codul ini adalah modul dalam mat a kuliah Mat emat ika.

Bangun - Bangun Geometri

P
BANGUN-BANGUN GEOMETRI PMODUL

4

P P
P P
PENDAHULUAN

M

odul ini adalah modul ke-4 dalam mat a kuliah Mat emat ika. Isi modul ini
membahas t ent ang bangun-bangun geomet ri.

Modul ini t erdiri dari 3 kegiat an belaj ar. Pada kegiat an belaj ar 1 akan dibahas
mengenai kedudukan t it ik, garis, dan bidang pada ruang. Pada kegiat an belaj ar 2
akan dibahas mengenai luas bangun dat ar. Terakhir, pada kegiat an belaj ar 3 akan
dibahas mengenai volume dan luas permukaan bangun ruang.
Set elah mempelaj ari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami kedudukan

t it ik, garis, dan bidang pada ruang; memahami konsep luas da volume.
Secara khusus set elah mempelaj ari modul ini, Anda diharapkan dapat :
1. menj elaskan pengert ian t it ik, garis, dan bidang
2. menent ukan kedudukan t it ik t erhadap garis
3. menent ukan kedudukan t it ik t erhadap bidang
4. menent ukan dua garis yang berimpit , sej aj ar, berpot ongan, dan bersilangan
5. menent ukan kedudukan garis t erhadap bidang
6. menent ukan bidang yang berimpit , sej aj ar, dan berpot ongan
7. menj elaskan pengert ian luas
8. menent ukan luas daerah bangun dat ar
9. menj elaskan pengert ian luas permukaan
10. menent ukan luas permukaan bangun ruang
11. menj elaskan pengert ian volume
12. menent ukan volume bangun ruang

PETUNJUK BELAJAR
1. Bacalah dengan cermat pendahuluan modul ini sehingga Anda memahami t uj uan
dan bagaimana mempelaj ari modul ini.
2. Bacalah uraian mat eri dalam modul ini, t andailah kat a-kat a pent ing yang
merupakan kunci. Pahami set iap konsep dalam uraian mat eri dengan mempelaj ari

cont oh-cont ohnya.
3. Jika mengalami kesulit an dalam mempelaj ari modul ini, diskusikanlah dengan
t eman-t eman Anda at au dengan t ut or.
4. Pelaj ari sumber-sumber lain yang relevan unt uk memperluas wawasan.
5. Kerj akan soal-soal lat ihan dalam modul ini t anpa melihat pet unj uk j awaban lat ihan
t erlebih dahulu. Apabila mengalami kesulit an, barulah Anda melihat pet unj uk
j awaban lat ihan.
6. Kerj akan soal-soal t es f ormat if dan periksa t ingkat kemampuan Anda dengan
mencocokkan j awaban Anda dengan kunci j awaban t es f ormat if . Ulangilah
pengerj aan t es f ormat if ini sampai Anda benar-benar dapat mengerj akan semua
soal-soal t es f ormat if ini dengan benar.

Selamat Belaj ar, Semoga Sukses!
Matematika

121

Bangun - Bangun Geometri

KEDUDUKAN TITIK, GARIS,

DAN BIDANG PADA RUANG
A. PENGERTIAN T ITIK, GARIS,

DAN

BIDANG

(1) Titik
ecara geomet ri, t it ik adalah unsur geomet ri yang paling sederhana. Namun, “ t it ik”
bukan main pent ingnya, sebab semua unsur lainnya t erdiri dari t it ik-t it ik. Tit ik
adalah sesuat u yang punya kedudukan, t et api t it ik t idak punya ukuran. Tit ik biasanya
direpresent asikan dengan sebuah nokt ah “ . ” , dan diberi nama dengan menggunakan
huruf kapit al sepert i A, B, at au C, dan set erusnya.

S

B

Q

Titik B

Titik Q

Gambar 4. 1 memperlihat kan dua buah t it ik,
yait u t it ik B dan t it ik Q.

(2) Garis
Garis adalah himpunan t it ik-t it ik yang anggot anya adalah dua t it ik at au lebih.
Tit ik-t it ik t ersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai j auh t ak
t erhingga. Model at au represent asi suat u garis misalnya seut as benang kecil lurus
yang dapat diperpanj ang kedua arah yang berlawanan sampai j auh t ak t erhingga.
Garis hanya mempunyai ukuran panj ang. Garis diberi nama dengan menggunakan
huruf kecil sepert i g, h, k, dan set erusnya, at au AB, AC, BC, dan set erusnya.
g

B
A
Garis AB

Garis g

Gambar 4. 2 memperlihat kan dua buah garis,
yait u garis AB dan garis g.

(3) Bidang
Bidang adalah himpunan t it ik-t it ik, lebih dari dua buah t it ik dan t idak semuanya
t erlet ak pada sebuah garis. Pada sebuah bidang, t erdiri dari banyak sekali garis.
Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah mej a rat a misalnya yang dapat
diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panj ang dan lebar. Bidang diberi
nama dengan menyebut kan t it ik-t it ik sudut dari bidang t ersebut at au memakai
huruf α, β, γ , dan set erusnya. Gambar 4. 3 memperlihat kan dua buah bidang, yait u
bidang α dan bidang ABCD.

122

Matematika

Bangun - Bangun Geometri
C

D

α

A

B

Gambar 4.3

B. KEDUDUKAN T ITIK

DAN

GARIS

(1) Titik Terletak pada Bidang
Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak pada garis, j ika t it ik t ersebut dapat dilalui
oleh garis.

g
B
Gambar 4. 4 memperlihat kan t it ik B t erlet ak pada garis g.
(2) Titik Terletak di luar Garis
Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak di luar garis, j ika t it ik t ersebut t idak dapat
dilalui garis.

h

C

Gambar 4. 5 memperlihat kan Tit ik C t erlet ak di luar garis h
Agar lebih memahami kedudukan t it ik dan garis, coba Anda perhat ikan cont oh
berikut ini.
contoh 1:
Perhat ikan gambar 4. 6, sebut kan t it ik yang t erlet ak pada garis CD dan di luar garis
CD.

H

G

E

F
D

A

C
B

Gambar 4.6

Matematika

123

Bangun - Bangun Geometri

Penyelesaian:
Tit ik yang t erlet ak pada garis CD adalah t it ik C dan D, sedangkan t it ik di luar garis CD
adalah t it ik A, B, E, F, H dan G.

C. KEDUDUKAN T ITIK DAN BIDANG
(1) Titik Terletak pada Bidang
Sebuah t it ik dikat akan t er let ak
pada bidang, j ika t it ik t ersebut dapat
dilalui
ol eh bidang.
Gambar 4. 7
memper lihat kan t it ik B t erlet ak pada
bidang α.

B
α
Gambar 4. 7

(2) Titik di Luar Bidang

Sebuah t it ik dikat akan t er let ak di
luar bi dang, j ika t it ik t ersebut t idak
dapat dilalui oleh bi dang. Gambar 4. 8
memper lihat kan t it ik D t erlet ak di luar

D

bidang α.

α
Gambar 4. 8

Agar Anda dapat memahami kedudukan t it ik dan bidang, pelaj arilah cont oh
berikut .
Contoh 2:
Perhat ikan gambar 4. 9, sebut kan t it ik yang
t erl et ak pada bidang ABCD dan di luar bidang
ABCD?

H

G

E

F
D

A

C
B

Gambar 4. 9

Penyelesaian:
Tit ik yang t erlet ak pada bidang ABCD adalah t it ik A, B, C, dan D, sedangkan t it ik di
luar bidang ABCD adalah t it ik E, F, G, dan H.

