Matematika Kurikulum 2013
175
Buktikan sifat-sifat barisan Fibonacci berikut: a.
2 2
1 1
1
Q Q
Q Q
Q
F F F
F , untuk semua Q bilangan asli.
E
1
+ F
2
+ F
3
+ F
4
+ ... + F
n
= F
n+2
±XQWXNVHPXDQ bilangan asli. c.
2 2
2 2
1 2
3 1
...
Q Q
Q
F F
F F
F F =
, untuk semua Q bilangan asli.. G
1
+ F
3
+ F
5
+ F
7
+ ... + F
2n-1
= F
2n
, untuk semua Q bilangan asli. H
2
+ F
4
+ F
6
+ F
8
+ ... + F
2n
= F
2n+1
±XQWXNVHPXDQ bilangan asli.
4. Pada tahun ajaran baru ada 30 siswa kelas baru di kelas X. Untuk memperkenalkan diri setiap siswa saling bersalaman dengan siswa
lainnya. Kita ingin mengetahui ada berapa banyak jabat tangan yang terjadi.
a. Untuk mengetahui hal tersebut, isilah tabel di bawah ini
DQ\DNVLVZD DQ\DNMDEDWWDQJDQ\DQJWHUMDGL
2 3
4 5
b. Apakah Anda sudah dapat menduga pola banyak jabat tangan yang terjadi? Tuliskan pola itu dan gunakan untuk mencari banyak jabat
tangan yang terjadi jika ada 10 siswa, 30 siswa, dan Q siswa. c. Buktikanlah pola yang diperoleh di bagian ii dengan menggunakan
induksi matematis 5. Tunjukkan apa yang salah pada “pembuktian” “teorema” berikut .
a. “Teorema” : Untuk setiap bilangan bulat positif Q, berlaku :
2
1 1 2 3 ...
2 Q
Q =
Latihan 3.1
Alternatif Penyelesaian
3. Bukti hanya akan diberikan pada Langkah Induksi a. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya, F
1
+ F
2
+ F
3
+ ... + F
k+2
1. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar,
yaitu F
1
+ F
2
+ F
3
+ ... + F
k
+ F
k+1
= F
k+3
1. Perhatikan bahwa F
1
+ F
2
+ F
3
+ ... + F
k
+ F
k+1
= F
k+2
1 + F
k+1
= F
k+3
1. Jadi Pk + 1 benar.
Buku Guru Kelas XII SMAMA
176
b. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya,
2 2
2 2
1 2
3 1
...
k k
k
F F
F F
F F Akan ditunjukkan Pk + 1 benar,
yaitu
2 2
2 2
2 1
2 3
1 1
2
...
k k
k k
F F
F F
F F F
. Perhatikan bahwa
2 2
2 2
2 1
2 3
1
...
k k
F F
F F
F =
2 1
1 k
k k
F F F
= F
k+1
F
k+2
Jadi Pk + 1 benar.
c. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya,
2 1
k
F F
k+1
F
k 2
k
F =
1
k
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar, yaitu
1 2
2 2
2 1
1
1
k k
k k
k
F F
F F
. Dengan langsung menggunakan rumus F
n+1
= F
n
+ F
n-1,
maka
2 2
2 2
1 1
k k
k k
F F
F F
= F
k+1
F
k 2
F
k+1
F
k 2
F
k+1 2
1 k
F =
2 1
k
F + 2F
k+1
F
k
+
2 k
F
2 1
k
F F
k+1
F
k 2
1 k
F = F
k+1
F
k
+
2 k
F
2 1
k
F =
2 1
k
F F
k+1
F
k
+
2 k
F =
1
k
= 1
k+1
. Jadi Pk + 1 benar.
d. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya, F
1
+ F
3
+ F
5
+ ... + F
2k 1
F
2k
. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar,
yaitu F
1
+ F
3
+ F
5
+ ... + F
2n 1
+ F
2k 11
F
2k 1
. Perhatikan bahwa F
1
+ F
3
+ F
5
+ ... + F
2n 1
+ F
2k 11
= F
2k
+ F
2k 11
= F
2k
+ F
2k 1
= F
2k 2
= F
2k 1
Jadi Pk + 1 benar.
Matematika Kurikulum 2013
177
e. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya, F
2
+ F
4
+ F
6
+ ... + F
2k
F
2k+1
1. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar,
yaitu, F
2
+ F
4
+ F
6
+ ... + F
2k
+ F
2k+1
F
2k+1+1
1. Perhatikan bahwa F
2
+ F
4
+ F
6
+ ... + F
2k
+ F
2k+1
F
2k+1
1 + F
2k+1
= F
2k+1
+ F
2k+2
1 = F
2k+3
1= F
2k+1+1
1. Jadi Pk + 1 benar.
4. a.
