Buku Guru Kelas XII SMAMA
172
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 ...
2 1
2 3
1 1
k k
k k
d .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
2
1 1
1 2
2 1
1 k
k k
d Hal ini
sama dengan menunjukkan bahwa
2
1 1
1 1
1 k
k k
d . Ini dibuktikan
dengan ekivalensi berikut.
2
1 1
1 1
1 k
k k
d l
2 2
1 1
1 1
k k
k d
1 k
l
2
2 1
k k
d 1
k l
kk k + 1
2
+ k
2
+ 2k + 1 Jadi Pk + 1 benar.
j. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya, cosx cos2x cos4x ... cos2
k-1
x = sin 2
2 sin
k k
x x
. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar.
Sekarang cosx cos2x cos4x ... cos2
k-1
x cos2
k
x = sin 2
2 sin
k k
x x
cos2
k
x. Dengan menggunaan kesamaan sin 2a = 2 sina cosa didapat
sin 2 2 sin
k k
x x
cos2
k
x =
1
1 sin 2 2
sin 2 2
2 sin 2 sin
k k
k k
x x
x x
.
Jadi Pk + 1 benar.
Matematika Kurikulum 2013
173
k. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya x
3k
adalah bilangan-bilangan genap. Akan ditunjukkan P k + 1 benar, yaitu x
3k+1
. Perhatikan bahwa x
3k+1
= x
3k+3
= x
3k+2
+ x
3k+1
= x
3k+1
+ x
3k
+ x
3k+1
= 2x
3k+1
+ x
3k
adalah bilangan genap sebab 2x
3k+1
dan x
3k
keduanya genap. Jadi P k + 1 benar.
l. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k t 5, misalkan Pk benar.
Artinya, k
2
+ 3 d 2
k
. Akan ditunjukkan P k + 1 benar.
Perhatikan bahwa k + 1
2
+ 3 = k
2
+ 2k + 1 + 3 d 2
k
+ 2k + 1. Karena k
t 5, maka 2k + 1 d 2
k
. Akibatnya k + 1
2
+ 3 d 2
k
+ 2k + 1 d 2
k
+ 2
k
Â
k
= 2
k+1
. Jadi P k + 1 benar.
m. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k t 6, misalkan Pk benar.
Artinya, 5k + 5 d k
2
. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar.
Perhatikan bahwa 5k + 1 + 5 = 5k + 10 d k
2
+ 10. Karena k
t 6, maka 10 d 2k + 1. Akibatnya 5k + 1 + 5
d k
2
+ 10 d k
2
+ 2k + 1 = k + 1
2.
Jadi P k + 1 benar.
Buku Guru Kelas XII SMAMA
174
h. Jumlah pangkat 3 dari setiap tiga bilangan asli berurutan habis dibagi 9.
i.
2 2
2 2
1 1
1 1
1 ...
2 1
2 3
Q Q
d , untuk setiap bilangan asli Q.
j.
1
sin 2 cos cos 2 cos 4 ...cos 2
2 sin
Q Q
Q
x x
x x
x x
= , untuk setiap bilangan
asli Q. k. Misalkan x
= 0, x
1
= 1, x
Q+1
= x
Q
x
Q1
dengan Q adalah bilangan asli.
Buktikan : x
3Q
merupakan bilangan genap, untuk semua bilangan asli Q.
l. Buktikan bahwa Q
2
+ 3 d 2
Q
, untuk semua bilangan asli Q t 5. m. Buktikan bahwa 5Q + 5 d Q
2
, untuk semua bilangan asli Q t 6. 3. Barisan Fibonacci adalah barisan yang berbentuk
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … Perhatikan bahwa dua suku pertama adalah 1 dan 1, dan sebarang suku
selanjutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Contohnya suku ketiga adalah 1 + 1 = 2, suku keempat adalah 1 + 2 = 3, dan seterusnya.
Kita menyatakan suku ke-n dari barisan ini sebagai F
Q
. Jadi, F
1
= 1, F
2
= 1, dan F
n
= F
n-1
+ F
n-2
. Barisan Fibonacci perlu diperkenalkan disini karena barisan Fibonacci
berkaitan erat dengan induksi matematis. Barisan ini memiliki struktur dan pola yang menarik. Perhatikan kondisi F
n
= F
n-1
+ F
n-2
atau ekuivalen dengan F
n+1
= F
n
+ F
n-1
yang merupakan langkah persiapan induksi yang sempurna. Kondisi tersebut mengarahkan
kita bahwa kita dapat menentukan sesuatu tentang F
n
dengan melihat suku-suku barisan yang sebelumnya. Karena itu dalam penggunaan
induksi untuk membuktikan sesuatu tentang barisan Fibonacci, dapat diharapkan untuk menggunakan persamaan F
n
= F
n-1
+ F
n-2
dalam langkah pembuktiannya.
Matematika Kurikulum 2013
175
Buktikan sifat-sifat barisan Fibonacci berikut: a.
2 2
1 1
1
Q Q
Q Q
Q
F F F
F , untuk semua Q bilangan asli.
E
1
+ F
2
+ F
3
+ F
4
+ ... + F
n
= F
n+2
±XQWXNVHPXDQ bilangan asli. c.
2 2
2 2
1 2
3 1
...
Q Q
Q
F F
F F
F F =
, untuk semua Q bilangan asli.. G
1
+ F
3
+ F
5
+ F
7
+ ... + F
2n-1
= F
2n
, untuk semua Q bilangan asli. H
2
+ F
4
+ F
6
+ F
8
+ ... + F
2n
= F
2n+1
±XQWXNVHPXDQ bilangan asli.
4. Pada tahun ajaran baru ada 30 siswa kelas baru di kelas X. Untuk memperkenalkan diri setiap siswa saling bersalaman dengan siswa
lainnya. Kita ingin mengetahui ada berapa banyak jabat tangan yang terjadi.
a. Untuk mengetahui hal tersebut, isilah tabel di bawah ini
DQ\DNVLVZD DQ\DNMDEDWWDQJDQ\DQJWHUMDGL
2 3
4 5
b. Apakah Anda sudah dapat menduga pola banyak jabat tangan yang terjadi? Tuliskan pola itu dan gunakan untuk mencari banyak jabat
tangan yang terjadi jika ada 10 siswa, 30 siswa, dan Q siswa. c. Buktikanlah pola yang diperoleh di bagian ii dengan menggunakan
induksi matematis 5. Tunjukkan apa yang salah pada “pembuktian” “teorema” berikut .
a. “Teorema” : Untuk setiap bilangan bulat positif Q, berlaku :
2
1 1 2 3 ...
2 Q
Q =
Latihan 3.1
Alternatif Penyelesaian
3. Bukti hanya akan diberikan pada Langkah Induksi a. Langkah Induksi