124

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

D. KEDUDUKAN DUA GARIS
(1) Dua Garis Sej aj ar
Dua buah garis dikat akan sej aj ar , j ika
dua buah garis t ersebut sebidang dan t idak
mempunyai t it ik per sekut uan. Gambar 4. 10
memper lihat kan garis k dan l sej aj ar.

l
k

α

Gambar 4. 10

(2) Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis dikat akan berpot ongan,
j ika dua buah garis t ersebut sebidang dan
mempunyai sat u t it ik persekut uan, yang
dinamakan t it ik pot ong. Gambar 4. 11
memper liharkan garis k dan l berpot ongan

k

O
l

α
Gambar 4. 11

(3) Dua Garis Berimpit
Dua buah garis dikat akan berimpit , j ika
j arak ant ara kedua garis t ersebut adalah nol.
Gambar 4. 12 memperlihat kan garis k dan l
berimpit .

k
l

α
Gambar 4. 12

(4) Dua Garis Bersilangan
Dua buah garis dikat akan bersilangan,
j ika dua buah garis t ersebut t idak sebidang
at au melal ui kedua garis t ersebut t i dak dapat
dibuat sebuah bidang dat ar. Gambar 4. 13
memper lihat kan garis g dan h bersilangan

g
h

α

Gambar 4. 13

Matematika

125

Bangun - Bangun Geometri

Agar Anda dapat memahami kedudukan dua garis, pelaj arilah cont oh berikut .
Contoh 3:
Perhat ikan gambar 4. 14.
a. Sebut kan t iga pasang garis yang sej aj ar.
b. Sebut kan
t iga
pasang
garis yang
berpot ongan.
c. Sebut kan t iga pasangan garis yang
bersilangan.

R

Q

O

P
N

M

K

L
Gambar 4. 14

Penyelesaian: .
a. Tiga pasang garis yang sej aj ar adalah KL sej aj ar NM, OP sej aj ar RQ, dan KN sej aj ar
LM.
b. Tiga pasang garis yang berpot ongan adalah KM berpot ongan dengan LN, OL
berpot ongan dengan KP, dan NQ berpot ongan dengan RM.
c. Tiga pasang garis yang bersilangan adalah RN bersilangan dengan KL, OK
bersilangan dengan LM, PL bersilangan dengan KN.

E.

KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG

(1) Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikat akan t er let ak pada
bidang, j ika set iap t it ik pada garis t ersebut
j uga t erlet ak pada bidang. Gambar 4. 15
memper lihat kan garis g t erlet ak pada bidang

α.

A

B

g

α
Gambar 4. 15

(2) Garis Sej aj ar Bidang
Sebuah garis dikat akan sej aj ar bidang,
j ika garis dan bidang t idak mempunyai sat u
pun
t it ik
persekut uan.
Gambar
1. 16

g

memperlihatkan garis g sejajar bidang α.

α
Gambar 1. 16

126

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

(3) Garis Memotong (Menembus) Bidang
Sebuah garis dikat akan memot ong
(menembus) bidang, j ika garis dan bidang
mempunyai sat u t it ik persekut uan
yang
dinamakan t it ik pot ong at au t it ik t embus.
Gambar 4. 17 memperl ihat kan garis g

g

A

memotong bidang α di titik A.

α

Gambar 4. 17

Agar Anda dapat memahami kedudukan garis dan bidang, pelaj arilah cont oh
berikut .
Contoh 4:
Perhat ikan gambar 4. 18.
a. Sebut kan empat garis yang t erl et ak pada
bidang NMQR.
b. Sebut kan dua garis yang menembus
bidang NLPR.
c. Sebut kan empat garis yang sej aj ar
dengan bidang KNRO.

R
O

Q
P

N
K

M
L

Gambar 4. 18

Penyelesaian:
a. Empat garis yang t erlet ak pada bidang NMQR adalah NM, MQ, QR, dan RN.
b. Dua garis yang menembus bidang NLPR adalah KQ dan OM.
c. Empat garis yang sej aj ar dengan bidang KNRO ant ara lain PL, QM, LM, dan PQ.

F.

KEDUDUKAN DUA BIDANG

(1) Dua Bidang Berimpit
Dua bidang dikat akan berimpit , j ika
set iap t it ik t erlet ak pada kedua bi dang.
Gambar 4. 19 memperlihat kan bidang α dan
bidang

β

berimpit .

α, β

Gambar 4. 19

Matematika

127

Bangun - Bangun Geometri

(2) Dua Bidang Sej aj ar
Dua bidang dikat akan sej aj ar, j ika
kedua bidang t ersebut t idak mempunyai sat u
pun
t it ik
persekut uan.
Gambar
4. 20
memper lihat kan bi dang α dan bidang β
sej aj ar .

α

β
Gambar 4. 20

(3) Dua Bidang Berpotongan
Dua
bidang
dikat akan
ber pot ongan, j ika kedua bi dang t ersebut
mempunyai sebuah garis persekut uan.
Gambar 4. 21 memperlihat kan bidang α
dan bidang

β

g

ber pot ongan.

β

α
Gambar 4. 21

Agar Anda dapat memahami kedudukan dua bidang, pelaj arilah cont oh berikut .
Contoh 5:
Perhat ikan gambar 4. 22.
a. Sebut kan t iga pasang
sej aj ar.
b. Sebut kan t iga pasang
berpot ongan.

Y
bidang

yang

bidang

yang

X

V

W
U

R

T
S

Gambar 4. 22

Penyelesaian:
a. Tiga pasang bidang yang sej aj ar adalah bidang RSTU dengan VWXY, bidang RUYV
dengan STXW , dan bidang RSWV dengan UTXY.
b. Tiga pasang bidang yang berpot ongan adalah RSXY dengan VWTU, RWXU dengan
STYV, dan RTXV dengan SUYW.

128

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Petunj uk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!
Unt uk memperdalam pemahaman Anda mengenai mat eri di at as, kerj akanlah
lat ihan berikut !

Y
V

X
W

U
R
1. a.
b.
2. a.
b.
3. a.
b.
c.
4. a.
b.
c.
5. a.
b.

T
S

Sebut kan t it ik-t it ik yang t erlet ak pada garis UY.
Sebut kan t it ik- t it ik di luar garis ST.
Sebut kan t it ik-t it ik yang t erlet ak pada bidang UTXY.
Sebut kan t it ik-t it ik di luar bidang VWXY.
Sebut kan dua pasang garis yang sej aj ar.
Sebut kan dua pasang garis yang berpot ongan.
Sebut kan dua pasang garis yang bersilangan.
Sebut kan empat garis yang t erlet ak pada bidang STXW.
Sebut kan empat garis yang sej aj ar dengan bidang RUYV.
Sebut kan dua garis yang menembus bidang RTXV.
Sebut kan dua pasang bidang yang sej aj ar.
Sebut kan dua pasang bidang yang berpot ongan.

Petunj uk Jawaban Latihan
Periksa secara seksama j awaban Anda, kemudian cocokkanlah j awaban Anda
dengan kunci j awaban berikut :
1. a. Tit ik-t it ik yang t erlet ak pada garis UY adalah t it ik U dan Y.
b. Tit ik- t it ik di luar garis ST adalah t it ik R, U, V, W, X, dan Y.
2. a. Tit ik-t it ik yang t erlet ak pada bidang UTXY adalah t it ik U, T, X, dan Y.
b. Tit ik-t it ik di luar bidang VWXY adalah t it ik R, S, T, dan U.
3. a. Dua pasang garis yang sej aj ar adalah garis RS sej aj ar UT dan VW sej aj ar
YX.
b. Dua pasang garis yang berpot ongan adalah garis UW berpot ongan dengan SY
dan RX berpot ongan dengan VT.
c. Dua pasang garis yang bersilangan adalah garis YU bersilangan dengan RS dan
VR bersilangan dengan ST.
4. a. Empat garis yang t erlet ak pada bidang STXW adalah garis ST, TX,
XW, dan WS.

Matematika

129

Bangun - Bangun Geometri

b.

Empat garis yang sej aj ar dengan bidang RUYV adalah garis ST, TX, XW, dan
WS.
c. Dua garis yang menembus bidang RTXV adalah garis SY dan UW.
5. a. Dua pasang bidang yang sej aj ar adalah bidang RSTU sej aj ar VWXY dan
RUYV dan STXW.
b. Dua pasang bidang yang berpot ongan adalah bidang RTXV berpot ongan
dengan USWY dan VWTU berpot ongan dengan XYRS.

