The Relation of Gabriel’s Goodness of Fit with Procrustes Analysis in Biplot Analysis
HUBUNGAN UKURAN KESESUAIAN GABRIEL DENGAN ANALISIS
PROCRUSTES DALAM ANALISIS BIPLOT
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
ABSTRAK
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING. Hubungan Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis
Procrustes dalam Analisis Biplot. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.
Ukuran kesesuaian analisis biplot terkait dengan matriks data, objek, dan peubah
dikemukakan oleh Gabriel (2002). Analisis Procrustes merupakan salah satu cara yang dapat
digunakan untuk menentukan nilai ukuran kesesuaian dengan melalui tiga transformasi yaitu
translasi, rotasi, dan dilasi. Pada matriks data dan matriks objek, transformasi translasi dan rotasi
dalam analisis Procrustes tidak perlu dilakukan. Jadi, yang dilakukan hanya transformasi dilasi
pada analisis Procrustes yang kemudian memberikan hasil yang sama dengan ukuran kesesuaian
analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel. Pada matriks peubah, ketiga transformasi dalam
analisis Procrustes yaitu translasi, rotasi, dan dilasi perlu dilakukan. Sehingga, ukuran kesesuaian
yang diperoleh melalui hasil analisis Procrustes selalu lebih besar atau sama dengan ukuran
kesesuaian analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel.
ABSTRACT
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING. The Relation of Gabriel’s Goodness of Fit with Procrustes
Analysis in Biplot Analysis. Supervised by SISWADI and TONI BAKHTIAR.
The goodness of fit in biplot analysis related to data, object, and variable matrix was
presented by Gabriel in 2002. Procrustes analysis is one way that can be used to determine the
value of goodness of fit through three kinds of transformations, namely translation, rotation, and
dilation. The translation and rotation in Procrustes analysis are not necessary in the data and object
matrix, thus the only transformation needed in Procrustes analysis is dilation, which gives the
same results as the goodness of fit in biplot analysis presented by Gabriel. In the variable matrix,
all three transformations in Procrustes analysis need to be done. Thus, the goodness of fit obtained
through the Procrustes analysis is always greater than or equal to the goodness of fit in biplot
analysis presented by Gabriel.
HUBUNGAN UKURAN KESESUAIAN GABRIEL DENGAN ANALISIS
PROCRUSTES DALAM ANALISIS BIPLOT
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul Skripsi : Hubungan Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis
Procrustes dalam Analisis Biplot
Nama
: Lingga Divika Anggiruling
NRP
: G54070008
Menyetujui,
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.
NIP. 19490609 197412 1 001
Dr. Toni Bahktiar, M.Sc.
NIP. 19720627 199702 1 002
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala nikmat, rahmat,
karunia dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya
ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu Devi Hanifah dan Papah Odin Karodin yang telah memberikan kasih sayang,
dukungan, doa, pengorbanan, dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis
selama ini; Adikku Iken dan Sabina atas semangat dan dukungannya; Eyang, (Alm.) Abah,
Mang Deden, Bi Yani atas doa dan dukungannya;
2. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini);
3. Bapak Dr. Toni Bahktiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua
ilmu, kesabaran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini);
4. Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu,
saran, dan motivasinya);
5. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan);
6. Bu Susi, Bu Ade, Pa Bono, Pa Yono, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai
Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi
akademik bagi penulis di Departemen Matematika;
7. Musthafa Tanfiz Syariat Walayatullah terima kasih atas kasih sayang, dukungan, semangat,
dan doanya;
8. Teman-teman satu bimbingan: Maryam, Ririh, Sari terima kasih atas bantuan dan
motivasinya;
9. Sahabat-sahabat tercinta: Dinda Asyifa Devi, Fitri Durrotun Nafisah, Nurisma, Pariatik
terima kasih atas semangat, doa, dan perhatiannya. Kebersamaan kita akan selalu dikenang;
10. Teman-teman Math 44: Anis, Ruhi, Siska, Fikri, Yuyun, Lugi, Diana, Yanti, Lilis, Eka,
Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Wewe, Nurul, Tanto, Rahma, Melon, Lili, Tita, Cita, Cepi,
Tendy, Ali, Lina, Resha, Deva, Ucu, Istiti, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Pepi, Eny, Ndep,
Yogi, Chopa, Ayung, Endro, Fajar, Kodok, Masay, Denda, Dika, Fani, Ikhsan, Della,
Pandi, Abe, Tyas, Arina, Imam, Nadiroh, Rofi, Indin, Olih, Ipul, Nurus, Lukman, Puying,
Naim terima kasih atas semangat dan kebersamaannya selama 3 tahun di Math 44;
11. Mbak Lina dan kakak-kakak Math 43 serta adik-adik Math 45 terima kasih atas doa dan
dukungannya;
12. Teman-teman Ikamasi: Rina, Lida, Yoga, Pam-pam, Teguh, Ari, Kornel, Hasan, dan
lainnya terima kasih atas doa, dukungan, dan semangatnya;
13. Teman-teman Salsabila: Kak Eta, Mbak Nina, Bio, Ayu, Kak Baby, Kak Lulus, Kak
Sandra, Kak Siti, Kak Icha, Ayu Marlika, Opi, Ayu Opi, Sari, Ruro, Dea, Titi, dan lainnya
terima kasih atas doa, dukungan, dan semangatnya;
14. Teman-teman Enrichment terimakasih atas dukungan dan doanya;
15. Semua pihak yang telah memberikan dorongan, doa, semangat, bantuan dan kerjasama
selama pengerjaan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, Agustus 2011
Lingga Divika Anggiruling
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 17 Juli 1989 dari pasangan Bapak Odin Karodin
dan Ibu Devi Hanifah. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu SDN Sriwidari II lulus pada tahun 2001, SMP
Negeri 1 Kota Sukabumi lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 3 Kota Sukabumi lulus pada tahun
2007 dan di tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor melalui Ujian Saringan Masuk
IPB (USMI). Menginjak tahun kedua di IPB, penulis masuk di Departemen Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan Statistika Terapan sebagai mata kuliah minor.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus II pada
tahun ajaran 2009/2010, Kalkulus III pada tahun ajaran 2009/2010, Pengantar Teori Peluang pada
tahun ajaran 2010/2011. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Departemen Keilmuan pada tahun 2008/2009 dan
2009/2010. Pada tahun 2008/2009 penulis mengikuti organisasi daerah Ikatan Keluarga dan
Mahasiswa Sukabumi (IKAMASI) sebagai anggota dan pada tahun 2009/2010 sebagai bendahara
umum. Penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan antara lain: Tim Pengajar Bimbingan Belajar
Pengantar Matematika dan Kalkulus TPB untuk Gumatika, Staf Konsumsi Math Expo tahun 2008,
Tim Khusus Matematika Ria tahun 2009, Bendahara Masa Pengenalan Departemen (MPD) tahun
2009, dan Bendahara Matematika Ria tahun 2010. Pada tahun 2008-2011 penulis memperoleh
beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) IPB dan tahun 2010 penulis memperoleh juara VI
seleksi olimpiade matematika tingkat IPB 2010.
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN ....................................................................................................................... 1
Latar Belakang ....................................................................................................................... 1
Tujuan.................................................................................................................................... 1
LANDASAN TEORI................................................................................................................... 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................................................. 1
Dekomposisi Nilai Singular .................................................................................................... 1
Analisis Biplot ....................................................................................................................... 2
Jarak Euclid ........................................................................................................................... 3
Jarak Mahalanobis .................................................................................................................. 3
Analisis Procrustes ................................................................................................................. 3
Translasi ........................................................................................................................... 3
Rotasi ............................................................................................................................... 4
Dilasi ................................................................................................................................ 4
Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot ......................................................................................... 5
Matriks Data .......................................................................................................................... 5
PEMBAHASAN.......................................................................................................................... 6
Ukuran Kesesuaian Matriks Objek .......................................................................................... 6
Penyesuaian terhadap Translasi ......................................................................................... 6
Penyesuaian terhadap Rotasi ............................................................................................. 6
Penyesuaian terhadap Dilasi .............................................................................................. 7
Ukuran Kesesuaian Matriks Peubah ........................................................................................ 7
Penyesuaian terhadap Translasi ......................................................................................... 7
Penyesuaian terhadap Rotasi ............................................................................................. 7
Penyesuaian terhadap Dilasi .............................................................................................. 7
SIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................................ 9
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 10
LAMPIRAN .............................................................................................................................. 11
vii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Contoh Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) .............................................. 12
2 Contoh Analisis Biplot ............................................................................................................ 13
3 Ilustrasi
≠
4 Ilustrasi bahwa
dan
≠
sehingga
≠ 0 dengan menggunakan α = 0. ....... 15
≠ pada transformasi rotasi......................................................................... 18
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel
pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan
salah satu bentuk Analisis Peubah Ganda
(APG) yang dapat memberikan gambaran
grafis
tentang
kedekatan
antarobjek,
keragaman atau korelasi peubah, serta
keterkaitan antara objek dengan peubah.
Selain itu, analisis biplot dapat digunakan
untuk menggambarkan hubungan antarpeubah
dan objek yang berada pada ruang berdimensi
tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah,
biasanya dua atau tiga. Dari analisis biplot
dapat diperoleh tiga matriks pendekatan yang
terkait dengan data, objek, dan peubah. Pada
tahun 2002 Gabriel mengemukakan tentang
ukuran kesesuaian dari ketiga matriks
pendekatan tersebut.
Analisis Procrustes yang disebut juga
Rotasi Procrustes adalah salah satu metode
yang menyatakan perbedaan dua atau lebih
konfigurasi n-titik sebagai suatu nilai numerik
(Krzanowski 1990).
Nilai numerik yang
dihasilkan metode ini dapat digunakan untuk
memperkirakan ukuran kesesuaian (goodness
of fit) antarkonfigurasi (Sibson 1978). Pada
analisis Procrustes dikenal tiga transformasi
geometris yaitu translasi, rotasi, dan dilasi
untuk menghitung nilai perbedaan minimum
dari dua konfigurasi. Ketiga transformasi
tersebut dapat digunakan untuk menentukan
ukuran kesesuaian yang optimal.
Dari kedua pendekatan untuk menentukan
ukuran kesesuaian Gabriel dan analisis
Procrustes perlu ditelusuri hubungan antara
ukuran kesesuaian yang diperoleh dalam
analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel
dengan nilai perbedaan minimum dari ketiga
transformasi pada analisis Procrustes.
Pada tahun 2011 Herlina telah menelusuri
hubungan ukuran kesesuaian analisis biplot
untuk matriks data sehingga yang perlu
ditelusuri selanjutnya yaitu terkait dengan
matriks objek dan peubah.
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah
untuk
memperoleh
gambaran
hubungan antara ukuran kesesuaian Gabriel
dengan analisis Procrustes dalam analisis
biplot.
LANDASAN TEORI
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah suatu matriks n×n.
Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau
nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu
vektor taknol x sehingga Ax = λx. Vektor x
disebut vektor eigen atau vektor karakteristik
matriks A yang berpadanan dengan nilai eigen
λ (Leon 2001).
Dekomposisi Nilai Singular
Misalkan X adalah matriks n×p. Nilai
singular dari X adalah akar dari nilai eigen
yang positif dari matriks
atau
(Leon
2001).
Dekomposisi Nilai Singular (DNS)
digunakan secara umum dalam analisis
peubah ganda mulai tahun 1970-an. DNS ini
diterapkan
dalam
psikometrika untuk
pendekatan matriks berpangkat rendah yang
dikenal sebagai bentuk kanonik oleh Eckart
dan Young atau Dekomposisi Eckart-Young
(Greenacre 1984).
Matriks Y yang berdimensi n×p dan
berpangkat r dengan r ≤ min{n,p} dinyatakan
sebagai DNS yaitu:
=
(1)
(Aitchison & Greenacre, 2002) di mana U
dan W merupakan matriks dengan kolom
ortonormal,
=
= . Matriks W
adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri
dari vektor eigen wi yang berpadanan dengan
nilai eigen λi dari matriks YTY. Matriks U
adalah matriks yang kolom-kolomnya
merupakan vektor eigen yang berpadanan
dengan nilai eigen dari matriks YYT dalam
bentuk
= (
,
, …,
) =
λ
,
λ
,… ,
λ
(2)
di mana
,
, …,
) , dengan λ1 ≥ λ2
= diag (
≥ … ≥ λr > 0 dan λi merupakan nilai eigen dari
matriks YTY.
Untuk membuktikan persamaan (1) di
atas, diperlukan fakta sebagai berikut:
= ∑
,
untuk
a. ∑
sebarang wj ∈ ℝ .
b.
=
↔
= ,
untuk
sebarang w ∈ ℝ .
c. Bila W = [w1, w2, …, wp] merupakan
matriks ortogonal, maka ∑
=
.
2
d. YTY dan YYT berpangkat r dan
merupakan matriks yang semidefinit
positif dengan r nilai eigen positif yang
sama.
DNS tidak bersifat tunggal. Jika vektorvektor kolom dari matriks W dan U
dilengkapi sehingga keduanya menjadi
matriks ortogonal yang masing-masing
berdimensi p×p dan n×n maka DNS dapat
ditulis dalam Dekomposisi Nilai Singular
Bentuk Lengkap (DNSBL).
Misalkan r merupakan pangkat dari
matriks Y. Matriks YTY juga mempunyai
pangkat r. Karena YTY simetris, maka
pangkatnya sama dengan banyaknya nilai
eigen taknol. Jadi λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λr > 0 dan λr+1
= λr+2 = …= λp = 0. Misalkan W = [ W1 W2] di
mana W1 = [w1, w2, …, wr] , W2 = [wr+1, wr+2,
,
,…,
)
…, wp] dan L = diag (
sehingga
=
. Vektor-vektor kolom
dari W2 adalah vektor-vektor eigen dari YTY
yang berpadanan dengan λ = 0. Jadi YTY =
0 di mana j = r+1, r+2, …, p dan akibatnya,
vektor-vektor kolom dari W2 membentuk
suatu basis ortonormal untuk ruang nol dari
YTY atau N(YTY) di mana N(YTY) = N(Y).
Dengan demikian, YW2 = 0. Misalkan U =
[U1 U2] di mana U1 = [u1, u2, …, ur] dan U2 =
[ur+1, ur+2, …, un]. Vektor-vektor kolom dari
U2 membentuk basis ortonormal untuk ruang
nol dari YY T atau N(Y T). Jadi dalam DNSBL,
setiap matriks Y yang berdimensi n×p dapat
dinyatakan sebagai
=
di
mana
=
,
=
(Leon 2001).
Contoh DNSBL diberikan pada Lampiran
1.
Analisis Biplot
Biplot didefinisikan sebagai dekomposisi
dari matriks tujuan ke dalam produk dari dua
matriks, yang disebut matriks kiri dan kanan.
Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai
=
dengan adalah matriks tujuan,
adalah matriks kiri dan
adalah matriks
kanan. Unsur-unsur dalam matriks tujuan
adalah sama dengan produk skalar antara
pasangan yang sesuai dari vektor dalam baris
X dan Y masing-masing.
