# Consistency of Estimators for the Distribution Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend.

KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

DONI FERNANDO PUTRA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASINYA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kekonsistenan Penduga dari
Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson
Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya sendiri dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada
perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka dibagian akhir tesis ini.

Bogor, Januari 2012
Doni Fernando Putra
NRP G551090441

ABSTRACT
DONI FERNANDO PUTRA. Consistency of Estimators for the Distribution
Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with
Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO
BUDIARTI.
This thesis is concerned with estimation of distribution and density
functions of waiting time of a periodic Poisson process with power function trend.
The intensity function is assumed to consist of two components, namely, a
periodic component and a power function trend component. It is also assumed that
the Poisson process is observed in interval
. Let
denotes the waiting time
of -th event since the beginning of observation of the Poisson process discussed.
Estimators of the distribution function and the density function of
have been
constructed and their consistency as the length of observation interval of the

process goes to infinity have been proved. Finally some numerical results are also
presented.
Keywords : periodic Poisson process, power function trend, distribution and
density function of waiting time.

RINGKASAN
DONI FERNANDO PUTRA. Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan
Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren
Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO
BUDIARTI.
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan
dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,
banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan
banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk
setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses
stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk
menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di
periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan

waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan
fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat
digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan
pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain
sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena
serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi
proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini
dapat dirumuskan sebagai berikut
diasumsikan bahwa periode

diketahui, tetapi koefisien

tidak diketahui, dengan

dan fungsi

. Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus

.
Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu
tunggu bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang
datang pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin,
hal ini mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil
tindakan, dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya
peristiwa serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada
tulisan ini dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu
dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren
fungsi pangkat.

Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan
penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :

dengan

dan

adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan

dimana
yaitu

,

,

bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu

untuk

,

.

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, disimpulkan bahwa :
a) Jika fungsi intensitas
untuk setiap bilangan nyata
diperoleh

untuk

dan terintegralkan lokal, maka
dan untuk setiap bilangan bulat positif

b) Jika fungsi intensitas

dan terintegralkan lokal, serta

maka untuk setiap bilangan nyata
bulat positif

, diperoleh

untuk

asalkan

dan untuk setiap bilangan

merupakan titik Lebesgue dari

.

c) Berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa kualitas penduga dari fungsi
sebaran waktu tunggu pertama lebih baik dari waktu tunggu kedua untuk
ukuran

yang sama, artinya diperlukan nilai

yang lebih besar untuk waktu

tunggu kedua dibandingkan waktu tunggu pertama. Diperoleh pola penduga
yang lebih dekat ke pola sebarannya untuk pangkat 0,25 dibandingkan
pangkat 0,75.

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

DONI FERNANDO PUTRA

Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS

Judul Tesis

: Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan
Tren Fungsi Pangkat

Nama

: Doni Fernando Putra

NRP

: G551090441

Disetujui
Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
Ketua

Ir. Retno Budiarti, MS
Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi
Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

Dr.Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

Tanggal Lulus :

Tanggal Ujian : 31 Januari 2012

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat”. Tesis ini
disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
program studi Matematika Terapan.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc sebagai ketua komisi pembimbing dan
Ir. Retno Budiarti, MS selaku anggota komisi pembimbing yang telah
memberikan bimbingan dan arahan dalam penyusunan tesis ini serta Dr. Ir.
Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran.
2. Ibunda tercinta, Surisdiyanti Sukandar atas doa, cinta dan dukungannya.
3. Saudara-saudara dan sahabat-sahabatku, atas doa dan dukungan semangatnya.
4. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
membantu dalam penyusunan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan tesis ini.
Oleh karena itu kritik, saran, dan masukan sangat penulis harapkan demi
penyempurnaan dan perbaikan tulisan ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
untuk semua pembaca. Amin.

Bogor, Januari 2012
Doni Fernando Putra

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Curup (Bengkulu) pada tanggal 1 Juli 1988 dari
Ayah Ibnu Hajar dan ibu Surisdiyanti Sukandar. Penulis merupakan putra pertama
dari 3 bersaudara.
Tahun 2005 Penulis lulus dari SMA Negeri 4 Curup dan pada tahun yang
sama lulus seleksi masuk Universitas Sriwijaya, Palembang, melalui jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru. Penulis diterima pada jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
penulis memenangi Lomba Karya Tulis Ilmiah (Bidang IPA) tingkat Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam sebagai juara I dan pada tahun yang
sama terpilih sebagai mahasiswa berprestasi Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sriwijaya.

