Geometri Bidang
4
A
B
C
P Q
R
A
B
C
P Q
Contoh untuk dalil ini adalah pada gambar segitiga ABC dan segitiga PQR diatas, dimana A = P, C = Q dan sisi AC = PQ maka berdasarkan dalil diatas berlaku
∆ABC ∆PQR
Dua segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun dilambangkan ∆ABC ~ ∆PQR,
jika ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Pada gambar dua segitiga dibawah ini berlaku : A = P, B = Q dan C = R. Sehingga
∆ABC ~ ∆PQR Suatu konsep yang berkaitan erat dengan kesebangunan adalah proporsi. Sifat
proporsional pada segitiga ditunjukkan dengan dalil berikut ini.
Dalil 4. Suatu garis yang sejajar salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi yang lain
membagi sisi-sisi tersebut secara proporsional.
Pada sebuah segitiga ABC, ditarik garis PQ sejajar AC. Jika garis PQ membagi
BA dan BC sehingga panjang ruas garis yang bersesuaian pada setiap sisi
memiliki perbandingan yang sama, yakni :
BA BP
=
BC BQ
=
AC PQ
Selanjutnya akan dijelaskan garis-garis istimewa dalam segitiga, yakni garis sumbu, garis tinggi, garis berat dan garis bagi yakni sebagai berikut :
a. Garis sumbu suatu segitiga
Garis sumbu segitiga merupakan garis bagi tegak lurus setiap sisi
segitiga tersebut. Ketiga garis sumbu berpotongan di
satu titik.
Geometri Bidang
5 o
o
b. Garis tinggi suatu segitiga
Garis tinggi suatu segitiga merupakan garis yang melalui
suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di
depan sudut tersebut. Karena segitiga memiliki tiga titik sudut
yang dapat dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga
ada tiga buah. Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai
orthocenter.
c. Garis berat suatu segitiga
Garis berat adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi
di depannya. Karena segitiga memiliki tiga sudut, maka terdapat tiga garis
berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik
yang disebut sebagai titik berat centroid. Titik berat ini merupakan
pusat kesetimbangan segitiga. Jika sebuah segitiga digantungkan tepat pada titik beratnya, maka segitiga
tersebut akan berada pada posisi horisontal.
d. Garis bagi sudut suatu segitiga
Garis bagi sudut segitiga adalah garis yang membagi sudut dalam suatu
segitiga sehingga menjadi dua bagian yang sama besar.
Terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga
berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga.
Titik ini merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga lingkaran di dalam
segitiga yang menyinggung semua sisinya.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal yang berkaitan dengan segi-tiga dan segi-empat yakni sebagai berikut:
Geometri Bidang
6
A
B
C
N M
P
01. Diketahui besar sudut-sudut sebuah segitiga dalam x yaitu 3x – 7
, 2x + 7 ,
dan 5x , . Apakah jenis segitiga tersebut?
Jawab 3x
– 7 + 2x + 7
+ 5x = 180
10x = 180 x = 18
Sehingga diperoleh : 318 – 7
= 47 218 + 7
= 43 518
= 90 Jadi sudut-sudutnya 47
, 43 dan 90
Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku 02. Suatu segitiga memiliki panjang sisi 24, n dan 2n dengan n bilangan asli.
Tentukan nilai-nilai n yang mungkin. Jawab
Menurut teori ketaksamaan segitiga maka untuk n bilangan asli berlaku 24 + n
2n maka n 24 ……………………………….. 1 25 + 2n n maka n
–24 …………………………….... 2 2n + n 24
maka n 8 ..…….……………………….... 3 Jadi nilai n yang mungkin adalah 8 n 24 untuk n bilangan asli.
03. Buktikanlah bahwa dua garis berat pada suatu segitiga berpotongan di suatu
titik yang membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1. Jawab
Diberikan ∆ABC dengan AM dan BN
dan garis berat yang berpotongan di P. Akan dibuktikan bahwa
AP : PM = 2 : 1
dan AP : PM = 2 : 1. Karena M titik tengah BC dan N titik
tengah AC maka NM sejajar AB. Menurut teori kesebangunan segitiga
CNM = CAB dan CMN = CBA maka maka
∆ABC ~ ∆NMC, sehingga NM =
2 1
AB. Menurut teori kesebangunan segitiga MNP = ABP dan NMP = BAP maka
maka ∆ABP ~ ∆MNP, sehingga menurut sifat dua segitiga sebangun :
PM AP
=
PN BP
=
MN AB
= 1
2 sehingga terbukti
AP : PM = 2 : 1
dan AP : PM = 2 : 1
Geometri Bidang
7
S
P
R
Q
T 4
6
1 2x
10 2
x
A
B
C
D
P
04. Pada gambar disamping, tentukanlah panjang RS jika segitiga PQT dan
PRS sebangun Jawab
Menurut kesebangunan segitiga
PS PT
=
PR PQ
4 10
10
= 6
1 2
1 2
x x
102x + 7 = 142x + 1 20x + 70 = 28x + 14 maka x = 7, sehingga QT = 7 + 2 = 9
Menurut perbandingan :
QT RS
= 10
14
9
RS
= 10
14 Jadi RS = 12,6 satuan panjang
2. Segi-empat