Kata "bi" dalam biplot menyatakan dua
himpunan titik (yaitu baris dan kolom matriks
tujuan) yang divisualisasikan oleh produk
skalar, dan bukan menyatakan tampilan dua
dimensi. Biplot dan geometrinya berlaku
untuk ruang-ruang dimensi manapun, tetapi
akan perlu mengurangi dimensi ketika matriks
data memiliki dimensi tinggi sedangkan
representasi memerlukan dimensi rendah,
biasanya dua atau tiga (Greenacre 2010).
Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel
pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan
suatu
tampilan
grafik
dengan
menumpangtindihkan vektor-vektor dalam
ruang
berdimensi
rendah
yang
merepresentasikan vektor-vektor baris sebagai
gambaran objek dengan vektor-vektor kolom
sebagai gambaran peubah.
Informasi yang dapat diperoleh dari
analisis biplot antara lain ialah:
1. Kedekatan antarobjek. Dua objek
dengan karakteristik yang sama akan
digambarkan sebagai dua titik yang
posisinya berdekatan.
2. Keragaman peubah. Peubah dengan
keragaman kecil digambarkan sebagai
vektor yang pendek. Begitu pula
sebaliknya, peubah dengan keragaman
besar digambarkan sebagai vektor yang
panjang.
3. Korelasi
antarpeubah.
Peubah
digambarkan sebagai vektor. Jika sudut
dua peubah lancip (90o) maka
korelasinya bernilai negatif. Sedangkan
jika sudut dua peubah siku-siku maka
tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek.
Karakteristik
suatu
objek
bisa
disimpulkan dari posisi relatifnya
terhadap suatu peubah. Jika posisi
objek searah dengan arah vektor
peubah maka objek tersebut bernilai di
atas rata-rata, jika berlawanan maka
nilainya di bawah rata-rata, dan jika
hampir di tengah-tengah maka nilainya
mendekati rata-rata.
Misalkan nY*p merupakan matriks data
dengan n objek dan p peubah. Kemudian Y*
dikoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya
sehingga didapat matriks Y,
∗
= ∗− (
)
(3)
dengan 1 adalah vektor berdimensi n×1 yang
semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam
(S ) peubah ganda tersebut ialah
=
YTY
(4)
dengan matriks korelasi (R = [rij]),
R = D−1/2 S D−1/2
(5)
di mana D-1/2 adalah matriks diagonal,
/
= diag
√
,
√
, ……,
.
3
Jarak Euclid
Misalkan matriks nYp = [y1, y2, …, yn]T
maka jarak Euclid antara yi dan yj
didefinisikan sebagai
,
=
(
(Jollife 2002).
− ) ( − )
Jarak Mahalanobis
Misalkan matriks nYp = [y1, y2, …, yn]T
maka jarak Mahalanobis antara yi dan yj
didefinisikan sebagai
,
=
(
− )
(
− )
(Jollife 2002).
Dalam Jollife (2002) persamaan nYp =
T
dapat diuraikan menjadi
=
nUrLrWp
di mana,
G = ULα = [g1, g2, …, gn]T dan
= [h1, h2, …, hp]T untuk α ϵ [0,1].
=
Kemudian persamaan (1) dapat ditulis sebagai
Y = GHT sehingga tiap elemen ke-(i,j) unsur
matriks Y dapat dinyatakan sebagai yij =
giThj. Vektor gi merepresentasikan objek ke-i
pada
matriks
Y
dan
vektor
hj
merepresentasikan peubah ke-j pada matriks
Y.
Matriks Y = GHT dengan matriks ABT
sebagai matriks pendekatannya. Jika
Y = GHT = ∑
=∑ (
)1-α
)α (
maka
ABT = ∑
)1-α
,
)α (
=∑ (
di mana s < r.
Penentuan nilai α akan berimplikasi pada
interpretasi biplot. Berikut adalah beberapa
implikasinya:
1. Jika α = 0, maka G = U , H = WL
sehingga
=
, akibatnya:
hTh = (n – 1) sij, dengan
= [ ( − 1)
∑(
− )∑
−
]
adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
‖ ‖ = ( − 1) /
merupakan
panjang vektor yang menggambarkan
keragaman peubah ke-i.
cos( ) = rij menjelaskan korelasi
antara peubah ke-i dengan peubah
ke-j, di mana θ adalah sudut antara
peubah ke-i dan ke-j.
Jika Y berpangkat p maka
=
( − )
−
( − 1)
−
−
artinya kuadrat jarak Mahalanobis
antara yi dengan yj sebanding dengan
kuadrat jarak Euclid antara gi dengan gj
dengan S adalah matriks koragam yang
diperoleh dari Y.
2. Jika α = 1, maka G = UL, H = W
sehingga
=
, akibatnya:
=
−
( − )
artinya jarak
−
−
Euclid antara yi dengan yj akan sama
dengan jarak Euclid antara vektorvektor yang merepresentasikan gi dan
gj.
Contoh analisis biplot diberikan pada
Lampiran 2.
Analisis Procrustes
Misalkan X dan Y merupakan matriks
yang berukuran n×p dan n×q yang masingmasing adalah representasi konfigurasi yang
akan dibandingkan. Koordinat titik ke-i
berada pada ruang Euclid yang diberikan oleh
nilai-nilai baris ke-i pada matriks. Konfigurasi
pertama berada pada ruang berdimensi p dan
koordinat titik ke-i yaitu ( , , …, ) .
Sedangkan konfigurasi kedua berada pada
ruang berdimensi q dan koordinat ke-i yaitu
( , , …, ) . Jika p > q maka konfigurasi
kedua berada dalam subruang dari ruang
berdimensi p. Berdasarkan analisis Procrustes,
perbedaan ruang dimensi ini dapat
diselesaikan dengan memasangkan p – q
kolom nol di kanan Y sehingga menjadi
matriks berukuran n×p. Dengan demikian,
dapat diasumsikan bahwa p = q. Untuk
menentukan ukuran kesesuaian dalam dua
konfigurasi, analisis Procrustes menggunakan
jumlah kuadrat jarak antartitik yang
bersesuaian yaitu
( , ) = ∑ ∑
−
= tr [ ( − ) ( − ) ]
(6)
Bakhtiar dan Siswadi (2011).
Translasi
Misalkan matriks X=( , , …, ) , maka
sentroid kolom dari matriks X ialah
=
( ̅ , ̅ , …, ̅ ) di mana
; untuk j= 1, 2, …, p.
̅ = ∑
Translasi dapat diartikan sebagai proses
pemindahan seluruh titik pada suatu
konfigurasi dengan jarak yang tetap dan arah
yang sama. Dari persamaan (6) diperoleh
4
( , )
= ∑
∑ [
2∑ ∑
adalah matriks diagonal dengan
dan U, W merupakan matriks
ortogonal, sehingga
tr(XTYQ) = tr(
) = tr(
).
Karena Q merupakan matriks ortogonal
maka
juga matriks ortogonal.
maka
Dimisalkan
= =
berlaku −1 ≤
≤ 1 , sehingga
) ≤ tr( ) .
tr(XTYQ) = tr(P ) = ∑ (
Jadi, tr(P ) akan maksimum jika P =
= . Kondisi ini dapat terpenuhi jika
=
(Bakhtiar 1995).
=
− ̅ −
− ̅ −
−
−
]
+
.
̅ −
+ ∑
̅ −
.
(7)
Persamaan (7) menghasilkan
( , ) = ( , )+
,
(8)
di mana XT = X - 1n CX,
YT = Y - 1nCY,
.
= ∑
̅ −
XT dan YT merupakan konfigurasi X dan Y
setelah ditranslasi. CX dan CY masing-masing
adalah sentroid kolom dari X dan Y.
Sedangkan ZXY merupakan jumlah kuadrat
jarak dari kedua sentroid kolom X dan Y.
Untuk menghasilkan nilai E yang minimum,
maka ZXY = 0.
Dengan demikian, nilai perbedaan
minimum antara dua konfigurasi X dan Y
setelah translasi ialah
ET(X, Y) = E (XT, YT)
. (9)
−
=∑ ∑
− ̅ −
Rotasi
Rotasi adalah proses pemindahan seluruh
titik konfigurasi dengan sudut yang tetap
tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap
sentroidnya. Transformasi ini dilakukan
dengan mengalikan konfigurasi dengan suatu
matriks ortogonal.
Rotasi Y terhadap X dilakukan dengan
mengalikan matriks Y dengan matriks
ortogonal Q yaitu E(X,Y) = E(X,YQ) di mana
QTQ = QQT = I. Nilai perbedaan minimum
konfigurasi X dengan Y setelah penyesuaian
dengan rotasi ialah
ER(X, Y) = inf E X, YQ .
(10)
Q
Secara aljabar, nilai perbedaan setelah
dilakukan penyesuaian dengan rotasi ialah
E(X,YQ)
= tr[(X-YQ)T (X-YQ)]
= tr(X TX) + tr(YTY) -2 tr(XTYQ) .
(11)
Nilai E akan minimum jika tr(X TYQ)
maksimum.
Sehingga
dipilih
matriks
ortogonal
Q
yang
memaksimumkan
tr(X TYQ). Jadi, ER(X,Y) = tr(XTX) + tr(YTY).
Teorema
Jika X dan Y pada ℝ , dan Q pada
ℝ
merupakan matriks ortogonal maka
tr(X TYQ) akan maksimum bila diplih
=
dengan
merupakan hasil
DNSBL dari matriks XTY.
Bukti:
Andaikan
merupakan hasil
DNSBL dari matriks pXTYp = pUp pWp T.
Dilasi
Dilasi adalah penskalaan data dengan
pembesaran atau pengecilan jarak setiap titik
dalam konfigurasi terhadap sentroidnya
dengan mengalikan suatu konfigurasi dengan
suatu skalar c. Dilasi Y terhadap X dilakukan
dengan cara mengalikan konfigurasi Y dengan
suatu skalar c yaitu E(X,Y) = E(X,cY). Nilai
perbedaan minimum konfigurasi X dengan Y
setelah penyesuaian dengan dilasi ialah
ED (X,Y) = inf E X, cY .
(12)
c
Secara aljabar, nilai perbedaan setelah
dilakukan penyesuaian dengan dilasi ialah
E(X, cY)
= tr [ ( − ) ( − ) ]
= c2tr(YTY) − 2ctr(XTY) + tr(XTX) .
(13)
Syarat untuk memperoleh nilai E yang
minimum pada fungsi kuadrat dengan variabel
c ialah turunan pertama sama dengan nol dan
turunan kedua lebih besar dari nol. Dari
persamaan (13) diperoleh
= 0
⇔ 2 tr (
) − 2 tr (
⇔ 2 tr (
⇔
) = 0
) = 2 tr (
)
.
=
(14)
Nilai c pada persamaan (14) minimum
karena
= 2 tr (
) > 0.
Nilai minimum dari E dapat diperoleh
dengan mensubstitusikan persamaan (14) ke
persamaan (13), yaitu
( , ) =
) − 2 tr (
)+
tr (
tr (
)
tr(
=
2
=
= tr (
. tr (
−2
)−
)−
) + tr (
+ tr (
.
)
)
(15)
5
2. Kesesuaian Objek:
Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot
Analisis biplot tidak hanya sebagai
pendekatan matriks data Y dengan
menggunakan matriks ABT tetapi juga hasil
perkalian BBT sebagai pendekatan dari
matriks HHT yang berkaitan dengan ragamkoragam dan korelasi antarpeubah, dan
matriks AAT sebagai pendekatan bagi GGT
yang berkaitan dengan ukuran ketakmiripan
antarobjek. Pada matriks objek dan matriks
peubah berturut-turut digunakan GGT dan
HHT karena bergantung terhadap nilai α.
Matriks data GHT dengan ABT sebagai
pendekatannya.
Sehingga Y = GHT = ∑
)α (
)1-α
=∑ (
dan ABT = ∑
,
di mana s < r.
Matriks objek GG T dengan AA T
sebagai pendekatannya.
Jika GGT = ∑ ( )
, maka
AAT = ∑ ( )
,
di mana s < r.
Matriks peubah HHT dengan BB T
sebagai pendekatannya.
Jika HHT = ∑ ( )
, maka
BBT = ∑ ( )
,
di mana s < r.
Rumus umum yang dikemukakan oleh
Gabriel untuk ukuran kesesuaian analisis
biplot ini adalah sebagai berikut
GF(Y, H) = 1 −
=
║
║
║ ║
(
)
(
)
(16),
dengan H merupakan pendekatan Y. Ukuran
kesesuaian analisis biplot sebagai ukuran
kedekatan dari tiga bentuk matriks yang
dikemukakan oleh Gabriel (2002), yaitu
1. Kesesuaian Data:
GF(Y, ABT) =
(
GF(GGT, AAT) =
)
(
)
3. Kesesuaian Peubah:
GF(HHT, BBT) =
Trace Y atau tr(Y) merupakan jumlah
elemen diagonal utama dari matriks segi Y
sehingga dapat dituliskan tr ( ) = ∑
(Leon 2001).
Pada dasarnya ukuran kesesuaian Gabriel
dan analisis Procrustes dalam analisis biplot
adalah sebagai berikut
Gabriel:
GF(X, Y) = 1 −
= 1−
║
║
║ ║
( , )
║ ║
analisis Procrustes:
(
GF(X, Y) = 1 −
║ ║
, )
(17)
(18)
GF pada persamaan (17) selalu lebih kecil
atau sama dengan GF pada persamaan (18).
Matriks Data
Ukuran kesesuaian analisis komponen
utama sama dengan ukuran kesesuaian
Gabriel dalam analisis biplot yang
merepresentasikan matriks data. Dalam
ukuran kesesuaian analisis biplot dengan
analisis Procrustes, transformasi translasi dan
rotasi
tidak
perlu
dilakukan
untuk
memperoleh ukuran kesesuaian analisis biplot
yang merepresentasikan matriks data. Hanya
transformasi dilasi dalam analisis Procrustes
yang dilakukan. Nilai perbedaan minimum
yang diperoleh dengan transformasi dilasi
kemudian digunakan untuk ukuran kesesuaian
analisis biplot, sehingga diperoleh nilai antara
0 dan 1. Ukuran kesesuaian Gabriel sama
dengan ukuran kesesuaian analisis Procrustes
dalam analisis biplot untuk merepresentasikan
matriks data (Herlina 2011).
PEMBAHASAN
Pada ukuran kesesuaian analisis biplot
dapat diperoleh tiga matriks pendekatan yang
terkait dengan data, objek, dan peubah. Nilai
ukuran kesesuaian (goodness of fit) pada
persamaan (16) berada dalam selang [ 0,1] .
Jika nilai GF semakin mendekati nilai 1 maka
semakin baik nilai perbedaan minimum suatu
matriks dengan pendekatannya tapi jika nilai
GF semakin mendekati 0 maka semakin
buruk.