DAFTAR ISI
Halaman
BAB I

PENDAHULUAN …………………………………………………..…. 1
1.1 Latar Belakang ……………………………………..……..……... 1
1.2 Tujuan Penelitian ………………..……………..………..…..…... 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA …………………………………………..….... 3
2.1 Proses Poisson Periodik …………...…………………...…….….. 3
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ….….…..... 5
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi
Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson
Periodik dengan Tren Linear ……………………………...…....... 7
BAB III REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL
DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT ………....………………...….. 9
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson
dengan Tren Fungsi Pangkat ……………………………….…..... 9
3.1.1 Pendugaan ………………………………………..…....10
….………………………………......... 14
3.1.2 Pendugaan
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson
dengan Tren Fungsi Pangkat …………………………………… 19
BAB IV KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN
DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI
PANGKAT ……………………………………………………............ 29
4.1 Perumusan Penduga ……………………………………………. 29
4.2 Beberapa Lema Teknis ………………………………..………... 32
4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu
dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat ……. 49
4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi
Pangkat ……………………………………………………......... 54
4.5 Hasil Simulasi .……………………………………………......... 56
BAB V KESIMPULAN ………………………………………………..……... 61
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………..…....… 63
LAMPIRAN …………………………………………………………..……..…. 65

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.25 …..…………………………. 56

2.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……………………………. 56

3.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.25..………………………..…. 57

4.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……...………………………. 57

5.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.25……..……………………... 57

6.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.25…..……..…………………. 57

7.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.75…...…………………………. 58

8.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 58

9.

Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.75…....………………………. 58

10. Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……...………………………. 58

11. Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 59

12. Grafik
dengan

dan
, ketika
, grid 0.05 dan pangkat 0.75……………………………. 59

DAFTAR LAMPIRAN
1.

Halaman
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ………….…………………………. 67

2.

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ……………………………………….... 68

3.

Kekonvergenan ……………………………………………………………..69

4.

Nilai Harapan, Ragam dan Momen ………………………………………...70

5.

Beberapa Definisi dan Lema Teknis ……………………………………….72

6.

Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.25 ……………74

7.

Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.25 …...…………75

8.

Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75 ……………77

9.

Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya
Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.75 …...…………78

1

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan
dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,
banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan
banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk
setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses
stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk
menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di
periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan
fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat
digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan
pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain
sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena
serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi
proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini
dapat dirumuskan sebagai berikut

diasumsikan bahwa periode

diketahui, tetapi koefisien

tidak diketahui, dengan
.

dan fungsi

. Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus

2

Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu tunggu
bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang datang
pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin, hal ini
mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil tindakan
dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya peristiwa
serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada tulisan ini
dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu dan fungsi
kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat.

1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :
1.

Merumuskan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan
kekonsistenannya.

2.

Merumuskan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu proses Poisson
periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan
kekonsistenannya.

3.

Melakukan simulasi komputer untuk mempelajari perilaku penduga fungsi
ukuran sampel terbatas, serta mempelajari pola dugaan fungsi sebaran waktu
tunggu untuk pangkat 0,25 dan pangkat 0,75.

3

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik
Definisi 2.1 (Proses stokastik)
Proses stokastik

adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh

ke suatu ruang state .
(Ross, 1996)

Jika

merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik
disebut proses

disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan
stokastik dengan waktu kontinu jika

merupakan suatu interval.

Definisi 2.2 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
inkremen

bebas

jika

untuk

semua

disebut memiliki
,

peubah

acak

(Ross, 1996)
Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

disebut

memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.

Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
inkremen stasioner jika

disebut memiliki

memiliki sebaran yang sama untuk

semua nilai .
(Ross, 1996)

Definisi 2.4 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik

disebut proses pencacahan jika

4

Suatu proses pencacahan
untuk semua

(i)
(ii)

Nilai

(iii) Jika
(iv) Untuk

maka
maka

.
(Ross, 1996)

Definisi 2.5 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan

disebut proses Poisson dengan laju

,

, jika dipenuhi tiga syarat berikut :
(i)
(ii)

Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan

,

.

