Langkah Induksi Kesimpulan Periode 2 6 bulan kedua

Matematika Kurikulum 2013 167 Ayo Menalar Anda sudah memiliki kumpulan contoh pembuktian dengan induksi matematis. Coba Anda analisis pembuktian itu dengan menggunakan pisau analisis berikut: 1. Ada berapa langkah yang digunakan dalam pembuktian itu? 2. Apa yang istimewa dari langkah pertama kalau dibandingkan dengan apa yang diketahui dari soal atau pernyataan yang akan dibuktikan? 3. Apa yang istimewa dari langkah kedua dari pembuktian tersebut? Tuliskan hasil analisis Anda ke dalam power point atau kertas manila dan siapkan diri untuk saling berbagi dengan teman Anda. Ayo Mengomunikasikan Coba saling pertukarkan power point atau kertas manila Anda dengan teman Anda. Cobalah meminta penjelasan kepada teman Anda tentang apa yang teman Anda tuliskan dan kritisi, tanyakan, atau berikan saran perbaikannya. Kalau sudah, cobalah Anda membentuk kelompok 4 orang dan sepakatilah kesimpulan kelompok Anda. Sesudah itu, coba Anda tengok pekerjaan kelompok lain dan bandingkan dengan pekerjaan Anda. Ayo Menalar Bantu siswa untuk menganalisis 3 pertanyaan dengan pisau analisis tersebut secara berkelompok 4 orang. Mintalah siswa menuliskan hasil diskusinya dalam bentuk power point atau di kertas. Ayo Mengomunikasikan Bantu siswa dalam menukarkan dan mengkritisi hasil kerja kelompoknya dengan kelompok lain. Bantulah siswa menyimpulkan hasil diskusinya. Hasil diskusi yang diharapkan adalah sebagai berikut. 1. Terdapat 3 langkah yang digunakan dalam pembuktian itu, yaitu 1. Langkah Dasar, 2. Langkah Induksi, dan 3. Kesimpulan a. Langkah Pertama Dasar, membuktikan bahwa P1 benar untuk induksi matematis atau Pm benar untuk induksi matematis yang diperluas. b. Langkah Kedua Induksi Untuk induksi matematis, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila Pk benar, maka Pk+1 juga benar. Untuk induksi matematis yang diperluas, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k t m, apabila Pk benar, maka Pk + 1 juga benar. c. Kesimpulan Untuk induksi matematis, menyimpulkan bahwa Pn benar untuk semua bilangan asli n Untuk induksi matematis yang diperluas, menyimpulkan bahwa Pn benar untuk semua bilangan asli n t m untuk suatu bilangan asli m. Buku Guru Kelas XII SMAMA 168 1. Membuat JHQHUDOLVDVL dan menemukan formula. Perhatikan grid sebagai berikut, kemudian buatlah generalisasi untuk menentukan a. banyaknya persegi yang bisa ditemukan pada grid. b. Banyaknya persegipanjang yang bisa ditemukan pada grid. 2. Membuktikan dengan Induksi matematis. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar. a. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2Q = QQ + 1 , untuk setiap bilangan asli Q. b. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2 n 2 n 1, untuk setiap bilangan asliQ. c. 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... 6 Q Q Q Q = , untuk setiap bilangan asli Q. d. 2 3 3 3 3 1 2 3 ... 1 2 3 ... Q Q = , untuk setiap bilangan asli n. e. 1 2 1 2 2 3 3 4 ... 1 3 Q Q Q Q Q ˜ ˜ ˜ untuk setiap bilangan asli. f. 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 1 Q Q Q Q = ˜ ˜ ˜ untuk setiap bilangan asli. g. Q 3 + 5Q adalah kelipatan 6 untuk setiap bilangan asli Q. Latihan 3.1 Alternatif Penyelesaian Latihan 3.1 1. Generalisasi a. Banyak persegi - Banyak persegi terbesar 4 u4 =1 - Banyak persegi 3 u3 = 4 - Banyak persegi 2 u2 = 9 - Banyak persegi 1 u1 = 16 Jadi banyak pesergi yang ditemukan = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 b. Banyak persegi panjang - Banyak persegi panjang 4 u4 =1 - Banyak persegi panjang 4 u3 atau 3 u4 = 4 - Banyak persegi panjang 4 u2 atau 2 u4 = 6 - Banyak persegi panjang 4 u1 atau 1 u4 = 8 - Banyak persegi panjang 3 u3 = 4 - Banyak persegi panjang 3 u2 atau 2 u3 = 12 - Banyak persegi panjang 3 u1 atau 1 u3 = 16 - Banyak persegi panjang 2 u2 = 9 - Banyak persegi panjang 2 u1 atau 1 u2 = 24 - Banyak persegi panjang 1 u1 = 16 Jadi banyak persegi panjang = 1 + 4 + 6+ 8 + 4 + 12 + 16 + 9 + 24 + 16 = 70. 2. Bukti hanya diberikan pada langkah induksi. a. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k = kk + 1. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2k + 1 = kk + 1 + 2k + 1 = k + 1 + k + 2. Jadi Pk + 1 benar. Matematika Kurikulum 2013 169

b. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 k 1 = 2 k 1. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 k 1 + 2 k 11 = 2 k 1 + 2 k = Â k 1 = 2 k 1 1 Jadi Pk + 1 benar.

c. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 = 1 2 1 6 k k k . Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + k + 1 2 = 1 2 1 6 k k k + k + 1 2 = 1 2 1 6 1 6 k k k ª º ¬ ¼ 2 1 2 7 6 6 k k k ª º ¬ ¼ = 1 2 2 3 6 k k k = 1 1 1 2 1 1 6 k k k Jadi Pk + 1 benar.

d. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + k 3 = 2 1 2 k k § · ¨ ¸ © ¹ . Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + k 3 + k + 1 3 = 2 1 2 k k § · ¨ ¸ © ¹ + k + 1 3 = 2 1 2 k k § · ¨ ¸ © ¹ [k 2 4k + 1] 2 1 2 k k § · ¨ ¸ © ¹ k + 2 2 = 2 1 2 2 k k § · ¨ ¸ © ¹ Jadi Pk + 1 benar. Buku Guru Kelas XII SMAMA 170

e. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. UWLQ\DÂÂÂkk + 1 = 1 2 3 k k § · ¨ ¸ © ¹ . Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. 3HUKDWLNDQEDKZDÂÂÂkk + 1 + kk + 1+ k + 1 + 1 = 1 2 3 k k k § · ¨ ¸ © ¹ + k + 1k + 1 + 1 = 1 2 3 k k k [k + 3] = 1 1 1 1 2 3 k k k Jadi Pk + 1 benar. f. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 k k ˜ ˜ ˜ . Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 k k k k ˜ ˜ ˜ = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k = 2 2 1 1 1 1 k k k k = 2 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k Jadi Pk + 1 benar. Matematika Kurikulum 2013 171

g. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya k 3 + 5k adalah kelipatan 6. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa k + 1 3 + 5k + 1 = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 + 5k + 5 = k 3 + 5k + 3k 2 + 3k + 6 = k 3 + 5k + 3k + 1 k + 2 Karena k + 1 k + 2 adalah dua bilangan asli yang berurutan, maka salah satu k + 1 atau k + 2 adalah bilangan genap. Sehingga k + 1 k + 2 adalah bilangan genap atau kelipatan 2. Akibatnya 3 k + 1 k + 2 adalah bilangan kelipatan 6. Karena k 3 + 5k adalah kelipatan 6, maka k + 1 3 + 5k + 1 = k 3 + 5k + 3k + 1 k + 2 juga kelipatan 6. Jadi Pk + 1 benar.

h. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya k 3 + k + 1 3 + k + 2 3 habis dibagi 9. Akan ditunjukkan P k + 1 benar. Perhatikan bahwa k + 1 3 + k + 2 3 + k + 3 3 = k + 1 3 + k + 2 3 + k 3 + 9k 2 + 27k + 27 = k 3 + k + 1 3 + k + 2 3 + 9k 2 + 3k + 3. Karena k 3 + k + 1 3 + k + 2 3 dan 9k 2 + 3k + 3 masing-masing habis dibagi 9, maka k + 1 3 + k + 2 3 + k + 3 3 = k 3 + k + 1 3 + k + 2 3 + 9k 2 + 3k + 3 juga habis dibagi 9. Jadi Pk + 1 benar. i. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 3 k k d Buku Guru Kelas XII SMAMA 172 Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 3 1 1 k k k k d . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 2 1 1 1 2 2 1 1 k k k d Hal ini sama dengan menunjukkan bahwa 2 1 1 1 1 1 k k k d . Ini dibuktikan dengan ekivalensi berikut. 2 1 1 1 1 1 k k k d l 2 2 1 1 1 1 k k k d 1 k l 2 2 1 k k d 1 k l kk ”k + 1 2 + k 2 + 2k + 1 Jadi Pk + 1 benar. j. Langkah Induksi