PENERAPAN KARAKTERISTIK ESTIMABILITAS PADA MODEL LINEAR UMUM

ABSTRAK

PENERAPAN KARAKTERISTIK ESTIMABILITAS PADA MODEL LINEAR UMUM

Oleh

Muhammad Ridho

Penerapan teori model linear sudah sering digunakan untuk menganalisis data. Pada kasus dengan data tidak lengkap atau data hilang, terkadang menjadi rumit untuk membuat modelnya. Namun ada beberapa pendekatan untuk mengatasi model dengan data hilang, salah satunya adalah karakteristik estimabilitas. Ide dari konsep estimabilitas yaitu ada best linear unbiased estimates (BLUE) yang unik dari kombinasi parameter jika kombinasi linearnya estimable. Tujuan dari penelitian ini adalah menguji kriteria suatu model linear umum dengan data hilang dan menguji estimabilitas hipotesis kombinasi linear parameternya. Untuk contoh dengan data hilang, pertama mencari parameter estimabilitasnya dengan menggunakan bentuk echelon baris, kemudian membuat hipotesis yang akan diuji berdasarkan karakteristik estimabilitas.

Kata Kunci : model linear, karakteristik estimabilitas, fungsi estimable dan

ABSTRACT

THE APPLICATION FOR CHARACTERIZATIONS OF ESTIMABILITY ON GENERAL LINEAR MODEL

By

Muhammad Ridho

The application of linear model has been widely used in modeling to analize data. In the case of unbalanced or missing data, the model sometime become complicated. There are some approaches to deal with missing data, one of them is through the estimability criteria. The idea of estimability is that there exist unique best linear unbiased estimates (BLUE) of linear combinations of the parameters if the linear combinations are estimable. The purposes of the research were testing some general linear model with missing data and testing estimability of linear combinations of parameter. In the example for missing data, first we find the estimability parameter by using the row echelon form, then the hypothesis to be tested based on the estimability criteria was built.

Keywords : general linear model, characterizations of estimability, estimable function and row echelonform

PENERAPAN KARAKTERISTIK ESTIMABILITAS PADA MODEL LINEAR UMUM

Oleh

Muhammad Ridho

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kotabumi, Lampung Utara pada tanggal 27 Agustus 1992, sebagai anak keempat dari empat bersaudara pasangan Bapak Parwoto MB dan Ibu Mursujiati.

Penulis telah menempuh pendidikan di TK Xaverius Kotabumi, kemudian dilanjutkan ke Sekolah Dasar Xaverius Kotabumi. Pada 2003 penulis pindah sekolah ke Sekolah Dasar Negeri 1 Penengahan Bandar Lampung dan selesai pada tahun 2004. Melanjutkan pendidikan di Sekolah Menengah Pertama Negeri 23 Bandar Lampung dan selesai pada tahun 2007, dan Sekolah Menengah Atas Negeri 15 Bandar Lampung dan selesai pada tahun 2010.

Pada tahun 2010 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama awal menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi Panitia Khusus (Pansus) Pemilihan Raya (PEMIRA) di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam periode 2011-2012. Pada periode 2011-2012 penulis juga terdaftar sebagai anggota Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) bidang keilmuan. Selanjutnya dipercaya menjadi Kepala Biro Dana

dan Usaha (Kabir Danus) Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) pada periode 2012-2013.

Pada Februari 2013 penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung. Selanjutnya, pada bulan Juli - Agustus 2013 penulis melaksanakan KKN di Dusun Kaliawi, Kelurahan Gunung Rejo, Kecamatan Padang Cermin, Kabupaten Pesawaran.

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah hirobbil alamin

Terima kasih sudah menunggu dengan sabar Teruntuk mama & papa

Ibu Mursujiati & Bapak Parwoto MB

serta tak lupa teruntuk keluarga sahabat teman dan semua yang mendoakan

SANWACANA

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan berkah dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penerapan Karakteristik Estimabilitas pada Model Linear Umum”. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Mama dan Papa atas doa dan dukungannya yang membuat semua yang sulit bisa dilalui dengan mudah dan lancar.

2. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku pembimbing pertama, yang tidak bosan untuk meluangkan waktu, memberikan pelajaran, pemikiran dan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing kedua. Terima kasih Ibu atas kesediaan waktu dan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. selaku pembahas. Terima kasih atas kesediaan waktu dan pemikiran bapak dalam memberikan kritik dan saran yang membangun dalam proses penyusunan skripsi ini.

5. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si. selaku pembimbing akademik yang selalu memberikan arahan dan memberikan nasihat kepada penulis.

6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, Msc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

8. Ibunda Lusiana yang luar biasa memberikan motivasi kepada penulis, serta Staf Jurusan Matematika dan Staf Jurusan lain yang sudah membantu penulis dalam proses penyelesaian studi di jurusan Matematika.

9. Mas Iput yang telah memberikan nasehat dukungan serta motivasi sehingga skripsi ini dapat terselesaikan, juga untuk Mbak Ririn dan Mbak Hani yang tidak lelah untuk cerewet (serta jagoan cerdas Fatih & Rafli).

10. Sahabat-sahabat penulis Miftah Farid AR, Hasby Al Karim, Sofyan Saputra, Rohandi, Suryadi serta Tri Handayani, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Agustina Ambar Wulan, Christy Engine Nita dan Agustia Indriani.

11. Seseorang yang memberikan warna lain dari luasnya laut biru dan tenangnya pegunungan hijau.

12. Adik-adik 2011 Sepria, Jordian, Erik, Mbak Novi, Meri, Nova, Dhia dan Icha serta Mbak Reni. Terima kasih sudah membantu dan menemani.

13. Teman - teman seperjuangan Matematika 2010. Terima kasih atas keakraban dan kebersamaan selama ini.

14. Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat penulis tuliskan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, tapi besar harapan penulis semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukannya.

Bandar Lampung, Desember 2015 Penulis,

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... xiv

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Rumusan Masalah ... 2

1.3. Batasan Masalah ... 2

1.4. Tujuan Penelitian ... 3

1.5. Manfaat Penelitian ... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Konsep-konsep Matriks ... 4

2.2. Definisi Desain Model ... 6

2.3. Definisi Fungsi Estimable ... 6

2.4. Karakteristik Estimabilitas 2.4.1.Teorema 1 ... 7

2.4.2.Lemma 1 ... 7

2.5. Uji Hipotesis 2.5.1.Teorema 2 ... 8

2.5.2.Teorema 3 ... 9

III. METODE PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 13

3.2. Metode Penelitian ... 13

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Pembuktian Karakteristik Estimabilitas ... 15

4.2. Teladan Kasus 4.2.1.Fungsi Estimable ... 19

4.2.2.Karakteristik Estimabilitas Berdasarkan Matriks X ... 22

4.3. Uji Hipotesis ... 23

V. KESIMPULAN ... 28

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

Lampiran 1 : Program Perhitungan Matriks Program SAS

title 'HASIL PROGRAM SAS SKRIPSI ESTIMABILITAS';

proc iml;

/*input matriks*/ X={1 1 0 0 1 0 0 0, 1 1 0 0 0 1 0 0, 1 1 0 0 0 0 0 1, 1 0 1 0 1 0 0 0, 1 0 1 0 0 0 1 0, 1 0 1 0 0 0 0 1, 1 0 0 1 1 0 0 0, 1 0 0 1 0 1 0 0, 1 0 0 1 0 0 1 0, 1 0 0 1 0 0 0 1};

L={1 0 0 1 0 0 0 1, 0 1 0 -1 0 0 0 0, 0 0 1 -1 0 0 0 0, 0 0 0 0 1 0 0 -1, 0 0 0 0 0 1 0 -1, 0 0 0 0 0 0 1 -1};

