16
C. Supremum dan Infimum
Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu himpunan bilangan real.
Definisi 2.2 Robert G. Bartle, 1927:35
Diberikan S subset tak kosong
a Himpunan S dikatakan terbatas ke atas bounded above jika terdapat
suatu bilangan sedemikian hingga
untuk semua . Setiap
bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas upper bound dari S. b
Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah bounded below jika terdapat
suatu bilangan sedemikian hingga
untuk semua . Setiap
bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah lower bound dari S. c
Suatu himpunan dikatakan terbatas bounded jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas
unbounded.
17
Definisi 2.3 Robert G. Bartle, 1927:35
Diberikan S subset tak kosong ℝ .
a Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum batas
atas terkecil dari S jika memenuhi kondisi berikut:
1 u merupakan batas atas S, dan 2 jika v adalah sebarang batas atas S, maka
. Ditulis u = sup S .
b Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan w disebut infimum batas
bawah terbesar dari S jika memenuhi kondisi berikut:
1 w merupakan batas bawah S, dan 2 jika t adalah sebarang batas bawah S, maka
. Ditulis w = inf S
D. Himpunan Konveks
Menurut Mokhtar S Bazaraa 1979:34 konsep konveks sangat penting dalam permasalahan optimasi. Konsep fungsi konveks berhubungan langsung
dengan himpunan konveks. Jika adalah fungsi konveks maka
kumpulan titik-titik yang terletak pada membentuk himpunan
konveks. Definisi 2.4 Mokhtar S Bazaraa, 1979:34
Himpunan S yang tidak kosong di merupakan konveks jika segment garis
menghubungkan dua titik yang berada dalam himpunan. Dengan kata lain, jika
S maka +1-
juga anggota S untuk 0,1.
18
Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini:
1. Fungsi Konveks
Definisi 2.5 Mokhtar S Bazaraa, 1979:80
Diketahui dimana S adalah himpunan konveks yang tidak
kosong di . Fungsi
dikatakan fungsi konveks di S ketika untuk setiap
dan untuk
0,1. Fungsi dikatakan fungsi konveks ketat ketika tanda
≥ dapat diganti dengan dan merupakan fungsi konkaf fungsi konkaf ketat jika
dapat diganti dengan . Untuk fungsi dengan satu variabel ketika
fungsi memiliki turunan kedua, maka bersifat konveks jika dan
hanya jika , untuk setiap nilai .
Dapat disimpulkan bahwa: a.
Fungsi konveks jika dan hanya jika , untuk setiap nilai
.................................. 2.16
A B
Konkaf A
B konveks
Gambar 1. Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf
19
b. Fungsi konveks ketat jika dan hanya jika
, untuk setiap nilai .
c. Fungsi konkaf jika dan hanya jika
, untuk setiap nilai . d.
Fungsi konkaf ketat jika dan hanya jika , untuk setiap
nilai .
2. Fungsi konveks dan fungsi konkaf dengan banyak variabel
Turunan parsial kedua dapat digunakan untuk menguji konveks atau konkafnya suatu fungsi dengan banyak variabel. Sebagai contoh
terdapat dua variabel maka untuk mengetahui fungsi konveks
atau konkaf seperti pada tabel dibawah ini:
Tabel 1 Fungsi Konveks dan Konkaf Dengan Variabel Banyak
Kuantitas Konveks
Konveks Ketat
Konkaf Konkaf
Ketat
20
3. Pseudoconvex
Definisi 2.6 Mokhtar S Bazaraa, 1979:106
S bukan himpunan kosong di dan
terdiferensial di S. Fungsi dikatakan pseudoconvex ketika untuk setiap
dengan , maka
. Ekuivalen dengan ketika , maka
. Fungsi dikatakan
pseduconcave jika adalah pseudoconvex.
Perbedaan pseudoconvex dan bukan pseudoconvex tampak pada Gambar 2 di bawah ini:
i Pseudoconvex
ii bukan pseudoconvex
Gambar 2. Perbedaan Pseudoconvex 4.
Quasiconvex Definisi 2.7 Mokhtar S Bazaraa, 1979:100
Terdapat dimana S himpunan konveks yang tidak kosong di
.
Fungsi dikatakan quasiconvex ketika untuk setiap
memenuhi pertidaksamaan sebagai berikut:
21
, .
Fungsi dikatakan quasiconcave jika – adalah quasiconvex.
