a. Langkah induksi Langkah Induksi
Buku Guru Kelas XII SMAMA
202
=
2 2
1 4
k k +
3
4 1
4 k
=
2 2
1 4
4 4
k k
k =
2 2
1 2
4 k
k .
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + k
3
+ k + 1
3
=
2 2
1 2
4 k
k bernilai benar.
d. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ … + 2k – 1
2
= 2
12 1
3 k
k k
. Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ … + 2k – 1
2
+ 2k + 1
2
= 12
12 3
3 k
k k
. Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ … + 2k – 1
2
+ 2k + 1
2
= 2
12 1
3 k
k k
+ 2k + 1
2
=
2
2 12
6 3
3 k
k k
k =
12 12
3 3
k k
k .
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ … + 2k – 1
2
+ 2k + 1
2
= 12
12 3
3 k
k k
bernilai benar.
Matematika Kurikulum 2013
203
e. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1
1 2 3
+ 1
2 3 4
+ 1
3 4 5
+ ... + 1
1 2
k k k
= 3
4 1
2 k k
k k
. Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu
1 1 2 3
+
1 2 3 4
+
1 3 4 5
+ ... +
1 1
2 k k
k +
1 1
2 3
k k
k =
1 4
4 2
3 k
k k
k .
Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1
1 2 3
+ 1
2 3 4
+ 1
3 4 5
+ ... + 1
1 2
k k k
+ 1
1 2
3 k
k k
= 3
4 1
2 k k
k k
+ 1
1 2
3 k
k k
=
2
3 4
1 2
3 k k
k k
k +
4 4
1 2
3 k
k k
=
3 2
6 9
4 4
1 2
3 k
k k
k k
k =
1 1
4 4
1 2
3 k
k k
k k
k =
1 4
4 2
3 k
k k
k Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 :
1 1 2 3
+
1 2 3 4
+
1 3 4 5
+ ... +
1 1
2 k k
k +
1 1
2 3
k k
k =
1 4
4 2
3 k
k k
k bernilai benar.
Buku Guru Kelas XII SMAMA
204
f. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi,
1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 =
1 2
3 k k
k .
Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu
1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 + k + 1k + 2 =
1 2
3 3
k k
k Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi
1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 + k + 1k + 2
= 1
2 3
k k k
+ k + 1k + 2 =
1 2
3 k k
k +
3 1
2 3
k k
= 1
2 3
3 k
k k
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 :
1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + kk+ 1 + k + 1k + 2 =
1 2
3 3
k k
k bernilai benar.
g. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 1
1 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 1
2 §
· ¨
¸ ©
¹ 1
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
... 1
1 k
§ ·
¨ ¸
© ¹
= k + 1, Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu
1 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹ 1
1 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 1
3 §
· ¨
¸ ©
¹ ...
1 1
k §
· ¨
¸ ©
¹ 1
1 1
k §
· ¨
¸ ©
¹ = k + 2,
Matematika Kurikulum 2013
205
Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi 1
1 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 1
2 §
· ¨
¸ ©
¹ 1
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
... 1
1 k
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 1
1 k
§ ·
¨ ¸
© ¹
= k + 1 1
1 1
k §
· ¨
¸ ©
¹ = k + 1 + 1 = k + 2.
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1
1 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 1
2 §
· ¨
¸ ©
¹ 1
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
... 1
1 k
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 1
1 k
§ ·
¨ ¸
© ¹
= k + 2, bernilai benar.