XL={1 1 0 0 1 0 0 0, 1 1 0 0 0 1 0 0, 1 1 0 0 0 0 0 1, 1 0 1 0 1 0 0 0, 1 0 1 0 0 0 1 0, 1 0 1 0 0 0 0 1, 1 0 0 1 1 0 0 0, 1 0 0 1 0 1 0 0, 1 0 0 1 0 0 1 0, 1 0 0 1 0 0 0 1, 1 0 0 1 0 0 0 1, 0 1 0 -1 0 0 0 0, 0 0 1 -1 0 0 0 0, 0 0 0 0 1 0 0 -1, 0 0 0 0 0 1 0 -1, 0 0 0 0 0 0 1 -1}; L1={0 1 0 -1 0 0 0 0, 0 0 1 -1 0 0 0 0};

L2={0 0 0 0 1 0 0 -1, 0 0 0 0 0 1 0 -1,

0 0 0 0 0 0 1 -1};

Yfull={21.34, 20.73, 0, 21.09, 21.54, 0, 22.92, 21.47, 21.79,

20.95, 23.07, 21.99};

K = {1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1};

Y = K*Yfull;

rank_X =round(trace(ginv(X)*X)); /*rank matriks X*/ rank_XL=round(trace(ginv(XL)*XL)); /*rank matriks X,L*/ rank_L =round(trace(ginv(L)*L)); /*rank matriks L*/

E=echelon(X); /*echelon matriks X*/

I1=i(8); /*matriks identitas 8x8*/

I2=i(10); /*matriks identitas 10x10*/

SSE=t(Y)*(I2-(X*ginv(X)))*Y; /*mencari nilai SSE*/

a=(X*(I1-(ginv(L1)*L1))); /*mencari nilai SSE(R)H01*/

b=ginv(X*(I1-(ginv(L1)*L1))); SSER1=t(Y)*(a*b)*Y;

p=X*(I1-(ginv(L2)*L2)); /*mencari nilai SSE(R)H02*/

q=ginv(X*(I1-(ginv(L2)*L2))); SSER2=t(Y)*(p*q)*Y;

betahat=ginv(X)*Y; /*mencari beta duga*/

sigmahat=t(Y)*(I2-(X*ginv(X)))*Y; /*mencari sigma duga*/

F= ((SSER1-SSE)/6)/(SSE/3); G= ((SSER2-SSE)/6)/(SSE/3);

print E, Y, SSE, SSER1, SSER2;

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model linear merupakan suatu model yang merepresentasikan hubungan antara beberapa variabel. Misal diasumsikan hubungan antara variabel Y dan X, maka bentuk umum dari model yang dapat dibentuk adalah Y = Xβ + ε, dimana Y merupakan variabel dependent, X merupakan variabel independent, β adalah parameter dan ε adalah galat acak. Penerapan teori model linear ini sudah sering digunakan, karena dengan membangun data menjadi model umum yang lebih sederhana maka penyelesaian masalahnya menjadi lebih mudah. Jika data yang digunakan untuk membangun model ini adalah data populasi maka model tersebut tentu dapat mewakili kejadian yang sebenarnya. Namun, bagaimana apabila data yang diambil berupa sampel atau terdapat data pengamatan yang hilang.

Dalam bidang industri dengan tujuan untuk menghemat biaya dan waktu produksi maka pihak produsen hanya akan mengambil sampel dari total produksi, atau karena suatu kesalahan maka terdapat data yang tidak tercatat sehingga data diperoleh tidak lengkap. Akan timbul pertanyaan, apakah model dapat dibangun dari data sampel atau apakah model yang dibangun dari data sampel dapat merepresentasikan kejadian yang sebenarnya.

2

Konsep estimabilitas dalam statistika dapat menjawab pertanyaan tersebut. Gagasan yang penting dari konsep estimabilitas adalah terdapat BLUE (Best Linear Unbiased Estimates) yang unik dari kombinasi linear parameter jika kombinasi linearnya estimable (Milliken, 1971). Secara umum kondisi estimabilitas sangat sulit untuk diperiksa, namun Searle (1966) menyatakan bahwa : kombinasi linear Aβ dikatakan estimable jika dan hanya jika A(X’X)c_X’X

= A, dimana (X’X)c adalah suatu matriks yang memenuhi persamaan matriks X’X(X’X)cX’X = X’X, (berdasarkan model linear umum Y = Xβ + ε, matriks Bc disebut conditional inverse dari matriks B).

