Buku Guru Kelas XII SMAMA
164
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N, misalkan pernyataan PN itu bernilai benar. Artinya, kita anggap bahwa 3 membagi NN + 1N + 2.
Akan ditunjukkan bahwa PN + 1 bernilai benar, yaitu 3 membagi N + 1 N + 1 + 1N + 1 + 2 atau 3 membagi N + 1N + 2N + 3.
Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka bentuk N + 1 N + 2N + 3 dapat diubah menjadi [N + 1N + 2N] + [N + 1N + 23]
yang merupakan penjumlahan dari NN + 1N + 2 dan 3N + 1N + 2. Dari pemisalan, sudah diketahui bahwa 3 membagi NN + 1N + 2.
Karena 3 juga membagi 3N + 1N + 2, maka 3 juga membagi NN + 1 N + 2 + 3N + 1N + 2.
Dengan demikian, PN + 1 3 membagi N + 1N + 1 + 1N + 1 + 2 bernilai benar.
Jadi, jika 3 membagi NN + 1N + 2 maka 3 membagi N + 1N + 1 + 1 N + 1 + 2.
. Kesimpulan
PQ : 3 membagi QQ + 1Q + 2 benar untuk setiap bilangan asli Q.
Contoh 3.10
Buktikan bahwa pertidaksamaan 3
Q
Q
3
berlaku untuk semua bilangan asli Q t 4.
Bukti
Misalkan PQ : 3
Q
Q
3
untuk bilangan asli Q t 4
Matematika Kurikulum 2013
165
. Langkah Dasar
Untuk Q = 4, maka seperti pada penyelidikan Contoh 3.4, P4 : 81 = 3
4
4
3
= 64 bernilai benar. Jadi pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk Q = 4.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N t 4, misalkan pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
bernilai benar. Ini berarti 3
N
Q
k
untuk N t 4. Akan ditunjukkan bahwa pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
juga berlaku untuk Q = N + 1, yaitu
PN + 1 : 3
k+1
N + 1
3
= N
3
+ 3N
2
+ 3N + 1. Untuk menunjukkan ini, dengan menggunakan 3
k
N
3
untuk N t 4, perhatikan bahwa 3
k+1
= 3
k
3
1
= 33
k
t 3N
3
= N
3
+ 2N
3
.DUHQDNPDNDXQWXN 2N
3
= N
3
+ N
3
= NN
2
+ N
2
N 3N
2
+ 3
2
N =
3N
2
+ 9N 3N
2
+ 3N + 6N 3N
2
+ 3N Dengan memsubstitusikan persamaan
ke persamaan , diperoleh
3
k+1
N
3
+ 3N
2
+ 3N + 1 = N1
3
Ini berarti pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk Q = N + 1.
3. Kesimpulan
PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk semua bilangan asli Q t 4.
Ayo Menanya
? ?
Kalau Anda telah mengamati dengan sempurna, bayangkan ada orang lain yang Anda sayangi yang juga ingin tahu tentang penerapan prinsip induksi
matematis ini dalam pembuktian. Tentu mereka akan ingin tahu dan akan menanyakan sesuatu kepada Anda. Kira-kira pertanyaan apa saja yang akan
Ayo Menanya
? ?
Pandu siswa membuat pertanyaan yang berkenaan dengan langkah-langkah pembuktian dalam penerapan induksi matematis dalam pembutian.
Harapan pertanyaan dari siswa adalah : 1. Bagaimanakah langkah-langkah pembuktian dalam induksi matematis?
2. Langkah mana yang merupakan hal penting merupakan kunci dalam bukti dengan induksi matematis?
Buku Guru Kelas XII SMAMA
166
mereka ajukan, dan tuliskan pertanyaan mereka itu pada tempat kosong berikut.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Guru Anda sebenarnya telah menyediakan beberapa contoh pernyataan dan bukti kebenaran dari pernyataan tersebut dengan induksi matematis. Mintalah
contoh-contoh tersebut kepada guru Anda. Anda juga dapat memperoleh contoh-contoh pengggunaan induksi matematiks
di dalam buku-buku matematika tingkat lanjut, atau di internet. Cobalah kumpulkan contoh-contoh pembuktian itu, baik yang Anda peroleh dari guru
Anda maupun yang dari internet, menjadi satu kumpulan contoh pembuktian dengan induksi matematis. Tata contoh-contoh tersebut sedemikian rupa mulai
berdasarkan tingkat kesulitannya atau berdasarkan jenis materinya.
Ayo Menggali
+
=
+
Informasi
Bantulah siswa mengumpulkan informasi dengan memberikan soal dan buktinya, misalnya:
1. Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku, 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 3n 2 =
2
3 1
2 2
n n
2. Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku, 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2
n
= 2
n
1 3. Buktikan bahwa 3 membagi 4
n
1untuk semua bilangan asli n. 4. Buktikan untuk sebarang bilangan bulat x, x
1 membagi x
n
1, untuk semua bilangan asli n.
5. Dengan menggunakan hukum distributif ab + c = ab + ac, buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli n, berlaku ab
1
+ b
2
+ ... + b
n
= ab
1
+ ab
2
+ ... + ab
n