23
Dimana B adalah koefisien regresi linear populasi y pada x. Kesalahan tersebut dimasukkan dalam penarikan
x X
b B
− −
. Nilai ini seharusnya sebesar 1n dalam sampel acak sederhana berukuran n, karena
B b
− dan
X x
− keduanya
bernilai n
1 . Tetapi kesalahan penarikan sampel dalam
lr
y
adalah sebesar n
1 , karena ini adalah kesalahan dalam rata-rata sampel dari variabel
i i
Bx y
− . Oleh karena itu
2
Y y
E
lr
−
adalah
lr
y V
Dengan 2.7.2, dalam sampel besar, 1
1
2 2
2
ρ −
− =
= −
y lr
lr
S n
f y
V Y
y E
2.7.7
2.8 Bias dari Pendugaan Regresi Linear
Penduga
lr
y
mempunyai sebuah bias sebesar 1n dalam penarikan sampel acak sederhana. Diperoleh
X x
Eb Y
y E
lr
− −
=
2.8.1 Dengan
. ,
x b
kov X
x Eb
− =
− Sehingga biasnya menjadi
2 2
1
x i
i
S X
x Ee
n f
− −
− 2.8.2
Ini menyajikan suatu kontribusi dari komponen kuadrat regresi y pada
x
. Dengan demikian, jika sebuah plot sampel dari
i
y terhadap
i
x muncul mendekati linear,
ada sedikit resiko dari bias utama pada
lr
y
. Cochran,W.1991:226
2.9 Penduga Regresi Linear dengan Model Regresi Linear
24
Misalkan nilai populasi terbatas ...
, 2
, 1
N i
y
i
= secara acak diambil dari
suatu populasi tidak terbatas dengan ε
β α
+ +
= x
y 2.9.1
Dimana ε adalah bebas, dengan rata-rata 0 dan varians
2 ε
σ untuk x tetap. Dengan penggantian langsung dari modelnya kita peroleh bahwa
∑ ∑
∑ ∑
− −
+ =
− −
=
n i
n i
i n
i n
i i
x x
x x
x x
x x
y b
2 2
ε β
2.9.2
∑ ∑
− −
− +
− =
−
n i
n i
i N
n lr
x x
x x
x X
Y y
2
ε ε
ε 2.9.3
di mana
n
ε
dan
N
ε
adalah rata-rata seluruh sampel dan populasi terbatas. Mengikuti dari 2.9.3 bahwa dengan model ini,
= − Y
y E
lr
sehingga
lr
y
adalah model tidak bias untuk setiap ukuran sampel.
2.10 Penarikan Sampel Acak Berlapis
Pengambilan sampel acak berlapis stratified random sampling adalah pemilihan sampel dengan cara membagi populasi dari populasi heterogen ke
dalam kelompok-kelompok yang homogen yang disebut strata, dan kemudian sampel diambil secara acak dari tiap lapis.
25
Sampling acak berlapis SAB adalah samplingnya diperoleh dengan cara sebagai berikut :
1. Populasi dipecah dibagi menjadi populasi yang lebih kecil disebut stratum
2. Pembentukan stratum harus sedemikian rupa sehingga setiap stratum homogen
atau relatif homogen 3.
Setiap stratum kemudian diambil sampel acak dan dibuat perkiraan untuk mewakili stratum yang bersangkutan
4. Perkiraan secara menyeluruh over all estimation diperoleh secara gabungan
Supranto, J.2000:123-124 Dalam penarikan sampel acak berlapis N unitnya pertama-tama dibagi ke
dalam subpopulasi lapisan, masing-masing
. 2
1
,.... ,
i
N N
N unit. Lapisan ini tidak
boleh tumpang-tindih dan seluruh lapisan bisa dijumlahkan, maka diperoleh N
N N
N
i
= +
+ +
. 2
1
.... . Untuk memperoleh keuntungan yang maksimal dari
pelapisan, nilai N
h
jumlah unit harus diketahui. Bila lapisan telah ditentukan maka pengambilan dilakukan secara bebas untuk lapisan yang berbeda. Ukuran
sampel di dalamnya dinotasikan dengan
. 2
1
,.... ,
i
n n
n
2.11 Sifat-sifat Pendugaan Pada Sampel Berlapis
Ketelitian dari suatu pendugapenaksir yang dibuat, tergantung pada metode dan rencana penarikan sampel yang digunakan. Namun demikian seering dijumpai
dalam penaksiran tanpa menyebutkan metode penaksiran dan metode sampling
yang digunakan.