Terdapat beberapa karakteristik dari estimabilitas pada model linear umum yang menarik untuk diteliti. Oleh karena itu, penulis memilih tema karakteristik estimabilitas untuk memahami lebih dalam lagi mengenai konsep estimable pada model linear umum.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka masalah yang diambil berkaitan dengan penelitian ini yaitu memahami karakteristik estimabilitas serta penerapannya pada model linear umum.

1.3 Batasan Masalah

Kajian dari penelitian ini akan berfokus pada karakteristik estimabilitas berdasarkan matriks X.

3

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menguji kriteria suatu model linear umum dengan data hilang.

2. Menguji estimabilitas hipotesis kombinasi linear dari suatu model linear umum.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menambah bahan referensi mengenai karakteristik estimabilitas.

2. Memahami serta dapat menerapkan konsep estimabilitas pada persoalan umum yang terjadi.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep-konsep Matriks Definisi Matriks

Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A, B, X, Y. Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal dari lapangan F. Kita asumsikan lapangannya adalah bilangan real, kecuali untuk syarat yang sudah ditentukan sebelumnya. Himpunan bilangan real dinotasikan dengan R. Matriks A memiliki element yang dinotasikan dengan aij , dimana j merupakan

banyaknya kolom, dan i merupakan banyaknya baris. A = [ aij ]

Suatu matriks identitas dinotasikan dengan I (untuk menunjukkan ukuran dari matriks identitas, biasanya digunakan notasi In untuk merepresentasikan matriks identitas n x n), dan 0 untuk notasi dari matriks null.

Inverse Matriks

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar, jika ada matriks B sedemikian sehingga AB = I, maka B disebut sebagai inverse dari matriks A, dinotasikan dengan A-1. Jika AB = I, maka dapat ditunjukkan pula bahwa BA = I. Dimana bila ada matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks A yang memiliki inverse dikatakan

5

non-singular, sebaliknya apabila matriks A tidak memiliki inverse maka dikatakan singular.

Transpose Matriks

Jika baris dan kolom dari matriks A saling bertukar, menghasilkan matriks yang disebut sebagai transpose dari A dan dinotasikan sebagai A’. Jika A memiliki ukuran m x n, maka A’ memiliki ukuran n x m.

Rank Matriks

Matriks Anxm dikatakan mempunyai rank r ≤ min (m,n). Jika submatriks

nonsingular terbesarnya adalah r x r.

Trace Matriks

Suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama dikatakan matriks bujur sangkar, jika A matriks n x n maka trace (A) didefinisikan sebagai berikut :

∑ Generalized Inverse

Misalkan A adalah matriks m x n, jika ada matriks yang memenuhi kondisi berikut,

a.

b.

c.

6

jika terpenuhi kondisi a) maka disebut generalized inverse (g-inverse) dari A. Jika terpenuhi kondisi a) dan b) maka disebut generalized reflexive inverse dari A, dan apabila keempat kondisi tersebut terpenuhi maka disebut sebagai Moore-Penrose pseudoinverse (Graybill, 1983).

2.2 Definisi Desain Model Model Linear Umum

Y =Xβ + ε ( 1 )

dimana,

Y = [ ], X = [

]

β = [ ], ε = [ ]

dinamakan desain model jika dan hanya jika X terdiri dari angka 0 dan 1, dan X memiliki bentuk tertentu. Dari (1) dengan rank [X] = k :

a. Jika p = k maka model dikatakan model berperingkat penuh b. Jika k < p maka model dikatakan model berperingkat tak penuh (Usman dan Warsono, 2009).

