I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Model linear merupakan suatu model yang merepresentasikan hubungan antara beberapa variabel. Misal diasumsikan hubungan antara variabel Y dan X, maka
bentuk umum dari model yang dapat dibentuk adalah
Y = Xβ + ε, dimana Y
merupakan variabel dependent, X merupakan variabel independent, β adalah
parameter dan
ε adalah galat acak. Penerapan teori model linear ini sudah sering
digunakan, karena dengan membangun data menjadi model umum yang lebih sederhana maka penyelesaian masalahnya menjadi lebih mudah. Jika data yang
digunakan untuk membangun model ini adalah data populasi maka model tersebut tentu dapat mewakili kejadian yang sebenarnya. Namun, bagaimana apabila data
yang diambil berupa sampel atau terdapat data pengamatan yang hilang.
Dalam bidang industri dengan tujuan untuk menghemat biaya dan waktu produksi maka pihak produsen hanya akan mengambil sampel dari total produksi, atau
karena suatu kesalahan maka terdapat data yang tidak tercatat sehingga data diperoleh tidak lengkap. Akan timbul pertanyaan, apakah model dapat dibangun
dari data sampel atau apakah model yang dibangun dari data sampel dapat merepresentasikan kejadian yang sebenarnya.
Konsep estimabilitas dalam statistika dapat menjawab pertanyaan tersebut. Gagasan yang penting dari konsep estimabilitas adalah terdapat BLUE Best
Linear Unbiased Estimates yang unik dari kombinasi linear parameter jika kombinasi linearnya estimable Milliken, 1971. Secara umum kondisi
estimabilitas sangat sulit untuk diperiksa, namun Searle 1966 menyatakan bahwa : kombinasi linear
Aβ dikatakan estimable jika dan hanya jika AX’X
c
X’X = A, dimana X’X
c
adalah suatu matriks yang memenuhi persamaan matriks
X’XX’X
c
X’X = X’X, berdasarkan model linear umum Y = Xβ + ε, matriks B
c
disebut conditional inverse dari matriks B.
Terdapat beberapa karakteristik dari estimabilitas pada model linear umum yang menarik untuk diteliti. Oleh karena itu, penulis memilih tema karakteristik
estimabilitas untuk memahami lebih dalam lagi mengenai konsep estimable pada model linear umum.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka masalah yang diambil berkaitan dengan penelitian ini yaitu memahami karakteristik
estimabilitas serta penerapannya pada model linear umum.
1.3 Batasan Masalah
Kajian dari penelitian ini akan berfokus pada karakteristik estimabilitas
berdasarkan matriks X.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1.
Menguji kriteria suatu model linear umum dengan data hilang. 2.
Menguji estimabilitas hipotesis kombinasi linear dari suatu model linear umum.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1.
Menambah bahan referensi mengenai karakteristik estimabilitas. 2.
Memahami serta dapat menerapkan konsep estimabilitas pada persoalan umum yang terjadi.
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Konsep-konsep Matriks
Definisi Matriks Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A,
B, X, Y . Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal dari lapangan F.
Kita asumsikan lapangannya adalah bilangan real, kecuali untuk syarat yang sudah ditentukan sebelumnya. Himpunan bilangan real dinotasikan dengan R.
Matriks A memiliki element yang dinotasikan dengan a
ij
, dimana j merupakan banyaknya kolom, dan i merupakan banyaknya baris.
A = [ a
ij
]
Suatu matriks identitas dinotasikan dengan I untuk menunjukkan ukuran dari matriks identitas, biasanya digunakan notasi I
n
untuk merepresentasikan matriks
identitas n x n, dan 0 untuk notasi dari matriks null.
Inverse Matriks Misalkan A adalah matriks bujur sangkar, jika ada matriks B sedemikian sehingga
AB = I, maka B disebut sebagai inverse dari matriks A, dinotasikan dengan A
-1
.
Jika AB = I, maka dapat ditunjukkan pula bahwa BA = I. Dimana bila ada matriks B
sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks A yang memiliki inverse dikatakan
non-singular, sebaliknya apabila matriks A tidak memiliki inverse maka dikatakan
singular.
Transpose Matriks
Jika baris dan kolom dari matriks A saling bertukar, menghasilkan matriks yang disebut sebagai transpose dari A dan dinotasikan sebagai A
’. Jika A memiliki
ukuran m x n, maka
A’ memiliki ukuran n x m.
Rank Matriks Matriks A
nxm
dikatakan mempunyai rank r ≤ min m,n. Jika submatriks nonsingular terbesarnya adalah r x r.
Trace Matriks Suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama dikatakan matriks bujur
sangkar, jika A matriks n x n maka trace A didefinisikan sebagai berikut :
∑
Generalized Inverse Misalkan A adalah matriks m x n, jika ada matriks
yang memenuhi kondisi berikut,
a. b.
c. d.
Kategori