Matriks
yang
digunakan
untuk
menunjukkan hubungan antara ukuran
kesesuaian analisis biplot dengan analisis
Procrustes adalah matriks pendekatan dari
ukuran kesesuaian analisis biplot yang
disesuaikan dengan ketiga transformasi
geometris pada analisis Procrustes. Pada karya
ilmiah ini akan dijelaskan tentang matriks
objek GGT dengan pendekatan AAT dan
matriks peubah HHT dengan pendekatan BBT.
Untuk menentukan nilai perbedaan
minimum pada analisis Procrustes dapat
diperoleh dari tiga transformasi geometri yaitu
translasi, rotasi, dan dilasi. Pada translasi,
nilai perbedaan minimum diperoleh jika jarak
kedua sentroid kolom antara kedua matriks
sama dengan nol. Pada rotasi, nilai perbedaan
minimum diperoleh dengan mengalikan
konfigurasi dengan matriks ortogonal. Pada
dilasi, nilai perbedaan minimum diperoleh
dengan mengalikan konfigurasi dengan skalar
c.
Ukuran Kesesuaian Matriks Objek
Penyesuaian terhadap Translasi
Pada
transformasi
translasi,
nilai
perbedaan minimum diperoleh saat jarak
kedua sentroidnya sama dengan nol
= 0 . Nilai perbedaan transformasi
translasi adalah
(
=
,
(
)
,
)+
Akan dibuktikan bahwa
=
.
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
.
=
(19)
dan
∑
=
∑
=
=
=
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
=
=
Karena
=
dan
=
maka
= 0, yang berarti bahwa secara
intrinsik transformasi translasi sudah
dilakukan.
Penyesuaian terhadap Rotasi
Transformasi rotasi dilakukan setelah
transformasi translasi dilakukan. Nilai
perbedaan minimum diperoleh dengan
mengalikan matriks
dengan matriks
ortogonal Q. Nilai perbedaan transformasi
rotasi adalah
(
,
= tr(
2 tr (
)
) + tr (
) .
)−
(20)
Nilai perbedaan minimum akan diperoleh
) di
dengan memaksimumkan tr (
mana =
yang didapat dari DNSBL
=
. Dari analisis biplot
diperoleh GGT = ∑
dan AAT =
∑
di mana s < r. Jika Q = I maka
ER(
,
)= (
,
).
∑
= ∑
∑
=
= ∑
+ ∑
0
=
di mana U adalah
berdimensi n×n dan
=
diag λ
, λ
(
)×
,…, λ
matriks
ortogonal
×(
(
)× (
)
.
)
7
Berdasarkan DNSBL yang diperoleh
=
=
=
= . Jadi
=
yang
) . Oleh karena
memaksimumkan tr (
itu, transformasi rotasi tidak dilakukan.
oleh Gabriel sama dengan ukuran kesesuaian
yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
Ukuran Kesesuaian Matriks Peubah
Penyesuaian terhadap Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan apabila
transformasi translasi dan rotasi telah
dilakukan. Nilai
perbedaan
minimum
diperoleh dengan mengalikan
dengan
suatu skalar c. Nilai perbedaan minimum
transformasi dilasi adalah
E(
,c
)
)+
) − 2 tr (
=
tr(
) .
(21)
tr (
Nilai c yang diperoleh sebagai titik
kritisnya adalah
=
(
)
Substitusikan nilai c yang diperoleh ke
persamaan (21), sehingga diperoleh
(
)
,
)−
= tr (
= mi n ║
−
║
(22)
Untuk
memperoleh
persamaan
GF,
substitusikan persamaan (22) ke persamaan
(16) sehingga
GF(
║
║
) =1−
,
║
║
= 1−
(23)
=
)
tr ∑
∑
∑
tr ∑
(24)
)
∑
(25)
)
∑
tr ∑
∑
∑
(26).
Substitusikan persamaan (24), (25), (26) ke
persamaan (23) sehingga diperoleh
GF (
,
) =
=
∑
∑
∑
(
=
∑
.
∑
(27)
Jadi, nilai perbedaan minimum yang
diperoleh dari transformasi dilasi yang
digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis
biplot. Ukuran kesesuaian yang dikemukakan
)
,
,
)+
.
(28)
Pada matriks peubah secara umum
diperoleh
≠
dan
≠
sehingga
≠ 0 . Oleh karena itu,
transformasi translasi perlu dilakukan.
Ilustrasi bahwa
≠
dan
≠
diberikan pada Lampiran 3.
(
Penyesuaian terhadap Rotasi
Transformasi rotasi dilakukan setelah
transformasi translasi dilakukan. Misalkan
setelah dilakukan translasi adalah
dengan
setelah dilakukan translasi adalah
sebagai matriks pendekatannya. Nilai
perbedaan minimum pada transformasi rotasi
diperoleh dengan mengalikan matriks
dengan matriks ortogonal Q. Nilai perbedaan
tersebut adalah
( ,
= tr (
2 tr (
= 1− 1−
tr (
=
=
tr (
=
=
tr (
=
=
Penyesuaian terhadap Translasi
Pada
transformasi
translasi,
nilai
perbedaan minimum diperoleh saat jarak
kedua sentroidnya sama dengan nol
= 0 . Nilai perbedaan transformasi
translasi adalah
)
) + tr (
).
)−
(29)
Nilai perbedaan minimum akan diperoleh
) di
dengan memaksimumkan tr (
mana
=
yang didapat dari DNSBL
=
. Jika Q = I maka
( ,
) = ( ,
) . Pada matriks
peubah diperoleh ≠ sehingga perlu dicari
matriks ortogonal Q untuk memperoleh
ER( ,
) . Oleh karena itu, transformasi
rotasi dilakukan. Ilustrasi bahwa Q ≠ I
diberikan pada Lampiran 4.
Penyesuaian terhadap Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan apabila
transformasi translasi dan rotasi telah
dilakukan. Nilai perbedaan
minimum
diperoleh dengan mengalikan
dengan
suatu skalar c. Nilai perbedaan transformasi
dilasi adalah
E( ,
)
) − 2 tr (
)+
=
tr (
).
tr (
(30)
8
Nilai c yang diperoleh sebagai titik
kritisnya adalah
.
=
Substitusikan nilai c yang diperoleh ke
persamaan (30), sehingga diperoleh
(
)
,
)−
= tr (
.
(31)
Untuk
memperoleh
persamaan
GF,
substitusikan persamaan (31) ke persamaan
(16) sehingga diperoleh
GF(
) =1−
,
= 1−
,
║
║
,
Jadi, nilai perbedaan minimum dari ketiga
transformasi tersebut digunakan untuk ukuran
kesesuaian analisis biplot. Namun, ukuran
kesesuaian yang dikemukakan oleh Gabriel
selalu lebih kecil atau sama dengan ukuran
kesesuaian yang diperoleh dari analisis
Procrustes dalam analisis biplot.
Contoh ilustrasi ukuran kesesuaian yang
dikemukakan oleh Gabriel dengan analisis
Procrustes dalam analisis biplot dengan
menggunakan data hasil panen kedelai di New
York (Gabriel 2002) diberikan pada Gambar
1.
(32)
.
1.0
0.8
0.6
GF
data
objek
0.4
peubah Procrustes
0.2
peubah Gabriel
0.0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
α
Gambar 1 Ukuran kesesuaian dalam analisis biplot
Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai
ukuran kesesuaian matriks data adalah
sebesar 0.9811 untuk α ∊ [0,1]. Nilai ukuran
kesesuaian matriks objek adalah sebesar
0.3333 untuk α = 0 dan 0.9997 untuk α = 1.
Pada matriks objek, semakin besar nilai α
maka nilai ukuran kesesuaian akan mendekati
nilai 1 dengan α ∊ [0,1]. Pada matriks
peubah, semakin kecil nilai α maka nilai
ukuran kesesuaian akan mendekati nilai 1
dengan α ∊ [0,1]. Nilai ukuran kesesuaian
peubah Gabriel adalah sebesar 0.9997 untuk
α = 0 dan 0.3334 untuk α = 1. Nilai ukuran
kesesuaian peubah Procrustes adalah sebesar
0.9999 untuk α = 0 dan 0.3775 untuk α = 1.
Jadi,
nilai ukuran kesesuaian yang
dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih kecil
atau sama dengan ukuran kesesuaian yang
diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada matriks objek, transformasi translasi
dan rotasi dalam analisis Procrustes tidak
perlu dilakukan untuk memperoleh ukuran
kesesuaian analisis biplot. Jadi, hanya
transformasi dilasi pada analisis Procrustes
yang dilakukan. Nilai perbedaan minimum
yang diperoleh dari transformasi dilasi
digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis
biplot. Ukuran kesesuaian yang dikemukakan
oleh Gabriel sama dengan ukuran kesesuaian
yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
Pada matriks peubah, ketiga transformasi
dalam analisis Procrustes yaitu translasi,
rotasi, dan dilasi perlu dilakukan. Nilai
perbedaan minimum dari ketiga transformasi
tersebut digunakan untuk ukuran kesesuaian
analisis biplot. Namun, ukuran kesesuaian
yang dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih
kecil atau sama dengan ukuran kesesuaian
yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
Saran
Berdasarkan hasil dari karya ilmiah ini
disarankan untuk menggunakan analisis
Procrustes dalam menentukan ukuran
kesesuaian analisis biplot. Hal itu disebabkan
karena dengan
menggunakan
analisis
Procrustes yang dilakukan melalui tiga
transformasi yaitu translasi, rotasi, dan dilasi
diperoleh ukuran kedekatan dua konfigurasi
matriks yang lebih layak. Sedangkan ukuran
kesesuaian Gabriel hanya melakukan satu
transformasi saja yaitu dilasi.
DAFTAR PUSTAKA
Aitchison J, Greenacre M. 2002. Biplots for
compositional data. Applied Statistics
51 (part4): 375-392.
Bakhtiar T. 1995. Tinjauan terhadap urutan
pengerjaan transformasi geometris
pada analisis Procrustes untuk mencari
norma kuadrat perbedaan minimum
[Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor.
Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal
Procrustes analysis: its transformation
arrangement and minimal distance. Int.
J. Appl. Math. Stat.,vol 20, No. M11,
pp.16-24.
Gabriel KR. 1971. The biplot-graphic display
of matrices with application to
principal
component
analysis.
Biometrika 58(3): 453-467.
Gabriel KR. 2002. Goodness of fit of biplot
and
correspondence
analysis.
Biometrika 89(2): 423-436.
Greenacre MJ. 1984. Theory and Applications
of Correspondence Analysis. London:
Academic Press.
Greenacre MJ. 2010. Biplots in Practice.
Madrid: Fundacion BBVA.
Herlina M. 2011. Hubungan ukuran
kesesuaian dalam analisis komponen
utama dan analisis biplot dengan
analisis Procrustes [Skripsi]. Bogor:
Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component
Analysis. 2nd Ed. Berlin: SpringerVerlag.
Krzanowski WJ. 1990. Principles of
Multivariate Analysis, A User’s
Perspective. New York: Oxford
University Press.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah; Hardani HW, editor.
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Linear Algebra with Applications, 5th
Ed.
Sibson R. 1978. Studies in the robustness of
multidimensional scaling: procrustes
statistics. J. Roy. Statist. Soc. B, 40.
No. 2. 234-238.
LAMPIRAN
12
Lampiran 1 Contoh Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL)
Misalkan matriks X ialah
2
2
2
1
0
0
⎡2
⎢
= ⎢1
⎢0
⎣0
1
1⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎦
sehingga diperoleh
9
= 9
4
9
9
4
4
4 .
2
Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen ortonormal, yaitu
(
(
0.6739
19.7980, 0.6739
0.3029
) =
,
)=
,
,(
,
)=
−0.7071
0,
−0.2142
0.2020, −0.2142
0.9530
,
0.7071
0
dengan
0.6739
0.2142
⎛0.6739 ⎞
= ⎜0.3029 ⎟ ,
⎛ 0.2142 ⎞
= ⎜−0.9530 ⎟ .
⎝
0
0
Diperoleh
9
⎡9
⎢
= ⎢4
⎢0
⎣0
9
9
4
0
0
⎠
4
4
2
0
0
0
0
0
0
0
⎝
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎦
⎠
sehingga diperoleh vektor eigen ortonormal yang berpadanan dengan λ = 0, yaitu
−0.7071
0
0
⎛ 0.7071 ⎞
0
⎟,
= ⎜
⎝
0
0
4.4496
0
0
0
0
⎡
⎢
dan = ⎢
⎢
⎣
⎠
⎛0 ⎞
= ⎜0 ⎟ ,
1
⎝0 ⎠
0
0.4495
0
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥ .
0⎥
0⎦
⎛0 ⎞
= ⎜0 ⎟
0
⎝1 ⎠
Jadi, DNSBL dari matriks X adalah
=
0.6739
⎡0.6739
⎢
= ⎢0.3029
⎢ 0
⎣ 0
0.2142
0.2142
−0.9530
0
0
0.6739
0.6739
−0.2142
−0.7071
−0.2142
0.7071
−0.7071
0.7071
0
0
0
0.3029
0.9530
0
0
0
0
1
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
1⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
4.4496
0
0
0
0
0
0.4495
0
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎦
13
Lampiran 2 Contoh Analisis Biplot
Data yang digunakan merupakan beberapa hasil panen kedelai di New York (Gabriel 2002)
yang dikelompokkan berdasarkan lingkungan. Dari data ini akan dilakukan pemetaan lingkungan
berdasarkan hasil panen kedelai.
Berikut tabel data hasil panen berdasarkan lingkungan.
Genotipe
Lingkungan
A
B
C
D
E
F
1
1.1113
0.578
1.278
1.4992
1.9632
1.7118
2
2.0375
1.3865
2.3502
2.8255
2.617
2.758
3
1.7355
1.6065
1.5875
1.8393
1.3747
1.5337
4
3.2578
2.9605
2.8127
3.4228
3.2073
2.9253
5
3.164
2.6058
2.815
3.4072
3.1883
3.5897
6
3.9235
3.6125
3.097
3.1645
2.482
2.9015
7
4.9062
4.6082
3.5097
4.7518
4.5015
3.6898
Pemetaan lingkungan berdasarkan hasil panen kedelai dilakukan dengan analisis biplot
menggunakan α = 0.
Data pada tabel adalah matriks ∗ dikoreksi terhadap nilai rata-ratanya sehingga diperoleh
matriks , yaitu
−1.7652 −1.9017 −1.2149 −1.4880 −0.7988 −1.0182
⎡−0.8390 −1.0932 −0.1427 −0.1617 −0.1450 0.0280 ⎤
⎢
⎥
⎢−1.1410 −0.8732 −0.9054 −1.1479 −1.3873 −1.1963 ⎥
= ⎢ 0.3813
0.4808
0.3198
0.4356
0.4453
0.1953 ⎥
0.1261
0.3221
0.4200
0.4263
0.8597 ⎥
⎢ 0.2875
⎢ 1.0470
1.1328
0.6041
0.1773 −0.2800 0.1715 ⎥
⎣ 2.0297
2.1285
1.0168
1.7646
1.7395
0.9598 ⎦
Berdasarkan DNS dengan
Koordinat objek
D1
1
-0.54496
2
-0.18134
3
-0.41408
4
0.14769
5
0.13971
6
0.21022
7
0.64276
= 0 diperoleh koordinat-koordinat biplot sebagai berikut:
D2
-0.1753
-0.46
0.49948
-0.04944
-0.35828
0.61064
-0.06711
Koordinat peubah
A
B
C
D
E
F
D1
3.20778
3.29106
1.93565
2.61005
2.22062
1.8471
D2
0.50675
0.88003
-0.00418
-0.42029
-0.94866
-0.70927
Matriks yang merepresentasikan data ≈
, objek
dari 7Y6 = 7U6L6 W6T ≈ 7U*2L*2 W*6T , di mana L* = diag
∗ ∗
= ∗ dan matriks =
sebagai berikut:
−0.54496 −0.17530
3.2078
0.5067
⎡−0.18134 −0.46000 ⎤
⎡3.2910 0.8800 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢−0.41408 0.49948 ⎥
1.9357 −0.0042⎥
= ⎢ 0.14769
.