2.3 Definisi Fungsi Estimable

Misalkan dalam model linear umum Y =Xβ + ε , fungsi linear dari parameter β, misalkan l’β dikatakan estimable jika dan hanya jika terdapat penduga tak bias l’β

7

2.4 Karakteristik Estimabilitas 2.4.1 Teorema 1

(Karakteristik Estimabilitas Berdasarkan Matriks X)

Vektor Lβ adalah estimable dimana L adalah kombinasi linear dari baris X, Y =Xβ + ε, jika dan hanya jika salah satu kondisi berikut terpenuhi :

a. L = BX, untuk sebarang matriks B b.

c. , untuk suatu g-inverse d. untuk suatu g-inverse

e. adalah invarian untuk setiap kuadrat terkecil g-inverse f. adalah invarian untuk setiap kuadrat terkecil g-inverse g. untuk setiap kuadrat terkecil g-inverse

Jika salah satu dari kondisi tersebut terpenuhi maka (c), (d), (f), dan (g) memenuhi untuk semua g-inverse dan

(Alalouf and Styan, 1979).

2.4.2 Lemma 1

Untuk matriks kesesuaian E dan F dan untuk sebarang pilihan masinmasing g-inversenya dan

a. b. Bukti :

Karena matriks

8

a. {

} ( ) { } b.

( ₎ (Marsaglia and Styan, 1974).

2.5 Uji Hipotesis 2.5.1 Teorema 2

Misal diberikan hipotesis, H0 : Lβ = 0 vs H1 : Lβ ≠ 0, dimana Lβ merupakan

kombinasi linear estimable. Model terbatas yang digunakan untuk memperoleh jumlah kuadrat karena hipotesis adalah,

Bukti :

Misalkan F full rank matriks ̅̅̅̅̅̅̅ sedemikian sehingga , catatan bahwa F’F = Ip-k ,

misalkan L’ matriks p x p [L’,F] , dimana K-1 = [ ,F], maka model linear-nya dapat ditulis sebagai berikut :

pada saat hipotesis nolnya bernilai benar, Lβ = 0 maka modelnya menjadi

9

model tersebut merupakan model yang diinginkan. Jumlah kuadrat karena galat untuk model terbatas adalah

jumlah kuadrat karena galat untuk model linear adalah

( ̂) ( ̂)

dengan menggunakan Principle of Conditional Error, jumlah kuadrat karena hipotesisnya adalah

(Milliken, 1971)

2.5.2 Teorema 3 Misalkan :

dan

maka Q1 adalah peubah acak berdistribusi nonsentral khi-kuadrat dengan derajat

bebas k dan parameter nonsentralitas

Q2 adalah peubah acak berdistribusi sentral khi-kuadrat dengan derajat bebas n-k ,

dan Q1 dan Q2 adalah independen.

Bukti :

Untuk bentuk kuadrat y’Ly suatu peubah acak berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r, matriks bentuk kuadratik L, harus idempoten dengan rank r.

10

Kondisi ini dengan mudah dapat diperiksa untuk Q1 dan Q2. Parameter

nonsentralitas dari bentuk kuadratiknya adalah

Parameter nonsentralitasnya dengan mudah dapat diperoleh untuk Q1 dan Q2.

Produk dari dua matriks bentuk kuadrat adalah nol, yang merupakan syarat dan perlu agar kedua bentuk kuadratik independen (Milliken, 1971).

2.6 Echelon Baris Matriks X

Asumsikan model linear (1), b’β adalah fungsi estimable jika ada vektor a, n x 1

sedemikian sehingga b’ = a’X [Graybill, 1976]. Sebagai contoh, jika β’ = [β1,β2,

..., βp] dan kita tertarik untuk menduga β1, β1 estimable jika ada a sedemikian

sehingga a’X = [1, 0, ..., 0]. Bilamana X berperingkat penuh, (X’X)-1 ada, dan baris-baris matriks p x n ,(X’X)-1X’ sebagai himpunan vektor yang diperlukan karena {(X’X)-1X’}Xβ = β. Dengan kata lain semua parameter β estimable jika X berperingkat penuh.