Dari definisi di atas, fungsi quasiconvex jika dimana
lebih besar atau sama dengan fungsi dari semua
kombinasi konveks dan
. Fungsi dikatakan quasiconcave jika dimana fungsi dari semua kombinasi konveks
dan lebih besar atau sama dengan
. Perbedaan quasiconvex, quasiconcave dan bukan keduanya tampak pada
Gambar 3 di bawah ini:
i Quasiconvex
ii Quasiconcave
iii Bukan keduanya
Gambar 3. Perbedaan Quasiconvex 5.
Closure And Interior Of A Convex Set Definisi 2.8 Mokhtar S Bazaraa, 1979:38
Diketahui S himpunan di , titik dikatakan closure dari dinotasikan
dengan ketika
untuk setiap . Ketika
,
dinamakan closed. dikatakan interior dari dinotasikan dengan
yaitu ketika untuk
Ketika , dikatakan open.
22
Adapun teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi Konveks dan akan berkaitan dengan syarat Karush Kuhn Tucker antara lain yaitu:
i Teorema 2.1 Mokhtar S Bazaraa, 1979:45
Jika S himpunan konveks tertutup tak kosong di dan
, maka ada
vektor taknol p
dan skalar α sedemikian sehingga dan
untuk .
Bukti:
Karena S himpunan konveks tertutup tak kosong di dan
, maka ada titik minimum khusus
sedemikian sehingga untuk
. Perhatikan bahwa a
Karena untuk
, maka persamaan a menjadi
untuk yang lain, dimana
. Terlihat bahwa untuk
. Diperoleh α=sup{
}.
ii Teorema 2.2 Mokhtar S Bazaraa, 1979:48
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di
.
Jika , maka ada
sebuah hyperplane yang mendukung S pada yaitu ada sebuah vektor
taknol p sedemikian sehingga untuk
yang lain.
Bukti:
Karena , ada sebuah barisan
yang bukan pada sedemikian
sehingga . Berdasarkan pada Teorema 2.1, berkorespondensi
untuk yang lain ada
sedemikian sehingga untuk
23
yang lain. Karena adalah terbatas, sehingga memiliki sebuah
subbarisan yang konvergen dengan limit p dengan panjang adalah
sama dengan satu. Mempertimbangkan subbarisan ini memiliki
untuk yang lain. Menentukan
dan memilih limit seperti
mendekati . Sehingga
. Jadi ada hyperplane yang mendukung S untuk .
iii Teorema 2.3 Mokhtar S Bazaraa, 1979:49
Jika dan
adalah himpunan konveks tak kosong sehingga , maka ada hyperplane pemisah
dan , dan juga ada vektor bukan
nol p di sedemikian sehingga inf{
sup{ .
Bukti:
Ada dan
. S=
. Perhatikan bahwa S adalah konveks dan karena akan mengakibatkan
menjadi tidak kosong. Karena S
adalah himpunan konveks maka ada vektor p bukan nol dimana p
sedemikian sehingga untuk setiap
. Ini berarti untuk setiap
dan
iv Epigraph Epi
Definisi 2.9 Mokhtar S Bazaraa, 1979:84
Diketahui S himpunan tak kosong di dan
. Epigraph dari dinotasikan dengan epi
, yang merupakan subset dari dan
didefinisikan oleh
24
v Teorema 2.4 Mokhtar S Bazaraa, 1979:85
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan jika
maka fungsi konveks jika dan hanya jika epi adalah himpunan konveks.
Bukti:
Dengan mengasumsikan bahwa adalah konveks, dan jika dan
epi , maka ,
dan . Untuk
berlaku
Dimana pertidaksamaan di atas mengikuti konvektivitas dan . Demikian juga karena epi
adalah konveks maka epi
. Bertentangan dengan asumsi bahwa epi adalah konveks, dan jika
maka dan
termasuk dalam epi . Dengan mengikuti konvektivitas epi
maka epi
untuk
Dengan kata lain, karena untuk
sehingga adalah konveks.
