan
menyatakan kemiringan
(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik
, dengan
dari proses Poisson
, kita hanya memiliki sebuah realisasi
yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
fungsi intensitas seperti pada
dengan
yang diamati pada interval terbatas
. Untuk setiap bilangan nyata
berikut
dan seluruh
adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut
Misalkan untuk suatu
positif
kecuali
dan untuk suatu bilangan bulat
, diperoleh fungsi sebaran dari waktu tunggu
30
dimana
Karena
memenuhi
maka
diperoleh
Misalkan
dimana untuk setiap bilangan nyata
, maka
menunjukkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan . Maka
untuk setiap
didapatkan
dengan
. Dimisalkan
merupakan intensitas global dari
. Maka untuk setiap
dapat ditulis sebagai berikut
Untuk setiap bilangan nyata
dan untuk setiap bilangan bulat positif
diperoleh fungsi kepekatan dari waktu tunggu
, berikut
,
31
Berdasarkan
dan
, diperoleh penduga fungsi sebaran dan fungsi
kepekatan waktu tunggu secara berturut-turut dengan menggunakan data amatan
, yaitu suatu proses Poisson yang diamati pada
diberikan
sebagai berikut
dengan
dengan penduga
dengan
yaitu
untuk
seperti pada
sebagai berikut :
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,
, penduga
dan
seperti pada
dan penduga
sebagai berikut :
seperti pada
sebagai berikut :
32
adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol,
dimana
untuk
yaitu
. Berikutnya, diformulasikan penduga
sebagai
berikut :
dengan
.
4.2 Beberapa Lema Teknis
Berikut ini disajikan beberapa lema teknis. Prinsip-prinsip yang diperoleh
melalui keempat lema berikut ini digunakan sebagai salah satu alat untuk
membuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu.
Lema 4.1
Misalkan
dan
adalah barisan-barisan peubah acak, serta
adalah konstanta bilangan nyata. Jika
dan
untuk
dan
, maka
untuk
Bukti :
Misalkan
dan misalkan
dan
untuk
diberikan, maka
Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh
, dengan menggunakan Definisi L.12
33
sehingga
Dengan kata lain, terbukti bahwa
untuk
Lema 4.2
Misalkan
dan
adalah barisan-barisan peubah acak, serta
adalah konstanta bilangan nyata. Jika
dan
untuk
dan
, maka
untuk
Bukti :
Misalkan
dan misalkan
dan
untuk
, dengan menggunakan Definisi L.12
diberikan, maka
Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh
sehingga
Dengan kata lain, terbukti bahwa
untuk
34
Lema 4.3
Misalkan
dan
adalah barisan-barisan peubah acak, serta
adalah konstanta bilangan nyata. Jika
, untuk
dan
untuk
dan
, maka
.
Bukti :
Diasumsikan bahwa
dan
Berdasarkan
, dengan menggunakan
diberikan, maka
Definisi L.12 dan misalkan
Perhatikan ruas kanan dari
untuk
.
diperoleh
, sehingga
artinya
Berikutnya, berdasarkan
diperoleh
, sehingga
artinya
Berikutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
, sehingga diperoleh hubungan berikut :
ke
35
Kemudian, untuk
, diperoleh
, diperoleh
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada
artinya terbukti bahwa
sebagai berikut :
, untuk
sebagai berikut
.
Lema 4.4
Misalkan
adalah barisan-barisan peubah acak, dan
bilangan nyata. Jika
dan
adalah konstanta
adalah fungsi kontinu, maka
,
.
untuk
Bukti :
Diasumsikan
, artinya untuk
Akan dibuktikan bahwa
Perhatikan, karena
, untuk
. Artinya,
adalah fungsi kontinu, diberikan
, ada
,
sehingga
Berdasarkan
Jadi terbukti bahwa
, diperoleh
, untuk
sebagai berikut :
.
, sehingga
36
Corollary 4.1
Jika fungsi intensitas
setiap bilangan nyata
untuk
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka untuk
, diperoleh
.
Bukti :
Perhatikan bahwa,
dapat pula dinyatakan seperti berikut
Dengan kata lain, akan dibuktikan bahwa
dari
merupakan penduga konsisten
.
Berdasarkan
untuk
dan
, diperoleh hubungan berikut :
.
Berikutnya, untuk membuktikan
, dapat ditunjukkan dengan
membuktikan Lema 4.5, serta menggunakan prinsip Lema 4.1, Teorema 3.1 dan
Teorema 3.3 sebagai berikut :
Lema 4.5
Jika fungsi intensitas
memenuhi
setiap bilangan nyata
untuk
dan terintegralkan lokal, maka untuk
, diperoleh
.
Bukti :
Melalui Lema 4.5, akan dibuktikan bahwa
konsisten dari
, untuk
.