−0.04944 ⎥ , = ⎢
⎢2.6101 −0.4203⎥
⎢ 0.13971 −0.35828 ⎥
⎢2.2206 −0.9487⎥
⎢ 0.21022
0.61064 ⎥
⎣1.8471 −0.7093⎦
⎣ 0.64276 −0.06711 ⎦
,
≈
, dan peubah
≈
sehingga diperoleh matriks
14
Ukuran kesesuaian (%) analisis biplot disajikan dalam tabel berikut:
α=0
Gabriel
analisis Procrustes
Data
98.11
98.11
GF
Peubah
99.97
99.99
Objek
33.33
33.33
D2 = 6.01%
Pada tabel di atas ditunjukkan bahwa pendekatan matriks menggunakan analisis biplot
memberikan ukuran kesesuaian yang cukup besar untuk data dan peubah yaitu lebih dari 95%
sedangkan ukuran kesesuaian untuk objek kecil yaitu kurang dari 50%. Hasil biplot diberikan pada
gambar berikut
D1 = 92.10%
.
Nilai D1 dan D2 untuk gambar di atas masing-masing ialah 92.10% dan 6.01%. Dari gambar di
atas panjang vektor D dan E relatif sama panjang menunjukkan bahwa keragaman dari kedua
peubah relatif sama besar. Pada peubah B digambarkan dengan vektor yang lebih panjang
dibandingkan dengan peubah yang lainnya menunjukan bahwa tingkat keragamannya lebih tinggi
dibandingkan dengan yang lainnya. Peubah C digambarkan dengan vektor yang lebih pendek
dibandingkan dengan peubah yang lainnya menunjukan bahwa tingkat keragamannya relatif lebih
rendah. Sudut yang dibentuk antar peubah tergolong lancip sehingga korelasi yang terjadi adalah
korelasi positif, misalkan makin tinggi nilai A makin tinggi pula nilai peubah yang lainnya. Dari
gambar di atas dapat terlihat kedekatan antar objek dengan peubah yaitu lingkungan (3) dan (6)
terletak berlawanan dengan E, artinya hasil panen E untuk lingkungan (3) dan (6) berada di bawah
rata-rata.
15
≠
Lampiran 3 Ilustrasi
α = 0.
∗
Misalkan diberikan matriks
∗
1.1113
⎡2.0375
⎢
⎢1.7355
= ⎢3.2578
⎢ 3.164
⎢3.9235
⎣4.9062
0.578
1.3865
1.6065
2.9605
2.6058
3.6125
4.6082
1.4992
2.8255
1.8393
3.4228
3.4072
3.1645
4.7518
−1.2149
−0.1427
−0.9054
1.9632
2.617
1.3747
3.2073
3.1883
2.482
4.5015
−1.4880
−0.1617
−1.1479
0.3198
0.3221
0.6041
1.0168
1.7118
⎤
2.758
⎥
1.5337 ⎥
2.9253 ⎥
3.5897 ⎥
2.9015 ⎥
3.6898 ⎦
−0.7988
−0.1450
−1.3873
0.4356
0.4200
0.1773
1.7646
0.4453
0.4263
−0.2800
1.7395
dan
10.5657
⎡10.9962
⎢
6.2082
= ⎢
⎢ 8.1261
⎢ 6.6445
⎣ 5.5881
10.9962
11.6348
6.2999
8.2280
6.5422
5.3898
≠ 0 dengan menggunakan
sehingga
yaitu
1.278
2.3502
1.5875
2.8127
2.815
3.097
3.5097
sehingga diperoleh
−1.7652 −1.9017
⎡−0.8390 −1.0932
⎢
⎢−1.1410 −0.8732
= ⎢ 0.3813
0.4808
0.1261
⎢ 0.2875
⎢ 1.0470
1.1328
⎣ 2.0297
2.1285
≠
dan
6.2082
6.2999
3.9209
5.0461
4.1265
3.7350
8.1261
8.2280
5.0461
7.0694
6.1974
5.0540
6.6445
6.5422
4.1265
6.1974
6.0680
4.5439
−1.0182
0.0280 ⎤
⎥
−1.1963 ⎥
0.1953 ⎥
0.8597 ⎥
0.1715 ⎥
0.9598 ⎦
5.5881
⎤
5.3898
⎥
3.7350⎥
.
5.0540⎥
4.5439⎥
4.1965⎦
Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen ortonormal sebagai berikut
0.50705
(
,
0.31361
0.52021 ⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
) = ⎜40.0229, ⎜0.30597 ⎟⎟
,(
⎜0.41257 ⎟⎟
⎜
⎟
0.54463 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
⎜
) = ⎜2.6109, ⎜ 0.00258 ⎟⎟
,
⎜−0.26011 ⎟⎟
⎜
⎟
−0.58710
⎝−0.43895 ⎠⎠
⎝
,
0.35101
⎝
(
,
⎝0.29197 ⎠⎠
−0.02832
0.18477 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
0.46090 ⎟ (
) = ⎜
,
⎜0.6418, ⎜
⎜ 0.08671 ⎟
⎟⎟
⎜
⎟
0.31845
,
0.59057
⎝
(
,
dengan
⎝−0.62955 ⎠⎠
−0.21871
0.30969 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
⎜
) = ⎜0.0482, ⎜ 0.70086 ⎟⎟
, dan (
⎜ 0.35615 ⎟⎟
⎜
⎟
−0.28205
⎝ 0.39832 ⎠⎠
⎝
−0.54496
−0.18134
⎛
⎞
−0.41408
⎜
⎟
= ⎜ 0.14769 ⎟ ,
⎜ 0.13971 ⎟
0.21022
⎝ 0.64276 ⎠
0.06964 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
0.32962 ⎟
)= ⎜
⎟ ,
⎜0.1241, ⎜
⎜−0.74486 ⎟⎟
⎜
⎟
0.26912
⎝ 0.39730 ⎠⎠
⎝
,
−0.17530
−0.46000
−0.70321
0.54576 ⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
) = ⎜0.0074, ⎜ 0.30674 ⎟⎟
⎜−0.27009 ⎟⎟
⎜
⎟
⎛
⎞
0.49948
⎜
⎟
= ⎜−0.04944 ⎟ ,
⎜−0.35828 ⎟
0.61064
⎝−0.06711 ⎠
0.17707
⎝
⎝ 0.09615 ⎠⎠
0.37294
−0.28681
⎛
⎞
0.15296
⎜
⎟
= ⎜ 0.13532 ⎟ ,
⎜−0.48229 ⎟
−0.44533
⎝ 0.55320 ⎠
0.55274
−0.57836
⎛
⎞
−0.33879
⎜
⎟
= ⎜−0.22015 ⎟ ,
⎜ 0.39053 ⎟
0.20970
⎝−0.01567 ⎠
16
−0.28073
−0.27603
⎛
⎞
0.54512
⎜
⎟
= ⎜−0.23371 ⎟ ,
⎜ 0.55681 ⎟
−0.41523
⎝ 0.10377 ⎠
⎡√40.0229
0
⎢
⎢
0
dan = ⎢
0
⎢
0
⎢
⎣
0
−0.07757
−0.34600
⎛
⎞
−0.02951
⎜
⎟
= ⎜ 0.84350 ⎟
⎜ 0.11876 ⎟
−0.15925
⎝−0.34993 ⎠
0
0
0
√0.6418
0
0
0
√2.6109
0
0
0
0
0
0
0
√0.1241
0
0
0
0
0
0
√0.0482
0
Jadi, DNS dari matriks Y ialah
=
−0.54496
⎡−0.18134
⎢
⎢−0.41408
= ⎢ 0.14769
⎢ 0.13971
⎢ 0.21022
⎣ 0.64276
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
6.32637
0
0
0
0
0
−0.17530
−0.46000
0.37294
− 0.28681
0.15296
0.13532
− 0.48229
− 0.44533
0.55320
0.49948
−0.04944
−0.35828
0.61064
−0.06711
0
1.61584
0
0
0
0
0.50705
⎡ 0.31361
⎢
⎢−0.02832
⎢ 0.31845
⎢−0.21871
⎣−0.70321
0
0
0.80113
0
0
0
0.52021
0.54463
0.18477
0.06964
0.30969
0.54576
0.55681
−0.41523
0.10377
0
0
0
0
0.21947
0
0
⎤
0
⎥
0
⎥
0
⎥
⎥
0
0.08580 ⎦
0.30597
0.41257
0.35101
−0.26011
−0.58710
0.30674
dan
0.08671
0.35615
−0.27009
0.59057
0.26912
−0.28205
0.17707
sebagai berikut:
10.5637
⎡10.9949
⎢
6.2083
= ⎢
⎢ 8.1253
⎢ 6.6446
⎣ 5.5881
10.9949
11.6342
6.3005
8.2273
6.5419
5.3903
6.2083
6.3005
3.9218
5.0471
4.1269
3.7358
8.1253
8.2273
5.0471
7.0716
6.1991
5.0560
6.6436
6.5419
4.1269
6.1991
6.0677
4.5443
5.5881
⎤
5.3903
⎥
3.7358 ⎥
5.0560 ⎥
4.5443 ⎥
4.1973 ⎦
10.5466
11.0016
11.6049
6.3672
8.2192
6.4730
5.4552
6.2071
6.3672
3.7476
5.0549
4.3027
3.5791
8.1586
8.2192
5.0549
6.9913
6.1963
5.1211
6.6417
6.4730
4.3027
6.1963
5.8308
4.7750
5.5657
⎤
5.4552
⎥
3.5791 ⎥
5.1211 ⎥
4.7750 ⎥
3.9157 ⎦
⎡11.0016
⎢
6.2071
= ⎢
⎢ 8.1586
⎢ 6.6417
⎣ 5.5657
dengan sentroidnya ialah
= [ 8.0206
dan
0.54512
0.39053
0.20970
−0.01567
−0.74486
8.1815
4.8900
6.6210
5.6873
−0.07757
−0.34600 ⎤
⎥
−0.02951 ⎥
0.84350 ⎥
0.11876 ⎥
−0.15925 ⎥
−0.34993 ⎦
−0.23371
−0.00258
−0.46090
−0.32962
−0.70086
Untuk α = 0 diperoleh matriks
dan
−0.28073
−0.27603
0.55274
−0.57836
−0.33879
−0.22015
0
0
0
0.35229
0
0
0
⎤
0
⎥
⎥
0
⎥.
0
⎥
0
⎥
√0.0074⎦
0.29197
−0.43895 ⎤
⎥
−0.62955 ⎥
.
0.39730 ⎥
0.39832 ⎥
0.09615 ⎦
4.7520 ] ≠
17
= [ 8.0199
Jadi,
8.1868
≠ 0.
4.8764
6.6236
5.7032
4.7353] ≠
.
18
Lampiran 4 Ilustrasi bahwa
≠ pada transformasi rotasi.
Pada transformasi translasi diperoleh matriks
dan
=
−
−
dan
=
Matriks
2.5430
dan
⎡ 2.9742
⎢
−1.8124
= ⎢
⎢ 0.1046
⎢ −1.3770
⎣ −2.4325
2.5247
⎡ 2.9817
⎢
−1.8128
= ⎢
⎢ 0.1387
⎢−1.3782
⎣−2.4542
, di mana
.
sebagai berikut:
2.8134
3.4527
−1.8811
0.0458
−1.6396
−2.7912
2.8148
3.4180
−1.8196
0.0323
−1.7138
−2.7316
1.3182
1.4104
−0.9683
0.1570
−0.7631
−1.1542
sehingga diperoleh matriks
26.4565
⎡29.9243
⎢
13.1951
= ⎢
⎢15.9253
⎢10.1429
⎣ 7.5460
Untuk memperoleh
DNSBL dari matriks
=
−0.5643
⎡−0.6370
⎢
−0.2818
= ⎢
⎢−0.3445
⎢−0.2249
⎣−0.1647
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
dan
82.6301
0
0
0
0
0
−0.5654
⎡−0.1892
⎢
⎢ 0.6199
⎢ 0.4685
⎢ 0.1336
⎣ 0.1514
1.3307
1.4908
−1.1288
0.1785
−0.5737
−1.2973
29.6302
33.5795
14.7591
17.6011
10.9389
8.2653
13.8282
15.5843
6.9130
8.5258
5.6638
4.1043
matriks Q,
ialah
−0.1943
−0.3525
−0.0588
0.3577
0.7770
0.3209
0
2.4738
0
0
0
0
−0.6312
−0.4110
−0.1899
−0.5301
−0.2343
−0.2464
1.5042
1.6062
−1.5740
0.4506
−0.4220
−1.5651
1.5351
1.5956
−1.5687
0.3677
−0.4273
−1.5025
15.7741
17.6898
7.9109
10.0385
7.0223
4.9299
akan
0.8000
−0.5025
−0.2448
−0.2077
0.0604
−0.0272
0
0
1. 10
0
0
0
0.0725
−0.4999
0.0176
0.2187
0.7799
0.9384
0.7698
−1.4005
0.4931
0.1276
−0.9283
0.8361
⎤
0.6383
⎥
−1.0161 ⎥
0.3040 ⎥
−0.2077 ⎥
−0.5547 ⎦
9.3482
10.3368
4.7303
6.4736
5.1025
3.3375
dicari
−0.0564
0.3460
−0.2604
−0.7281
0.2711
0.4535
0
0
0
2. 10
0
0
−0.2973
0.9564
0.8546
−1.5604
0.5118
0.3805
−1.1429
0.3484
−0.4857
0.5129
0.0760
−0.5069
8.3279
⎤
9.2371
⎥
4.2058⎥
.
5.6651⎥
4.3628⎥
2.8924⎦
DNSBL
0.0226
−0.2665
dari
−0.0025
matriks
⎤
0.3823
0.0550
−0.4300
0.7710
0.1637
⎥
−0.8021 ⎥
0.4208 ⎥
−0.2893 ⎥
0.2629 ⎦
−0.2072
−0.1837
0
0
0
0
1. 10
0
−0.3419
0.8304
⎤
0.7199
⎥
−1.1562⎥
0.3858 ⎥
0.0397 ⎥
−0.8196⎦
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎥
0⎦
0.6516
0.1990
−0.1170
−0.6689
0
PROCRUSTES DALAM ANALISIS BIPLOT
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
ABSTRAK
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING. Hubungan Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis
Procrustes dalam Analisis Biplot. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.
