a. Langkah induksi Langkah Induksi

Buku Guru Kelas XII SMAMA 202 = 2 2 1 4 k k + 3 4 1 4 k = 2 2 1 4 4 4 k k k = 2 2 1 2 4 k k . Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + k 3 + k + 1 3 = 2 2 1 2 4 k k bernilai benar. d. Langkah induksi Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + 2k – 1 2 = 2 12 1 3 k k k . Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + 2k – 1 2 + 2k + 1 2 = 12 12 3 3 k k k . Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + 2k – 1 2 + 2k + 1 2 = 2 12 1 3 k k k + 2k + 1 2 = 2 2 12 6 3 3 k k k k = 12 12 3 3 k k k . Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + 2k – 1 2 + 2k + 1 2 = 12 12 3 3 k k k bernilai benar. Matematika Kurikulum 2013 203 e. Langkah induksi Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1 1 2 3 ˜ ˜ + 1 2 3 4 ˜ ˜ + 1 3 4 5 ˜ ˜ + ... + 1 1 2 k k k = 3 4 1 2 k k k k . Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu 1 1 2 3 ˜ ˜ + 1 2 3 4 ˜ ˜ + 1 3 4 5 ˜ ˜ + ... + 1 1 2 k k k + 1 1 2 3 k k k = 1 4 4 2 3 k k k k . Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1 1 2 3 ˜ ˜ + 1 2 3 4 ˜ ˜ + 1 3 4 5 ˜ ˜ + ... + 1 1 2 k k k + 1 1 2 3 k k k = 3 4 1 2 k k k k + 1 1 2 3 k k k = 2 3 4 1 2 3 k k k k k + 4 4 1 2 3 k k k = 3 2 6 9 4 4 1 2 3 k k k k k k = 1 1 4 4 1 2 3 k k k k k k = 1 4 4 2 3 k k k k Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1 1 2 3 ˜ ˜ + 1 2 3 4 ˜ ˜ + 1 3 4 5 ˜ ˜ + ... + 1 1 2 k k k + 1 1 2 3 k k k = 1 4 4 2 3 k k k k bernilai benar. Buku Guru Kelas XII SMAMA 204 f. Langkah induksi Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 = 1 2 3 k k k . Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 + k + 1k + 2 = 1 2 3 3 k k k Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 + k + 1k + 2 = 1 2 3 k k k + k + 1k + 2 = 1 2 3 k k k + 3 1 2 3 k k = 1 2 3 3 k k k Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 + k + 1k + 2 = 1 2 3 3 k k k bernilai benar. g. Langkah induksi Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ ... 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ = k + 1, Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu 1 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ ... 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ = k + 2, Matematika Kurikulum 2013 205 Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ ... 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ = k + 1 1 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ = k + 1 + 1 = k + 2. Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ ... 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ 1 1 1 k § · ¨ ¸ © ¹ = k + 2, bernilai benar.

h. Langkah induksi

Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin kx = 1 sin 2 sin 2 k x x sin 2 kx . Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin kx + sink + 1x = 1 sin 2 sin 2 k x x sin 1 2 k x Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin kx + sink + 1x = 1 sin 2 sin 2 k x x sin 2 kx + sink + 1 = 1 sin sin 2 2 sin 2 k k x x x + sin 1 sin 2 sin 2 x k x x = 1 1 1 sin sin 2sin cos sin 2 2 2 2 2 sin 2 k k k k x x x x x x VLQĮ VLQĮFRVĮ Buku Guru Kelas XII SMAMA 206 = 1 sin 2 sin 2 k x x sin 2 k x + 2 sin 2 x cos 1 2 k x = 1 sin 2 sin 2 k x x sin 2 k x + sin– 2 k x + sin 2 2 k x VLQĮFRVȕ VLQĮ±ȕVLQĮȕ = 1 sin 2 sin 2 k x x sin 2 2 k x VLQ±Į ±VLQĮ Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin kx + sink + 1x = 2 sin 2 sin 2 k x x sin 1 2 k x bernilai benar.

i. Langkah induksi

Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1 2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx = 2 1 sin 2 2sin 2 k x x . Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu 1 2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx + cosk + 1x = 2 3 sin 2 2sin 2 k x x Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1 2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx + cosk + 1x Matematika Kurikulum 2013 207 = 2 1 sin 2 2sin 2 k x x + cosk + 1x = 2 1 sin 2 2sin 2 k x x + 2sin cos 1 2 2sin 2 x k x x = 2 1 sin sin sin 2 2 2 2sin 2 k x x x kx x kx x x = 2 1 2 1 2 3 sin sin sin 2 2 2 2sin 2 k k k x x x x = 2 3 sin 2 2sin 2 k x x Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1 2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx + cosk + 1x = 2 3 sin 2 2sin 2 k x x bernilai benar.

j. Langkah induksi