Jika X tidak berperingkat penuh, kita dapat mereduksinya ke dalam bentuk

echelon baris untuk menentukan parameter β yang estimable. Materi ini mencakup rangkaian operasi matriks, seperti mengurangi baris satu sama lain, atau mengurangi dengan mengalikan baris satu sama lain, atau mengalikan baris dengan konstanta, atau pertukaran dua baris. Tujuannya untuk mendapatkan k x p

submatriks terbesar [dimana rank(X) = k] berada dalam bentuk echelon baris dan sisa barisnya merupakan vektor nol. Setiap operasi baris ekuivalen dengan perkalian X oleh n x n matriks berperingkat penuh. Sebagai contoh, menggantikan

11

baris kedua X dengan selisih antara baris kedua dan pertama ekuivalen dengan perkalian X oleh A, dimana

A = [ ] ,

Dengan melakukan operasi matriks yang sesuai, katakan r kali, bentuk echelon

baris dari X dapat dinyatakan sebagai berikut : ArAr-1. . . A1X = X*,

dimana setiap Aj adalah peringkat penuh matriks n x n dan X* ada dalam echelon

baris. Dengan mendefinisikan A = ArAr-1. . . A1 , perhatikan bahwa A adalah

peringkat penuh matriks n x n , dan AX = X*. Karena X* ada dalam echelon

baris, bagian bawah submatriks (n – k) x p menjadi matriks null, oleh sebab itu kita hanya tertarik pada baris pertama k dari X* dan baris pertama k dari A.

Dengan mendefinisikan sebagai baris pertama k dari X*, dapat ditulis sebagai berikut :

[ ],

dimana adalah vektor p x 1 untuk i = 1, 2, ..., k. Dengan cara yang sama, definisikan Ak sebagai baris pertama k dari A, dan

12

dimana ai adalah vektor n x 1 untuk i = 1, 2, ..., k. Berdasarkan definisi

estimabilitas, setiap adalah fungsi estimable karena = untuk i = 1, 2, ..., k.

Echelon baris matriks X* dapat diinterpretasikan sebagai berikut, misalkan kita ingin mengetahui estimabilitas dari βj (1 ≤ j ≤ p). Pertama temukan baris X* dimana pertama entri j – 1 adalah 0 dan entri ke-j nya 1. Jika sisa entri p – j adalah 0, maka βj estimable. Tetapi jika, sisa entri p – j adalah 0 kecuali entri ke (j + 1) nya 1, maka βj + βj+1 estimable karena setiap baris X*β adalah fungsi estimable

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada Semester Ganjil Tahun Ajaran Periode 2015/2016.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kuantitatif, dengan memberikan suatu teladan untuk melihat penerapan karakteristik estimabilitas pada suatu kasus atau kejadian tertentu. Karakteristik yang akan digunakan pada penelitian ini diambil dari berbagai sumber literatur. Software yang digunakan untuk membantu penelitian ini adalah menggunakan Program SAS dan Matlab, guna mempermudah dalam melakukan perhitungan dan operasi matriks.

Adapun langkah-langkah dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membuktikan teorema karakteristik estimabilitas berdasarkan matriks X. 2. Dari data yang kita peroleh kita buat desain modelnya, dimana pada X terdiri

dari angka 0 dan 1.

3. Periksa apakah model Y = Xβ + ε berperingkat penuh atau tidak, (full rank/

14

4. Menentukan matriks L, yang merupakan matriks terdefinisi dimana jika baris dari matriks L adalah ruang vektor yang dibangun oleh baris matriks X, (Bose, 1949). Cara menentukannya dengan menggunakan bentuk echelon

baris.

5. Membuat hipotesis untuk menguji apakah kombinasi linearnya estimable, hipotesisnya adalah sebagai berikut :

H0 : Lβ = 0 vs H1 : Lβ ≠ 0

6. Setelah itu akan dipaparkan pengujian estimabilitas untuk teladan dari karakteristik estimabilitas yang penulis dapat dari berbagai literatur.

7. Selanjutnya akan dilakukan uji signifikansi model dengan melihat dari jumlah kuadrat karena hipotesis, hipotesisnya adalah

H0 : Lβ = 0 vs H1 : Lβ ≠ 0

Pertama kita cari dulu jumlah kuadrat karena galat untuk model terbatas

kemudian jumlah kuadrat karena galat untuk model linear, ( ̂) ( ̂)

dengan menggunakan Principle of Conditional Error, jumlah kuadrat karena hipotesisnya adalah

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan maka kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Setelah melakukan analisis pada model dengan data hilang melalui bentuk

echelon baris matriks X maka didapat fungsi estimable

{ } ,

sehingga pembuktian dalam karakteristik estimabilitas pada matriks X terpenuhi.