1. Tit ik adalah unsur geomet ri yang paling sederhana. Tit ik adalah sesuat u
yang punya kedudukan, t et api t it ik t idak punya ukuran. Tit ik biasanya
direpresent asikan dengan sebuah nokt ah “ . ” , dan diberi nama dengan
menggunakan huruf kapit al sepert i A, B, at au C, dan set erusnya.
2. Garis adalah himpunan t it ik-t it ik yang anggot anya adalah dua t it ik at au
lebih. Tit ik-t it ik t ersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan
sampai j auh t ak t erhingga. Garis dapat diperpanj ang kedua arah yang
berlawanan sampai j auh t ak t erhingga. Garis hanya mempunyai ukuran
panj ang. Garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil sepert i g,
h, k, dan set erusnya, at au AB, AC, BC, dan set erusnya.
3. Bidang adalah himpunan t it ik-t it ik, lebih dari dua buah t it ik dan t idak
semuanya t erlet ak pada sebuah garis. Pada sebuah bidang, t erdiri dari
banyak sekali garis. Bidang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang
mempunyai ukuran panj ang dan lebar. Bidang diberi nama dengan
menyebut kan t it ik-t it ik sudut dari bidang t ersebut at au memakai huruf
α, β, γ , dan set erusnya.
4. Kedudukan t it ik dan garis:
a. Tit ik t erlet ak pada garis.
Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak pada garis, j ika t it ik t ersebut dapat
dilalui oleh garis.
b. Tit ik di luar garis.
Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak di luar garis, j ika t it ik t ersebut t idak
dapat dilalui garis.
5. Kedudukan t it ik dan bidang:
a. Tit ik t erlet ak pada bidang.
Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak pada bidang, j ika t it ik t ersebut dapat
dilalui oleh bidang.
b. Tit ik di luar bidang.
Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak di luar bidang, j ika t it ik t ersebut
t idak dapat dilalui oleh bidang.

130

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

6. Kedudukan dua garis:
a. Dua garis sej aj ar.
Dua buah garis dikat akan sej aj ar, j ika dua buah garis t ersebut
sebidang dan t idak mempunyai t it ik persekut uan.
b. Dua garis berpot ongan.
Dua buah garis dikat akan berpot ongan, j ika dua buah garis t ersebut
sebidang dan mempunyai sat u t it ik persekut uan, yang dinamakan
t it ik pot ong.
c. Dua garis berimpit .
Dua garis dikat akan berimpit , j ika j arak ant ara kedua garis t ersebut
adalah nol.
d. Dua garis bersilangan.
Dua buah garis dikat akan bersilangan, j ika dua buah garis t ersebut
t idak sebidang at au melalui kedua garis t ersebut t idak dapat dibuat
sebuah bidang dat ar.
7. Kedudukan garis dan bidang:
a. Garis t erlet ak pada bidang.
Sebuah garis dikat akan t erlet ak pada bidang, j ika set iap t it ik pada
garis t ersebut j uga t erlet ak pada bidang.
b. Garis sej aj ar bidang.
Sebuah garis dikat akan sej aj ar bidang, j ika garis dan bidang t idak
mempunyai sat u pun t it ik persekut uan.
c. Garis memot ong (menembus) bidang.
Sebuah garis dikat akan memot ong (menembus) bidang, j ika garis
dan bidang mempunyai sat u t it ik persekut uan yang dinamakan t it ik
pot ong at au t it ik t embus.
8. Kedudukan dua bidang:
a. Dua bidang berimpit .
Dua bidang dikat akan berimpit , j ika set iap t it ik t erlet ak pada kedua
bidang.
b. Dua bidang sej aj ar.
Dua bidang dikat akan sej aj ar, j ika kedua bidang t ersebut t idak
mempunyai sat u pun t it ik persekut uan.
c. Dua bidang berpot ongan.
Dua bidang dikat akan berpot ongan, j ika kedua bidang t ersebut
mempunyai sebuah garis persekut uan.

Matematika

131

Bangun - Bangun Geometri

Petunj uk: Pilihlah salah satu j awaban yang dianggap paling tepat!
1. Tit ik-t it ik berikut berada di luar bidang ABGH, kecuali . . . .
A.
B.
C.
D.

Tit ik
Tit ik
Tit ik
Tit ik

E
F
C
G

H

G

E

F
D

C

A

B

2. Pernyat aan-pernyat aan berikut benar, kecuali . . . .
A.
B.
C.
D.

Tit ik
Tit ik
Tit ik
Tit ik

O t erlet ak
O t erlet ak
O t erl et ak
O t erlet ak

pada bi dang TIK.
pada bi dang TJK.
Pada bidang IJKL.
pada bi dag TLJ.

T

L

K
O

I

J

3. Pasangan garis berikut saling bersilangan, kecuali . . . .
A. ZV dengan TU.
Z
Y
B. WX dengan YU.
C. SY dengan WU.
D. ZY dengan XT.

W

X
V

S

U
T

4. Pernyat aan-pernyat aan berikut benar, kecuali . . . .
A.
B.
C.
D.

Garis NV menembus bidang MOTR.
Garis RP menembus bidang OTVQ.
Garis SU menembus bidang MQVR.
Garis MU menembus bi dang NQVS.

V
U

R
S

T

Q
P

M

N

132

O

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

5. Pasangan bidang berikut saling berpot ongan, kecuali . . . .
A.
B.
C.
D.

ABFE dengan DCHG.
BCHE dengan ADGF.
ABGH dengan CDEF.
ACGE dengan DBFH.

H
E

G

F

D

A

C
B

Cocokkan j awaban Anda dengan menggunakan kunci j awaban Tes Format if 1
yang t erdapat di bagian akhir bahan belaj ar mandiri ini. Hit unglah j awaban Anda
yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini unt uk menget ahui t ingkat
penguasaan Anda t erhadap mat eri Kegiat an Belaj ar 1.
Rumus :
Jumlah j awaban Anda yang benar
Tingkat penguasaan = ______________________________
10
Art i t ingkat penguasaan yang Anda capai :
90 %- 100% = Baik sekali
80 %- 89% = Baik
70%- 79 % = Cukup
< 70% = Kurang

X 100 %

Apabila t ingkat penguasaan Anda t elah mencapai 80 %at au lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiat an Belaj ar selanj ut nya. Bagus ! Tet api apabila nilai t ingkat
penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiat an Belaj ar 1,
t erut ama bagian yang belum Anda kuasai.

Matematika

133

Bangun - Bangun Geometri

LUAS BANGUN DATAR
A. LUAS DAERAH PERSEGIPANJANG
Persegipanj ang mempunyai sisi -sisi berhadapan
yang sej aj ar dan sama panj ang, mempunyai diagonal diagonal yang sama panj ang dan saling berpot ongan di
t engah, dan keempat sudut nya siku-siku.

l
Luas daerah persegipanj ang adalah: L = p x l.

p
Gambar 4. 23

Contoh 1:
Hit unglah luas daerah persegipanj ang yang panj angnya adalah 15 m dan lebarnya
adalah 2, 25 m.
Penyelesaian:
Persegi panj ang, p = 15 m, dan l = 2, 25 m.
L = 15 x 2, 25 = 33, 75 m2.
Jadi, luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah 33, 75 m2.

B. LUAS DAERAH PERSEGI
Persegi adalah persegipanj ang ist imewa yang
semua sisinya sama panj ang, semua sudut nya dibagi
dua sama besar ol eh diagonal-diagonalnya, dan
diagonal-diagonalnya saling berpot ongan dengan sudut
siku-siku.

s

Luas daerah persegi adalah: L = s x s.

s
Gambar 4. 24

Contoh 2:
Hit unglah daerah persegi yang panj ang sisinya adalah 4, 7 m.

134

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Penyelesaian:
Persegi dan s = 4, 7 m.
L = 4, 7 x 4, 7 = 22, 09 m2.
Jadi, luas daerah persegi t ersebut adalah 22, 09 m2.