Langkah pertama, dengan menggunakan
sebagai berikut
merupakan penduga
, diperoleh nilai harapannya
37
Untuk persamaan pertama dari ruas kanan
kita dapat mengganti batas
integral sebagai berikut
Karena fungsi intensitas
memenuhi
dan terintegralkan lokal, sehingga
persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut
Perhatikan komponen pertama
dengan menggunakan
dengan menggunakan
pada persamaan di atas, diperoleh
diperoleh
38
untuk
.
Berikutnya, perhatikan komponen kedua
berikut
39
Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan persamaan di atas dan
pada
untuk
diperoleh
.
, kemudian
Perhatikan kembali persamaan kedua dari ruas kanan
dengan menggunakan
untuk
diperoleh
sebagai berikut
.
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan
dan
pada
maka diperoleh
untuk
Langkah berikutnya, dengan memisalkan
sebagai berikut
diperoleh
40
dengan
Perhatikan,
Karena
merupakan proses Poisson, maka
sehingga persamaan
di atas ditulis menjadi
Karena fungsi intensitas
memenuhi
persamaan di atas dituliskan sebagai berikut
dan terintegralkan lokal, jadi
41
Berdasarkan
, diperoleh komponen pertama
sebagai berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, sehingga
dalam tiga kasus berikut :
Untuk kasus
jika
Untuk
.
dapat dibedakan
42
jika
.
Untuk
jika
.
Berikutnya, untuk komponen kedua
diperoleh
Perhatikan salah satu komponen ruas kanan pada
, dengan menggunakan
ekspansi Taylor, diperoleh bahwa
Karena
untuk
dapat ditulis menjadi
, maka perilaku
sama dengan
. Persamaan di atas
43
Berdasarkan
, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
44
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
hubungan berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka
dalam tiga kasus berikut :
Untuk kasus
jika
.
Untuk kasus
dapat dibedakan
45
jika
.
Untuk kasus
jika
.
Berdasarkan hasil yang didapatkan dari langkah-langkah sebelumnya,
diperoleh ruas kanan
Untuk kasus
jika
.
Untuk kasus
jika
.
sebagai berikut :
46
Untuk kasus
jika
.
sebagai
Kemudian, kita lanjutkan untuk memperoleh nilai ragam dari
berikut,
Berdasarkan
jika
persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
.
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka
diperoleh
sebagai berikut
berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dibedakan dalam tiga kasus, yaitu :
Untuk
Pertama, kasus
berakibat
, karena
dan
.
dan
,
sehingga
47
Kedua, kasus
Untuk
, karena
berakibat
dan
dan
,
sehingga
.
Ketiga, kasus
Untuk
, karena
berakibat
dan
dan
,
sehingga
.
Berdasarkan
dan
, diperoleh
jika
Selanjutnya,
dengan
menggabungkan
dan
ke
yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu :
Untuk kasus
jika
.
Untuk kasus
hasil
yang
diperoleh
.
diperoleh
dari
48
jika
.
Untuk kasus
jika
.
Langkah berikutnya, untuk membuktikan Lema 4.5, dengan menggunakan
diperoleh
Berdasarkan
dan
diperoleh
adalah penduga konsisten
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
bagi
, yaitu bahwa untuk setiap
berlaku
jika
.
Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, maka
Selanjutnya, berdasarkan
untuk setiap
menjadi
, maka ada
sehingga
.
Kemudian, dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
49
Berikutnya, dengan melihat hubungan antara
dan
diperoleh
Berdasarkan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh
Perhatikan, dengan melihat hubungan
jika
dan
diperoleh bahwa
. Artinya, Lema 4.5 terbukti.
Perhatikan, dengan menggunakan Lema 4.5, Teorema 3.1, Teorema 3.3
dan prinsip Lema 4.1 untuk membuktikan Corollary 4.1, sehingga diperoleh
untuk
jika
. Terbukti bahwa
merupakan penduga konsisten dari
,
.
4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu dari Proses
Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat
Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi
sebaran waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.
Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu
masalah utama dalam penelitian ini.
Teorema 4.1
Jika fungsi intensitas
setiap bilangan nyata
untuk
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka untuk
dan untuk setiap bilangan bulat positif
diperoleh
50
Bukti :
Berdasarkan
dan
, maka diperoleh
51
Perhatikan, salah satu komponen pertama ruas kanan dari
Kemudian, dengan menggunakan deret Taylor pada ruas kanan
berikut :
, diperoleh
52
Berdasarkan Corollary 4.1, diperoleh
, untuk
.
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4, diperoleh
untuk
,
karena merupakan fungsi kontinu.
Kemudian, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 dan melihat hubungan yang
ditunjukkan pada langkah di atas, diperoleh
untuk
.
Berikutnya, perhatikan salah satu komponen kedua ruas kanan dari
berikut :
Berdasarkan langkah yang diperoleh melalui Induksi Matematika pada
untuk semua
, ditunjukkan bahwa
.
Langkah pertama, basis induksi :
Untuk
, diperoleh
53
(berdasarkan Corollary 4.1).
Langkah kedua, hipotesis induksi :
.