2. Pada contoh data tentang jumlah zooxanthella pada karang batu dari jenis

Acropora formosa persamaan model linearnya adalah sebagai berikut : yij= μ + αi + τj+ εij

dengan :

= konstanta, αi = kedalaman,

τj = lokasi (blok)

dimana : i = 1,2,3 dan j = 1,2,3,4.

Berdasarkan hasil pada bab 4 diperoleh kesimpulan tolak H0 atau terima

DAFTAR PUSTAKA

Alalouf, I. S., and Styan, P. H. 1979. Characterizations of Estimability in the General Linear Model. Annals of Statistics. Vol. 7. No. 1. Page 194-200. Bose, R. C. 1949. Least Squares Aspects of Analysis of Variance.Institute of

Statistics Mimeo Series 9. Chapel Hill.

Elswick, R. K. , Jr., dkk. 1991. A Simple Approach for Finding Estimable Functions in Linear Models. The American Statician.Vol. 45. No. 1. Graybill, Franklin A. 1983. Matrices with Applications in Statistics. Wardsworth

& Brooks/Cole Advanced Books & Software Pasific Grove. California. Marhaba, T. and R. Lippincott. 2000. Application of Flourescence Technique for

Rapid Identification of IOM Fraction in Source Waters. Journal of Environmental Engineering:1039-1044

Marsaglia, G. and Styan, G. P. H. 1974. Equalities and Inequalities for Ranks of Matrices. Linear and Multilinear Algebra 2 269-292.

Milliken, G.A. 1971. New Criteria for Estimability for Linear Models. Annals of Math. Stat. Vol.42.No.5.page 1588-1594.

Searle, S. R. 1966. Matrix Algebra for the Biological Sciences. Wiley,NewYork. Usman, Mustofa, Ph.D, dan Warsono, Ph.D. 2009. Teori Model Linear dan

baris kedua X dengan selisih antara baris kedua dan pertama ekuivalen dengan perkalian X oleh A, dimana

A = [

]

,

Dengan melakukan operasi matriks yang sesuai, katakan r kali, bentuk echelon baris dari X dapat dinyatakan sebagai berikut :

ArAr-1. . . A1X = X*,

dimana setiap Aj adalah peringkat penuh matriks n x n dan X* ada dalam echelon baris. Dengan mendefinisikan A = ArAr-1. . . A1 , perhatikan bahwa A adalah

peringkat penuh matriks n x n , dan AX = X*. Karena X* ada dalam echelon baris, bagian bawah submatriks (n – k) x p menjadi matriks null, oleh sebab itu kita hanya tertarik pada baris pertama k dari X* dan baris pertama k dari A.

Dengan mendefinisikan sebagai baris pertama k dari X*, dapat ditulis sebagai berikut :

[ ],

dimana adalah vektor p x 1 untuk i = 1, 2, ..., k. Dengan cara yang sama, definisikan Ak sebagai baris pertama k dari A, dan

12

dimana ai adalah vektor n x 1 untuk i = 1, 2, ..., k. Berdasarkan definisi estimabilitas, setiap adalah fungsi estimable karena = untuk i = 1, 2, ..., k.

Echelon baris matriks X* dapat diinterpretasikan sebagai berikut, misalkan kita ingin mengetahui estimabilitas dari βj (1 ≤ j ≤ p). Pertama temukan baris X*

dimana pertama entri j – 1 adalah 0 dan entri ke-j nya 1. Jika sisa entri p – j adalah 0, maka βj estimable. Tetapi jika, sisa entri p – j adalah 0 kecuali entri ke (j + 1)

nya 1, maka βj + βj+1 estimable karena setiap baris X*β adalah fungsi estimable

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada Semester Ganjil Tahun Ajaran Periode 2015/2016.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kuantitatif, dengan memberikan suatu teladan untuk melihat penerapan karakteristik estimabilitas pada suatu kasus atau kejadian tertentu. Karakteristik yang akan digunakan pada penelitian ini diambil dari berbagai sumber literatur. Software yang digunakan untuk membantu penelitian ini adalah menggunakan Program SAS dan Matlab, guna mempermudah dalam melakukan perhitungan dan operasi matriks.