C. LUAS DAERAH SEGITIGA
Segit iga adalah bangun dat ar yang t erdiri dari t iga buah ruas garis yang
sepasang-sepasang t it ik-t it ik uj ungnya bersekut u.

Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang

I

t

III

II

1t
2

IV

a

Gambar 4. 25

I

II
III

IV

a

Gambar 4. 25 memperlihat kan gambar suat u segit iga dengan panj ang sisi alas a
dan t inggi t . Unt uk mencari rumus luas daerah segit iga dengan memakai rumus luas
1
daerah persegipanj ang, pot onglah daerah I dan daerah II dengan t inggi
t.
2
Kemudian pindahkan pot ongan daerah I dan daerah II sedemikian rupa sehingga
1
t erbent uk daerah persegipanj ang dengan panj ang a dan lebar t . Sehingga luas
2
daerah persegipanj ang t ersebut adalah:
L=ax

1
2

t =x ax

1
2

t.

Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah segit iga, maka luas daerah
segit iga sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah segit iga adalah:

1

x a x t.
2
Kesimpulan:
L=

Luas daerah segit iga adalah: L =

Matematika

1
2

x a x t.

135

Bangun - Bangun Geometri

Contoh 3:
Hit unglah luas daerah segit iga sama kaki yang panj ang alasnya adalah 5, 8 cm dan
t ingginya adalah 2, 2 cm.
Penyelesaian:
Segit iga, a = 5, 8 cm, dan t = 2, 2 cm.

1

x 5, 8 x 2, 2 = 6, 38 cm2.
2
Jadi, luas daerah segit iga t ersebut adalah 6, 38 cm2.

L=

D. LUAS DAERAH JAJARGENJANG
Jaj argenj ang adalah segiempat yang set iap pasang sisi yang berhadapannya
sej aj ar.

(1) Prinsip Luas Daerah Segitiga

t

I

II

a

t

Gambar 4. 26

II
I

a

Gambar 4. 26 memperlihat kan gambar suat u j aj argenj ang dengan panj ang
alasnya a dan t ingginya t . Unt uk mencari rumus luas daerah j aj argenj ang dengan
memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah j aj argenj ang t ersebut menj adi
dua daerah segit iga yang kongruen (sama bent uk dan ukuran), yait u segit iga I dan
segit iga II dengan panj ang alasnya a dan t ingginya t . Karena segit iga I kongruen
dengan segit iga II, maka luas daerah segit iga I sama dengan luas daerah segit iga II,
yait u:
L=

1
2

x a x t.

Karena daerah j aj argenj ang diperoleh dari dua daerah segit iga yang kongruen,
maka luas daerah j aj argenj ang sama dengan dua kali luas daerah segit iga. Jadi, luas
daerah j aj argenj ang adalah:
L=2x (

136

1
2

x a x t) = a x t.

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

(2) Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang

I

t
a

II

Gambar 4. 27

II

I

t
a

Gambar 4. 27 memperlihat kan gambar suat u j aj argenj ang dengan panj ang salah
sat u sisi-sisinya a dan t ingginya t . Unt uk mencari rumus luas daerah j aj argenj ang
dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah daerah II dengan
t inggi t . Kemudian pindahkan pot ongan daerah II sedemikian rupa sehingga t erbent uk
daerah persegipanj ang dengan panj ang a dan lebar t . Sehingga l uas daerah
persegipanj ang t ersebut adalah:
L = a x t.
Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah j aj argenj ang, maka luas
daerah j aj argenj ang sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah
j aj argenj ang adalah:
L = a x t.
Kesimpulan:
Luas daerah j aj argenj ang adalah: L = a x t .

Contoh 4:
Hit unglah luas daerah j aj argenj ang yang panj ang alasnya adalah 8, 5 cm dan t ingginya
adalah 6,25 cm.
Penyelesaian:
Jaj argenj ang, a = 8, 5 cm, dan t = 6, 2 cm.
L = 8,5 x 6, 2 = 52,7 cm2.
Jadi, luas j aj argenj ang t ersebut adalah 52, 7 cm2.

Matematika

137

Bangun - Bangun Geometri

E.

LUAS DAERAH BELAHKETUPAT

Belahket upat adalah segiempat yang semua sisinya sama panj ang.
(1) Prinsip Luas Daerah Segitiga

d1

I

II

I

d1

d2
Gambar 4. 28

II

1d
2 2

Gambar 4. 28 memperlihat kan gambar suat u belahket upat dengan panj ang
diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d 1 dan d 2. Unt uk mencari rumus luas
daerah belahket upat dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah
belahket upat t ersebut menj adi dua daerah segit iga yang kongruen (sama bent uk
dan ukuran), yait u segit iga I dan segit iga II dengan panj ang alasnya d1 dan t ingginya
1
d . Karena segit iga I kongruen dengan segit iga II, maka luas daerah segit iga I
2 2
sama dengan luas daerah segit iga II, yait u:

1

x d1 x (

1

d ).
2
2 2
Karena daerah belahket upat diperoleh dari dua daerah segit iga yang kongruen,
maka luas daerah belahket upat sama dengan dua kali luas daerah segit iga. Jadi, luas
daerah belahket upat adalah:
L=

L=2 (

1
2

x d1 x (

1
2

d 2)) =

1
2

x d 1 x d 2.

(2) Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang

I

II

IV

III

d1

d2

138

1d
2 1

Gambar 4. 29

IV

III

I

II

d2

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Gambar 4. 29 memperlihat kan gambar suat u belah ket upat dengan panj ang
diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d 1 dan d 2. Unt uk mencari rumus luas
daerah belahket upat dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah
1
daerah I dan daerah II dengan t inggi d 1. Kemudian pindahkan pot ongan daerah I
2
dan daerah II sedemikian rupa sehingga t erbent uk daerah persegipanj ang dengan
1
panj ang d 2 dan lebar d 1. Sehingga luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:
2

1

L=

1
2

d1 =

1

x d 1 x d 2.
2
2
Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah belahket upat , maka luas
daerah belahket upat sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah
belahket upat adalah:
L = d2 x

x d 1 x d 2.

Kesimpulan:
Luas daerah belahket upat adalah: L =

1
2

x d 1 x d 2.

Contoh 5:
Hit unglah luas daerah belahket upat yang panj ang diagonal-diagonalnya adalah 11
cm dan 17 cm.
Penyelesaian:
Belahket upat , d 1 = 11 cm, dan d 2 = 17 cm.

1

x 11 x 17 = 93, 5 cm2.
2
Jadi, luas daerah belahket upat t ersebut adalah 93, 5 cm2.

L=

Matematika

139

Bangun - Bangun Geometri

F.

LUAS DAERAH LAYANG- LAYANG

Layang-layang adalah segiempat yang dibent uk oleh dua buah segit iga sama
kaki yang alasnya sama panj ang dan berimpit .
(1) Prinsip Luas Daerah Segitiga

d1

I

d1

II

I

II

1d
2 2

d2

Gambar 4. 30
Gambar 4. 30 memperlihat kan gambar suat u layang-layang dengan panj ang
diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d 1 dan d 2. Unt uk mencari rumus luas
daerah layang-layang dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah
layang-layang t ersebut menj adi dua daerah segit iga yang kongruen (sama bent uk
1
d.
dan ukuran), yait u segit iga I dan segit iga II dengan panj ang alas d 1 dan t inggi
2 2
Karena segit iga I kongruen dengan segit iga II, maka luas daerah segit iga I sama
dengan luas daerah segit iga II, yait u:
L=

1
2

x d1 x (

1
2

d2).

Karena daerah layang-layang diperoleh dari dua daerah segit iga yang
kongruen, maka luas daerah layang-layang sama dengan dua kali luas daerah segit iga.
Jadi, luas daerah layang-layang adalah:
L=2 (

1
2

x d1 x (

1
2

d 2)) =

1
2

x d 1 x d 2.