Ukuran kesesuaian analisis biplot terkait dengan matriks data, objek, dan peubah
dikemukakan oleh Gabriel (2002). Analisis Procrustes merupakan salah satu cara yang dapat
digunakan untuk menentukan nilai ukuran kesesuaian dengan melalui tiga transformasi yaitu
translasi, rotasi, dan dilasi. Pada matriks data dan matriks objek, transformasi translasi dan rotasi
dalam analisis Procrustes tidak perlu dilakukan. Jadi, yang dilakukan hanya transformasi dilasi
pada analisis Procrustes yang kemudian memberikan hasil yang sama dengan ukuran kesesuaian
analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel. Pada matriks peubah, ketiga transformasi dalam
analisis Procrustes yaitu translasi, rotasi, dan dilasi perlu dilakukan. Sehingga, ukuran kesesuaian
yang diperoleh melalui hasil analisis Procrustes selalu lebih besar atau sama dengan ukuran
kesesuaian analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel.
ABSTRACT
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING. The Relation of Gabriel’s Goodness of Fit with Procrustes
Analysis in Biplot Analysis. Supervised by SISWADI and TONI BAKHTIAR.
The goodness of fit in biplot analysis related to data, object, and variable matrix was
presented by Gabriel in 2002. Procrustes analysis is one way that can be used to determine the
value of goodness of fit through three kinds of transformations, namely translation, rotation, and
dilation. The translation and rotation in Procrustes analysis are not necessary in the data and object
matrix, thus the only transformation needed in Procrustes analysis is dilation, which gives the
same results as the goodness of fit in biplot analysis presented by Gabriel. In the variable matrix,
all three transformations in Procrustes analysis need to be done. Thus, the goodness of fit obtained
through the Procrustes analysis is always greater than or equal to the goodness of fit in biplot
analysis presented by Gabriel.
HUBUNGAN UKURAN KESESUAIAN GABRIEL DENGAN ANALISIS
PROCRUSTES DALAM ANALISIS BIPLOT
LINGGA DIVIKA ANGGIRULING
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul Skripsi : Hubungan Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis
Procrustes dalam Analisis Biplot
Nama
: Lingga Divika Anggiruling
NRP
: G54070008
Menyetujui,
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.
NIP. 19490609 197412 1 001
Dr. Toni Bahktiar, M.Sc.
NIP. 19720627 199702 1 002
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala nikmat, rahmat,
karunia dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya
ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu Devi Hanifah dan Papah Odin Karodin yang telah memberikan kasih sayang,
dukungan, doa, pengorbanan, dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis
selama ini; Adikku Iken dan Sabina atas semangat dan dukungannya; Eyang, (Alm.) Abah,
Mang Deden, Bi Yani atas doa dan dukungannya;
2. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini);
3. Bapak Dr. Toni Bahktiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua
ilmu, kesabaran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini);
4. Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu,
saran, dan motivasinya);
5. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan);
6. Bu Susi, Bu Ade, Pa Bono, Pa Yono, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai
Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi
akademik bagi penulis di Departemen Matematika;
7. Musthafa Tanfiz Syariat Walayatullah terima kasih atas kasih sayang, dukungan, semangat,
dan doanya;
8. Teman-teman satu bimbingan: Maryam, Ririh, Sari terima kasih atas bantuan dan
motivasinya;
9. Sahabat-sahabat tercinta: Dinda Asyifa Devi, Fitri Durrotun Nafisah, Nurisma, Pariatik
terima kasih atas semangat, doa, dan perhatiannya. Kebersamaan kita akan selalu dikenang;
10. Teman-teman Math 44: Anis, Ruhi, Siska, Fikri, Yuyun, Lugi, Diana, Yanti, Lilis, Eka,
Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Wewe, Nurul, Tanto, Rahma, Melon, Lili, Tita, Cita, Cepi,
Tendy, Ali, Lina, Resha, Deva, Ucu, Istiti, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Pepi, Eny, Ndep,
Yogi, Chopa, Ayung, Endro, Fajar, Kodok, Masay, Denda, Dika, Fani, Ikhsan, Della,
Pandi, Abe, Tyas, Arina, Imam, Nadiroh, Rofi, Indin, Olih, Ipul, Nurus, Lukman, Puying,
Naim terima kasih atas semangat dan kebersamaannya selama 3 tahun di Math 44;
11. Mbak Lina dan kakak-kakak Math 43 serta adik-adik Math 45 terima kasih atas doa dan
dukungannya;
12. Teman-teman Ikamasi: Rina, Lida, Yoga, Pam-pam, Teguh, Ari, Kornel, Hasan, dan
lainnya terima kasih atas doa, dukungan, dan semangatnya;
13. Teman-teman Salsabila: Kak Eta, Mbak Nina, Bio, Ayu, Kak Baby, Kak Lulus, Kak
Sandra, Kak Siti, Kak Icha, Ayu Marlika, Opi, Ayu Opi, Sari, Ruro, Dea, Titi, dan lainnya
terima kasih atas doa, dukungan, dan semangatnya;
14. Teman-teman Enrichment terimakasih atas dukungan dan doanya;
15. Semua pihak yang telah memberikan dorongan, doa, semangat, bantuan dan kerjasama
selama pengerjaan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, Agustus 2011
Lingga Divika Anggiruling
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 17 Juli 1989 dari pasangan Bapak Odin Karodin
dan Ibu Devi Hanifah. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu SDN Sriwidari II lulus pada tahun 2001, SMP
Negeri 1 Kota Sukabumi lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 3 Kota Sukabumi lulus pada tahun
2007 dan di tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor melalui Ujian Saringan Masuk
IPB (USMI). Menginjak tahun kedua di IPB, penulis masuk di Departemen Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan Statistika Terapan sebagai mata kuliah minor.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus II pada
tahun ajaran 2009/2010, Kalkulus III pada tahun ajaran 2009/2010, Pengantar Teori Peluang pada
tahun ajaran 2010/2011. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Departemen Keilmuan pada tahun 2008/2009 dan
2009/2010. Pada tahun 2008/2009 penulis mengikuti organisasi daerah Ikatan Keluarga dan
Mahasiswa Sukabumi (IKAMASI) sebagai anggota dan pada tahun 2009/2010 sebagai bendahara
umum. Penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan antara lain: Tim Pengajar Bimbingan Belajar
Pengantar Matematika dan Kalkulus TPB untuk Gumatika, Staf Konsumsi Math Expo tahun 2008,
Tim Khusus Matematika Ria tahun 2009, Bendahara Masa Pengenalan Departemen (MPD) tahun
2009, dan Bendahara Matematika Ria tahun 2010. Pada tahun 2008-2011 penulis memperoleh
beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) IPB dan tahun 2010 penulis memperoleh juara VI
seleksi olimpiade matematika tingkat IPB 2010.
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN ....................................................................................................................... 1
Latar Belakang ....................................................................................................................... 1
Tujuan.................................................................................................................................... 1
LANDASAN TEORI................................................................................................................... 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................................................. 1
Dekomposisi Nilai Singular .................................................................................................... 1
Analisis Biplot ....................................................................................................................... 2
Jarak Euclid ........................................................................................................................... 3
Jarak Mahalanobis .................................................................................................................. 3
Analisis Procrustes ................................................................................................................. 3
Translasi ........................................................................................................................... 3
Rotasi ............................................................................................................................... 4
Dilasi ................................................................................................................................ 4
Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot ......................................................................................... 5
Matriks Data .......................................................................................................................... 5
PEMBAHASAN.......................................................................................................................... 6
Ukuran Kesesuaian Matriks Objek .......................................................................................... 6
Penyesuaian terhadap Translasi ......................................................................................... 6
Penyesuaian terhadap Rotasi ............................................................................................. 6
Penyesuaian terhadap Dilasi .............................................................................................. 7
Ukuran Kesesuaian Matriks Peubah ........................................................................................ 7
Penyesuaian terhadap Translasi ......................................................................................... 7
Penyesuaian terhadap Rotasi ............................................................................................. 7
Penyesuaian terhadap Dilasi .............................................................................................. 7
SIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................................ 9
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 10
LAMPIRAN .............................................................................................................................. 11
vii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Contoh Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) .............................................. 12
2 Contoh Analisis Biplot ............................................................................................................ 13
3 Ilustrasi
≠
4 Ilustrasi bahwa
dan
≠
sehingga
≠ 0 dengan menggunakan α = 0. ....... 15
≠ pada transformasi rotasi......................................................................... 18
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel
pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan
salah satu bentuk Analisis Peubah Ganda
(APG) yang dapat memberikan gambaran
grafis
tentang
kedekatan
antarobjek,
keragaman atau korelasi peubah, serta
keterkaitan antara objek dengan peubah.
Selain itu, analisis biplot dapat digunakan
untuk menggambarkan hubungan antarpeubah
dan objek yang berada pada ruang berdimensi
tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah,
biasanya dua atau tiga. Dari analisis biplot
dapat diperoleh tiga matriks pendekatan yang
terkait dengan data, objek, dan peubah. Pada
tahun 2002 Gabriel mengemukakan tentang
ukuran kesesuaian dari ketiga matriks
pendekatan tersebut.
Analisis Procrustes yang disebut juga
Rotasi Procrustes adalah salah satu metode
yang menyatakan perbedaan dua atau lebih
konfigurasi n-titik sebagai suatu nilai numerik
(Krzanowski 1990).
Nilai numerik yang
dihasilkan metode ini dapat digunakan untuk
memperkirakan ukuran kesesuaian (goodness
of fit) antarkonfigurasi (Sibson 1978). Pada
analisis Procrustes dikenal tiga transformasi
geometris yaitu translasi, rotasi, dan dilasi
untuk menghitung nilai perbedaan minimum
dari dua konfigurasi. Ketiga transformasi
tersebut dapat digunakan untuk menentukan
ukuran kesesuaian yang optimal.
Dari kedua pendekatan untuk menentukan
ukuran kesesuaian Gabriel dan analisis
Procrustes perlu ditelusuri hubungan antara
ukuran kesesuaian yang diperoleh dalam
analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel
dengan nilai perbedaan minimum dari ketiga
transformasi pada analisis Procrustes.
Pada tahun 2011 Herlina telah menelusuri
hubungan ukuran kesesuaian analisis biplot
untuk matriks data sehingga yang perlu
ditelusuri selanjutnya yaitu terkait dengan
matriks objek dan peubah.
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah
untuk
memperoleh
gambaran
hubungan antara ukuran kesesuaian Gabriel
dengan analisis Procrustes dalam analisis
biplot.
LANDASAN TEORI
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah suatu matriks n×n.
Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau
nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu
vektor taknol x sehingga Ax = λx. Vektor x
disebut vektor eigen atau vektor karakteristik
matriks A yang berpadanan dengan nilai eigen
λ (Leon 2001).
Dekomposisi Nilai Singular
Misalkan X adalah matriks n×p. Nilai
singular dari X adalah akar dari nilai eigen
yang positif dari matriks
atau
(Leon
2001).
Dekomposisi Nilai Singular (DNS)
digunakan secara umum dalam analisis
peubah ganda mulai tahun 1970-an. DNS ini
diterapkan
dalam
psikometrika untuk
pendekatan matriks berpangkat rendah yang
dikenal sebagai bentuk kanonik oleh Eckart
dan Young atau Dekomposisi Eckart-Young
(Greenacre 1984).
Matriks Y yang berdimensi n×p dan
berpangkat r dengan r ≤ min{n,p} dinyatakan
sebagai DNS yaitu:
=
(1)
(Aitchison & Greenacre, 2002) di mana U
dan W merupakan matriks dengan kolom
ortonormal,
=
= . Matriks W
adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri
dari vektor eigen wi yang berpadanan dengan
nilai eigen λi dari matriks YTY. Matriks U
adalah matriks yang kolom-kolomnya
merupakan vektor eigen yang berpadanan
dengan nilai eigen dari matriks YYT dalam
bentuk
= (
,
, …,
) =
λ
,
λ
,… ,
λ
(2)
di mana
,
, …,
) , dengan λ1 ≥ λ2
= diag (
≥ … ≥ λr > 0 dan λi merupakan nilai eigen dari
matriks YTY.
Untuk membuktikan persamaan (1) di
atas, diperlukan fakta sebagai berikut:
= ∑
,
untuk
a. ∑
sebarang wj ∈ ℝ .
b.
=
↔
= ,
untuk
sebarang w ∈ ℝ .
c. Bila W = [w1, w2, …, wp] merupakan
matriks ortogonal, maka ∑
=
.
2
d. YTY dan YYT berpangkat r dan
merupakan matriks yang semidefinit
positif dengan r nilai eigen positif yang
sama.
DNS tidak bersifat tunggal. Jika vektorvektor kolom dari matriks W dan U
dilengkapi sehingga keduanya menjadi
matriks ortogonal yang masing-masing
berdimensi p×p dan n×n maka DNS dapat
ditulis dalam Dekomposisi Nilai Singular
Bentuk Lengkap (DNSBL).
Misalkan r merupakan pangkat dari
matriks Y. Matriks YTY juga mempunyai
pangkat r. Karena YTY simetris, maka
pangkatnya sama dengan banyaknya nilai
eigen taknol. Jadi λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λr > 0 dan λr+1
= λr+2 = …= λp = 0. Misalkan W = [ W1 W2] di
mana W1 = [w1, w2, …, wr] , W2 = [wr+1, wr+2,
,
,…,
)
…, wp] dan L = diag (
sehingga
=
. Vektor-vektor kolom
dari W2 adalah vektor-vektor eigen dari YTY
yang berpadanan dengan λ = 0. Jadi YTY =
0 di mana j = r+1, r+2, …, p dan akibatnya,
vektor-vektor kolom dari W2 membentuk
suatu basis ortonormal untuk ruang nol dari
YTY atau N(YTY) di mana N(YTY) = N(Y).
Dengan demikian, YW2 = 0. Misalkan U =
[U1 U2] di mana U1 = [u1, u2, …, ur] dan U2 =
[ur+1, ur+2, …, un]. Vektor-vektor kolom dari
U2 membentuk basis ortonormal untuk ruang
nol dari YY T atau N(Y T). Jadi dalam DNSBL,
setiap matriks Y yang berdimensi n×p dapat
dinyatakan sebagai
=
di
mana
=
,
=
(Leon 2001).
Contoh DNSBL diberikan pada Lampiran
1.
Analisis Biplot
Biplot didefinisikan sebagai dekomposisi
dari matriks tujuan ke dalam produk dari dua
matriks, yang disebut matriks kiri dan kanan.
Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai
=
dengan adalah matriks tujuan,
adalah matriks kiri dan
adalah matriks
kanan. Unsur-unsur dalam matriks tujuan
adalah sama dengan produk skalar antara
pasangan yang sesuai dari vektor dalam baris
X dan Y masing-masing.