26
Untuk rata-rata populasi perunit, perkiraan yang digunakan dalam penarikan
sampel berlapis adalah
,
1 1
∑ ∑
= =
= =
L h
h h
L h
h h
st
x W
n x
N x
perbedaannya adalah
st
x
adalah tidak sama dengan rata-rata sampel biasa. Rata-rata sampel,
x
dapat
ditulis sebagai ,
1
n x
n x
L h
h h
∑
=
= perbedaannya adalah
st
x
diperkirakan dari lapisan
secara individual dengan koreksi penimbang
. N
N
h
Hal ini berarti bahwa y sama
dengan asalkan setiap lapisan f
f N
n N
n atau
N N
n n
h h
h h
h
= =
= =
st
y
f dan
f
h
disebut dengan fraksi penarikan sampel yang nilainya sama untuk seluruh lapisan.
Sifat-sifat untuk sampel berlapis diberikan dalam teorema-teorema sebagai berikut :
Teorema 2.6 Jika dalam setiap lapisan, perkiraannya
h
y
adalah tak bias, maka
st
y
adalah sebuah perkiraan yang tidak bias dari rata-rata populasi
Y
Cochran,W.1991:104 Bukti :
∑ ∑
= =
= =
L h
h h
L h
h h
st
Y W
y W
E y
E
1 1
2.11.1
27
Karena perkiraannya adalah tak bias dalam individu lapisan maka rata-rata populasi
Y
dapat ditulis
∑ ∑
∑∑
= =
= =
= =
=
L h
h h
L h
h h
L h
N i
hi
Y W
N Y
N N
y Y
h
1 1
1 1
`
2.11.2
Sehingga
Y y
E
st
=
Jadi
st
y
adalah sebuah perkiraan tak bias dari rata-rata populasi
Y
.
Teorema 2.7 Jika diambil secara bebas dalam lapisan yang berbeda,
∑
=
=
L h
h h
st
y V
W y
V
1 2
dengan
h
y V
adalah varians dari
h
y
seluruh pengulangan dari lapisan h. Cochran,W. 1991:104.
Bukti :
∑
=
=
L h
h h
st
y W
y
1
2.11.13
Karena
st
y
adalah fungsi linier dari
h
y
dengan penimbang tetap
h
W . Dengan
demikian dapat dibatasi hasil statistiknya untuk varians dengan fungsi linier.
∑∑ ∑
= =
+ =
L h
L h
j h
h j
h L
h h
h st
y y
kov W
W y
V W
y V
1 1
2
2
2.11.4
28
Karena diambil secara bebas dalam lapisan yang berbeda, maka seluruh kovarians menjadi nol. Maka
∑
=
=
L h
h h
st
x V
W y
V
1 2
2.11.5
Teorema 2.8 : Untuk penarikan acak berlapis, varians dari perkiraan
st
y
adalah
∑ ∑
= =
− =
− =
L h
L h
h h
h h
h h
h h
h st
f n
S W
n S
n N
N N
y V
1 1
2 2
2
1 1
2.11.6 Cochran, W.1991:104
Bukti : Karena
h
y
adalah suatu perkiraan yang tidak bias dari
h
Y
menurut teorema 2.7 yaitu :
∑
=
=
L h
h h
st
y V
W y
V
1 2
2.11.7
Dan dengan varians masing-masing lapisan,
h h
h h
h h
N n
N n
S y
V −
=
2
2.11.8
Dari persamaan 2.11.6 dan 2.11.7 didistribusikan diperoleh :
29
2.11.9 Teorema 2.9
Jika
st st
y N
Y V
=
∧
adalah perkiraan dari jumlah populasi
Y
, maka
h h
h L
h h
h st
n S
n N
N Y
V
2 1
− =
∑
= ∧
h h
L h
h h
h L
h h
h h
h h
st st
st
n S
n N
N n
S n
N N
N N
y V
N y
N V
Y V
2 1
1 2
2 2
2
1
∑ ∑
= =
∧
− =
− =
= =
2.11.10
2.12 Penduga Regresi Dalam Penarikan Sampel Acak Berlapis