(2) Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang
II
I

II

I

d1

d1
III

IV

III

IV
1d
2 2

d2

Gambar 4. 31

140

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Gambar 4. 31 memperlihat kan gambar suat u layang-layang dengan panj ang
diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d 1 dan d 2. Unt uk mencari rumus luas
daerah layang-layang dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah
daerah II dan daerah IV. Kemudian pindahkan pot ongan daerah II dan daerah IV
1
sedemikian rupa sehingga t erbent uk daerah persegipanj ang dengan panj ang
d
2 2
dan lebar d 1. Sehingga luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

1

L=

1
2

d2 x d1 =

1

x d 1 x d 2.
2
2
Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah layang-layang, maka luas
daerah layang-layang sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah
layang-layang adalah:
L=

x d1 x d2.

Kesimpulan:
Luas daerah layang-layang adalah: L =

1
2

x d1 x d2.

Contoh 6:
Hit unglah luas daerah layang-layang yang panj ang diagonal-diagonalnya adalah 16
cm dan 19 cm.

Penyelesaian:
Layang-layang, d1 = 16 cm, dan d2 = 19 cm.

1

x 16 x 19 = 152 cm2.
2
Jadi, luas daerah layang-layang t ersebut adalah 152 cm2.

L=

G. LUAS DAERAH T RAPESIUM
Trapesium adalah segiempat yang memiliki t epat sat u pasang sisi yang sej aj ar.
(1) Prinsip Luas Daerah Segitiga

b

b
I

t

t

a

II

a
Gambar 4. 32

Matematika

141

Bangun - Bangun Geometri

Gambar 4. 32 memperlihat kan gambar suat u t rapesium dengan panj ang sisisisi sej aj arnya masing-masing adalah a dan b. Unt uk mencari rumus luas daerah
layang-layang dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah
t rapesium menj adi daerah segit iga I dengan panj ang alasnya b dan t ingginya t sert a
segit iga II dengan panj ang alasnya a dan t ingginya t . Sehingga diperoleh, luas daerah
segit iga I dan segit iga II masing-masing adalah:

1
x b x t dan L  II = x a x t .
2
2
Karena daerah t rapesium diperoleh dari daerah segit iga I dan segit iga II, maka
luas daerah layang-layang sama dengan luas daerah segit iga I dit ambah luas daerah
segit iga II. Jadi, luas daerah belahket upat adalah:
LI=

L=(

1

1
2

x b x t) + (

1
2

x a x t) =

1
2

x t x (a + b) =

1
2

x (a + b) x t .

(2) PRINSIP LUAS DAERAH PERSEGIPANJANG

b

t

IV

V

VI

I

II

III

a

1
t
2

IV

Gambar 4. 33

I

II

a

III

VI

V

b

Gambar 4. 33 memperlihat kan gambar suat u t rapesium dengan panj ang sisisisi sej aj arnya masing-masing adalah a dan b. Unt uk mencari rumus luas daerah
t rapesium dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah daerah
IV, daerah V, dan daerah IV dengan t inggi t . Kemudian pindahkan pot ongan daerah
IV, daerah V, dan daerah IV sedemi ki an r upa sehi ngga t er bent uk daer ah
1
persegipanj ang dengan panj ang (a + b) dan lebar
t . Sehingga luas daerah
2
persegipanj ang t ersebut adalah:
L = (a + b) x

1

1

x (a + b) x t .
2
2
Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah t rapesium, maka luas
daerah t rapesium sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah
t rapesium adalah:
L=

142

1
2

t =

x (a + b) x t .

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Kesimpulan:
Luas daerah t rapesium adalah: L =

1
2

x (a + b) x t .

Contoh 7:
Hit unglah luas t rapesium yang panj ang sisi-sisi sej aj arnya adalah 7 cm dan 12 cm
sert a t ingginya adalah 5 cm.
Penyelesaian:
Trapesium, a = 7 cm, b = 12 cm, dan t = 5 cm.

1

x (7 + 12) x 5 = 47, 5 cm2.
2
Jadi, luas daerah t rapesium t ersebut adalah 47, 5 cm2.
L=

H. LUAS DAERAH LINGKARAN
Lingkaran adalah t empat kedudukan t it ik-t it ik pada bidang yang berj arak sama
dari sebuah t it ik t ert ent u pada bidang it u.
(1) Prinsip Luas Daerah Segitiga

IX
VIII

VII

IX

VIII

VI
V

I
II

3r

VII

VI

IV

IV

III
I

V
II

3x
9

III

2µ r

Gambar 4. 34
Gambar 4. 34 memperlihat kan gambar suat u lingkaran dengan j ari-j ari r dan
keliling lingkaran 2 µ r. Unt uk mencari rumus luas daerah lingkaran dengan memakai
rumus luas daerah segit iga, bagilah daerah lingkaran t ersebut dalam 9 j uring yang
sama besar. Kemudian susun pot ongan j uring-j uring t ersebut sedemikian rupa
3
µ x 2r dan t ingginya
sehingga t erbent uk daerah segit iga dengan panj ang alasnya
9
r. Sehingga luas daerah segit iga t ersebut adalah:
L=

1
2

x(

3
9

x 2 µ r) x 3r = µ r 2.

Agar bangun yang diperoleh dapat menyerupai segit iga, maka kit a harus
membagi daerah lingkaran t ersebut menj adi j uring-j uring yang sangat kecil.
Matematika

143

Bangun - Bangun Geometri

Karena daerah segit iga diperoleh dari daerah lingkaran, maka luas daerah
lingkaran sama dengan luas daerah segit iga. Jadi, luas daerah lingkaran adalah:
L = µ r 2.

(2) Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang
VII

VI

VIII

V

I

r

IV
II

VIII
I

VII
II

VI
III

V
IV

III
4 x 2µ
r
8

Gambar 4. 35
Gambar 4. 35 memperlihat kan gambar suat u lingkaran dengan j ari-j ari r dan
keliling lingkaran 2r. Unt uk mencari rumus luas daerah lingkaran dengan memakai
rumus luas daerah persegipanj ang, bagilah daerah lingkaran t ersebut dalam 8 j uring
yang sama besar. Kemudian susun pot ongan j uring-j uring t ersebut sedemikian rupa
4
µ x 2r dan lebar r..
sehingga t erbent uk daerah persegipanj ang dengan panj ang
8
Sehingga luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

4

x 2 µ r) x r = µ r 2.
8
Agar bangun yang diperoleh dapat menyerupai persegipanj ang, maka kit a harus
membagi daerah lingkaran t ersebut menj adi j uring-j uring yang sangat kecil.
Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah lingkaran, maka luas daerah
lingkaran sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah lingkaran adalah:
L=(

L = µ r 2.

Kesimpulan:
Luas daerah lingkaran adalah: L = µ r 2.
Contoh 7:
Hit unglah luas daerah lingkaran yang j ari-j arinya adalah 10 cm j ika pendekat an unt uk
µ = 3, 14.
Penyelesaian:
Lingkaran, r = 10 cm, dan µ = 3, 14.
L = 3, 14 x 102 = 314 cm2.
Jadi, luas daerah lingkaran t ersebut adalah 314 cm2.

144

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Petunj uk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!
Unt uk memperdalam pemahaman Anda mengenai mat eri di at as, kerj akanlah
lat ihan berikut !
1. Perhat ikan gambar di samping.
Gambar berikut menunj ukkan bangun suat u
j endela kecil yang t erdir i dari persegi yang
panj ang sisinya 24 cm dan set engah lingkaran.
Hit unglah luas daerah j endela kecil t ersebut .

24 cm

24 cm
2. Perhat ikan gambar di samping.
Gambar berikut menunj ukkan suat u sawah
yang t erdiri dari persegipanj ang dan
segit iga. Hit unglah luasnya.

12 m
7,5 m
15 m

3. Perhat ikan gambar di samping.
Gambar berikut menunj ukkan suat u
t anah yang dit anami rumput ber bent uk
t rapesium yang di t engah-t engahnya
t erdapat
bangunan
berbent uk
belahket upat . Hit unglah luas t anah
yang dit anami r umput t ersebut .