Kata "bi" dalam biplot menyatakan dua
himpunan titik (yaitu baris dan kolom matriks
tujuan) yang divisualisasikan oleh produk
skalar, dan bukan menyatakan tampilan dua
dimensi. Biplot dan geometrinya berlaku
untuk ruang-ruang dimensi manapun, tetapi
akan perlu mengurangi dimensi ketika matriks
data memiliki dimensi tinggi sedangkan
representasi memerlukan dimensi rendah,
biasanya dua atau tiga (Greenacre 2010).
Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel
pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan
suatu
tampilan
grafik
dengan
menumpangtindihkan vektor-vektor dalam
ruang
berdimensi
rendah
yang
merepresentasikan vektor-vektor baris sebagai
gambaran objek dengan vektor-vektor kolom
sebagai gambaran peubah.
Informasi yang dapat diperoleh dari
analisis biplot antara lain ialah:
1. Kedekatan antarobjek. Dua objek
dengan karakteristik yang sama akan
digambarkan sebagai dua titik yang
posisinya berdekatan.
2. Keragaman peubah. Peubah dengan
keragaman kecil digambarkan sebagai
vektor yang pendek. Begitu pula
sebaliknya, peubah dengan keragaman
besar digambarkan sebagai vektor yang
panjang.
3. Korelasi
antarpeubah.
Peubah
digambarkan sebagai vektor. Jika sudut
dua peubah lancip (90o) maka
korelasinya bernilai negatif. Sedangkan
jika sudut dua peubah siku-siku maka
tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek.
Karakteristik
suatu
objek
bisa
disimpulkan dari posisi relatifnya
terhadap suatu peubah. Jika posisi
objek searah dengan arah vektor
peubah maka objek tersebut bernilai di
atas rata-rata, jika berlawanan maka
nilainya di bawah rata-rata, dan jika
hampir di tengah-tengah maka nilainya
mendekati rata-rata.
Misalkan nY*p merupakan matriks data
dengan n objek dan p peubah. Kemudian Y*
dikoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya
sehingga didapat matriks Y,
∗
= ∗− (
)
(3)
dengan 1 adalah vektor berdimensi n×1 yang
semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam
(S ) peubah ganda tersebut ialah
=
YTY
(4)
dengan matriks korelasi (R = [rij]),
R = D−1/2 S D−1/2
(5)
di mana D-1/2 adalah matriks diagonal,
/
= diag
√
,
√
, ……,
.
3
Jarak Euclid
Misalkan matriks nYp = [y1, y2, …, yn]T
maka jarak Euclid antara yi dan yj
didefinisikan sebagai
,
=
(
(Jollife 2002).
− ) ( − )
Jarak Mahalanobis
Misalkan matriks nYp = [y1, y2, …, yn]T
maka jarak Mahalanobis antara yi dan yj
didefinisikan sebagai
,
=
(
− )
(
− )
(Jollife 2002).
Dalam Jollife (2002) persamaan nYp =
T
dapat diuraikan menjadi
=
nUrLrWp
di mana,
G = ULα = [g1, g2, …, gn]T dan
= [h1, h2, …, hp]T untuk α ϵ [0,1].
=
Kemudian persamaan (1) dapat ditulis sebagai
Y = GHT sehingga tiap elemen ke-(i,j) unsur
matriks Y dapat dinyatakan sebagai yij =
giThj. Vektor gi merepresentasikan objek ke-i
pada
matriks
Y
dan
vektor
hj
merepresentasikan peubah ke-j pada matriks
Y.
Matriks Y = GHT dengan matriks ABT
sebagai matriks pendekatannya. Jika
Y = GHT = ∑
=∑ (
)1-α
)α (
maka
ABT = ∑
)1-α
,
)α (
=∑ (
di mana s < r.
Penentuan nilai α akan berimplikasi pada
interpretasi biplot. Berikut adalah beberapa
implikasinya:
1. Jika α = 0, maka G = U , H = WL
sehingga
=
, akibatnya:
hTh = (n – 1) sij, dengan
= [ ( − 1)
∑(
− )∑
−
]
adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
‖ ‖ = ( − 1) /
merupakan
panjang vektor yang menggambarkan
keragaman peubah ke-i.
cos( ) = rij menjelaskan korelasi
antara peubah ke-i dengan peubah
ke-j, di mana θ adalah sudut antara
peubah ke-i dan ke-j.
Jika Y berpangkat p maka
=
( − )
−
( − 1)
−
−
artinya kuadrat jarak Mahalanobis
antara yi dengan yj sebanding dengan
kuadrat jarak Euclid antara gi dengan gj
dengan S adalah matriks koragam yang
diperoleh dari Y.
2. Jika α = 1, maka G = UL, H = W
sehingga
=
, akibatnya:
=
−
( − )
artinya jarak
−
−
Euclid antara yi dengan yj akan sama
dengan jarak Euclid antara vektorvektor yang merepresentasikan gi dan
gj.
Contoh analisis biplot diberikan pada
Lampiran 2.
Analisis Procrustes
Misalkan X dan Y merupakan matriks
yang berukuran n×p dan n×q yang masingmasing adalah representasi konfigurasi yang
akan dibandingkan. Koordinat titik ke-i
berada pada ruang Euclid yang diberikan oleh
nilai-nilai baris ke-i pada matriks. Konfigurasi
pertama berada pada ruang berdimensi p dan
koordinat titik ke-i yaitu ( , , …, ) .
Sedangkan konfigurasi kedua berada pada
ruang berdimensi q dan koordinat ke-i yaitu
( , , …, ) . Jika p > q maka konfigurasi
kedua berada dalam subruang dari ruang
berdimensi p. Berdasarkan analisis Procrustes,
perbedaan ruang dimensi ini dapat
diselesaikan dengan memasangkan p – q
kolom nol di kanan Y sehingga menjadi
matriks berukuran n×p. Dengan demikian,
dapat diasumsikan bahwa p = q. Untuk
menentukan ukuran kesesuaian dalam dua
konfigurasi, analisis Procrustes menggunakan
jumlah kuadrat jarak antartitik yang
bersesuaian yaitu
( , ) = ∑ ∑
−
= tr [ ( − ) ( − ) ]
(6)
Bakhtiar dan Siswadi (2011).
Translasi
Misalkan matriks X=( , , …, ) , maka
sentroid kolom dari matriks X ialah
=
( ̅ , ̅ , …, ̅ ) di mana
; untuk j= 1, 2, …, p.
̅ = ∑
Translasi dapat diartikan sebagai proses
pemindahan seluruh titik pada suatu
konfigurasi dengan jarak yang tetap dan arah
yang sama. Dari persamaan (6) diperoleh
4
( , )
= ∑
∑ [
2∑ ∑
adalah matriks diagonal dengan
dan U, W merupakan matriks
ortogonal, sehingga
tr(XTYQ) = tr(
) = tr(
).
Karena Q merupakan matriks ortogonal
maka
juga matriks ortogonal.
maka
Dimisalkan
= =
berlaku −1 ≤
≤ 1 , sehingga
) ≤ tr( ) .
tr(XTYQ) = tr(P ) = ∑ (
Jadi, tr(P ) akan maksimum jika P =
= . Kondisi ini dapat terpenuhi jika
=
(Bakhtiar 1995).
=
− ̅ −
− ̅ −
−
−
]
+
.
̅ −
+ ∑
̅ −
.
(7)
Persamaan (7) menghasilkan
( , ) = ( , )+
,
(8)
di mana XT = X - 1n CX,
YT = Y - 1nCY,
.
= ∑
̅ −
XT dan YT merupakan konfigurasi X dan Y
setelah ditranslasi. CX dan CY masing-masing
adalah sentroid kolom dari X dan Y.
Sedangkan ZXY merupakan jumlah kuadrat
jarak dari kedua sentroid kolom X dan Y.
Untuk menghasilkan nilai E yang minimum,
maka ZXY = 0.
Dengan demikian, nilai perbedaan
minimum antara dua konfigurasi X dan Y
setelah translasi ialah
ET(X, Y) = E (XT, YT)
. (9)
−
=∑ ∑
− ̅ −
Rotasi
Rotasi adalah proses pemindahan seluruh
titik konfigurasi dengan sudut yang tetap
tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap
sentroidnya. Transformasi ini dilakukan
dengan mengalikan konfigurasi dengan suatu
matriks ortogonal.
Rotasi Y terhadap X dilakukan dengan
mengalikan matriks Y dengan matriks
ortogonal Q yaitu E(X,Y) = E(X,YQ) di mana
QTQ = QQT = I. Nilai perbedaan minimum
konfigurasi X dengan Y setelah penyesuaian
dengan rotasi ialah
ER(X, Y) = inf E X, YQ .
(10)
Q
Secara aljabar, nilai perbedaan setelah
dilakukan penyesuaian dengan rotasi ialah
E(X,YQ)
= tr[(X-YQ)T (X-YQ)]
= tr(X TX) + tr(YTY) -2 tr(XTYQ) .
(11)
Nilai E akan minimum jika tr(X TYQ)
maksimum.
Sehingga
dipilih
matriks
ortogonal
Q
yang
memaksimumkan
tr(X TYQ). Jadi, ER(X,Y) = tr(XTX) + tr(YTY).
Teorema
Jika X dan Y pada ℝ , dan Q pada
ℝ
merupakan matriks ortogonal maka
tr(X TYQ) akan maksimum bila diplih
=
dengan
merupakan hasil
DNSBL dari matriks XTY.
Bukti:
Andaikan
merupakan hasil
DNSBL dari matriks pXTYp = pUp pWp T.
Dilasi
Dilasi adalah penskalaan data dengan
pembesaran atau pengecilan jarak setiap titik
dalam konfigurasi terhadap sentroidnya
dengan mengalikan suatu konfigurasi dengan
suatu skalar c. Dilasi Y terhadap X dilakukan
dengan cara mengalikan konfigurasi Y dengan
suatu skalar c yaitu E(X,Y) = E(X,cY). Nilai
perbedaan minimum konfigurasi X dengan Y
setelah penyesuaian dengan dilasi ialah
ED (X,Y) = inf E X, cY .
(12)
c
Secara aljabar, nilai perbedaan setelah
dilakukan penyesuaian dengan dilasi ialah
E(X, cY)
= tr [ ( − ) ( − ) ]
= c2tr(YTY) − 2ctr(XTY) + tr(XTX) .
(13)
Syarat untuk memperoleh nilai E yang
minimum pada fungsi kuadrat dengan variabel
c ialah turunan pertama sama dengan nol dan
turunan kedua lebih besar dari nol. Dari
persamaan (13) diperoleh
= 0
⇔ 2 tr (
) − 2 tr (
⇔ 2 tr (
⇔
) = 0
) = 2 tr (
)
.
=
(14)
Nilai c pada persamaan (14) minimum
karena
= 2 tr (
) > 0.
Nilai minimum dari E dapat diperoleh
dengan mensubstitusikan persamaan (14) ke
persamaan (13), yaitu
( , ) =
) − 2 tr (
)+
tr (
tr (
)
tr(
=
2
=
= tr (
. tr (
−2
)−
)−
) + tr (
+ tr (
.
)
)
(15)
5
2. Kesesuaian Objek:
Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot
Analisis biplot tidak hanya sebagai
pendekatan matriks data Y dengan
menggunakan matriks ABT tetapi juga hasil
perkalian BBT sebagai pendekatan dari
matriks HHT yang berkaitan dengan ragamkoragam dan korelasi antarpeubah, dan
matriks AAT sebagai pendekatan bagi GGT
yang berkaitan dengan ukuran ketakmiripan
antarobjek. Pada matriks objek dan matriks
peubah berturut-turut digunakan GGT dan
HHT karena bergantung terhadap nilai α.
Matriks data GHT dengan ABT sebagai
pendekatannya.
Sehingga Y = GHT = ∑
)α (
)1-α
=∑ (
dan ABT = ∑
,
di mana s < r.
Matriks objek GG T dengan AA T
sebagai pendekatannya.
Jika GGT = ∑ ( )
, maka
AAT = ∑ ( )
,
di mana s < r.
Matriks peubah HHT dengan BB T
sebagai pendekatannya.
Jika HHT = ∑ ( )
, maka
BBT = ∑ ( )
,
di mana s < r.
Rumus umum yang dikemukakan oleh
Gabriel untuk ukuran kesesuaian analisis
biplot ini adalah sebagai berikut
GF(Y, H) = 1 −
=
║
║
║ ║
(
)
(
)
(16),
dengan H merupakan pendekatan Y. Ukuran
kesesuaian analisis biplot sebagai ukuran
kedekatan dari tiga bentuk matriks yang
dikemukakan oleh Gabriel (2002), yaitu
1. Kesesuaian Data:
GF(Y, ABT) =
(
GF(GGT, AAT) =
)
(
)
3. Kesesuaian Peubah:
GF(HHT, BBT) =
Trace Y atau tr(Y) merupakan jumlah
elemen diagonal utama dari matriks segi Y
sehingga dapat dituliskan tr ( ) = ∑
(Leon 2001).
Pada dasarnya ukuran kesesuaian Gabriel
dan analisis Procrustes dalam analisis biplot
adalah sebagai berikut
Gabriel:
GF(X, Y) = 1 −
= 1−
║
║
║ ║
( , )
║ ║
analisis Procrustes:
(
GF(X, Y) = 1 −
║ ║
, )
(17)
(18)
GF pada persamaan (17) selalu lebih kecil
atau sama dengan GF pada persamaan (18).
Matriks Data
Ukuran kesesuaian analisis komponen
utama sama dengan ukuran kesesuaian
Gabriel dalam analisis biplot yang
merepresentasikan matriks data. Dalam
ukuran kesesuaian analisis biplot dengan
analisis Procrustes, transformasi translasi dan
rotasi
tidak
perlu
dilakukan
untuk
memperoleh ukuran kesesuaian analisis biplot
yang merepresentasikan matriks data. Hanya
transformasi dilasi dalam analisis Procrustes
yang dilakukan. Nilai perbedaan minimum
yang diperoleh dengan transformasi dilasi
kemudian digunakan untuk ukuran kesesuaian
analisis biplot, sehingga diperoleh nilai antara
0 dan 1. Ukuran kesesuaian Gabriel sama
dengan ukuran kesesuaian analisis Procrustes
dalam analisis biplot untuk merepresentasikan
matriks data (Herlina 2011).
PEMBAHASAN
Pada ukuran kesesuaian analisis biplot
dapat diperoleh tiga matriks pendekatan yang
terkait dengan data, objek, dan peubah. Nilai
ukuran kesesuaian (goodness of fit) pada
persamaan (16) berada dalam selang [ 0,1] .
Jika nilai GF semakin mendekati nilai 1 maka
semakin baik nilai perbedaan minimum suatu
matriks dengan pendekatannya tapi jika nilai
GF semakin mendekati 0 maka semakin
buruk.
Matriks
yang
digunakan
untuk
menunjukkan hubungan antara ukuran
kesesuaian analisis biplot dengan analisis
Procrustes adalah matriks pendekatan dari
ukuran kesesuaian analisis biplot yang
disesuaikan dengan ketiga transformasi
geometris pada analisis Procrustes. Pada karya
ilmiah ini akan dijelaskan tentang matriks
objek GGT dengan pendekatan AAT dan
matriks peubah HHT dengan pendekatan BBT.