(Ross, 1996)

Definisi 2.6 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi

untuk semua

disebut periodik jika :

dan

atas disebut periode dari fungsi

Konstanta terkecil

tersebut.
(Browder, 1996)

Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi
(Mangku, 2001)

5

2.2 Pendugaan Fungsi Intenitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Fungsi intensitas terbagi atas dua, yaitu fungsi intensitas lokal
dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses
Poisson dititik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata
Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari
suatu proses Poisson di titik

adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari

banyaknya kejadian di sekitar titik . Secara matematis, misalkan
dan

fungsi intensitas lokal di titik

dapat didekati dengan

maka
.

Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global
dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya

. Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas

dapat dinyatakan dengan

.

Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik
untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya
adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest
neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode

(diketahui) (Helmers dan

Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan
metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari
penduga yang telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain, yaitu dengan
meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses
Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga laju proses Poisson
homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global

Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju
tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah

6

dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson
dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya,
yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode
yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses
dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe
kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode
tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang
diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian
dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a)
dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku
2006b).
Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang
dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009),
maupun menggunakan periode ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al.
Mangku (2005).
Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang
menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan
kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan
menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat
statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam
telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari
komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), serta sifat-sifat statistik
penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji
pada Farida (2008), dan pendugaan fungsi intensitas dengan dua kasus, yaitu tren
fungsi pangkat dengan kemiringan dari tren yang diketahui dan tidak diketahui,
selain itu telah dikaji kekonvergenan sebaran asimtotik bagi fungsi periodik untuk
dua kasus tersebut pada Rachmawati (2010).

7

2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu
Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.

Diasumsikan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson nonhomogen yang
sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu, serta penduga dari fungsi-fungsi
tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positif diperoleh bahwa penduga fungsi
sebaran waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi sebaran waktu
tunggunya, dan diperoleh juga bahwa penduga fungsi kepekatan waktu tunggu
konvergen dalam peluang terhadap fungsi kepekatan waktu tunggunya, asalkan
interval yang diamati merupakan titik Lebesgue dari fungsi intensitas, seperti yang

8

9

BAB 3
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN
GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

Misalkan

dengan fungsi intensitas

yang tidak diketahui. Fungsi

diasumsikan

terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik
(siklik) dengan periode (diketahui)

dan suatu komponen tren yang berupa
, fungsi intensitas

fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik
dapat dituliskan sebagai berikut :

dengan

adalah fungsi periodik dengan periode ,

tren dimana

dan

menyatakan kemiringan

(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana

. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik
, dengan

kecuali

dan seluruh

adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut

3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren
Fungsi Pangkat

Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan untuk suatu
terdapat sebuah realisasi
ruang peluang

dari proses Poisson

periode

. Karena

, maka masalah menduga

, hanya

yang diamati

dengan

dengan

dapat
.

10

Diasumsikan fungsi intensitas global bagi

yaitu

merupakan nilai rata-rata dari

.
adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol,

Misalkan
yaitu

dan misalkan pula

untuk

disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut :
(K.1)

merupakan fungsi kepekatan peluang.

(K.2)

terbatas.

(K.3)

.

3.1.1 Pendugaan

Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh
penduga untuk

seperti berikut :

untuk

.
Untuk mendapatkan penduga

Karena

, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis

Perhatikan suku pertama
intensitas global dari

, cukup diperlihatkan bahwa

, dengan menggunakan asumsi
maka

. Sedangkan suku kedua dari

11

. Langkah berikutnya, mengganti

Jika kedua ruas dikalikan dengan

maka diperoleh

diperoleh

sehingga

Perhatikan bahwa

konvergen ke 0 jika

dan

, sehingga

. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

maka diperoleh penduga dari , yaitu

.

Lema 3.1
Misalkan fungsi intensitas

untuk

, dengan

seperti

dan terintegralkan lokal, maka

Dengan kata lain,

penduga yang konsisten bagi , dengan Mean Square Error-nya adalah

untuk

.

Bukti :
Berdasarkan

dapat dihitung sebagai berikut :

merupakan

12

untuk

. Ruas kanan

Karena fungsi intensitas

seperti

, maka

untuk
Perhatikan bahwa

konvergen ke 0 jika

dan

.

. Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai

Sehingga

untuk
Dengan mensubstitusikan
Ragam dari

Karena

ke

.

diperoleh dengan cara serupa, yaitu :

atas dapat ditulis

, diperoleh

sehingga persamaan di

13

Karena fungsi intensitas

seperti

, maka

untuk
Perhatikan bahwa

konvergen ke 0 jika

, dan

. Sehingga

untuk

Dengan mensubstitusikan

, maka diperoleh

seperti

.

Didefinisikan

berikut :

dimana

.

Berikutnya, substitusikan

dan

, maka diperoleh

untuk
Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil

maka diperoleh

Telah dibuktikan

Teorema 3.1 (Kekonsistenan
Penduga

dan

.

, sehingga Lema 3.1 terbukti.

)

merupakan penduga konsisten bagi , yaitu

14

untuk

.

Bukti :
Untuk membuktikan

, berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa

. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh

untuk

, berarti

Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh

sehingga

Sehingga
bahwa

, digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga

diperoleh

Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh

untuk

sehingga diperoleh

. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.1 terbukti.

3.1.2 Pendugaan

Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi
penduga dari

sebagai berikut :

,

dengan

,

bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu
serta

seperti

untuk

.

Lema 3.2
Jika fungsi intensitas

seperti

dan terintegralkan lokal, serta kernel

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan

untuk

, maka

,

15

untuk

, asalkan

kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan

untuk

. Jika kernel
, untuk

.

Bukti :
Berdasarkan

Dari

maka

,

dapat dihitung sebagai berikut :

dapat dimisalkan

dapat dinyatakan sebagai

diperoleh sebagai berikut

untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010).
Selanjutnya, suku kedua dari ruas kanan

, maka

16

Dengan menggunakan

pada persamaan di atas, maka diperoleh

. Dengan mensubstitusikan

untuk

diperoleh persamaan seperti
Ragam dari

, maka

.
diperoleh dengan menggunakan

Dengan memisalkan seperti

dan

sehingga

maka persamaan di atas dapat ditulis

17

untuk

(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas

kanan

dapat ditentukan sebagai berikut

Dengan menggunakan

untuk

. Dari

pada persamaan di atas, maka diperoleh

dan

, dengan menggunakan ketaksamaan

Chauchy Schwarz, dapat diperoleh suku ketiga ruas kanan persamaan

yaitu

18

. Karena

untuk

dan

untuk

maka

untuk

sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

untuk

. Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil

maka diperoleh

Teorema 3.2 (Kekonsistenan
Jika fungsi intensitas

.

)

seperti

dan terintegralkan lokal, serta kernel

untuk

dan

dan

, asalkan adalah titik Lebesgue dari

maka

.

Bukti :
Untuk setiap

berlaku
jika

.

Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis
sebagai berikut :

Berdasarkan

, diperoleh

kemudian untuk setiap

sehingga

Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh bahwa

19

dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh

untuk

, maka

dapat dituliskan sebagai berikut

. Melihat hubungan antara persamaan di atas dan
jika

terbukti bahwa

, maka

.

Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.2 terbukti.

3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren
Fungsi Pangkat

Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada
pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan
menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval
matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada
dengan

. Secara

dapat dinyatakan

.
Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode

diketahui, tetapi fungsi

tidak ketahui, didefinisikan penduga untuk

sebagai berikut

dengan
yaitu

adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
dan

seperti

Teorema 3.3 (Kekonsistenan
Jika fungsi intensitas

.

)

dan terintegralkan lokal, maka
, untuk

,

20

Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5.

Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari
Jika fungsi intensitas

untuk

)

dan terintegralkan lokal, maka

.

Bukti :
Pertama, akan dibuktikan

sebagai nilai harapan dari

Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan

yaitu

, yaitu

dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi

Jika fungsi intensitas

di atas dituliskan sebagai berikut

dan terintegralkan lokal, maka persamaan

21

Berdasarkan

, suku pertama ruas kanan

Diketahui bahwa

(Lihat Titchmarsh 1960).

jika

Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan

diperoleh

jika
Kemudian perhatikan suku kedua pada ruas kanan

berikut

, maka

22

berikut,

Perhatikan salah satu komponen

jika
Dengan mensubstitusikan

jika

, diperoleh

23

dan

Selanjutnya, dengan menggabungkan

, maka diperoleh

seperti berikut :

jika
Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan

Dengan menggunakan

untuk

yaitu

.

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
dan

ke

, maka diperoleh

.

Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti.

Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari
Jika fungsi intensitas

untuk

untuk

dan

)

dan terintegralkan lokal, maka

24

untuk

jika

Bukti :
Akan dibuktikan

dan

j,k = 1,2,…, maka
tumpang

tindih

. Catatan, untuk setiap
dan

overlap).

(tidak

tidak saling
dan

Sehingga

Telah didefinisikan penduga bagi

dimana

.
yaitu

sehingga

dapat dihitung sebagai

dengan memisalkan

Perhatikan suku pertama ruas kanan dari
yang diperlukan,
dan
Untuk kasus

jika

jika

dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu
.
diperoleh

.

Untuk kasus

.

Berdasarkan kuantitas

diperoleh

25

Untuk kasus

jika

diperoleh

.

(Lihat Yuliawati, 2008).

Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan

sehingga

dapat

diperoleh sebagai berikut

Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan
atas, diperoleh persamaan berikut

.

untuk

Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada
suku ketiga ruas kanan

diperoleh

sebagai berikut

Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam
tiga kasus, yaitu
Untuk kasus

dan
dan untuk

.
sehingga

26

untuk
Dengan kata lain, diperoleh

untuk

, sehingga

,

untuk

, sehingga

,

.

untuk

untuk
Dengan kata lain, diperoleh
untuk

.

Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh
, untuk

.

Dengan cara yang sama dilakukan untuk kedua kasus berikutnya, yaitu
untuk kasus

dan kasus
, untuk

. Diperoleh

, akibatnya

sehingga

, untuk

dan

dan

,

.

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas
ke

sehingga diperoleh

berikut, yaitu
Untuk kasus

untuk
Untuk kasus

. Dengan kata lain diperoleh

.

27

untuk

. Dengan kata lain diperoleh

.

. Dengan kata lain diperoleh

.

Untuk kasus

untuk

Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.5 terbukti.

Bukti Teorema 3.3 :
Berdasarkan

diperoleh

atau dapat ditulis sebagai
jika

Sedangkan dari

dan

diperoleh

atau dapat ditulis juga sebagai
jika

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
yaitu bahwa untuk setiap

berlaku
jika

Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

.

28

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka

Berdasarkan

untuk setiap

sehingga

.

Dengan mensubstitusikan

ke

, diperoleh

Kemudian dengan melihat hubungan antara

dan

diperoleh

Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan
menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh

Perhatikan, dengan menggunakan
hubungan bahwa

jika

dapat ditunjukkan
.

Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.3 terbukti.

29

BAB 4
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

4.1 Perumusan Penduga

Misalkan
fungsi intensitas

yang tidak diketahui. Fungsi

dengan

diasumsikan terintegralkan lokal

dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan
periode (diketahui)

dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat.
, fungsi intensitas

Dengan kata lain untuk sebarang titik

dapat

dituliskan sebagai berikut :

adalah fungsi periodik dengan periode ,

dengan
tren dimana

dan

menyatakan kemiringan

(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana

. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik
, dengan

dari proses Poisson

, kita hanya memiliki sebuah realisasi

yang terdefinisi pada suatu ruang peluang

dengan

. Untuk setiap bilangan nyata

berikut

dan seluruh

adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut

Misalkan untuk suatu

positif

kecuali

dan untuk suatu bilangan bulat

, diperoleh fungsi sebaran dari waktu tunggu

30

dimana

Karena

maka

diperoleh

Misalkan

dimana untuk setiap bilangan nyata

, maka

menunjukkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan . Maka
untuk setiap

didapatkan

dengan

. Dimisalkan

merupakan intensitas global dari

. Maka untuk setiap

dapat ditulis sebagai berikut

Untuk setiap bilangan nyata

dan untuk setiap bilangan bulat positif

diperoleh fungsi kepekatan dari waktu tunggu

, berikut

,

31

Berdasarkan

dan

, diperoleh penduga fungsi sebaran dan fungsi

kepekatan waktu tunggu secara berturut-turut dengan menggunakan data amatan
, yaitu suatu proses Poisson yang diamati pada

diberikan

sebagai berikut

dengan

dengan penduga

dengan
yaitu

untuk

sebagai berikut :

adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,
, penduga

dan

dan penduga

sebagai berikut :

sebagai berikut :

32

dimana

untuk

yaitu

. Berikutnya, diformulasikan penduga

sebagai

berikut :

dengan

.