10 m

6m

9m

8m
14 m
Petunj uk Jawaban Latihan
Periksa secara seksama j awaban Anda, kemudian cocokkanlah j awaban Anda
dengan kunci j awaban berikut :
1. Persegi dan s = 24 cm. Sehingga, L = 24 x 24 = 576 cm 2.
Set engah lingkaran dan r = 12 cm. Sehingga, L = 3, 14 x 12 x 12 = 452, 16 cm2.

Matematika

145

Bangun - Bangun Geometri

Luas daerah keseluruhan = 576 + 452, 16 = 1028, 16 cm2.
Jadi, luas daerah j endela kecil t ersebut adalah 1028, 16 cm2.
2. Persegipanj ang, p = 15 m, dan l = 12 m. Sehingga, L = 15 x 12 = 180 m2.
1
Segit iga, a = 15 m, dan t = 4, 5 m. Sehingga, L = x 15 x 4, 5 = 33, 75 m 2.
2
Luas daerah keseluruhan = 180 + 33, 75 = 213, 75 m2.
Jadi, luas sawah t ersebut adalah 213, 75 m2.
3. Trapesium, a = 10 m, b = 14 m, dan t = 9 m.
1
Sehingga, L = (10 + 14) x 9 = 108 m2.
2
1
Belahket upat , d 1 = 6 m, dan d 2 = 8 m. Sehingga, L = x 6 x 8 = 24 m 2.
2
Luas t anah yang dit anami rumput = 108 – 24 = 84 m 2.
Jadi, luas t anah yang dit anami rumput adalah 84 m2.

1. Luas daerah persegi panj ang = p x l.
2. Luas daerah persegi = s x s.
1
x a x t.
3. Luas daerah segit iga =
2
4. Luas daerah j aj argenj ang = a x t .
1
x d 1 x d 2.
5. Luas daerah belahket upat =
2
1
6. Luas daerah layang-layang =
x d1 x d 2.
2
1
x (a + b) x t .
7. Luas daerah t rapesium =
2
8. Luas daerah lingkaran = r 2.

146

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Petunj uk: Pilihlah salah satu j awaban yang dianggap paling tepat!
1. Suat u layang-layang luas daerahnya adalah 225 cm 2. Jika panj ang salah sat u
diagonalnya adalah 18 cm, berapakah panj ang diagonal lainnya?
A. 25 cm.
C. 27 cm.
B. 26 cm.
D. 28 cm.
2. Suat u j aj argenj ang luas daerahnya sama dengan luas daerah persegi yang panj ang
sisinya 12 cm. Jika panj ang alas j aj argenj ang adalah 12, 5 cm, t ent ukan t inggi
j aj argenj ang t ersebut .
A. 9, 52 cm.
C. 11, 52 cm.
B. 10, 52 cm.
D. 12, 52 cm.
3. Perhat ikan gambar berikut :
Jika lingkaran luar mempunyai j ari-j ari
7
cm, sedangkan lingkaran dalam mempunyai
j ari-j ari 3 cm, dan π=3, 14 maka luas daerah
yang diarsir adalah . . . .
A. 124, 5 cm 2.
C. 128, 4 cm 2.
2
B. 125, 6 cm .
D. 132, 5 cm 2.

4. Perhat ikan gambar berikut :

15 m

2m

Sebuah t aman dipasang bat u alam berbent uk
belah ket upat , di t engah-t engahnya dibangun
kolam ikan. Luas t aman yang dipasang bat u
alam adalah . . . .
A. 32, 44 m 2.
C. 52, 44 m 2.
2
B. 42, 44 m .
D. 62, 44 m 2.

10 m

Matematika

147

Bangun - Bangun Geometri

5. Perhat ikan gambar berikut :

6m
4m
3m
10 m

Gambar t anah mi lik Pak Mulyana t ampak
dalam gambar. Sawah t ersebut akan dij ual
dengan harga
Rp 150. 000, 00. Berapa
rupiahkah uang yang akan dit erima ol eh Pak
Mulyana?
A. Rp 13. 000. 000, 00 C. Rp 14. 000. 000, 00
B. Rp 13. 500. 000, 00 D. Rp 14. 500. 000, 00

13 m

Cocokkan j awaban Anda dengan menggunakan kunci j awaban Tes Format if 2
yang t erdapat di bagian akhir bahan belaj ar mandiri ini. Hit unglah j awaban Anda
yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini unt uk menget ahui t ingkat
penguasaan Anda t erhadap mat eri Kegiat an Belaj ar 2.
Rumus :
Jumlah j awaban Anda yang benar
Tingkat penguasaan = ______________________________
10
Art i t ingkat penguasaan yang Anda capai :
90 %- 100% = Baik sekali
80 %- 89% = Baik
70%- 79 % = Cukup
< 70% = Kurang

X 100 %

Apabila t ingkat penguasaan Anda t elah mencapai 80 %at au lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiat an Belaj ar selanj ut nya. Bagus ! Tet api apabila nilai t ingkat
penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiat an Belaj ar 2,
t erut ama bagian yang belum Anda kuasai.

148

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG
A. VOLUME BANGUN RUANG
(1) volume balok
Balok adalah bangun ruang yang mempunyai enam buah sisi dan masing-masing
sisinya merupakan persegipanj ang.
Pada gambar 4. 36 t ampak balok dengan
panj ang rusuk p, lebar l, dan t inggi t .
Volume balok adalah: V = p x l x t = L x t

t

dengan L = p x l = luas alas.

l
p
Gambar 4. 36

Contoh 1:
Suat u balok panj angnya 4 cm, lebarnya 5 cm, dan t ingginya 6 cm. Hit unglah
volumenya.
Penyelesaian:
Balok, p = 4 cm, l = 5 cm, dan t = 6 cm.
Sehingga, V = 4 x 5 x 6 = 120 cm 3.
Jadi, volume balok t ersebut adalah 120 cm3.

B. VOLUME KUBUS
Kubus adalah benda ruang yang mempunyai enam buah sisi dan masing-masing
sisinya merupakan persegi.
Pada gambar 4. 37 t ampak kubus dengan
panj ang sisinya s.
Volume kubus adalah: V = s x s x s = s3.

s
s
s
Gambar 4. 37

Matematika

149

Bangun - Bangun Geometri

Contoh 2:
Suat u kubus panj ang rusuknya 8 cm. Hit unglah volumenya.
Penyelesaian:
Kubus dan s = 8 cm.
Sehingga, V = 8 x 8 x 8 = 512 cm 3.
Jadi, volume kubus t ersebut adalah 512 cm 3.

C. VOLUME PRISMA
Prisma adalah sebuah bangun ruang yang dibat asi oleh bidang alas dan bidang
at as yang merupakan segibanyak yang sej aj ar dan kongruen (sama bent uk dan ukuran)
sert a dibat asi oleh sisi-sisi t egak yang berupa j aj argenj ang.
Sebuah prisma diberi nama sesuai dengan nama segibanyak pada bidang
alasnya, yait u j ika bidang alas prisma merupakan segit iga, maka prisma t ersebut
disebut prisma segit iga. Jika bidang alas prisma merupakan segiempat , maka prisma
t ersebut disebut prisma segiempat , dan set erusnya.

t

t
p

l

l

p
Gambar 4. 38

Pada gambar 4. 38 t ampak sebuah balok dengan panj ang rusuk p, lebar l, dan
t inggi t . Apabila balok t ersebut kit a iris vert ikal sepanj ang bidang diagonal, maka
kit a peroleh dua buah prisma segit iga yang kongruen (sama bent uk dan ukuran).
Selanj ut nya, apabila kedua prisma digabungkan maka akan menj adi sebuah prisma
segit iga yang baru.
Karena prisma segit iga t ersebut diperoleh dari balok, maka rumus volume prisma
sama dengan rumus volume balok, V = L x t .
Sehingga, volume prisma adalah: V = L x t , dengan L = luas alas prisma.