Banyak siswa Banyak jabat tangan yang terjadi
2 1
3 3
4 6
5 10
b. Pola: n kombinasi 2 ditulis 1
2 2 2
2 n
n n
nC n
c. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k t 2, misalkan Pk benar. Artinya, banyak
jabat tangan k siswa adalah 1
2 k
k . Akan ditunjukkan Pk + 1 benar.
Misalkan terdapat k + 1 siswa. Maka untuk banyak jabat tangan k siswa adalah
1 2
k k
, sedangkan banyak jabat tangan 1 siswa adalah k. Jadi banyak jabat tangan k + 1 siswa adalah
1 1
2 1 2
1 2
2 2
2 k
k k
k k
k k
k k k
Jadi Pk + 1 benar.
Buku Guru Kelas XII SMAMA
178
“Bukti”
1 DQJNDKDVDU : rumus benar untuk Q = 1. 2 DQJNDK,QGXNVL : Asumsikan bahwa
2
1 1 2 3 ...
2 Q
Q =
Dengan menggunakan hipotesis induksi, diperoleh 1 + 2 + 3 + ... + Q + Q + 1 =
2
1 1
2 Q
Q =
2
1 4
1 2
Q Q
Q =
2
9 3
4 2
Q Q
=
2
3 2
2 Q
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2
1 1
2 Q
. 3 .HVLPSXODQ
Jadi, rumus terbukti benar untuk setiap bilangan bulat positif Q. b. Tunjukkan apa yang salah pada “pembuktian” “teorema” berikut .
“Teorema” : Untuk setiap bilangan bulat positif Q, jika x dan \ adalah bilangan bulat positif dengan maksimum x, \ = Q, maka x = \.
“Bukti”
1 DQJNDKDVDU Misalkan bahwa Q = 1. Jika maksimum x, \ = 1 dan x dan \
ádalah bilangan bulat positif, maka x = 1 dan \ = 1. 2. DQJNDK,QGXNVL
Sekarang misalkan N adalah bilangan bulat positif. Asumsikan bahwa jika maksimum x, \ = N, maka x = \. Misalkan
maksimum x, \ = N+ 1 dengan x dan \adalah bilangan bulat positif. Maka maksimum x ±\± N.
3 .HVLPSXODQ Jadi, dengan hipotesis induksi diperoleh x ± \±LSHUROHK
bahwa x = \.
Latihan 3.1
Alternatif Penyelesaian
5. a. Langkah yang salah. Langkah dasar :
3
1 1 1
2 2
z b. Langkah yang salah
Misalkan maksimum x, y = k + 1 dengan x dan y adalah bilangan bulat positif. Kemudian menyimpulkan maksimum x – 1, y – 1 = k
Matematika Kurikulum 2013
179
6XEEDE3ULQVLS,QGXNVL0DWHPDWLV.XDW
.HJLDWDQ3ULQVLS,QGXNVL0DWHPDWLV.XDW
Prinsip Induksi matematis yang disajikan di atas merupakan prinsip induksi matematis yang umum. Berikut akan disajikan suatu prinsip induksi yang lain,
yang disebut dengan SULQVLSLQGXNVLPDWHPDWLVNXDW.
Prinsip induksi matematis kuat ini perlu dikembangkan karena ternyata, dengan prinsip induksi matematis yang ada tersebut, terdapat beberapa pernyataan
benar yang tidak bisa dibuktikan.
Ayo Mengamati
Contoh 3.11
Perhatikan barisan bilangan x
Q
\DQJGLGH¿QLVLNDQGHQJDQ
1 2
2 1
1 1,
2, 2
Q Q
Q
x x
x x
x =
= =
untuk semua bilangan asli Q. Akan ditunjukkan bahwa
1 2
Q
x d
d untuk semua bilangan asli Q.
DULGH¿QLVLEDULVDQWHUVHEXWPDNDNLWDDNDQPHPSHUROHKEDULVDQELODQJDQ x
1 x
2 x
3
= 1
2 x
2
+ x
1
= 1,5 x
4
= 1
2 x
3
+ x
2
= 1,5 1
2 1,5 + 2 = 1,75
x
5
= 1
2 x
4
+ x
3
= 1
2 1,5 + 1,75 = 1,625
dan seterusnya.
Ayo Mengamati
Ajaklah siswa mengamati prinsip induksi matematis kuat. Harapan dari kegiatan mengamati ini adalah siswa dapat melihat perbedaan antara
induksi matematis dan induksi matematis kuat, yaitu untuk induksi matematis kuat diperlukan pemisalan kebenaran Pn yang lebih kuat , yaitu Pk dan sebelumnya.
Sedangkan untuk induksi matematis. Pemisalannya hanya Pk saja.