4.2 Beberapa Lema Teknis

Berikut ini disajikan beberapa lema teknis. Prinsip-prinsip yang diperoleh
melalui keempat lema berikut ini digunakan sebagai salah satu alat untuk
membuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu.

Lema 4.1
Misalkan

dan

dan

untuk

dan
, maka

untuk
Bukti :
Misalkan
dan misalkan

dan

untuk

diberikan, maka

Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh

, dengan menggunakan Definisi L.12

33

sehingga

Dengan kata lain, terbukti bahwa

untuk

Lema 4.2
Misalkan

dan

dan

untuk

dan
, maka

untuk
Bukti :
Misalkan
dan misalkan

dan

untuk

, dengan menggunakan Definisi L.12

diberikan, maka

Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh

sehingga

Dengan kata lain, terbukti bahwa

untuk

34

Lema 4.3
Misalkan

dan

, untuk

dan

untuk

dan
, maka

.

Bukti :
Diasumsikan bahwa

dan

Berdasarkan

, dengan menggunakan

diberikan, maka

Definisi L.12 dan misalkan

Perhatikan ruas kanan dari

untuk

.

diperoleh

, sehingga

artinya
Berikutnya, berdasarkan

diperoleh

, sehingga

artinya

Berikutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
, sehingga diperoleh hubungan berikut :

ke

35

Kemudian, untuk

, diperoleh

, diperoleh

artinya terbukti bahwa

sebagai berikut :

, untuk

sebagai berikut

.

Lema 4.4
Misalkan

bilangan nyata. Jika

dan

,

.

untuk

Bukti :
Diasumsikan

, artinya untuk

Akan dibuktikan bahwa

Perhatikan, karena

, untuk

. Artinya,

,
sehingga

Berdasarkan

, diperoleh

, untuk

sebagai berikut :

.

, sehingga

36

Corollary 4.1
Jika fungsi intensitas
setiap bilangan nyata

untuk

dan terintegralkan lokal, maka untuk

, diperoleh

.

Bukti :
Perhatikan bahwa,

dapat pula dinyatakan seperti berikut

Dengan kata lain, akan dibuktikan bahwa
dari

merupakan penduga konsisten

.
Berdasarkan

untuk

dan

, diperoleh hubungan berikut :

.
Berikutnya, untuk membuktikan

, dapat ditunjukkan dengan

membuktikan Lema 4.5, serta menggunakan prinsip Lema 4.1, Teorema 3.1 dan
Teorema 3.3 sebagai berikut :

Lema 4.5
Jika fungsi intensitas

setiap bilangan nyata

untuk

dan terintegralkan lokal, maka untuk

, diperoleh

.

Bukti :
Melalui Lema 4.5, akan dibuktikan bahwa
konsisten dari

, untuk

.

Langkah pertama, dengan menggunakan
sebagai berikut

merupakan penduga

, diperoleh nilai harapannya

37

Untuk persamaan pertama dari ruas kanan

kita dapat mengganti batas

integral sebagai berikut

Karena fungsi intensitas

dan terintegralkan lokal, sehingga

persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut

Perhatikan komponen pertama

dengan menggunakan

dengan menggunakan

diperoleh

38

untuk

.

Berikutnya, perhatikan komponen kedua

berikut

39

Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan persamaan di atas dan

untuk

diperoleh

.

, kemudian

Perhatikan kembali persamaan kedua dari ruas kanan
dengan menggunakan

untuk

diperoleh

sebagai berikut

.

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan

dan

maka diperoleh

untuk
Langkah berikutnya, dengan memisalkan
sebagai berikut

diperoleh

40

dengan

Perhatikan,

Karena

merupakan proses Poisson, maka

sehingga persamaan

Karena fungsi intensitas

persamaan di atas dituliskan sebagai berikut

41

Berdasarkan

, diperoleh komponen pertama

sebagai berikut

Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, sehingga
dalam tiga kasus berikut :

Untuk kasus

jika

Untuk

.

dapat dibedakan

42

jika

.

Untuk

jika

.
Berikutnya, untuk komponen kedua

diperoleh

Perhatikan salah satu komponen ruas kanan pada

, dengan menggunakan

ekspansi Taylor, diperoleh bahwa

Karena

untuk

, maka perilaku

sama dengan

. Persamaan di atas

43

Berdasarkan

, persamaan di atas dapat ditulis menjadi

44

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan

ke

, diperoleh

hubungan berikut

Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka
dalam tiga kasus berikut :

Untuk kasus

jika

.