Contoh 3:
Suat u prisma t egak alasnya berbent uk persegipanj ang yang berukuran
cm x 3, 5 cm. Apabila t inggi prisma adalah 5 cm, hit unglah volumenya.

6

Penyelesaian:
Prisma, alas persegipanj ang ukuran 6 cm x 3, 5 cm, dan t inggi prisma 5 cm.
Sehingga, V= 6 x 3, 5 x 5 = 105 cm 3.
Jadi, volume prisma t ersebut adalah 105 cm3.

150

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

D. VOLUME TABUNG
Tabung adalah bangun ruang yang mempunyai t iga buah sisi, yait u sisi alas
dan sisi at as yang masing-masing merupakan daerah lingkaran, sert a sisi yang melingkar
yang disebut selimut t abung.

t
r
Gambar 4. 39
Perhat ikan gambar 4. 39. Bayangkanlah bahwa kit a dapat t erus-menerus
menambah banyaknya sisi pada bidang alas dan at as prisma. Sampai akhirnya kit a
peroleh prisma dengan bidang alas dan at asnya adalah lingkaran. Sehingga prisma
t adi menj adi sebuah t abung.
Karena t abung dapat dianggap sebagai sebuah prisma yang bidang alasnya
adalah lingkaran, maka rumus volume t abung sama dengan rumus volume prisma, V
= L x t.
Sehingga, volume t abung adalah: V = L x t = µ r 2 x t .

Contoh 4:
Suat u t abung t ingginya 10 cm dan diamet ernya 5 cm. Hit unglah volumenya.
Penyelesaian:
Tabung, t inggi = 10 cm dan j ari-j ari = 2, 5 cm.
Sehingga, V = 3, 14 x (2, 5) 2 x 10 = 196, 25 cm3.
Jadi, volume t abung t ersebut adalah 196, 25 cm3.

E.

VOLUME LIMAS

Limas adalah bangun ruang. Sebuah limas diberi nama sesuai dengan nama
segibanyak pada bidang alasnya, yait u j ika bidang alas limas merupakan segit iga,
maka limas t ersebut disebut limas segit iga. Jika bidang alas limas merupakan
segiempat , maka limas t ersebut disebut limas segiempat , dan set erusnya.

Matematika

151

Bangun - Bangun Geometri

s
t

t
s

s

s

s
Gambar 4. 40

Perhat i kan, dalam kubus pada gambar 4. 40 t erdapat enam limas yang
mempunyai ukuran yang kongruen. Panj ang sisi kubus s, panj ang sisi alas limas s dan
1
t ingginya t = s.
2
Volume kubus = s x s x s.

1

Volume masing-masing limas =
=

=
=
=

Sehingga, volume limas adalah: V =

6
1
6
1
6
1
3
1
3

1
3

volume kubus

(s x s x s), t =

1
2

s

(s2 x 2t )
s2 x t
L x t inggi.

L x t inggi.

Contoh 5:
Suat u limas alasnya berbent uk persegi dengan ukuran 7 cm x 8 cm. Apabila t inggi
limas 9 cm, hit unglah volumenya.
Penyelesaian:
Limas, alas persegipanj ang ukuran 7 cm x 8 cm, t inggi limas 9 cm.

1

x (7 x 8) x 9 = 168 cm 3.
3
Jadi, volume limas t ersebut adalah 168 cm3.

Sehingga, V =

152

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

F.

VOLUME KERUCUT

Kerucut adalah bangun ruang. Sebuah kerucut dapat dibent uk dari sebuah
segit iga siku-siku yang diput ar dengan sisi siku-sikunya sebagai pusat put aran.

t
r
Gambar 4. 41
Perhat ikan gambar 4. 41. Bayangkanlah bahwa kit a dapat t erus-menerus
menambah banyaknya sisi pada bidang alas limas. Sampai akhirnya kit a peroleh limas
dengan bidang alasnya adalah lingkaran. Sehingga limas t adi menj adi sebuah kerucut .
Karena kerucut dapat dianggap sebagai sebuah limas yang bidang alasnya
adalah lingkaran, maka rumus volume kerucut sama dengan rumus volume limas,
1
V = L x t inggi.
3

Sehingga, volume kerucut adalah: V =

1
3

x L x t = x ( µ r 2) x t .

Contoh 6:
Suat u kerucut t ingginya 16 cm dan diamet ernya 8 cm. Hit unglah vomumenya.
Penyelesaian:
Kerucut , t inggi 16 cm, dan j ari-j ari 4 cm.

1

x (3, 14 x 42) x 16 = 267, 95 cm3.
3
Jadi, volume limas t ersebut adalah 267, 95 cm3.

Sehingga, V =

Matematika

153

Bangun - Bangun Geometri

G. VOLUME BOLA
Bola adalah bangun ruang. Sebuah bola dapat dibent uk dari bangun set engah
lingkaran yang diput ar pada diamet ernya.

r

2r

2r

r

r
Gambar 4. 42
Perhat ikan gambar 4. 42. Bola dengan j ari-j ari r dan t abung dengan j ari-j ari r
dan t inggi t abung 2r. Melalui percobaan dengan menuangkan pasir dari bola ke dalam
2
t abung, sehingga volume bola
t abung, diperoleh pasir hanya dapat memenuhi
3
2
adalah
dari volume t abung. Sedangkan volume t abung = µ r2 x 2r = 2 µ r 3, sehingga:
3
Volume bola =
=
=

2
3
2
3
4
3

volume t abung
(2 µ r 3)

µ r 3.

Sehingga, volume bola adalah: V =

4
3

µ r 3.

Contoh 7:
Suat u bola diamet ernya adalah 25 cm. Hit unglah volumenya.
Penyelesaian:
Bola dan j ari-j ari 12, 5 cm.

4

x 3, 14 x 12, 53 = 8177, 08 cm3.
3
Jadi, volume bola t ersebut adalah 8177, 08 cm3.

Sehingga, V =

154

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

B. LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG
(1) Luas Permukaan Balok
V

t

t

II

l

l

p

I

III

IV

VI

p
Gambar 4. 43
Gambar 4. 43 memperlihat kan gambar suat u balok dengan panj ang p, lebar l,
dan t inggi t . Apabila sisi-sisi pada balok t ersebut direbahkan maka diperoleh j aringj aring balok sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari j aring-j aring balok
lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, balok t erdiri dari 6 daerah persegipanj ang, yait u
2 buah daerah persegipanj ang dengan panj ang p dan lebar t , 2 buah daerah
persegipanj ang dengan panj ang l lebar t , sert a 2 buah daerah persegipanj ang dengan
panj ang p dan lebar l.
Perhat ikan bahwa, LI = LIII, LII = LIV, dan LV = LIV, sehingga kit a peroleh:
L = LI + LIII + LII + LIV + LV + LVI
= 2LI + 2LII + 2LV
= 2(l x t ) + 2(p x t ) + 2(p x l)
= 2( lt + pt + pl).

Contoh 8:
Hit unglah luas permukaan balok yang berukuran 3 cm x 4 cm x 5 cm.
Penyelesaian:
Balok, p = 3m, l = 4 cm, dan t = 5cm.
Sehingga, L = 2 [ (4 x 5) + (3 x 5) + (3 x 4)] = 94 cm 2.
Jadi, luas permukaaan balok t ersebut adalah 94 cm2.
(2) Luas Permukaan Kubus
V

s

s
s

s

I

II

III

IV

s
VI

s
Gambar 4. 44
Matematika

155

Bangun - Bangun Geometri

Gambar 4. 44 memperlihat kan gambar suat u kubus dengan panj ang rusuk s.
Apabila sisi-sisi pada kubus t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring kubus
sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari j aring-j aring kubus lainnya). Sehingga
t erlihat bahwa, kubus t erdiri dari 6 daerah persegi dengan panj ang sisinya s.
Perhat ikan bahwa, LI = LII = LIII = LIV = LV = LIV, sehingga kit a peroleh:
L = LI + LII + LIII + LIV + LV + LIV
= 6LI
= 6(s x s)
= 6s2.

