58
BAB 4
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Penelitian
4.1.1 Penduga Regresi
Perkiraan regresi linear dengan memisalkan
i
y dan
i
x masing – masing
diperoleh untuk setiap unit dalam sampel dan rata-rata populasi X dari
i
x diketahui maka perkiraan regresi
Y
dengan rata-rata populasi y
i
adalah
x X
b y
y
lr
− +
=
4.1.1 Dimana notasi lr menyatakan regresi linear dengan b adalah suatu
koefisien perkiraan dari perubahan dalam y bila x meningkat. Alasan utama dari pendugaan ini adalah jika
x
dibawah rata-rata, maka harus mengira y juga di bawah rata – rata dari suatu jumlah
x X
b −
karena regresi dari y
i
pada x
i .
. Untuk suatu pendugaan jumlah populasi Y diambil
lr lr
y N
Y =
∧
4.1.2 Penduga regresi adalah perkiraan yang dibuat untuk meningkatkan
ketelitian dengan menggunakan variabel tambahan x
i
yang berkorelasi dengan y
i
bila hubungan antara y
i
dan x
i
diuji, mungkin ditemukan bahwa walaupun hubungannya mendekati linear, garisnya tidak melalui origin. Hasil ini
menyarankan suatu pendugaan didasarkan pada regresi linear dari y
i
pada x
i
lebih baik daripada rasio dua variabel.
59
4.1.2 Tak Bias Penduga Regresi
Berdasarkan definisi 2.1 dijelaskan bahwa
∧
θ dikatakan penduga tak bias
bagi parameter θ , jika .
θ θ =
∧
E Akan ditunjukkan bahwa
lr
y
tak bias terhadap
lr
y yaitu akan ditunjukkan bahwa
lr lr
y y
E =
.
Jika n besar maka
x
tidak jauh berbeda dari X , begitu juga sebaliknya dengan y tidak jauh berbeda dengan Y .
cochran: 1991:36.
lr lr
lr lr
lr
y y
y x
x b
y y
x X
b y
y y
− =
− −
+ =
− −
+ =
−
= −
= =
= −
= −
+ −
= −
lr lr
y y
E E
E Y
E y
E x
X b
Y y
E y
y E
= −
lr lr
y E
y E
Karena k
k E
= untuk setiap konstanta k, jadi
lr lr
y y
E =
.
Jadi hal ini menunjukkan bahwa penduga yang digunakan
lr
y
adalah sebuah penduga yang tak bias terhadap
lr
y .
60
4.1.3 Efisiensi Penduga Regresi
Efisiensi bervariansi minimum suatu penduga hanya dapat dilakukan dengan membandingkan nilai variansinya. Suatu penduga dikatakan lebih
efisien bilamana variansinya lebih kecil. Untuk membahas penduga dari sebuah parameter yang mempunyai variansi minimum, harus membandingkan dua buah
penduga dalam hal variansinya. Misalkan ada dua penduga tak bias
1 lr
y
dan
2 lr
y
.untuk
lr
y . Kemudian
1 lr
y V
dan
2 lr
y V
masing-masing merupakan varians dari
1 lr
y
dan varians dari
2 lr
y
. Jika
1 lr
y
lebih kecil dibandingkan dengan
2 lr
y
, maka
1 lr
y
dikatakan penduga yang lebih efisiensi dibandingkan dengan
2 lr
y
. Sedangkan
1 1
2 2
ρ −
− =
y lr
S n
f y
V dengan
2 2
2 2
x y
yx
S S
S =
ρ dengan
N n
f =
Akan ditunjukkan bahwa
2 1
lr lr
lr
y V
y V
y V
≤ ≤
maka
1 lr
y
penaksir yang lebih efisiensi dibandingkan dengan
2 lr
y
.
2 1
lr lr
lr
y V
y V
y V
≤ ≤
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
x yx
y x
yx y
x yx
y x
y yx
x y
y x
y yx
x y
y x
y yx
x y
y x
y yx
y x
y yx
y x
y yx
y y
y y
y y
y y
y y
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S n
f S
n f
S n
f S
n f
S n
f S
n f
− ≤
− ≤
− ⇔
− ≤
− ≤
− ⇔
− ≤
− ≤
− ⇔
− ≤
− ≤
− ⇔
− −
≤ −
− ≤
− −
⇔ −
− ≤
− −
≤ −
− ⇔
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
61
jelas
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
2 2
1 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 1
... ...
... ...
... ...
x x
x x
x x
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
x x
x x
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
x x
x x
x x
y y
x x
y y
x x
y y
n n
n n
n n
n n
n
− +
− +
− −
− −
− +
− −
≤ −
+ −
+ −
− −
− −
+ −
− ≤
− +
− +
− −
− −
− +
− −
Dengan asumsi
2 2
2 2
1 2
2 2
1 1
2 1
2 1
1 2
2 1
1 1
2 2
2 2
2 1
1
... ...
...
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
n n
n n
n n
− −
− −
+ −
− ≤
− −
− −
+ −
− ≤
− −
− −
+ −
−
dan
2 2
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
1 2
1 1
2 2
2 2
1
... ...
... x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
n n
n
− −
+ −
≥ −
− +
− ≥
− −
+ −
Jadi terbukti bahwa
2 1
lr lr
lr
y V
y V
y V
≤ ≤
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 1
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
x x
n x
x y
y n
y y
n x
x n
x x
y y
n y
y n
x x
n x
x y
y n
y y
n
i n
i i
i n
i i
n i
i n
i i
i n
i i
n i
i n
i i
i n
i i
n i
− −
− −
− −
− −
≤ −
− −
− −
− −
− ≤
− −
− −
− −
− −
⇔
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
= =
= =
= =
= =
=
62
4.1.4 Penarikan Sampel Acak Berlapis