Untuk kasus

dapat dibedakan

45

jika

.

Untuk kasus

jika

.
Berdasarkan hasil yang didapatkan dari langkah-langkah sebelumnya,

diperoleh ruas kanan

Untuk kasus

jika

.

Untuk kasus

jika

.

sebagai berikut :

46

Untuk kasus

jika

.

sebagai

Kemudian, kita lanjutkan untuk memperoleh nilai ragam dari
berikut,

Berdasarkan

jika

persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

.
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka

diperoleh

sebagai berikut

berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dibedakan dalam tiga kasus, yaitu :

Untuk

Pertama, kasus
berakibat

, karena
dan

.

dan
,

sehingga

47

Kedua, kasus

Untuk

, karena

berakibat

dan

dan

,

sehingga

.

Ketiga, kasus

Untuk

, karena

berakibat

dan

dan

,

sehingga

.

Berdasarkan

dan

, diperoleh
jika

Selanjutnya,

dengan

menggabungkan
dan

ke

yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu :
Untuk kasus

jika

.

Untuk kasus

hasil

yang
diperoleh

.

diperoleh

dari

48

jika

.

Untuk kasus

jika

.

Langkah berikutnya, untuk membuktikan Lema 4.5, dengan menggunakan
diperoleh

Berdasarkan

dan

diperoleh

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
bagi

, yaitu bahwa untuk setiap

berlaku
jika

.

Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

Berdasarkan ketaksamaan segitiga, maka

Selanjutnya, berdasarkan

untuk setiap

sehingga

.

Kemudian, dengan mensubstitusikan

ke

, diperoleh

49

Berikutnya, dengan melihat hubungan antara

dan

diperoleh

Berdasarkan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh

Perhatikan, dengan melihat hubungan
jika

dan

diperoleh bahwa

. Artinya, Lema 4.5 terbukti.

Perhatikan, dengan menggunakan Lema 4.5, Teorema 3.1, Teorema 3.3
dan prinsip Lema 4.1 untuk membuktikan Corollary 4.1, sehingga diperoleh

untuk
jika

. Terbukti bahwa

merupakan penduga konsisten dari

,

.

4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu dari Proses
Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat

Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi
sebaran waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.
Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu
masalah utama dalam penelitian ini.

Teorema 4.1
Jika fungsi intensitas
setiap bilangan nyata

untuk

dan terintegralkan lokal, maka untuk

dan untuk setiap bilangan bulat positif

diperoleh

50

Bukti :
Berdasarkan

dan

, maka diperoleh

51

Perhatikan, salah satu komponen pertama ruas kanan dari

Kemudian, dengan menggunakan deret Taylor pada ruas kanan

berikut :

, diperoleh

52

Berdasarkan Corollary 4.1, diperoleh
, untuk

.

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4, diperoleh
untuk

,

karena merupakan fungsi kontinu.
Kemudian, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 dan melihat hubungan yang
ditunjukkan pada langkah di atas, diperoleh

untuk

.
Berikutnya, perhatikan salah satu komponen kedua ruas kanan dari

berikut :

Berdasarkan langkah yang diperoleh melalui Induksi Matematika pada
untuk semua

, ditunjukkan bahwa
.

Langkah pertama, basis induksi :
Untuk

, diperoleh

53

(berdasarkan Corollary 4.1).
Langkah kedua, hipotesis induksi :
.

Diasumsikan benar bahwa
Langkah ketiga, langkah induksi :
Akan ditunjukkan bahwa
Perhatikan,

dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah pertama dan langkah
kedua, maka persamaan di atas menjadi

Karena langkah pertama sampai langkah ketiga diperlihatkan benar, sehingga
terbukti bahwa untuk semua

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan

, diperoleh

hubungan berikut :

dan

, maka diperoleh

54

Berdasarkan hubungan yang diperoleh dari

dan

ditunjukkan

, dengan kata lain Teorema 4.1 terbukti.

bahwa

4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari
Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat

Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi
kepekatan waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.
Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu
masalah utama dalam penelitian ini.

Teorema 4.2
Jika fungsi intensitas

maka untuk setiap bilangan nyata

untuk

asalkan

dan terintegralkan lokal, serta
dan bilangan bulat positif

merupakan titik Lebesgue dari

.

Bukti :
untuk

, dapat pula dinyatakan sebagai
untuk

.