Diasumsikan benar bahwa
Langkah ketiga, langkah induksi :
Akan ditunjukkan bahwa
Perhatikan,
dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah pertama dan langkah
kedua, maka persamaan di atas menjadi
Karena langkah pertama sampai langkah ketiga diperlihatkan benar, sehingga
terbukti bahwa untuk semua
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan
pada
, diperoleh
hubungan berikut :
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada
dan
, maka diperoleh
54
Berdasarkan hubungan yang diperoleh dari
dan
ditunjukkan
, dengan kata lain Teorema 4.1 terbukti.
bahwa
4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari
Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat
Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi
kepekatan waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.
Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu
masalah utama dalam penelitian ini.
Teorema 4.2
Jika fungsi intensitas
memenuhi
maka untuk setiap bilangan nyata
untuk
asalkan
dan terintegralkan lokal, serta
dan bilangan bulat positif
merupakan titik Lebesgue dari
.
Bukti :
untuk
, dapat pula dinyatakan sebagai
untuk
.
, diperoleh
55
Berdasarkan
dan
pada persamaan di atas, diperoleh
Telah ditunjukkan dari langkah sebelumnya, bahwa
untuk
dan
Berdasarkan
untuk
langkah-langkah
yang
.
diperoleh
sebelumnya,
dapat
ditunjukkan sebagai berikut
Menurut Teorema 3.2, diperoleh bahwa
untuk
.
Menurut Teorema 3.1, diperoleh bahwa
untuk
.
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4 terhadap Corollary 4.1,
diperoleh hasil seperti berikut :
, untuk
, maka
, untuk
, karena
merupakan fungsi kontinu.
Berdasarkan hasil yang diperoleh seperti pada
hubungan
untuk
, dimana diperoleh
, dibuktikan bahwa
(proses pembuktian dapat ditunjukkan dengan menggunakan
induksi matematika, seperti pembuktian sebelumnya).
Berikutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.1, diperoleh bahwa
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 terhadap hasil yang
diperoleh dari langkah-langkah di atas, maka
untuk
. Teorema 4.2 terbukti.
56
4.5 Hasil Simulasi
Di sini diperlihatkan cara menentukan penduga untuk fungsi sebaran
waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua dengan menggunakan data
bangkitan dengan fungsi intensitas
dan
Data dibangkitkan pada interval
dan
untuk
dengan
,
. Kemudian dengan menggunakan pemrograman
dapat
diperoleh gambar grafik fungsi sebaran dan penduganya untuk waktu tunggu
, dan kejadian kedua ketika
kejadian pertama yaitu ketika
, sebagai
berikut :
1.0
0.8
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
1.0
Untuk
0
2
4
6
8
10
0
2
z
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
Gambar 1
, ketika
dan grid 0.05.
4
6
8
10
z
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
Gambar 2
, ketika
dan grid 0.05.
1.0
0.8
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
1.0
57
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
z
Gambar 3
, ketika
dan grid 0.05.
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
0.8
1.0
Gambar 4
, ketika
dan grid 0.05.
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
10
z
1.0
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
8
0
2
4
6
8
10
0
2
z
dan
Grafik
pada (0,10), dengan
Gambar 5
, ketika
dan grid 0.05.
4
6
8
10
z
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
Gambar 6
, ketika
dan grid 0.05.
58
0.8
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
FungsiSebaran
1.0
1.0
Untuk
0
2
4
6
8
0
10
2
4
Gambar 7
, ketika
dan grid 0.05.
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
10
Gambar 8
, ketika
dan grid 0.05.
0.8
FungsiSebaran
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
1.0
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
8
1.0
Grafik
dan
pada (0,10), dengan
6
z
z
0
2
4
6
8
z
Gambar 9
Grafik
dan
, ketika
pada (0,10), dengan
dan grid 0.05.
10
0
2
4
6
8
z
Gambar 10
Grafik
dan
, ketika
pada (0,10), dengan
dan grid 0.05.
10
1.0
0.8
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.6
FungsiSebaran
0.8
0.6
0.4
FungsiSebaran
1.0
59
0
2
4
6
8
10
0
2
z
4
6
8
10
z
Gambar 11
Grafik
dan
, ketika
dan grid 0.05.
pada (0,10), dengan
Gambar 12
Grafik
dan
, ketika
pada (0,10), dengan
dan grid 0.05.
Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa suatu penduga bagi fungsi
sebaran kejadian pertama dan kejadian kedua akan mendekati sebaran yang
sebenarnya jika semakin besar panjang interval pengamatan
dengan Teorema 4.1, yaitu
Untuk pangkat
akan konvergen ke
. Hal ini sesuai
jika
.
diperoleh pola dugaan yang lebih dekat terhadap pola
fungsi sebarannya dibandingkan pangkat
.
60
61
BAB 5
KESIMPULAN
Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi sebaran dan
fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi
pangkat. Diformulasikan fungsi intensitas dengan komponen tren fungsi pangkat
sebagai berikut :
diasumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi koefisien
dan fungsi
pada titik
tidak diketahui.
Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan
penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :
dengan
dan
62
dimana
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
yaitu
,
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu
untuk
,
ad