Untuk menentukan nilai perbedaan
minimum pada analisis Procrustes dapat
diperoleh dari tiga transformasi geometri yaitu
translasi, rotasi, dan dilasi. Pada translasi,
nilai perbedaan minimum diperoleh jika jarak
kedua sentroid kolom antara kedua matriks
sama dengan nol. Pada rotasi, nilai perbedaan
minimum diperoleh dengan mengalikan
konfigurasi dengan matriks ortogonal. Pada
dilasi, nilai perbedaan minimum diperoleh
dengan mengalikan konfigurasi dengan skalar
c.
Ukuran Kesesuaian Matriks Objek
Penyesuaian terhadap Translasi
Pada
transformasi
translasi,
nilai
perbedaan minimum diperoleh saat jarak
kedua sentroidnya sama dengan nol
= 0 . Nilai perbedaan transformasi
translasi adalah
(
=
,
(
)
,
)+
Akan dibuktikan bahwa
=
.
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
.
=
(19)
dan
∑
=
∑
=
=
=
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
=
=
Karena
=
dan
=
maka
= 0, yang berarti bahwa secara
intrinsik transformasi translasi sudah
dilakukan.
Penyesuaian terhadap Rotasi
Transformasi rotasi dilakukan setelah
transformasi translasi dilakukan. Nilai
perbedaan minimum diperoleh dengan
mengalikan matriks
dengan matriks
ortogonal Q. Nilai perbedaan transformasi
rotasi adalah
(
,
= tr(
2 tr (
)
) + tr (
) .
)−
(20)
Nilai perbedaan minimum akan diperoleh
) di
dengan memaksimumkan tr (
mana =
yang didapat dari DNSBL
=
. Dari analisis biplot
diperoleh GGT = ∑
dan AAT =
∑
di mana s < r. Jika Q = I maka
ER(
,
)= (
,
).
∑
= ∑
∑
=
= ∑
+ ∑
0
=
di mana U adalah
berdimensi n×n dan
=
diag λ
, λ
(
)×
,…, λ
matriks
ortogonal
×(
(
)× (
)
.
)
7
Berdasarkan DNSBL yang diperoleh
=
=
=
= . Jadi
=
yang
) . Oleh karena
memaksimumkan tr (
itu, transformasi rotasi tidak dilakukan.
oleh Gabriel sama dengan ukuran kesesuaian
yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
Ukuran Kesesuaian Matriks Peubah
Penyesuaian terhadap Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan apabila
transformasi translasi dan rotasi telah
dilakukan. Nilai
perbedaan
minimum
diperoleh dengan mengalikan
dengan
suatu skalar c. Nilai perbedaan minimum
transformasi dilasi adalah
E(
,c
)
)+
) − 2 tr (
=
tr(
) .
(21)
tr (
Nilai c yang diperoleh sebagai titik
kritisnya adalah
=
(
)
Substitusikan nilai c yang diperoleh ke
persamaan (21), sehingga diperoleh
(
)
,
)−
= tr (
= mi n ║
−
║
(22)
Untuk
memperoleh
persamaan
GF,
substitusikan persamaan (22) ke persamaan
(16) sehingga
GF(
║
║
) =1−
,
║
║
= 1−
(23)
=
)
tr ∑
∑
∑
tr ∑
(24)
)
∑
(25)
)
∑
tr ∑
∑
∑
(26).
Substitusikan persamaan (24), (25), (26) ke
persamaan (23) sehingga diperoleh
GF (
,
) =
=
∑
∑
∑
(
=
∑
.
∑
(27)
Jadi, nilai perbedaan minimum yang
diperoleh dari transformasi dilasi yang
digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis
biplot. Ukuran kesesuaian yang dikemukakan
)
,
,
)+
.
(28)
Pada matriks peubah secara umum
diperoleh
≠
dan
≠
sehingga
≠ 0 . Oleh karena itu,
transformasi translasi perlu dilakukan.
Ilustrasi bahwa
≠
dan
≠
diberikan pada Lampiran 3.
(
Penyesuaian terhadap Rotasi
Transformasi rotasi dilakukan setelah
transformasi translasi dilakukan. Misalkan
setelah dilakukan translasi adalah
dengan
setelah dilakukan translasi adalah
sebagai matriks pendekatannya. Nilai
perbedaan minimum pada transformasi rotasi
diperoleh dengan mengalikan matriks
dengan matriks ortogonal Q. Nilai perbedaan
tersebut adalah
( ,
= tr (
2 tr (
= 1− 1−
tr (
=
=
tr (
=
=
tr (
=
=
Penyesuaian terhadap Translasi
Pada
transformasi
translasi,
nilai
perbedaan minimum diperoleh saat jarak
kedua sentroidnya sama dengan nol
= 0 . Nilai perbedaan transformasi
translasi adalah
)
) + tr (
).
)−
(29)
Nilai perbedaan minimum akan diperoleh
) di
dengan memaksimumkan tr (
mana
=
yang didapat dari DNSBL
=
. Jika Q = I maka
( ,
) = ( ,
) . Pada matriks
peubah diperoleh ≠ sehingga perlu dicari
matriks ortogonal Q untuk memperoleh
ER( ,
) . Oleh karena itu, transformasi
rotasi dilakukan. Ilustrasi bahwa Q ≠ I
diberikan pada Lampiran 4.
Penyesuaian terhadap Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan apabila
transformasi translasi dan rotasi telah
dilakukan. Nilai perbedaan
minimum
diperoleh dengan mengalikan
dengan
suatu skalar c. Nilai perbedaan transformasi
dilasi adalah
E( ,
)
) − 2 tr (
)+
=
tr (
).
tr (
(30)
8
Nilai c yang diperoleh sebagai titik
kritisnya adalah
.
=
Substitusikan nilai c yang diperoleh ke
persamaan (30), sehingga diperoleh
(
)
,
)−
= tr (
.
(31)
Untuk
memperoleh
persamaan
GF,
substitusikan persamaan (31) ke persamaan
(16) sehingga diperoleh
GF(
) =1−
,
= 1−
,
║
║
,
Jadi, nilai perbedaan minimum dari ketiga
transformasi tersebut digunakan untuk ukuran
kesesuaian analisis biplot. Namun, ukuran
kesesuaian yang dikemukakan oleh Gabriel
selalu lebih kecil atau sama dengan ukuran
kesesuaian yang diperoleh dari analisis
Procrustes dalam analisis biplot.
Contoh ilustrasi ukuran kesesuaian yang
dikemukakan oleh Gabriel dengan analisis
Procrustes dalam analisis biplot dengan
menggunakan data hasil panen kedelai di New
York (Gabriel 2002) diberikan pada Gambar
1.
(32)
.
1.0
0.8
0.6
GF
data
objek
0.4
peubah Procrustes
0.2
peubah Gabriel
0.0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
α
Gambar 1 Ukuran kesesuaian dalam analisis biplot
Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai
ukuran kesesuaian matriks data adalah
sebesar 0.9811 untuk α ∊ [0,1]. Nilai ukuran
kesesuaian matriks objek adalah sebesar
0.3333 untuk α = 0 dan 0.9997 untuk α = 1.
Pada matriks objek, semakin besar nilai α
maka nilai ukuran kesesuaian akan mendekati
nilai 1 dengan α ∊ [0,1]. Pada matriks
peubah, semakin kecil nilai α maka nilai
ukuran kesesuaian akan mendekati nilai 1
dengan α ∊ [0,1]. Nilai ukuran kesesuaian
peubah Gabriel adalah sebesar 0.9997 untuk
α = 0 dan 0.3334 untuk α = 1. Nilai ukuran
kesesuaian peubah Procrustes adalah sebesar
0.9999 untuk α = 0 dan 0.3775 untuk α = 1.
Jadi,
nilai ukuran kesesuaian yang
dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih kecil
atau sama dengan ukuran kesesuaian yang
diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada matriks objek, transformasi translasi
dan rotasi dalam analisis Procrustes tidak
perlu dilakukan untuk memperoleh ukuran
kesesuaian analisis biplot. Jadi, hanya
transformasi dilasi pada analisis Procrustes
yang dilakukan. Nilai perbedaan minimum
yang diperoleh dari transformasi dilasi
digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis
biplot. Ukuran kesesuaian yang dikemukakan
oleh Gabriel sama dengan ukuran kesesuaian
yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
Pada matriks peubah, ketiga transformasi
dalam analisis Procrustes yaitu translasi,
rotasi, dan dilasi perlu dilakukan. Nilai
perbedaan minimum dari ketiga transformasi
tersebut digunakan untuk ukuran kesesuaian
analisis biplot. Namun, ukuran kesesuaian
yang dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih
kecil atau sama dengan ukuran kesesuaian
yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam
analisis biplot.
Saran
Berdasarkan hasil dari karya ilmiah ini
disarankan untuk menggunakan analisis
Procrustes dalam menentukan ukuran
kesesuaian analisis biplot. Hal itu disebabkan
karena dengan
menggunakan
analisis
Procrustes yang dilakukan melalui tiga
transformasi yaitu translasi, rotasi, dan dilasi
diperoleh ukuran kedekatan dua konfigurasi
matriks yang lebih layak. Sedangkan ukuran
kesesuaian Gabriel hanya melakukan satu
transformasi saja yaitu dilasi.
DAFTAR PUSTAKA
Aitchison J, Greenacre M. 2002. Biplots for
compositional data. Applied Statistics
51 (part4): 375-392.
Bakhtiar T. 1995. Tinjauan terhadap urutan
pengerjaan transformasi geometris
pada analisis Procrustes untuk mencari
norma kuadrat perbedaan minimum
[Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor.
Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal
Procrustes analysis: its transformation
arrangement and minimal distance. Int.
J. Appl. Math. Stat.,vol 20, No. M11,
pp.16-24.
Gabriel KR. 1971. The biplot-graphic display
of matrices with application to
principal
component
analysis.
Biometrika 58(3): 453-467.
Gabriel KR. 2002. Goodness of fit of biplot
and
correspondence
analysis.
Biometrika 89(2): 423-436.
Greenacre MJ. 1984. Theory and Applications
of Correspondence Analysis. London:
Academic Press.
Greenacre MJ. 2010. Biplots in Practice.
Madrid: Fundacion BBVA.
Herlina M. 2011. Hubungan ukuran
kesesuaian dalam analisis komponen
utama dan analisis biplot dengan
analisis Procrustes [Skripsi]. Bogor:
Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component
Analysis. 2nd Ed. Berlin: SpringerVerlag.
Krzanowski WJ. 1990. Principles of
Multivariate Analysis, A User’s
Perspective. New York: Oxford
University Press.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah; Hardani HW, editor.
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Linear Algebra with Applications, 5th
Ed.
Sibson R. 1978. Studies in the robustness of
multidimensional scaling: procrustes
statistics. J. Roy. Statist. Soc. B, 40.
No. 2. 234-238.
LAMPIRAN
12
Lampiran 1 Contoh Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL)
Misalkan matriks X ialah
2
2
2
1
0
0
⎡2
⎢
= ⎢1
⎢0
⎣0
1
1⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎦
sehingga diperoleh
9
= 9
4
9
9
4
4
4 .
2
Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen ortonormal, yaitu
(
(
0.6739
19.7980, 0.6739
0.3029
) =
,
)=
,
,(
,
)=
−0.7071
0,
−0.2142
0.2020, −0.2142
0.9530
,
0.7071
0
dengan
0.6739
0.2142
⎛0.6739 ⎞
= ⎜0.3029 ⎟ ,
⎛ 0.2142 ⎞
= ⎜−0.9530 ⎟ .
⎝
0
0
Diperoleh
9
⎡9
⎢
= ⎢4
⎢0
⎣0
9
9
4
0
0
⎠
4
4
2
0
0
0
0
0
0
0
⎝
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎦
⎠
sehingga diperoleh vektor eigen ortonormal yang berpadanan dengan λ = 0, yaitu
−0.7071
0
0
⎛ 0.7071 ⎞
0
⎟,
= ⎜
⎝
0
0
4.4496
0
0
0
0
⎡
⎢
dan = ⎢
⎢
⎣
⎠
⎛0 ⎞
= ⎜0 ⎟ ,
1
⎝0 ⎠
0
0.4495
0
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥ .
0⎥
0⎦
⎛0 ⎞
= ⎜0 ⎟
0
⎝1 ⎠
Jadi, DNSBL dari matriks X adalah
=
0.6739
⎡0.6739
⎢
= ⎢0.3029
⎢ 0
⎣ 0
0.2142
0.2142
−0.9530
0
0
0.6739
0.6739
−0.2142
−0.7071
−0.2142
0.7071
−0.7071
0.7071
0
0
0
0.3029
0.9530
0
0
0
0
1
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
1⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
4.4496
0
0
0
0
0
0.4495
0
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎦
13
Lampiran 2 Contoh Analisis Biplot
Data yang digunakan merupakan beberapa hasil panen kedelai di New York (Gabriel 2002)
yang dikelompokkan berdasarkan lingkungan. Dari data ini akan dilakukan pemetaan lingkungan
berdasarkan hasil panen kedelai.
Berikut tabel data hasil panen berdasarkan lingkungan.
Genotipe
Lingkungan
A
B
C
D
E
F
1
1.1113
0.578
1.278
1.4992
1.9632
1.7118
2
2.0375
1.3865
2.3502
2.8255
2.617
2.758
3
1.7355
1.6065
1.5875
1.8393
1.3747
1.5337
4
3.2578
2.9605
2.8127
3.4228
3.2073
2.9253
5
3.164
2.6058
2.815
3.4072
3.1883
3.5897
6
3.9235
3.6125
3.097
3.1645
2.482
2.9015
7
4.9062
4.6082
3.5097
4.7518
4.5015
3.6898
Pemetaan lingkungan berdasarkan hasil panen kedelai dilakukan dengan analisis biplot
menggunakan α = 0.
Data pada tabel adalah matriks ∗ dikoreksi terhadap nilai rata-ratanya sehingga diperoleh
matriks , yaitu
−1.7652 −1.9017 −1.2149 −1.4880 −0.7988 −1.0182
⎡−0.8390 −1.0932 −0.1427 −0.1617 −0.1450 0.0280 ⎤
⎢
⎥
⎢−1.1410 −0.8732 −0.9054 −1.1479 −1.3873 −1.1963 ⎥
= ⎢ 0.3813
0.4808
0.3198
0.4356
0.4453
0.1953 ⎥
0.1261
0.3221
0.4200
0.4263
0.8597 ⎥
⎢ 0.2875
⎢ 1.0470
1.1328
0.6041
0.1773 −0.2800 0.1715 ⎥
⎣ 2.0297
2.1285
1.0168
1.7646
1.7395
0.9598 ⎦
Berdasarkan DNS dengan
Koordinat objek
D1
1
-0.54496
2
-0.18134
3
-0.41408
4
0.14769
5
0.13971
6
0.21022
7
0.64276
= 0 diperoleh koordinat-koordinat biplot sebagai berikut:
D2
-0.1753
-0.46
0.49948
-0.04944
-0.35828
0.61064
-0.06711
Koordinat peubah
A
B
C
D
E
F
D1
3.20778
3.29106
1.93565
2.61005
2.22062
1.8471
D2
0.50675
0.88003
-0.00418
-0.42029
-0.94866
-0.70927
Matriks yang merepresentasikan data ≈
, objek
dari 7Y6 = 7U6L6 W6T ≈ 7U*2L*2 W*6T , di mana L* = diag
∗ ∗
= ∗ dan matriks =
sebagai berikut:
−0.54496 −0.17530
3.2078
0.5067
⎡−0.18134 −0.46000 ⎤
⎡3.2910 0.8800 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢−0.41408 0.49948 ⎥
1.9357 −0.0042⎥
= ⎢ 0.14769
.