, diperoleh

55

Berdasarkan

dan

Telah ditunjukkan dari langkah sebelumnya, bahwa
untuk

dan

Berdasarkan

untuk

langkah-langkah

yang

.

diperoleh

sebelumnya,

dapat

ditunjukkan sebagai berikut
untuk

.

untuk

.

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4 terhadap Corollary 4.1,
diperoleh hasil seperti berikut :
, untuk

, maka

, untuk

, karena

merupakan fungsi kontinu.
Berdasarkan hasil yang diperoleh seperti pada
hubungan

untuk

, dimana diperoleh

, dibuktikan bahwa

(proses pembuktian dapat ditunjukkan dengan menggunakan

induksi matematika, seperti pembuktian sebelumnya).
Berikutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.1, diperoleh bahwa

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 terhadap hasil yang
diperoleh dari langkah-langkah di atas, maka

untuk

. Teorema 4.2 terbukti.

56

4.5 Hasil Simulasi

Di sini diperlihatkan cara menentukan penduga untuk fungsi sebaran
bangkitan dengan fungsi intensitas
dan
dan

untuk

dengan

,

. Kemudian dengan menggunakan pemrograman

dapat

diperoleh gambar grafik fungsi sebaran dan penduganya untuk waktu tunggu

, sebagai

berikut :

1.0
0.8
0.0

0.0

0.2

0.2

0.4

0.6

FungsiSebaran

0.8
0.6
0.4

FungsiSebaran

1.0

Untuk

0

2

4

6

8

10

0

2

z

Grafik
dan

Gambar 1
, ketika
dan grid 0.05.

4

6

8

10

z

Grafik
dan

Gambar 2
, ketika
dan grid 0.05.

1.0
0.8
0.0

0.0

0.2

0.2

0.4

0.6

FungsiSebaran

0.8
0.6
0.4

FungsiSebaran

1.0

57

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

z

Gambar 3
, ketika
dan grid 0.05.

Grafik
dan

0.8

1.0

Gambar 4
, ketika
dan grid 0.05.

0.0

0.0

0.2

0.2

0.4

0.6

FungsiSebaran

0.8
0.6
0.4

FungsiSebaran

10

z

1.0

Grafik
dan

8

0

2

4

6

8

10

0

2

z

dan
Grafik

Gambar 5
, ketika
dan grid 0.05.

4

6

8

10

z

Grafik
dan

Gambar 6
, ketika
dan grid 0.05.

58

0.8
0.4

0.6

FungsiSebaran

0.8
0.6
0.0

0.0

0.2

0.2

0.4

FungsiSebaran

1.0

1.0

Untuk

0

2

4

6

8

0

10

2

4

Gambar 7
, ketika
dan grid 0.05.

Grafik
dan

10

Gambar 8
, ketika
dan grid 0.05.

0.8

FungsiSebaran

0.0

0.0

0.2

0.2

0.4

0.6

1.0
0.8
0.6
0.4

FungsiSebaran

8

1.0

Grafik
dan

6
z

z

0

2

4

6

8

z

Gambar 9
Grafik
dan
, ketika
dan grid 0.05.

10

0

2

4

6

8

z

Gambar 10
Grafik
dan
, ketika
dan grid 0.05.

10

1.0
0.8
0.0

0.0

0.2

0.2

0.4

0.6

FungsiSebaran

0.8
0.6
0.4

FungsiSebaran

1.0

59

0

2

4

6

8

10

0

2

z

4

6

8

10

z

Gambar 11
Grafik
dan
, ketika
dan grid 0.05.

Gambar 12
Grafik
dan
, ketika
dan grid 0.05.

Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa suatu penduga bagi fungsi
sebenarnya jika semakin besar panjang interval pengamatan
dengan Teorema 4.1, yaitu
Untuk pangkat

akan konvergen ke

. Hal ini sesuai
jika

.

diperoleh pola dugaan yang lebih dekat terhadap pola

fungsi sebarannya dibandingkan pangkat

.

60

61

BAB 5
KESIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi sebaran dan
fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi
pangkat. Diformulasikan fungsi intensitas dengan komponen tren fungsi pangkat
sebagai berikut :

diasumsikan bahwa periode

diketahui, tetapi koefisien

dan fungsi

tidak diketahui.
Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan
penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :

dengan

dan

62

dimana

adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan

yaitu

,

,