Adapun langkah-langkah dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membuktikan teorema karakteristik estimabilitas berdasarkan matriks X. 2. Dari data yang kita peroleh kita buat desain modelnya, dimana pada X terdiri

dari angka 0 dan 1.

3. Periksa apakah model Y = Xβ + ε berperingkat penuh atau tidak, (full rank/ non-full rank).

14

4. Menentukan matriks L, yang merupakan matriks terdefinisi dimana jika baris dari matriks L adalah ruang vektor yang dibangun oleh baris matriks X, (Bose, 1949). Cara menentukannya dengan menggunakan bentuk echelon baris.

5. Membuat hipotesis untuk menguji apakah kombinasi linearnya estimable, hipotesisnya adalah sebagai berikut :

H0 : Lβ = 0 vs H1 : Lβ ≠ 0

6. Setelah itu akan dipaparkan pengujian estimabilitas untuk teladan dari karakteristik estimabilitas yang penulis dapat dari berbagai literatur.

7. Selanjutnya akan dilakukan uji signifikansi model dengan melihat dari jumlah kuadrat karena hipotesis, hipotesisnya adalah

H0 : Lβ = 0 vs H1 : Lβ ≠ 0

Pertama kita cari dulu jumlah kuadrat karena galat untuk model terbatas

kemudian jumlah kuadrat karena galat untuk model linear, ( ̂) ( ̂)

dengan menggunakan Principle of Conditional Error, jumlah kuadrat karena hipotesisnya adalah

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan maka kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Setelah melakukan analisis pada model dengan data hilang melalui bentuk

echelon baris matriks X maka didapat fungsi estimable

{

}

,

sehingga pembuktian dalam karakteristik estimabilitas pada matriks X terpenuhi.

2. Pada contoh data tentang jumlah zooxanthella pada karang batu dari jenis Acropora formosa persamaan model linearnya adalah sebagai berikut :

yij= μ + αi + τj+ εij

dengan :

= konstanta, αi = kedalaman,

τj = lokasi (blok)

dimana : i = 1,2,3 dan j = 1,2,3,4.

Berdasarkan hasil pada bab 4 diperoleh kesimpulan tolak H0 atau terima

DAFTAR PUSTAKA

Alalouf, I. S., and Styan, P. H. 1979. Characterizations of Estimability in the General Linear Model. Annals of Statistics. Vol. 7. No. 1. Page 194-200. Bose, R. C. 1949. Least Squares Aspects of Analysis of Variance.Institute of

Statistics Mimeo Series 9. Chapel Hill.

Elswick, R. K. , Jr., dkk. 1991. A Simple Approach for Finding Estimable Functions in Linear Models. The American Statician.Vol. 45. No. 1. Graybill, Franklin A. 1983. Matrices with Applications in Statistics. Wardsworth

& Brooks/Cole Advanced Books & Software Pasific Grove. California. Marhaba, T. and R. Lippincott. 2000. Application of Flourescence Technique for

Rapid Identification of IOM Fraction in Source Waters. Journal of Environmental Engineering:1039-1044

Marsaglia, G. and Styan, G. P. H. 1974. Equalities and Inequalities for Ranks of Matrices. Linear and Multilinear Algebra 2 269-292.

Milliken, G.A. 1971. New Criteria for Estimability for Linear Models. Annals of Math. Stat. Vol.42.No.5.page 1588-1594.

Searle, S. R. 1966. Matrix Algebra for the Biological Sciences. Wiley,NewYork. Usman, Mustofa, Ph.D, dan Warsono, Ph.D. 2009. Teori Model Linear dan