Contoh 9:
Hit unglah luas permukaan kubus yang panj ang rusuknya adalah 12 cm.
Penyelesaian:
Kubus dan s = 12 cm.
Sehingga, L = 6 x 122 = 864 cm2.
Jadi, luas permukaan kubus t ersebut adalah 864 cm 2.
(3) Luas Permukaan Prisma
Unt uk menunj ukkan luas permukaan prisma kit a pilih sat u cont oh prisma saj a,
yait u prisma segit iga berat uran.
I

s
t

III

IV

V

t

s
II

s

1s 3
2

Gambar 4. 45
Gambar 4. 45 memperlihat kan gambar suat u prisma segit iga berat uran dengan
panj ang rusuk alasnya s, dan t ingginya t . Apabila sisi-sisi pada prisma segit iga
berat uran t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring prisma segit iga berat uran
sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari j aring-j aring prisma segit iga
berat uran lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, prisma segit iga berat uran t erdiri dari
2 buah daerah segit iga sama sisi dengan panj ang rusuknya s dan 3 buah daerah
persegipanj ang dengan panj angnya s dan lebarnya t .
Perhat ikan bahwa, LI = LII dan LIII = LIV = LV, sehingga kit a peroleh:

156

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

L = LI + LII + LIII + LIV + LV
= 2LI + 3LIII
= 2(
=

1

1
2

sx

1
2

3s ) + 3(s x t )

3s2 t + 3st .

2
Rumus luas permukaan prisma di at as dapat berubah bila j enis prismanya
berbeda.
Contoh 10:
Hit unglah luas permukaan prisma segit iga berat uran dengan panj ang rusuk alasnya 5
cm dan t ingginya 8 cm.
Penyelesaian:
Prisma, alas segit iga sama sisi dengan panj ang rusuk adalah 4 cm , dan t inggi prisma
adalah 5 cm.

1

2

3 x 4 x 5 + 3 x 4 x 5 = 129, 28 cm 2.
2
Jadi, luas permukaan prisma t ersebut adalah 129, 28 cm2.

Sehingga, L =

(4) Luas Permukaan Tabung
r
I
2µ r
t

t

II

r
r
III

Gambar 4. 46
Gambar 4. 46 memperlihat kan gambar suat u t abung dengan j ari-j arinya r dan
t ingginya t . Apabila sisi-sisi pada t abung t ersebut direbahkan maka diperoleh j aringj aring t abung sepert i t ampak pada gambar. Sehingga t erlihat bahwa, t abung t erdiri
dari 2 buah daerah lingkaran dengan j ari-j arinya r sert a sebuah daerah persegipanj ang
dengan panj angnya 2r dan lebarnya t .
Perhat ikan bahwa, LI = LIII = µ r 2 dan LII = 2 µ r x t = 2 µ r t , sehingga kit a peroleh:
L = L1 + LII + LIII
= 2LI + LIII
= 2( µ r 2) + (2 µ r t )
= 2 µ r(r + t ).
Matematika

157

Bangun - Bangun Geometri

Contoh 11:
Hit unglah luas permukaan t abung dengan yang t ingginya 18 cm dan diamet ernya 14
cm.
Penyelesaian:
Tabung, t inggi = 18 cm, dan j ari-j ari 7 cm.
Sehingga, L = (2 x 3, 14 x 7) x (7 + 14) = 923, 16 cm2.
Jadi, luas permukaan t abung t ersebut adalah 923, 16 cm2.
(5) Luas Permukaan Limas
Unt uk menunj ukkan luas permukaan limas kit a pilih sat u cont oh limas saj a,
misalnya limas segiempat berat uran.

II

t

V

s

I

t
III

s
s

IV

s

Gambar 4. 47
Gambar 4. 47 memperlihat kan gambar suat u limas segiempat berat uran dengan
panj ang rusuk alasnya s dan t inggi bidang sisi t egaknya t . Apabila sisi-sisi pada limas
t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring limas sepert i t ampak pada gambar
(silahkan Anda cari j aring-j aring limas lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, limas
segiempat berat uran t erdiri dari sebuah daerah persegi dengan panj ang rusuknya s
dan 4 buah daerah segit iga dengan panj ang alasnya s dan t ingginya t .
Perhat ikan bahwa, LI = s2 dan LII =LIII = LIV = LV, sehingga kit a peroleh:
L= L1 + LII + LIII + LIV + LV
= LI + 4LII
= s2 + 4 x (

1
2

s x t)

= s2 + 2st .
Rumus luas permukaan limas di at as dapat berubah bila j enis limasnya berbeda.

Contoh 12:
Hit unglah luas permukaan limas segiempat berat uran yang panj ang rusuk alasnya 9
cm dan t inggi bidang sisi t egaknya 6 cm.

158

Matematika

Bangun - Bangun Geometri

Penyelesaian:
Limas, alasnya persegi dengan panj ang rusuk 9 cm, dan t inggi bidang sisi t egaknya 6
cm.
Sehingga, L = 92 + (2 x 9 x 6) = 189 cm2.
Jadi, luas permukaan limas t ersebut adalah 189 cm2.
(6) Luas Permukaan Kerucut
P

P

s
s

t

I
r

A

A

B

2µ r

B

r
II

Gambar 4. 48
Gambar 4. 48 memperlihat kan gambar suat u kerucut dengan j ari-j arinya r dan
t ingginya t . Apabila sisi-sisi pada kerucut t ersebut direbahkan maka diperoleh j aringj aring kerucut sepert i t ampak pada gambar. Sehingga t erlihat bahwa, kerucut t erdiri
dari sebuah daerah lingkaran dengan j ari-j arinya r dan sebuah daerah j uring lingkaran
dengan panj ang busur j uring t ersebut sama dengan panj ang keliling lingkaran alas
kerucut , yait u 2 µ r..
Perhat ikan bahwa, L1 = µ r s, LII = µ r 2, dan s =

t 2  r 2 sehingga:

L = L1 + L2
= µ r s + µ r2
= µr

t2 r2 +

µ r2

Contoh 13:
Hit unglah luas permukaan kerucut dengan diamet ernya adalah 10 cm dan t ingginya
adalah 12 cm.
Penyelesaian:
Kerucut , j ari-j ari 5 cm, dan t inggi 12 cm.
Sehingga, L = (3, 14 x 5 12 2  52 ) + (3, 14 x 52) = 282, 6 cm2.
Jadi, luas permukaan kerucut t ersebut adalah 282, 6 cm2.

Matematika

159

Bangun - Bangun Geometri

(7) Luas Permukaan Bola

r

Gambar 4. 49
Gambar 4. 42 memperlihat kan gambar suat u bola dengan j ari-j arinya r dan
t ingginya t . Melalui percobaan, bagi bola t ersebut menj adi dua bagian yang sama
besar. Ukur luas daerah lingkaran dengan menggunakan benang yang padat . Kemudian
ukur luas permukaan bola dengan melilit kan benang yang sama. Set elah dibandingkan,
diperoleh bahwa benang yang dipakai unt uk melilit bola empat kali lebih panj ang
dibandingkan dengan benang yang dipakai unt uk mengukur luas daerah lingkaran.
L = 4 x Luas daerah lingkaran
= 4 µ r2.

Contoh 14:
Hit unglah luas permukaan bola dengan diamet er 18 cm.
Penyelesaian:
Bola dan j ari-j ari 9 cm.
Sehingga, L = 4 x 3, 14 x 92 = 1017, 36 cm2.
Jadi, luas permukaan bola t ersebut adalah 1017, 36 cm2.

Petunj uk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!
Unt uk memperdalam pemahaman Anda mengenai mat eri di at as, kerj akanlah
lat ihan berikut !
1. Perhat ikan gambar di samping.
Sebuah benda t erdiri dari kerucut dan set engah bola,
dengan t inggi kerucut 20 cm dan panj ang