vi Teorema 2.5 Mokhtar S Bazaraa, 1979:87
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan jika
maka untuk ada sebuah vektor
Ɛ sehingga hyperplane didukung epi pada [
]. Pada
25
bagian khusus
untuk yang
lainnya,sehingga adalah sebuah subgradient dari untuk . Bukti:
Berdasarkan pada Teorema 2.4, epi adalah konveks. Dilain sisi
[ ] menjadi batas dari epi . Dan berdasarkan Teorema 2.2 ada
vektor taknol sedemikian sehingga
untuk semua a
Perhatikan bahwa adalah tidak positif karena pertidaksamaan di atas akan terjadi kontradiksi dengan memilih y yang cukup besar. Akan
diperlihatkan bahwa , dengan cara kontradiksi, dan didukung oleh
, maka untuk semua
Karena , ada
sedemikian sehingga , dan karena
berimplikasi bahwa dan
. Terjadi kontradiksi dengan
adalah sebuah vektor taknol. Walaupun begitu, Menunjukkan
oleh dan dengan membagi pertidaksamaan a dengan
, diperoleh untuk semua
epi b
Secara khusus,
hyperplane didukung epi pada [
]. Dengan pada persamaan b,
diperoleh untuk semua
.
26
vii Lemma 2.1 Mokhtar S Bazaraa, 1979:90
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan
fungsi konveks. Jika terdiferensial di
maka ada subgradient untuk adalah himpunan tunggal {
}.
Bukti:
Karena terdiferensial di dan S himpunan konveks yang tak
kosong, maka subgradient untuk juga tidak kosong. Dimisalkan Ɛ
adalah subgradient untuk . Untuk beberapa vektor d dan diperoleh
a b
Dengan mengurangi persamaan a dan b dari pertidaksamaan, diperoleh
Jika membagi persamaan c dengan diperoleh
jika atau berdasarkan pada Definisi 2.2 nilai
maka . Untuk d=
, sehingga
. Misal sehingga
jelas
bahwa . Jadi
sehingga .
E. Matriks Hessian
Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan
suatu fungsi dengan n variabel, matriks Hessian dari
yaitu:
27
2.17
F. Vektor Gradien
Definisi 2.10 Mokhtar S Bazaraa, 1979:89
Terdapat S bukan himpunan kosong di dan
. dikatakan terdiferensial di
jika ada vektor gradien
x f
yaitu:
x d
df
x f
x f
x f
x f
n
. .
2 1
2.18
Suatu fungsi sedemikian sehingga
dengan .
Contoh 2.1
6 8
6 4
2 3
2 1
2 1
2 2
2 1
x x
x x
x x
x f
maka,
28 8
4 4
6 4
6
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x f
x f
x f
Dengan memenuhi syarat perlu keoptimalan, yaitu
x f
. 6
4 6
2 1
x x
8 4
4
2 1
x x
2 2
1
x 1
1
x 3
2
x
Jadi 3
1 x
adalah titik optimal dari
x f
.
G. Titik Kritis
Teorema 2.6 Edwin J Purcell, 2010:248 Teorema Titik Kritis andaikan fungsi didefinisikan pada selang I yang
memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrem, maka haruslah berupa suatu
titik kritis, yakni berupa salah satu dari: i
Titik ujung dari I ii
Titik stasioner dari atau
iii Titik singular dari
29
Bukti:
Dengan berupa nilai maksimum pada I , maka
untuk semua dalam I, yaitu
. Jadi, jika
sehingga , maka
1 Sedangkan jika
, maka 2
Akan tetapi, ada karena c bukan titik singular. Akibatnya, apabila
dalam persamaan 1 dan dalam persamaan 2, maka
diperoleh dan
. Sehingga dapat disimpulkan bahwa .
Titik kritis untuk penyelesaian program nonlinear dapat digolongkan sebagai maksimum atau minimum lokal. Maksimum atau minimum global
akan diperoleh dengan membandingkan minimum lokal dan maksimum lokal dan kemudian menguji nilai dari fungsi tersebut.
Teorema 2.7 Hillier, 2001:664
Jika fungsi diketahui konveks maupun konkaf, maka titik kritis pasti merupakan minimum global maupun maksimum global.
Bukti:
Perhatikan masalah optimisasi berikut Min
dengan kendala xєS
30
Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan
adalah titik minimum lokal untuk masalah optimasi maka adalah titik
minimum global dari pada himpunan S.
Misalkan bukan titik minimum global atau
titik minimum lokal, maka terdapat y
єS yang memenuhi . Sebut saja
yang merupakan kombinasi konveks dari dan y, untuk .
Hal ini mengakibatkan , untuk
. Karena
adalah fungsi konveks maka berlaku
untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah
minimum lokal. Dengan demikian haruslah merupakan titik minimum global.
H. Program Nonlinear
Kategori