−0.04944 ⎥ , = ⎢
⎢2.6101 −0.4203⎥
⎢ 0.13971 −0.35828 ⎥
⎢2.2206 −0.9487⎥
⎢ 0.21022
0.61064 ⎥
⎣1.8471 −0.7093⎦
⎣ 0.64276 −0.06711 ⎦
,
≈
, dan peubah
≈
sehingga diperoleh matriks
14
Ukuran kesesuaian (%) analisis biplot disajikan dalam tabel berikut:
α=0
Gabriel
analisis Procrustes
Data
98.11
98.11
GF
Peubah
99.97
99.99
Objek
33.33
33.33
D2 = 6.01%
Pada tabel di atas ditunjukkan bahwa pendekatan matriks menggunakan analisis biplot
memberikan ukuran kesesuaian yang cukup besar untuk data dan peubah yaitu lebih dari 95%
sedangkan ukuran kesesuaian untuk objek kecil yaitu kurang dari 50%. Hasil biplot diberikan pada
gambar berikut
D1 = 92.10%
.
Nilai D1 dan D2 untuk gambar di atas masing-masing ialah 92.10% dan 6.01%. Dari gambar di
atas panjang vektor D dan E relatif sama panjang menunjukkan bahwa keragaman dari kedua
peubah relatif sama besar. Pada peubah B digambarkan dengan vektor yang lebih panjang
dibandingkan dengan peubah yang lainnya menunjukan bahwa tingkat keragamannya lebih tinggi
dibandingkan dengan yang lainnya. Peubah C digambarkan dengan vektor yang lebih pendek
dibandingkan dengan peubah yang lainnya menunjukan bahwa tingkat keragamannya relatif lebih
rendah. Sudut yang dibentuk antar peubah tergolong lancip sehingga korelasi yang terjadi adalah
korelasi positif, misalkan makin tinggi nilai A makin tinggi pula nilai peubah yang lainnya. Dari
gambar di atas dapat terlihat kedekatan antar objek dengan peubah yaitu lingkungan (3) dan (6)
terletak berlawanan dengan E, artinya hasil panen E untuk lingkungan (3) dan (6) berada di bawah
rata-rata.
15
≠
Lampiran 3 Ilustrasi
α = 0.
∗
Misalkan diberikan matriks
∗
1.1113
⎡2.0375
⎢
⎢1.7355
= ⎢3.2578
⎢ 3.164
⎢3.9235
⎣4.9062
0.578
1.3865
1.6065
2.9605
2.6058
3.6125
4.6082
1.4992
2.8255
1.8393
3.4228
3.4072
3.1645
4.7518
−1.2149
−0.1427
−0.9054
1.9632
2.617
1.3747
3.2073
3.1883
2.482
4.5015
−1.4880
−0.1617
−1.1479
0.3198
0.3221
0.6041
1.0168
1.7118
⎤
2.758
⎥
1.5337 ⎥
2.9253 ⎥
3.5897 ⎥
2.9015 ⎥
3.6898 ⎦
−0.7988
−0.1450
−1.3873
0.4356
0.4200
0.1773
1.7646
0.4453
0.4263
−0.2800
1.7395
dan
10.5657
⎡10.9962
⎢
6.2082
= ⎢
⎢ 8.1261
⎢ 6.6445
⎣ 5.5881
10.9962
11.6348
6.2999
8.2280
6.5422
5.3898
≠ 0 dengan menggunakan
sehingga
yaitu
1.278
2.3502
1.5875
2.8127
2.815
3.097
3.5097
sehingga diperoleh
−1.7652 −1.9017
⎡−0.8390 −1.0932
⎢
⎢−1.1410 −0.8732
= ⎢ 0.3813
0.4808
0.1261
⎢ 0.2875
⎢ 1.0470
1.1328
⎣ 2.0297
2.1285
≠
dan
6.2082
6.2999
3.9209
5.0461
4.1265
3.7350
8.1261
8.2280
5.0461
7.0694
6.1974
5.0540
6.6445
6.5422
4.1265
6.1974
6.0680
4.5439
−1.0182
0.0280 ⎤
⎥
−1.1963 ⎥
0.1953 ⎥
0.8597 ⎥
0.1715 ⎥
0.9598 ⎦
5.5881
⎤
5.3898
⎥
3.7350⎥
.
5.0540⎥
4.5439⎥
4.1965⎦
Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen ortonormal sebagai berikut
0.50705
(
,
0.31361
0.52021 ⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
) = ⎜40.0229, ⎜0.30597 ⎟⎟
,(
⎜0.41257 ⎟⎟
⎜
⎟
0.54463 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
⎜
) = ⎜2.6109, ⎜ 0.00258 ⎟⎟
,
⎜−0.26011 ⎟⎟
⎜
⎟
−0.58710
⎝−0.43895 ⎠⎠
⎝
,
0.35101
⎝
(
,
⎝0.29197 ⎠⎠
−0.02832
0.18477 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
0.46090 ⎟ (
) = ⎜
,
⎜0.6418, ⎜
⎜ 0.08671 ⎟
⎟⎟
⎜
⎟
0.31845
,
0.59057
⎝
(
,
dengan
⎝−0.62955 ⎠⎠
−0.21871
0.30969 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
⎜
) = ⎜0.0482, ⎜ 0.70086 ⎟⎟
, dan (
⎜ 0.35615 ⎟⎟
⎜
⎟
−0.28205
⎝ 0.39832 ⎠⎠
⎝
−0.54496
−0.18134
⎛
⎞
−0.41408
⎜
⎟
= ⎜ 0.14769 ⎟ ,
⎜ 0.13971 ⎟
0.21022
⎝ 0.64276 ⎠
0.06964 ⎞
⎛
⎛
⎞
−
0.32962 ⎟
)= ⎜
⎟ ,
⎜0.1241, ⎜
⎜−0.74486 ⎟⎟
⎜
⎟
0.26912
⎝ 0.39730 ⎠⎠
⎝
,
−0.17530
−0.46000
−0.70321
0.54576 ⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
) = ⎜0.0074, ⎜ 0.30674 ⎟⎟
⎜−0.27009 ⎟⎟
⎜
⎟
⎛
⎞
0.49948
⎜
⎟
= ⎜−0.04944 ⎟ ,
⎜−0.35828 ⎟
0.61064
⎝−0.06711 ⎠
0.17707
⎝
⎝ 0.09615 ⎠⎠
0.37294
−0.28681
⎛
⎞
0.15296
⎜
⎟
= ⎜ 0.13532 ⎟ ,
⎜−0.48229 ⎟
−0.44533
⎝ 0.55320 ⎠
0.55274
−0.57836
⎛
⎞
−0.33879
⎜
⎟
= ⎜−0.22015 ⎟ ,
⎜ 0.39053 ⎟
0.20970
⎝−0.01567 ⎠
16
−0.28073
−0.27603
⎛
⎞
0.54512
⎜
⎟
= ⎜−0.23371 ⎟ ,
⎜ 0.55681 ⎟
−0.41523
⎝ 0.10377 ⎠
⎡√40.0229
0
⎢
⎢
0
dan = ⎢
0
⎢
0
⎢
⎣
0
−0.07757
−0.34600
⎛
⎞
−0.02951
⎜
⎟
= ⎜ 0.84350 ⎟
⎜ 0.11876 ⎟
−0.15925
⎝−0.34993 ⎠
0
0
0
√0.6418
0
0
0
√2.6109
0
0
0
0
0
0
0
√0.1241
0
0
0
0
0
0
√0.0482
0
Jadi, DNS dari matriks Y ialah
=
−0.54496
⎡−0.18134
⎢
⎢−0.41408
= ⎢ 0.14769
⎢ 0.13971
⎢ 0.21022
⎣ 0.64276
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
6.32637
0
0
0
0
0
−0.17530
−0.46000
0.37294
− 0.28681
0.15296
0.13532
− 0.48229
− 0.44533
0.55320
0.49948
−0.04944
−0.35828
0.61064
−0.06711
0
1.61584
0
0
0
0
0.50705
⎡ 0.31361
⎢
⎢−0.02832
⎢ 0.31845
⎢−0.21871
⎣−0.70321
0
0
0.80113
0
0
0
0.52021
0.54463
0.18477
0.06964
0.30969
0.54576
0.55681
−0.41523
0.10377
0
0
0
0
0.21947
0
0
⎤
0
⎥
0
⎥
0
⎥
⎥
0
0.08580 ⎦
0.30597
0.41257
0.35101
−0.26011
−0.58710
0.30674
dan
0.08671
0.35615
−0.27009
0.59057
0.26912
−0.28205
0.17707
sebagai berikut:
10.5637
⎡10.9949
⎢
6.2083
= ⎢
⎢ 8.1253
⎢ 6.6446
⎣ 5.5881
10.9949
11.6342
6.3005
8.2273
6.5419
5.3903
6.2083
6.3005
3.9218
5.0471
4.1269
3.7358
8.1253
8.2273
5.0471
7.0716
6.1991
5.0560
6.6436
6.5419
4.1269
6.1991
6.0677
4.5443
5.5881
⎤
5.3903
⎥
3.7358 ⎥
5.0560 ⎥
4.5443 ⎥
4.1973 ⎦
10.5466
11.0016
11.6049
6.3672
8.2192
6.4730
5.4552
6.2071
6.3672
3.7476
5.0549
4.3027
3.5791
8.1586
8.2192
5.0549
6.9913
6.1963
5.1211
6.6417
6.4730
4.3027
6.1963
5.8308
4.7750
5.5657
⎤
5.4552
⎥
3.5791 ⎥
5.1211 ⎥
4.7750 ⎥
3.9157 ⎦
⎡11.0016
⎢
6.2071
= ⎢
⎢ 8.1586
⎢ 6.6417
⎣ 5.5657
dengan sentroidnya ialah
= [ 8.0206
dan
0.54512
0.39053
0.20970
−0.01567
−0.74486
8.1815
4.8900
6.6210
5.6873
−0.07757
−0.34600 ⎤
⎥
−0.02951 ⎥
0.84350 ⎥
0.11876 ⎥
−0.15925 ⎥
−0.34993 ⎦
−0.23371
−0.00258
−0.46090
−0.32962
−0.70086
Untuk α = 0 diperoleh matriks
dan
−0.28073
−0.27603
0.55274
−0.57836
−0.33879
−0.22015
0
0
0
0.35229
0
0
0
⎤
0
⎥
⎥
0
⎥.
0
⎥
0
⎥
√0.0074⎦
0.29197
−0.43895 ⎤
⎥
−0.62955 ⎥
.
0.39730 ⎥
0.39832 ⎥
0.09615 ⎦
4.7520 ] ≠
17
= [ 8.0199
Jadi,
8.1868
≠ 0.
4.8764
6.6236
5.7032
4.7353] ≠
.
18
Lampiran 4 Ilustrasi bahwa
≠ pada transformasi rotasi.
Pada transformasi translasi diperoleh matriks
dan
=
−
−
dan
=
Matriks
2.5430
dan
⎡ 2.9742
⎢
−1.8124
= ⎢
⎢ 0.1046
⎢ −1.3770
⎣ −2.4325
2.5247
⎡ 2.9817
⎢
−1.8128
= ⎢
⎢ 0.1387
⎢−1.3782
⎣−2.4542
, di mana
.
sebagai berikut:
2.8134
3.4527
−1.8811
0.0458
−1.6396
−2.7912
2.8148
3.4180
−1.8196
0.0323
−1.7138
−2.7316
1.3182
1.4104
−0.9683
0.1570
−0.7631
−1.1542
sehingga diperoleh matriks
26.4565
⎡29.9243
⎢
13.1951
= ⎢
⎢15.9253
⎢10.1429
⎣ 7.5460
Untuk memperoleh
DNSBL dari matriks
=
−0.5643
⎡−0.6370
⎢
−0.2818
= ⎢
⎢−0.3445
⎢−0.2249
⎣−0.1647
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
dan
82.6301
0
0
0
0
0
−0.5654
⎡−0.1892
⎢
⎢ 0.6199
⎢ 0.4685
⎢ 0.1336
⎣ 0.1514
1.3307
1.4908
−1.1288
0.1785
−0.5737
−1.2973
29.6302
33.5795
14.7591
17.6011
10.9389
8.2653
13.8282
15.5843
6.9130
8.5258
5.6638
4.1043
matriks Q,
ialah
−0.1943
−0.3525
−0.0588
0.3577
0.7770
0.3209
0
2.4738
0
0
0
0
−0.6312
−0.4110
−0.1899
−0.5301
−0.2343
−0.2464
1.5042
1.6062
−1.5740
0.4506
−0.4220
−1.5651
1.5351
1.5956
−1.5687
0.3677
−0.4273
−1.5025
15.7741
17.6898
7.9109
10.0385
7.0223
4.9299
akan
0.8000
−0.5025
−0.2448
−0.2077
0.0604
−0.0272
0
0
1. 10
0
0
0
0.0725
−0.4999
0.0176
0.2187
0.7799
0.9384
0.7698
−1.4005
0.4931
0.1276
−0.9283
0.8361
⎤
0.6383
⎥
−1.0161 ⎥
0.3040 ⎥
−0.2077 ⎥
−0.5547 ⎦
9.3482
10.3368
4.7303
6.4736
5.1025
3.3375
dicari
−0.0564
0.3460
−0.2604
−0.7281
0.2711
0.4535
0
0
0
2. 10
0
0
−0.2973
0.9564
0.8546
−1.5604
0.5118
0.3805
−1.1429
0.3484
−0.4857
0.5129
0.0760
−0.5069
8.3279
⎤
9.2371
⎥
4.2058⎥
.
5.6651⎥
4.3628⎥
2.8924⎦
DNSBL
0.0226
−0.2665
dari
−0.0025
matriks
⎤
0.3823
0.0550
−0.4300
0.7710
0.1637
⎥
−0.8021 ⎥
0.4208 ⎥
−0.2893 ⎥
0.2629 ⎦
−0.2072
−0.1837
0
0
0
0
1. 10
0
−0.3419
0.8304
⎤
0.7199
⎥
−1.1562⎥
0.3858 ⎥
0.0397 ⎥
−0.8196⎦
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
0⎥
0⎦
0.6516
0.1990
−0.1170
−0.6689
0